高三数学一轮复习：平面向量的运算 专项训练

高三数学必修二第六章复习配套训练

平面向量的运算

一、单选题

1.（2024•四川资阳•二模）已知向量入B的夹角为150°,且同=2,恸=2,贝川2-如同=

（）

A.1B.2->/3C.2+石D.2s

2.（2024•江苏南京•二模）2E分别是等边VABC的边AB,AC的中点，DE=1,点、P在

线段QE上的移动（含端点），则丽.就一定不可能是（）

842

A.-B.2C.—D.一

333

3.（2024•山东青岛•二模）已知向量2=（-1,2）,石=（-3,1）,则％在B上的投影向量为

C.昌图3^/10而、

D.

10，15-/

4.（2024•内蒙古赤峰•二模）在AASC中，角4B、C的对边分别为a、b、c,已知

02=2,。?+炉=10,BC,AC边上的中线AM,8N相交于点P,则直线AM,8N的夹角为

()

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.（2024•贵州遵义•二模）已知单位向量遍满足,一同=若，则£与％+石的夹角为

)

7171

A.D.

2

6.（2024•青海西宁•一模）已知平面向量£,B满足。=%=2.若（。+•〃=0,则向

量Z,区的夹角为（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

7.（2024•山西太原•二模）已知忖=忖=1,口=6,a+b+c=6,则£与B的夹角为

()

A.30°B.45°C.60°D.120°

8.（2024•河北衡水•三模）已知•，区是单位向量，=则与贰的夹角为

（）

.兀f万c兀271

A.-B.-C.-D.—

6433

9.（2024•江苏盐城•一模）已知向量Z,B满足k=,+q=|24-囚，则忖=

（）

A.1B.aC.2D.陋

10.（2024•云南昆明•一模）已知单位向量加满足|[—Bl=g,则£与B的夹角为

（）

71e兀—211—571

A.-B.-C.——D.——

6336

11.（2024•山东烟台•三模）已知向量〃，B满足卜1=4,B在Q方向上的投影向量为—a,

且Z_L（2Q—@,贝布+囚的值为（）

A.4B.4GC.16D.48

12.（2024•浙江绍兴•三模）若非零向量B满足同=M=|。+q，则五+2。在5方向上的投

影向量为（）

3-一1r

A.2bB.—bC.bD.—b

13.（2024•福建福州•三模）已知线段AB是圆。的一条长为2的弦，则南.丽=（）

A.1B.2C.3D.4

14.（2024•福建泉州•一模）已知向量1,5满足但-B）・B=0,则（）

A.（M+5）_L（万一5）B.\a-2b\=\a\

C.{a-2b,a）=（a,b）D.B在M方向上的投影向量为M

15.（2024•江苏苏州•三模）已知14—Z?|=|2a—b\=2,且2万—b在M方向上的投影向量为

单位向量，则|5|=（）

A.4B.2后C.473D.6

16.（2024•广东佛山•一模）在VABC中，设六,一而°=2丽/（才仁-通），那么动点"

的轨迹必通过VABC的（）

A.垂心B.内心C.重心D.外心

17.（2024•安徽芜湖•三模）已知。C：x2+y2_]0x+9=o与直线/交于两点，且。。被

/截得两段圆弧的长度之比为1:3,若。为。C上一点，则方.丽的最大值为（）

A.1872+12B.160+16C.12忘+20D.10加+24

18.（2024•湖南长沙•三模）在平行四边形ABCZ）中，&。=23£>=4,点尸为该平行四边

形所在平面内的任意一点，则|西『+|而F+|而『+|两『的最小值为（）

A.6B.8C.10D.12

19.（2024•云南曲靖•二模）已知。是VABC的外心，荏+*=2正，口可=|通|,则向

量正在向量配上的投影向量为（)

B.一包反3UlmD.^-BC

A.--BCC.-BC

4444

20.（2024•湖南长沙•二模）已知向量a>b>c中，a是单位向量，同=3，a与5的

夹角为三，c=b-a,贝4c-a=()

D.-1

二、多选题

21.（2024•安徽安庆•三模）已知单位向量a,区的夹角为。，则下列结论正确的有

()

A.+B.£在方方向上的投影向量为（无

0.若%+*有，则6=年

D.若（。+孙万=（6-5）•万，则

22.（2024•江苏盐城•一模）定义平面斜坐标系xQy,i^ZxOy=0,"分别为x轴、

p轴正方向上的单位向量，若平面上任意一点户的坐标满足：OP=xex+ye2,则记向量而

的坐标为（x,y）,给出下列四个命题，正确的选项是（）

A.若加=（%,%）,OQ=（x2,y2）,则。P+OQ=（玉+/,%+%）

B.若赤=（%,%）,。。=（工2，%）,则0。。。=%/+%%

C.若。(无2，%),则|尸=J(%2—%)2+(%—

D.若6=60°,以0为圆心、半径为1的圆的斜坐标方程为寸+；/+孙_1=0

23.（2024•辽宁•二模）VABC的重心为点G,点0,0是VABC所在平面内两个不同的

点，^^OP=OA+OB+OC,则（）

A.O,P,G三点共线B.OP=2OG

C.2OP=~AP+BP+CPD.点P在VABC的内部

24.（2024•浙江宁波•二模）若平面向量。，及1满足同=1,可=1,同=3且方=5],贝”

（）

A.卜+5+W的最小值为2

B.卜+石+目的最大值为5

c.卜-5+W的最小值为2

D.卜一5+目的最大值为JIi

25.（2024•辽宁沈阳•二模）如图，在4x4方格中，向量方，加0的始点和终点均为小正方

形的顶点，则（）

A.a=bB.|a-5|=|c|C.aD.a-c^bc

三、填空题

26.（2024•四川凉山•三模）在VABC中，已知AB=1,AC=3,点G为VA3C的夕卜。，点

。为VABC重心，则砺.觉=.

27.（2024•四川乐山•三模）已知"，是夹角为60°的单位向量，若（走'+力（2『-了）=1,

则实数4的值是.

28.（2024•天津河西•二模）在四边形ABCD中，ABLAD,CB1CD,ZABC=60°,45=2,

AD=6,E、尸分别为线段AB、CD的中点，若设诟=2,BC=b,则方可用Z,B表示

为；EFCD=

29.（2024•湖南长沙•三模）平面向量a,b,c满足：a±c,«耕=三,（瓦。）=看，且

问第=3,9=2,贝I]Q+B+C=

30.（2024•天津和平•三模）已知VA3C中，点。是AC中点，点M满足两=2碇，记

BA=a,BD=b,请用苕，B表示俞=;若丽.丽=-5,向量而在向量而上的

投影向量的模的最小值为.

参考答案：

1.D

【分析】借助向量模长与数量积的关系与数量积的计算公式计算即可得.

[详解]因为卜一符y=B「_2615+3时=4_26X2X2X1_#）+3X4=28,

所以忖_6»=2/.

故选：D

2.D

【分析】利用平面向量数量积的几何意义计算即可.

【详解】由题意，BP-BC=|B?||BC|-cosZPBC,

易知DE为VABC的中位线，且£>E=1,所以VA3C的边长为2,

结合投影可知，|研yos/PBCe,故而.前e[1,3].

故选:D.

3.A

【分析】根据投影向量的公式求解.

【详解】根据题意，£在办上的投影向量为：

a-bb5b17（31^

\b\|5rV10加一2一l2'27

故选：A

4.D

【分析】由余弦定理得afcosC=4,即国=4,则

疯・丽=（函_m）•（由一国）=[g丽一瓦回一区]进行求解.

【详解】由余弦定理得，。2=6+从—2Q》COSC,得2=10-2&fcosC\

^abcosC=4,

得G4.C3=1CAH词cosC=〃bcosC=4,

如图：

贝I加■.就=（丽-西.（国-词

得谢_1_的，

则直线AM,BN的夹角为90。，

故选：D

5.B

【分析】由口-司=6求出再求出Z与Z+B数量积和模长，由向量的夹角公式可得出

答案.

【详解】由卜-可=6平方可得2-22%=3,即

则,+囚=2+2a-b=\,则归+可=1,

又小,+石）=1+无5=1,

1

“_a\a+b\

1

所以cosa,a+b=：胃--2--—_—,

同.。+在1x1---2

qr

故Z与£+3的夹角为

故选：B

6.D

【分析】根据数量积公式及运算律计算求出夹角余弦进而求出夹角即可.

【详解】因为,+岳）々=。，设2B夹角为6

所以卜+血石）3=a2+&=22+V2x2x2xcos^=0,

所以cos。=

2

所以6=135°.

故选：D.

7.C

【分析】依题意可得）=-伍+6）,将两边平方，由数量积的运算求出7B,再由夹角公式

计算可得.

【详解】因为卜卜w=i,,=若,a+b+c=6,

所以2=一,+6），贝噎=7+2£石+片，即（@2=12+27石+匕

——1

解得。1=5,

八a^b1

设Z与5的夹角为d,则c°s6=W^=S，又0°<84180。，

1aHz12

所以6=60°,即办与刃的夹角为60。.

故选：0

8.A

【分析】先计算向量，+2w的模，再计算］+2区与团的数量积，进而可得夹角的余弦值,

可得答案.

【详解】（4+2寸=丁+4冢句+4/=1-2+4=3,故国+2司=6

（e1+2e2）-^=e1-e2+2e/=-^-+2=-|,设录+2■'与1的夹角为夕，

则cos<9=（乌+25）.与=2=走,又6e［0,兀］,故。=巴，

"E+2司同「2‘L」’6，

故选：A.

9.D

【分析】把给出的两个等式两边平方化简后，解方程组即可求解.

【详解】解：由卜力卜有，可得/_20+4=3,①

7lI'rli2rrrrrrr

由卜+4二|2"—可付a+2a*b+b2=4a2-4a・b+b2,

整理得蓝-2£Z=O,

代入①得^=3,

解得根=若

故选：D.

10.C

【分析】将卜一2=6两边平方求得万石，再利用向量夹角公式即可求解.

【详解】根据题意得卜-可2=乐-2拓+52=，得&石=一；，

所以cos伍％而=一；,所以(哂

故选：0

11.B

【分析】根据题意结合投影向量可得£3=8,再根据垂直关系可得忖=4,进而可求模长.

【详解】由题意可知：忖=4,即Zw。，

rr、

a-b]ra-b]r

因为B在z方向上的投影向量为可得7石=8,

a

又因为bJ_2a—b,则/7•2。一。=2a-b-b=16-b=0,可得W=4,

|i1|2121112Hr-

则a+b=a+2a-b+b=48,所以|。+4=4,3.

故选：B.

12.B

—1I—12

【分析】利用向量的模长关系可得无6=-]网,再由投影向量的定义即可求出结果.

【详解】根据题意向=*k+同可得同2=好小+5『，

所以2同~cosR,B)+同2=0,则cos(a,b]=~—

-1।|71I-|2

所以M%=一]同=一耳网，

则M+2B在B方向上的投影向量为A24.6=晨“2|5|方=[\+2卅1目=3目•

l<l<K2

故选：B

13.B

【分析】取AB中点C,连接OC,根据向量的相关计算性质计算即可.

【详解】取AB中点C,连接OC,

易知OC_LAB,所以而通=（元+函）•阳=lx2xl+0=2.

故选：B.

14.B

【分析】根据题意，由平面向量的垂直关系，结合平面向量数量积的运算，然后对选项逐一

判断，即可得到结果.

—►—♦—►—»—»2I—*|2

【详解】（a-b）-b=0,即〃=忖,

――»—*2—►2­►2―►—►—►/―►―►'

因为（4+力）•（笈・b）=Q-b=a-a-b=a\a-b

所以①+B）与0-B）不一定垂直，故A错误;

由2%上可得H4.I+4片,所以同二陌—2川，故B正确;

--ralb

由数量积的定义可得，a・B=MW・cos<Q,5>所以cos<a,b>=।i.I=

HWa

cos<a,b>与cos<1一2瓦万>不一定相等，故C错误;

ISlcos<a,b>_Ifel_

方在双方向上的投影向量为U——曰-----〃=0•〃，故D错误;

H|«|

故选：B

15.B

【分析】根据题意，分别将|2@-5|=2与*©=2平方，然后作差可得3问2=27方，再由条

\2a-bYa2\^-a-b

即可求得M

件可得'「Jnr',从而得到a-b即可得到结果.

【详解】由题意可得|2@-5|=2,所以（2Z-石『=4,即47一47B+片=4,

所以4问2_4£3+麻=4①，

因为*耳=2,所以（【可=4,即/一2£啰+片=4,

所以.-2°出+可=4②，

①—②可得3M=2a-b,即4%="1忖

又2。-B在不方向上的投影向量为单位向量，

（2a-b）-a2^-a-b21才一3而

则—=1,即=i,解得卜=2,

,『MJ1«1“一忖2二11

则日不=引£『=6,代入②中可得4_2x6+W2=4,解得%=2道.

故选：B

16.D

【分析】将等式化简整理得（ZS+丽-2丽?）•而=0,作出中线A。，进一步将其化成

MDBC=0,可得动点M的轨迹为BC的垂直平分线，即得D项.

［详解］由衣2—而2=2丽'•（正—通）可得，（AC+AB）.（AC-AB）=2W-（AC-AB）,

即（衣+荏-2戒）•前=0,（*）

A

如图，取3C的中点为。，连AD,则砺=湿+而，苞=工+也，

因而+团=6,故得，2通=通+/，

代入（*）得，2（而-汨）•命=0,即砺.元=0,

故闻。垂直且平分线段2C,即动点M的轨迹是BC的垂直平分线，必通过VABC的外心.

故选：D.

17.B

冗

【分析】根据题意，得到NAC3=5，所以百.函=0,设M为A3边的中点，根据向量的

运算法则，求得而.历=|明）2两•反明？+2|两■,回，结合圆的性质，即可求解.

【详解】由0c:V+y2-i0x+9=0,可得圆心C（5,0）,半径r=4,

因为直线/交圆C于AB两点，且圆C被/截得两段弧的长度比为1:3,

7T

所以NACB=5，可得CA.CB=O,

设M为AB边的中点，可得刀+。=2•，

则次•丽=（成+团）•（配+丽）=|配『+（回+函）•配+瓦•瓦

=|Dc|2+2CM-DC<|oc|2+2|cMl-|Dd,

当且仅当面与就方向相同时，等号成立，

因为|比卜厂=4,|鲍=曰厂=2百，所以次•丽曰反1+2］国觉卜16+16后.

所以方晨丽的最大值为160+16.

故选：B.

18.C

【分析】设AC与8。的交点为0,由西=河+两，两边平方可表示出|可「，同理可表

示|PB|2,|PC|2,|PD|2,四个式子相加化简可求得结果.

【详解】设AC与8。的交点为0,由丽=而+函，

得|再『=|而『+而|2+2POOA,

同理可得而『=|而

IF+LF+2POOB,

|PC|2=|W|2+|OC|2+2POOC,

|PO|2=|Pd|2+|OD|2+2,POOD,

所以I而『+|而F+|无『+|而『=

4|PO|2+|CM|2+|OB|2+|OC|2+|OD|2+2,PO(OA+OB+OC+OD)

=4|PO|2+10>10,当点尸与点。重合时，等号成立.

故选：C

【分析】依题意可知。是8C的中点，从而得到ZB4C=90。，ZACB=3ff,解法一：过点A

3

作AD2BC,垂足为。，即可得到CO=—BC,结合投影向量的定义即可得解；解法二：

4

,ACjC—

设忸。=2,根据向量衣在向量就上的投影向量等于|.2BC计算可得.

【详解】由通+近=2与J,所以。是BC的中点，又。是VABC的夕卜心,

则ZBAC=90°,再由|砺|=|丽J,

则AABO为正三角形，ZACB=30,

、113

角度一,:如图，过点A作AZ）,垂足为。，则3。=-30=—3C,CD=—BC,

244

__.3__k

所以向量就在向量前上的投影向量等于。。=：BC.

4

角度二：设画=2,则网=1,所以即卜万了=为,

Gx2xcos30°—.3--

所以向量尼在向量前上的投影向量等于下/8C=BC=-BC

224

故选：0.

20.B

【分析】根据数量积的定义及运算律求解.

-713

【详解】^,b=lx3xCOSy=—,

所以3.五二（/?­彳）•万=Z?•万一方=5-]=5.

故选：B

21.AB

【分析】对于A,只需验证,+B）和k-的数量积是否为0即可；对于B,d在B方向上的投

影向量表示为同cosej；对于c,先求平方，再利用数量积即可求夹角；对于D,对式子进行化

简，进而判断.

【详解】对于A,因为£,B是单位向量，

所以（M+Z?）.（4-Z?）=万2_/?2=]_]=0,

所以5）,故A正确；

对于B,因为z,B是单位向量,

所以£在B方向上的投影向量为同35。忖=（万,故B正确；

对于C,因为（4+B）=a2+2a-b+b2=l+2cos^+l=3,

所以cos。=5，

TT

又因为OWOWTI,所以。=1，故C错误；

对于D,因为（6+与0=（万一5）0,所以二+以日=7_.£,

所以D=0,

所以£_LB,故D错误；

故选：AB.

22.AD

【分析】根据题目的新定义，结合向量的线性运算与向量数量积的坐标运算等对选项逐一判

断即可.

【详解】对于A,历=（冷yj,丽=（无2，%），则而+而=（无£+%可+121+%可，

=（4+%）q+（必+%）%=（占+/，%+%），A正确;

对于B,而=（%,%）,而=（程％），则"-诙=（再冢+丫肩）•（%1+%£）,

=x,x2+Jj_y2++x,yj）Cj-e2,显然则9・诙/外超+%%，B错误；

对于C,痂=（西,必），OQ=（x2,y2）,由选项A同理得因一诙=（%—石,%-%），

即理=（%-可,为-M），PQ=（x2-x1）e1+（y2-yje2,

|PQ|二小（电一占『+（%一%）2+2（4一'）（必一%”05。,0错误；

对于D,设以。为圆心、半径为1的圆上任意一点为尸（x,y）,

由|OP|=1,得kq+ye?）=1,于是f+J?+2孙。?一1=0,

由6=60°,得令-02=：,即Y+y?+孙-1=0,D正确.

故选:AD

23.AC

【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断.

【详解】OP=OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC

=3OG+GA+GB+GC,

因为点G为VA3C的重心，

所以GX+GS+交=0,所以9=3而，

所以O,P,G三点共线，故A正确，B错误；

AP+BP+CP=Ad+OP+BO+OP+CO+OP

=（AO+BO+W）+3OP,

因为苏=K+而+无，

所以须+而+函）+3丽=-丽+3丽=2而，^?2OP=AP+BP+CP,故C正确；

因为赤=3旃，

所以点尸的位置随着点0位置的变化而变化，故点尸不一定在VABC的内部，故D错误；

故选：AC.

24.BD

【分析】由向量日石方向间的关系，判断卜+B+目的最大值和最小值；由（汗-5），不，通

过k一方|的最值,计算,一方+目的最值.

【详解】当向量色B方向相同，与1方向相反时，满足日.^=凡己

此时卜+6+W有最小值同一（同+W）=1,A选项错误；

当向量花,5,不方向相同时，满足无^=几乙,

此时,+B+W有最大值同+问+同=5,B选项正确；

a-c=b-c,有伍-方"=0,即（济-5）_L:,则卜_3+目=/卜_5j+同2,

向量。石方向相同时，忖-8的最小值为0,卜-B+W的最小值为3,C选项错误；

向量2石方向相反时，,-可的最大值为2,卜-B+W的最大值为a，D选项正确.

故选：BD

25.BC

【分析】结合向量的线性运算法则及数量积的定义，逐项判定，即可求解.

【详解】如图所示，向量）与向量B方向不同，所以1片5,故A错误，

将向量5平移至向量日的起点，可得a/方，且同=忖，以向量万④为邻边的平行四边形为

正方形，对角线垂直且相等，所以卜-4=同，故B与C正确，

由以上可知，同=W，且向量6,B与向量］的夹角相等，所以7"=九"，故D错误.

故选：BC

26.-

3

【分析】设2C的中点为。，根据三角形外心性质，得GDLBC,由重心性质得

uum1UUBuum

OD=-(AB+AC),再根据数量积运算即可求解.

6

【详解】设BC的中点为。，连接ARGD,

由点G为VABC的外心，可得GD_L3C,

―»1-.1—■—.

由点。为VABC重心，可得OD=-AD=—(AB+AC),

36

故砺灰=(砺+研・册

=ODBC+0

=-(AB+AC)-(AC-AB)

6

1-2——.21、4

=~(AC-AB)=-xz(9-l)=-.

o63

【分析】由平面向量数量积的运算及其性质进行计算即可.

【详解】由『，亍是夹角为60。的单位向量，则了•]=『MJ|COS60。=g,

由（万+办（2、力=1,则2常卜下.了+2f.了_同=22—1+1—1=1,

2

解得，A=-.

2

故答案为：一.

3

“1~1y3

28.—a+—b——

228

【分析】利用向量的加法可以求出第一个空；通过转化确定及而与而，灰的夹角,

代入数量积的计算公式即可求出第二个空.

【详解】

由题意得，EF=EA+AD+DF,EF=EB+BC+CF,

由E、尸分别为线段AB、CD的中点，知丽+砺=0,DF+CF=Q,

因“匕，2EF=EA+AD+DF+EB+BC+CF=AD+BC

―.11_

:.EF=-a+-b；

22

延长AD、3C交一点G,由AB_LAD,