北京市某中学2023-2024学年高二年级下册4月月考数学试卷

数学

（考试时间120分钟满分150分）

一、单选题（共40分）

1.从0,1,2,3,4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有（）个.

A.24B.30C.36D.60

【答案】B

【解析】

【分析】考虑选出的3个数中有没有0的情况，有0时再考虑。的排法，根据分类加法原理，即可求得答案.

【详解】若从0,1，2,3,4中选出3个数中没有0,

则组成各位数字不重复三位偶数有A；A；=12个；

若从0,1,2,3,4中选出3个数中有0,且0排在个位，

则组成各位数字不重复的三位偶数有A；=12个；

若从0,1,2,3,4中选出3个数中有0,且0不在个位，

则组成各位数字不重复的三位偶数有A；A；=6个；

故从0,1,2,3,4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，

这样的数有12+12+6=30个，

故选：B

2.在数列｛4｝中，若q=1,—，贝凡2=（）

4

A.-2B.——C.1D

3

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，探求出数列的周期，再利用周期性计算即得.

a

【详解】在数列｛%｝中，由4=1,n+l=——，得。2=4,=-2,%=1，

2—an

因此数列｛4｝是周期性数列，周期为3,

所以％2=%=-2.

故选：A

5

3.若（1—2x）5=Gg++电厂+,,,+<75%，贝U%+%=（）

A.100B.110C.120D.130

【答案】C

【解析】

【分析】利用二项式定理分别求出出，。4即可计算得解.

5224

【详解】（1-2x）=aQ+axx+a2xH------n%/中，a2=C5x2=40,G4=x280,

所以%+%=120.

故选：C

4.已知数歹U｛。〃｝的前〃项和为S“=3"—1,则%=（）

A.81B.162C.243D.486

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用。“=工-51522）列式计算即得.

【详解】数歹U｛a“｝的前w项和为S“=3〃—1,所以4=&-S&=35-34=162.

故选：B

5.若:x-最;的展开式中各项系数之和为-128,则展开式中的系数为（）

A.-2835B.945C.2835D.-945

【答案】D

【解析】

【分析】根据赋值法求系数和得〃=7,即可根据展开式的通项公式求解.

【详解】令x=l,得（一2）”=—128,得〃=7,

(_2V7_5r

3r3

的展开式的通项（+1=C"7f.(-3广X=(-3)C；x,

I)

令7—?=2,得r=3,则n=（—3）七犹=-945尤2,故展开式中炉的系数为—945,

故选：D.

6.等比数列｛4｝满足q+。3+“5=7，。5+%+。9=28,贝I］。9++。13=()

A.56B.-56C.-112D.112

【答案】D

【解析】

【分析】根据等比数列的定义解决问题.

【详解】由题意知。5+%+。9+%/+%/=(%+%+。5)/=7/=28,解得/=4,故

+a

佝+an+%=(%i+。9)/=28x4=112.

故选：D.

7.甲、乙、丙、丁四名同学参加学校组织的植树活动，学校共组织了3个植树小组，每人只能参加一个植树

小组，则甲、乙不在同一个植树小组的安排方法有()

A.81种B.54种C.36种D.12种

【答案】B

【解析】

【分析】根据分步计数原理分析求解即可.

【详解】甲有3种参加方法，乙有2种参加方法，丙、丁均有3种参加方法，根据分步乘法计数原理可知，

甲、乙不在同一个植树小组的安排方法有3x2x3x3=54种，

故选：B.

8.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号。或1可能被错误的

接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号为1时，接收为1和0

的概率分别为。和1-p.假设发送信号0和1是等可能的.已知接收到1的概率为0.475,则。的值为

()

A.0.8B.0.85C.0.9D.0.95

【答案】B

【解析】

【分析】利用全概率公式计算可得.

【详解】设4="发送的信号为0"，B="接收到的信号为0”，

则入="发送的信号为1"，”接收到的信号为1”，

所以P(A)=0.5,P(A)=0.5,P(B|A)=0.9,P(B|A)=0.1,P(B\A)=l-p,P(B\A)=p,

所以接收信号为1的概率为：P便)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=O.5xO.l+O.5xjp=0.475,

解得。=0.85

故选：B.

9.排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球后，谁取胜谁就得1分，得分的队有发球权，最后先得25分

的队获得本局比赛胜利，若出现比分24:24,要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束.甲、

22

乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为耳，乙队发球时甲队获胜的概率为且各

次发球的胜负结果相互独立.若此时甲、乙两队双方比分为22:22平，且甲队拥有发球权，则甲队得25分

且取得该局比赛胜利的概率为()

8726480

A.—B.-----C.----D.-----

27135135135

【答案】C

【解析】

【分析】甲队得25分且取得该局比赛胜利包含甲以25：22取得比赛胜利和甲以25：23取得胜利两个事件，

再利用事件的相互独立性及互斥事件加法公式求概率.

【详解】记事件A=“甲队得25分且取得该局比赛胜利”，

事件8=”甲以25:22取得该局胜利”，C="甲以25:23取得该局胜利”，

因为各次发球的胜负结果相互独立，且2,C互斥，

/、2228

所以P==

'/33327

。2、2222入2、2222入2、28

X—=—,

3J53331533313)545

所以P(A)=P®C)=P⑻+P©得+

64

所以甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为——.

135

故选：C

10.已知5“是数列｛4｝的前n项和,且%=%=1，4=2a“T+

3a„_2(n>3),则下列结论正确的是

()

A.数列｛4—4+J为等比数列B.数列｛a“+i+2%｝为等比数列

20+(-广

C.540=|(3-1)D.%=上

2

【答案】D

【解析】

【分析】A选项，计算出q-4=0,故｛%—am｝不是等比数列，A错误；

723

B选项，计算出｛4+i+24｝的前三项，得到§力亍，B错误；

C选项，由题干条件得到an+a“_i=3(a,-+an_2),故｛an+x+4｝为等比数列,得到

238

4+1+4=2x3"T,故%+4=2，a4+o3=2x3,......,a40+a39=2x3,相加即可求出

C错误;

D选项，在氏+]+4=2X3”T的基础上，分奇偶项，分别得到通项公式，最后求出。=3"J(T)

112

【详解】由题意得：/=2%+3%=5,%=2/+3g=1。+3=13,

由于q-4=。，故数列｛%—%+J不是等比数列，A错误；

则a?+2〃]=1+2=3,%+2a2=5+2=7,g+2a3=13+10=23,

723

由于亍，故数列｛aa+i+2a“｝不为等比数列，B错误；

〃23时，=2a“_]+3aA2，即4+an_x=3(an_,+a„.2),

又。]+。2—1+1—2,

故｛%+i+%｝为等比数列，首项为2,公比为3,

故4+1+凡=2X3"T,

238

故4+4=2,+o3=2x3,.......,am+a39=2x3,

1_Q40Q40_i

2438

以上20个式子相加得：S40=2X(1+3+3+---+3)=2X^-^-=^^,C错误;

因为。“+i+4=2X30T,所以。“+2+a“+i=2x3",两式相减得：

4+2—%=2x3”—2X3"T=4x3"、

2-32k5

当九=2左时,a2k~a2k_2=4x3*,o2,t_2-a2jt_4=4x3^,.......,a4-a2=4x3,

o^2k—l1o

以上式子相加得：a2k-a2=4x(3+33+…+3?"3)=4X二一=-~,

故出%=2二+出=土2二,而%=1也符和该式，故包二2二,

令2左=“得：a=2匚=3j+(一厂

"22

a2k42k6

当〃二2左一1时，a2k-i~2k-3=4x3~,a2k_3-a2k_5=4x3~,......,q—％=4x3°,

[_q24-2124-2_[

以上式子相加得：—%=4X+32"-6+..・+30)=4X；9二尸，

q22-21q2左-2,1q2左-2,1

故出&_1=2一+%=2,而4=1也符号该式，故出1='2'

3，1+1

令2左一1=〃得：an="(-),

综上：a1t=3"T+?)”i,口正确.

故选：D

【点睛】当遇到4+2-4=/(〃)时，数列往往要分奇数项和偶数项，分别求出通项公式，最后再检验能

不能合并为一个，这类题目的处理思路可分别令〃=2左—1和〃=2左，用累加法进行求解.

二、填空题(共25分)

()(2九-1,〃为奇数

H.在数列｛4｝中，若2‘T"为偶数'则%+%的值为-

【答案】17

【解析】

【分析】将"=4,77=5时分别代入偶数与奇数对应%通项，即可求解.

【详解】依题意，%+%=23+(2x5—1)=17.

故答案为：17

12.在等差数列｛。“｝中，ax=2,d=3,则｛。“｝的前10项和Si。=,

【答案】155

【解析】

【分析】由等差数列求和公式即可得解.

[0x9

详解】由题意=101+-----xd=10x2+45x3=155.

2

故答案为：155.

13.己知甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.8,且两人投篮相互没有影响.若投进一球得2分，未进得

0分，则每人投篮一次，得分相等的概率为.

【答案】0.5#*

【解析】

【分析】根据独立事件同时发生的概率公式，即可求解.

【详解】若两人都没有投进，概率6=(1—0.5)。—0.8)=0.1,

若两人都投进，概率6=0.5x0.8=0.4,

则得分相等的概率P=P}+P2=0.5.

故答案为：0.5

14.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为

（用最简分数表示）.

第

0行

1

第

1行

11

第

2行

121

第

3行

1331

第

4行

14641

第5行15101051

【答案】|

【解析】

【分析】第10行从左至右依次为C：o，C；o，C；0,…,C；&,由二项式系数性质可得答案.

【详解】观察知第10行从左至右依次为C：o,C；o,C；o,C；：,

由二项式系数的性质可得=252最大，其次为C：o=，)=210,

z^5cc久

所以第10行中最大的数与第二大的数的数值之比为注=而=1.

X_Z-|Q乙J.UJ

故答案为：—■

15.己知数列｛4｝:1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,…，其中第一项是2°，接下来的两项是2°,2］，再接下来的三项是

2°,21,22,...,以此类推，则下列说法正确的是.

①第10个1出现在第46项；

②该数列的前55项的和是1012；

③存在连续六项之和是3的倍数；

④满足前九项之和为2的整数塞，且〃>100的最小整数〃的值为440

【答案】①③④

【解析】

【分析】把题设中的数列分成如下的组：(1),(1,2),(1,2,4),(1,2,4,8),...,求出每组的和为4,命题①通

过计算每组项数的和求解；命题②恰好是前10组之和；命题③通过找到。3+%+%+a6+a,+as符合题意

得出判断；命题④设前九项由前左行和第左+1行前加("〃2K左+L^eN*)项组成，算出前”和为北后结

合前几项和为2的整数幕可得”的最小值.

【详解】将数列｛4｝排成行的形式

1,

1,2,

1,2,4,

1,2,4,8,

第左UeN)行为：,则第左行和为4==2上一1，

前左行共有个数,前上行的和为其=2义(1=2*+i—2—左，

对于命题①，第10个1出现在第1+2+3+4+5+6+7+8+9+1=46项，故①正确；

对于命题②，因为55=10x(；0+l),所以数列的前55项的和是SJO=2"-2—10=2036,故②错误；

对于命题③，因为+。4+。5+。6+。7+/=2+1+2+4+1+2=12,是3的倍数，所以存在连续六项

之和是3的倍数，故③正确;

对于命题④，设前〃项由前左行和第左+1行前加(14机〈左+LmeN*)项组成，则n=卜"；"+加.

前九项和为(=1+2"=2h一2—左+2'"-1,若前”项和为2的整数累，则有2+左=2"'—1，即

3+k=2'n.

因为根eN*,左eN*,所以当3+左=2"'=4时，左=1,m=2,"=3<100；

当3+左=2'"=8时，左=5,巾=3,〃=18<100；

当3+k=2'"=16时，=13,m=4,n=95<100；

当3+左=2'"=32时，k=29,m=5,n=440>100；

所以满足前“项之和为2的整数幕，且〃>100的最小整数”的值为440,故④正确.

故答案为：①③④

【点睛】关键点点睛：本题考查分组数列的和以及与不定方程的整数解，对于分组数列的前〃项和的问

题，一般采用计算“大组”和，再计算“小组”和，而不定方程的整数解问题，则需把和式放缩为2的正整数

幕的形式，从而确定和的表达式.

三、解答题(共85分)

16.已知在等差数列｛4｝中，%=3,“9=-5.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若数列｛%｝的前几项和S“，则当九为何值时用取得最大，并求出此最大值.

【答案】(1)4=13-2〃；

(2)〃=6时5”取得最大值为36.

【解析】

【分析】(1)根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式；

(2)写出等差数列前"项和，应用其二次函数性质求最大值和对应机

【小问1详解】

设等差数列｛«„｝的公差为d,则4d=%-%=-5-3=-8,

故d=-2,

所以=%+(〃-5)2=3-2(〃-5)=13-2〃.

【小问2详解】

,rcn(a,+a„)n(ll+13-2n)

由%=n,且S'~~叱=」-----------12n-n22,

"22

所以S〃=—(〃—6y+36,

故〃=6时S”取得最大，最大值为36.

17.已知公差不为。的等差数列｛4｝的前几项和为5“，且邑=20,%吗，。4成等比数列•

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设〃=2%("eN*),求数列出｝的前〃项和人

【答案】⑴4=2九;

【解析】

【分析】(1)设等差数列｛4｝的公差为d,根据题意列出关于内和d的方程组求解即可;

⑵证明｛〃｝是等比数列，根据等比数列前〃项和公式即可求解.

【小问1详解】

设等差数列｛4｝的公差为#0),

•.•54=20,4,。2，。4成等比数列，

4a+6d=20,[a,=2,

<<〃、2(，解得c

(a,+a)=Oy+3a)[d=2,

an=q—=2+(«—1)x2=2n；

小问2详解】

2n

由⑴得，bn=r-=2=4\

.伪=4次b=4"=+i=4

”,4"

・.・｛包｝是首项为4,公比为4的等比数列，

4x0-4"）4x（4"-1）4,!+1-4

：Tn=1-4=-3-='

18.国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把全国重点文物保护单位（下述简称为

“第一批文保单位”）分为六大类.其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“2：石窟寺”、“C古建

筑及历史纪念建筑物”、“。：石刻及其他”、“瓦古遗址”、“凡古墓群”，某旅行机构统计到北京

部分区的17个“第一批文保单位”所在区分布如下表：

行政区门类个数

A：革命遗址及革命纪念建筑物3

东城区

C：古建筑及历史纪念建筑物5

西城区C：古建筑及历史纪念建筑物2

丰台区A：革命遗址及革命纪念建筑物1

海淀区C：古建筑及历史纪念建筑物2

C：古建筑及历史纪念建筑物1

房山区

£：古遗址1

C：古建筑及历史纪念建筑物1

昌平区

F：古墓葬1

（1）某个研学小组随机选择该旅行社统计的北京市17个“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中

的参观单位恰好为“C古建筑及历史纪念建筑物”的概率；

（2）小王同学随机选择该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“4革命遗址及革命纪念建筑

物”中的一个进行参观；小张同学随机选择统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史

纪念建筑物”中的一个进行参观，两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的

概率：

（3）现在拟从该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽

取2个单位进行常规检查.记抽到海淀区的概率为P1,抽不到海淀区的概率为P2，试判断Pl和p2的大小

（直接写出结论）.

【答案】（1）—

17

⑵”

44

⑶A<P2

【解析】

【分析】（1）由题意知总样本数为17,c：古建筑及历史纪念建筑物共有n,利用古典概型概率公式从而

求解.

（2）由题意可知小王参观A革命遗址及革命纪念建筑物与小张参观C:古建筑及历史纪念建筑物在同一个

区的只有东城区，然后分别求出他们参观东城区的概率，从而求解.

（3）利用分类讨论求出抽到海淀区的概率B和抽不到海淀区的概率。2,从而求解.

【小问1详解】

设选中参观单位恰好为“C:古建筑及历史纪念建筑物”为事件C,

由题意知总共有17个，“c：古建筑及历史纪念建筑物”有n,

所以

【小问2详解】

设两人选择的参观单位恰好在同一个区为事件8,由题意可知小王参观A革命遗址及革命纪念建筑物与小

张参观C：古建筑及历史纪念建筑物在同一个区的只有东城区,

35

所以小王参观东城区景区的概率为一，小张参观东城区景区的概率为一,

411

所以。（3）=巳义±=上.

—41144

【小问3详解】

当抽到的2个都是海淀区的概率为2x工=工，

111055

2g1Q

当抽到的2个中有1个是海淀区的概率为一x—x2=—

111055

cr.,,11819,1936

所以口二豆+才有’必=1—

5555

所以Pi<Pi-

19.已知数列｛4｝的前”项和为S“，且满足2S"=3a"-3（〃eN*）.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

（2）设）=log3。",数列他，,｝、的前W项和为I,,求证/1+1区+TL+l—e<2.

【答案】（1）«„=3"（neN*）

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由S“与。”的关系结合等比数列的定义、通项计算即可;

（2）利用等差数列求和公式结合裂项相消法证明不等式即可.

【小问1详解】

由已知[[22S“%==3a3n%-3-3（心2）

n2%=3a“-3a,_i=an=3a,i，

又2S1=3a「3=2/nq=3,即｛4｝是以3为首项和公比的等比数歹U,

即an=qx3"T=3"eN*）；

【小问2详解】

+121_J

由（1）可知仇=iog34="，所以q=---=>—=2

乙/S+\nn+1

2

n+1

20.2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾

四类.生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省

造纸能源消耗.某环保小组调查了北京市某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收

物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如下图：

回收量

(单位：吨)

一一塑料品的回收量

--f—废纸的回收量

(1)从2020年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过

4.0吨的概率；

(2)从2020年7月至12月中随机选取4个月，记X为这几个月中回收废纸再造好纸超过3.0吨的月份个

数.求X的分布列及数学期望；

(3)假设2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为。吨.当。为何值时，自2020年6月至

2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小.(只需写出结论，不需证明)

【答案】(1)-

7

(2)分布列见解析，E(X)=2

(3)4.4

【解析】

【分析】(1)记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A,推出只有8月

份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨，然后求解概率.

(2)X的所有可能取值为1，2,3,利用超几何概率公式求出概率得到分布列，然后求解期望即可.

(3)根据方差的计算公式，结合二次函数的性质即可求解最小值.

【小问1详解】

记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A

由题意，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨

所以尸(A)=」

7

【小问2详解】

因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸

所以7月至12月回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份有：7月、8月、10月，共3个月.

X的所有可能取值为1，2,3.

C：C：31_

P(X=1)=上m=——

c：155

p(X=2)=^C2Lc2=—93

C：155

C：C；31_

P(X=3)=^^=—

C：155

所以X的分布列为:

X012

31

p

555

131

E(X)=1X-+2X-+3X-=2

【小问3详解】

a=4.4,当添加的新数。等于原几个数的平均值时，方差最小.

理由如下：由于2020年6月至2020年12月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量分别为

2.8+3.5+4.9+4.2+4.9+4.9+5.6一

2.8,3.5,4.9,4.2,4.9,4.9,5.6，故其平均数为