空间向量与立体几何（压轴题专练）（原卷版）-2024-2025学年高二数学复习（人教版选择性必修第一册）

第一章空间向量与立体几何（压轴题专练）

一、单选题

1.在长方体中，AB=AD=4,9=3,点尸在底面A8CD的边界及其内部运动，且满

足群41,则下列结论不正确的是（）

A.若点M满足晒'=2加，则

-912~

B.点尸到平面AC。的距离范围为-,y

C.若点M满足融=2内，则不存在点尸使得

D.当8P=3时，四面体尸-4aB的外接球体积为小屈

3

2.如图，已知正三棱台ABC-A4G的上、下底面边长分别为4和6,侧棱长为2,点尸在侧面BCG与内

运动（包含边界），且AP与平面BCG百所成角的正切值为后，则所有满足条件的动点P形成的轨迹长度

4兀-2兀

A.——L.-------D.——

3B・号33

3.如图，棱长为2的正方体ABC。-4与4R中，P为线段3a上动点（包括端点）.

①三棱锥尸-A加中，点P到面A加的距离为定值半

②过点P且平行于面A3。的平面被正方体A8C。-AAG。截得的多边形的面积为26

③直线PA与面A3。所成角的正弦值的范围为

④当点尸为用2中点时，三棱锥尸-A3。的外接球表面积为11兀

以上命题为真命题的个数为（）

4.数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一.该礼品包装盒可以

看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体

ABCD-A.B^的上底面绕着其中心旋转45。得到如图2所示的十面体ABCD-EFG//.已知

AB^AD=2,AE=币,成=2(0+1)而，过直线EP作平面a,则十面体ABCD-EFGH外接球被平

81+56匈万

D.

48124812

5.如图，在正方体ABCD-EFGH■中，P在棱8C上，BP=x,平行于3。的直线/在正方形EFG//内，点、E

到直线/的距离记为d,记二面角为A-/-尸为。，已知初始状态下x=0,d=0,贝ij()

B.当x增大时，。先减小后增大

C.当d增大时，。先增大后减小D.当d增大时，e先减小后增大

6.在棱长为3的正方体ABC。-AAGA中，。为棱。C的中点，E为线段4。上的点，且AE=2EO,若

点£尸分别是线段。G，BG上的动点，则！尸所周长的最小值为（）

A.3y[2B.'C.5/4TD.142

7.如图，在圆锥SO中，A,5是。。上的动点，BE是。。的直径，M,N是S3的两个三等分点，

ZAOB=O（O<0<^,记二面角的平面角分别为a,p,若a&/3,则6的最大

值是（）

二、多选题

8.如图，在棱长为6的正方体ABCD-ABC"中，E,EG分别为AB,BC,CG的中点，点尸是正方形DCCR

面内（包含边界）动点，则（）

A.2c与政所成角为30。

B.平面EFG截正方体所得截面的面积为27世

C.g〃平面£FG

D.若NAPD=/FPC,则三棱锥尸-BCD的体积最大值是126

9.如图，圆柱的底面半径和母线长均为3,A3是底面直径，点C在圆。上且点E在母线

上,3E=2,点尸是上底面的一个动点，则（)

A.存在唯一的点歹，使得4歹+尸£=2/

B.若AELCF,则点F的轨迹长为4

C.若则四面体AC跖的外接球的表面积为40兀

D.若AF_LEE,则点尸的轨迹长为2通乃

10.已知正方体ABCD-AAG。的棱长为2,点尸在正方形ABC。内运动（含边界），则（）

A.存在点P,使得2尸，8£

B.若|RP卜君，则忸升的最小值为20-1

C.若口尸，耳。，则尸点运动轨迹的长度为0

D.若4尸，2。，直线4P与直线B2所成角的余弦值的最大值为追

3

11.在正方体ABCD-4B1GA中，AB=1,点P满足丽=彳丽+〃反。其中4e[0,l],〃e[0,l],则下列结

论正确的是（）

A.当耳尸//平面A不。时，与P与CA所成夹角可能为三

B.当4=〃时，I由1+144的最小值为0；正

c.若男尸与平面CG2。所成角为IT;，则点尸的轨迹长度为三7T

42

D.当4=1时，正方体经过点4、p、c的截面面积的取值范围为与垃

12.如图，点。是正四面体X4BC底面ABC的中心，过点。且平行于平面的直线分别交AC,8C于点

M,N,S是棱PC上的点，平面SMN与棱E4的延长线相交于点。，与棱尸3的延长线相交于点R,贝底）

A.若〃平面F4B,则A8〃RQ

B.存在点S与直线MN,使丽•（包+而）=0

C.存在点S与直线使尸C,平面SR。

1113

D"也门西门丽丽|

三、填空题

13.斜三棱柱ABC-ABQ中，平面A5cl平面，若AB=36,AC=BC=3,sinZAAB=1,在三

棱柱ABC-A4G内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面

相切，则三棱柱ABC-的高为.

14.在空间直角坐标系。-孙z中，四面体ABC。各顶点坐标分别为A（2,2,1）,B（2,l,-2）,C（0,2,l）,£>（0,0,1）.

则该四面体外接球的表面积是.

15.在正三棱柱A2C-440中，AB=A4,=1,点尸满足丽=4宓+〃西，其中2e[0,l],则

下列说法中，正确的有（请填入所有正确说法的序号）

①当2=1时，△△耳P的周长为定值

②当〃=1时，三棱锥ABC的体积为定值

③当彳=g时，有且仅有一个点尸，使得4尸，2尸

④当〃=:时，有且仅有一个点P,使得AB，平面A片尸

16.正方体的棱长为3,AC"/平面a,3D//平面a,则正方体在平面a内的正投影面积

为.

四、解答题

17.我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.如图，在菱形ABCD中，

ZS4D=60°,将△"/）沿3。翻折，使点A到点尸处.E,F,G分别为3D,PD,8C的中点，且FG是PD

与3c的公垂线.

P

（1）证明：三棱锥P-3co为正四面体；

（2）若点M,N分别在PE,BC±,且MN为尸E与3C的公垂线.

①求P瞿M的值；

ME

②记四面体3EMN的内切球半径为r,证明：+

2rEMBN

18.如图①所示，长方形ABC©中，AT>=1,AB=2,点/是边CO的中点，将△ACM沿AM翻折到,

连接尸B,PC,得到图②的四棱锥P-ABCM.

(1)求四棱锥P-ABCM的体积的最大值；

⑵若棱P8的中点为N,求CN的长；

(3)设尸-40-。的大小为凡若,求平面P4"和平面P3C夹角余弦值的最小值.

19.如图，在三棱锥。-ABC中，