河北省五校2025届高三年级上册第一次联合测评数学试题及答案

2024-2025学年上学期高三第一次联合测评

高三数学试卷

本试卷5页满分150分，考试用时120分钟

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答

题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在

试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和

答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

2

A=<xlog2—<2>,B=^x\x-x-2<0^

1.已知[％J,J"&力16=（）

",1]「c1'f

A.《x-lKx〈一>B.<x-2<x<—>CRD.<xx>—>

4j144

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数的单调性、一元二次不等式的解法，结合集合补集和交集的定义进行求解即可.

11/卜。

[详解]由log2—<2nlog2—log2\n

XX\卜14

2

所以A=<xlog?L<2>=<xx>—>,B=[x\x-x-2<0}={%|-1<%<2},

、xJI4j（

所以=<x—>,

故选：A

2.已知数列{%},4—2,且4+1=]（〃21），则%024=（）

V-an

A.-1B.2D.

2

【答案】A

【解析】

【分析】根据递推公式，可得数列｛即｝是周期为3的数列，从而可解.

1/，、

【详解】根据题意，4+i=^——

1一4

1———

111—4+1

贝U4+3=；=1

1-4+21_____L-4+1

1一q+11—a”

所以数列｛&J是周期为3的数列，

则〃2024=^3x674+2=%=1~2=

故选：A

3.已知向量a=（4,3,—2）,/?=（2,1,1）,则Q在向量b上的投影向量为（）

333333

A.B.C.D.（4,2,2）

4,2,2

【答案】A

【解析】

【分析】根据投影向量公式计算可得答案.

【详解】向量a在向量匕上的投影向量为

rrr、ba-b{4X2+3X1-1-（2,1,1）=|（2,1,1）=3,33）

a\-cos（a,b）--^7=r、•b252J-

bId-

故选：A.

1124

4.已知.aa—7,«e（O,7i）,则cos2a=（

sincos——

22

17177979

A.——B.C.----D.

8181128128

【答案】B

【解析】

【分析】先对式子进行化简求出sina,再根据二倍角公式即可求解.

1124

••-----------P

【详解】•.aa7,

sincos——

22

a.a

cos——I-sin

即——工224

.aa7

sin——cos——

22

a.a

cos—+sin—c/

r??24

即1.1

—sincr

2

/、2

a.a\

cos—+sm—2

12

即22

sin。

7

Qn1+sina144

即---z-=——

sin2a49

BP144sin2tz-49sina-49=0>

即（16sina+7）（9sina-7）=0,

又.«e（0,7i）,

77

解得：sin«=-,sina=----（舍）,

916

17

cos2«=l-2sin2a=l-2x

81

故选：B.

5.据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算

筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.即在算筹计数法中,

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推.例如，”表示62,=1表

示26,现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0）,则这个两位数不小于50

的概率为（）

纵式:iiiiiiiiiiiiTnii

横式：——=1Xi=

123456789

1123

A.-B.-C.一D.-

3235

【答案】B

【解析】

【分析】根据6根算筹，分为五类情况：5+1,4+2,3+3,2+4,1+5,逐一分类求解满足要求的两位数,

即可求解概率.

【详解】根据题意可知：一共6根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为5+1,4+2,3+3,2+4,1+5—

共五类情况;

第一类：5+1,即十位用5根算筹,个位用1根算筹，那十位可能是5或者9,个位为1,则两位数为51

或者91；

第二类：4+2,即十位用4根算筹,个位用2根算筹，那十位可能是4或者8,个位可能为2或者6,故

两位数可能42,46,82,86；

第三类：3+3,即十位用3根算筹,个位用3根算筹，那么十位可能是3或者7,个位可能为3或者7,

故两位数可能是33,37,73,77；

第四类：2+4,即十位用2根算筹,个位用4根算筹，那么十位为2或6,个位可能为4或者8,则该两

位数为24或者28或者64或者68,

第五类：1+5,即十位用1根算筹,个位用5根算筹，那十位是1,个位为5或者9,则两位数为15或者

19；

综上可知：用6根算筹组成的满足题意的所有的两位数有：15,19,24,28,33,37,42,46,51,64,

68,73,77,82,86,91共计16个，则不小于50的有：51,64,68,73,77,82,86,91共计8个,

Q1

故概率为--二一

162

故选：B.

12

6.若log4X+log4y=2,则一+一的最小值为（）

xy

A.我11

B.-D.-

2842

【答案】A

【解析】

122

【分析】首先过呢据条件化简得到孙=16,法一，根据基本不等式—22、一，即可求解；法二，

xyyxy

12y2

根据条件等式，变形得一+—=%+一,再利用基本不等式，即可求解.

xyIoy

【详解】log4x+log4y=2,x>0,y>0,log4(xy)=2,xy=16,

法一：/+2"因=2日=也,当且仅当工=2时，上式等号成立，

xyyxyV162xy

又移=16,可得x=20,y=40时，工+工的最小值为也.

%y2

故选：A.

法二：.•.工+2=工+2»也，当且仅当高=2时，上式等号成立，

xyy216y

又移=16,可得x=20,y=4应时，工+工的最小值为色.

'xy2

故选：A.

7.已知抛物线必=4>,P为直线y=-l上一点，过尸作抛物线的两条切线，切点分别为A3,则R4.P3

的值为()

A.0B.1C.-2D.-1

【答案】A

【解析】

【分析】设4%,?),3(々,?)，利用导数的几何意义可得直线与直线PB的方程，进而得到点尸的坐

标，结合点P在直线y=-1上，得浩=-1,即%4=-4,根据数量积的坐标运算化简丛.依后即可得

4

解.

【详解】设4和1),3(々,])，由尸；必求导得/=gx,

22

则直线E4方程为y=](x—%)+于，即y=—于，

.2

同理可得直线尸3的方程为y=,

联立直线始与直线网的方程可得P(号，竽,

由点尸在直线尸1上，得竽——

故选：A.

4/、

8.已知函数/(x)=x+—+31n%在xe(a,2—3a)内有最小值点，则实数。的取值范围是()

X

A.a>1B.—<a<1

3

C.0Va<—D.0<a<—

32

【答案】C

【解析】

【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间,从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式

组，求解即可.

4

【详解】函数/(x)=x+—+31nx的定义域为(0,+co),

x

.\!43x+3x—4(x+4)(x-l)

r(x)=i-—+-=——.

XXX

令/'(x)=0,可得x=l或x=-4(舍),

当0<%<1时，f(x)<0,当1>1时，f'(x)>0,

所以/(X)在(0,1)上单调递减，在(L+S)上单调递增,

所以/(X)在X=1处取得极小值，即最小值,

又因为函/(X)在xe(a,2—3a)内有最小值，故04。<1<2—3。，解得0<a<g,

所以。的取值范围是［0,；).

故选：C.

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.已知复数z满足zi=后-1，则下列说法正确的是()

A.z的虚部为i

B.|z-2i|=|z|

C.若复数Z-Z2满足㈤=闫=0,且Z1—Z2=Z,则|Z1+Z21=2月

D,若复数Z3满足|z-Z3|<8,则Z3在复平面内对应的点构成图形的面积为2兀

【答案】BD

【解析】

【分析】由复数的计算先化简出复数Z的值，判断A选项；利用模长公式计算出对应复数的模长，判断BC

选项；复数模长的几何意义点到点的距离，从而得出|z-Z3归0表示一个圆，计算出圆的面积判断D选项.

【详解】2=在士=6+i，虚部1,选项A不正确；

i

|z—=—i|=2,忖=|』+i|=2,.,.选项B正确；

Z［=z,贝！J,—z21=忖=2,设4=%+W，Z1=&+d'［，?也也eR,

则B+Z2I+|zj-Z2|=(。1+。2)+(4+，2)+(%—。2)+(4—a)=2(|zJ+|z2|j,

.小+Z21=2,选项C错误;

•.1Z-Z3|WJ5,Z3在复平面内对应的点是以Z在复平面内对应的点为圆心，半径厂=、反的圆，

Z3在复平面内对应的点构成图形的面积为2兀，选项D正确.

故选：BD

10.设“X),g(x)都是定义在R上的奇函数，且“可为单调函数，/(1)>1,若对任意xeR有

/(g(x)-x)=a(a为常数)，g(/(x+2))+g(/(x))=2x+2,则()

A.g⑵=0B."3)<3

C.—x为周期函数D.£/(4左)=2〃(〃+l)

k=\

【答案】BCD

【解析】

【分析】运用奇函数的性质，结合赋值法得到g(2)=0,判断A；运用赋值，结合/⑴>1,得到〃3)<3

判断B；设〃(x)=/(x)—x,由己知推得/z(x+4)=/z(x)即从尤)为周期函数，判断C；根据题意推得

｛/(44)｝为等差数列，再根据等差数列性质求和即可判断D.

【详解】对于A,在/'(g(x)—x)=a中，且〃x),g(x),都是定义在R上的奇函数，

令x=0得a=/(g(0))=/(0)=0,贝i|/(g(x)—%)=0,又/(九)为单调函数，则有g(x)—x=0,

即g(尤)=x,所以/(x+2)+/(x)=2x+2,所以g(2)=2,所以A错误；

对于B,由/(3)+/。)=4,且/⑴>1得/(3)=4—/。)<3,所以B正确；

对于C,设/z(x)=〃x)-x,则由〃x+2)+〃x)=2x+2,

可得/z(x+2)+/z(x)=0,所以/z(x+4)+〃(x+2)=0,所以/z(x+4)=〃(x),

即/z(x)=/(x)-x为周期函数，所以C正确；

对于D,由/z(%+4)=/z(x),得/(x+4)-x-4=/(x)-x,

即〃％+4)-〃%)=4,所以｛"4后)｝为等差数列，且〃4)_〃0)=4,即/(4)=4,

故/(4左)=4+4(左一1)=4左，从而乞/(4左)=4x—----=2n2+In=In(n+1).

k=l2

所以D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点睛：求解£“44)=2〃(〃+1)的关键是由Mx+4)=/z(x)得/(x+4)—/(x)=4,进

k=T

而得到/(4左)是首项/(4)和公差均为4的等差数列从而再利用等差数列的前〃项和公式即可计算得解.

11.在棱长为1的正方体A3C0—4片£2中，尸为棱8月上一点，且B/=2PB,。为正方形5与

内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是()

A.若RQ〃平面APD,则动点。的轨迹是一条长为冥2的线段

3

B.存在点Q,使得2。，平面4尸。

c.三棱锥Q-4阳的最大体积为得

D.若以。=亚，且2。与平面4尸。所成的角为。，则sin。的最大值为身

233

【答案】ACD

【解析】

【分析】在4G,CC]取点E,F,使得C[E=2B[E，GF=2CF,证得平面DEF//平面4PD,进而得

到AQ//平面4尸。，可判定A正确；以A为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向

量加=(3,-2,3)，根据〃。=几根，得出矛盾，可判定B不正确；利用向量的数量积的运算及三角形的面

积公式，求得54尸0=芳,在求得点。到平面的最大距离dmax=]无，结合体积公式，可判定C

正确；根据题意，求得点点。的轨迹，结合线面角的公式，求得时，取得最大值，进而可判定

D正确.

【详解】对于A中，如图所示，分别在4G，CC]取点及/，使得ClE=2BlE,ClF=2CF,

可得EF//B]C,因为4。//用。，所以£尸//4。，

因为ADu平面APO,石尸.平面AP。，所以跳V/平面AP。，

又由AF//AP,且A]Pu平面APD,平面AP。，所以。3//平面APD，

又因为=且E£D|Fu平面DE尸，所以平面。£尸//平面，

且平面DEFc平面BCQBi=EF,

若〃。//平面4P。，则动点。的轨迹为线段石尸，且EF=也,所以A正确；

3

对于B中，以A为原点，以。14,2£，2。所在的直线分别为苍y*轴，

建立空间直角坐标系，如图所示,

22

可得A(1,O,。),0(。,0,1),P(1,1,-)，则A。=(-10,1),A.P=(0,1,-),

设。(％1,z)(0<X<1,O<Z<1),可得〃Q=(x,l,z),

m-A。=-a+c=0

设m=(〃,z?,c)是平面a?。的一个法向量，贝卜2，

m.AP-b+—c=0

取。=3,可得z=3,Z?=-2,所以根=(3,—2,3),

若。。，平面4尸。，则RQ〃相，所以存在丸eR,使得RQ=ybn,

3

则％=z=—耳e[0,1],所以不存在点。，使得2Q，平面A?。，所以B错误；

对于C中，由A0=(—1,O,1)，AP=(O，1，|)，可得|M=&，|M|=W，ApaP=g，

2/oo

则。0$4。，4尸二乙=，所以sinAD，AP="，

，26V26

所以s4PO=-AID-AIPsinZDAiP=-xy/2x—x^=—,

2]23V266

要使得三棱锥Q-4尸。的体积最大，只需点。到平面4尸。的距离最大，

仄。•加|1

由AQ=(X—u,z),可得点。到平面4尸。的距离d=^^^=」|3(%+2)—5|，

\m\V2211

75

因为O«XK1,O<Z<1,所以当4+Z=0时，即点。与点4重合时，可得4nax=『，

722

所以三棱锥。一4尸。的最大体积为4如・盘='叵・二=9，所以c正确；

3"叵36应18

对于D中，在正方体中，可得2G，平面BCG4,且£Qu平面BCGg,

所以£>C1，CXQ,则GQ=5。—℃2=与,

所以点。的轨迹是以G为圆心，以日为半径的圆弧，其圆心角为:，

则G0=(x,0,z),所以，4==与,即x2+d=g,

又由AQ=(x,i,z),设2。与平面4尸。所成的角，,

/一\\mDxQ|3(x+z)-2|A/2|3(X+Z)-2|

所以sin。=cos(私=^-|----

'/HAGV22-7%2+1+Z2722x73

因为f+z2=g,可得(X+Z)2<2(X2+Z2),当且仅当x=z时，等号成立,

所以x+zWl,即x=z=；时，2。与平面AP。所成的角最大值，

sin。的最大值为右方=在D正确.

故选：ACD

【点睛】方法点睛：求解立体几何中的动态问题与存在性问题的策略：

1、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动

点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；

2、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、

性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；

3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有

解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在，同时，用已知向量来表示未知

向量，一定要结合图形，以图形为指导思想是解答此类问题的关键.

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

5

12.若(3x—I)，=4++<J2X~+,•,+c?5%,则％+2a、+3a3+4a4+5a5—.

【答案】240

【解析】

【分析】先对二项式两边求导数，然后利用赋值法可求结果.

2345

【详解】设“X)=a0+a^x+a2x+a3x+a4x+a5x，

234

则/'(x)=5(3x-1)4x3=%+2a2x+3a3x+4^4x+5a5x.

令x=l得：q+22+3/+4%+5%=5x24x3=240.

故答案为：240

22

13.已知点P是双曲线C：^—l(a>0,b>0)左支上一点耳，鸟是双曲线的左、右两个焦点，且

「耳，尸£,「鸟与两条渐近线相交于两点(如图)，点N恰好平分线段PB，则双曲线的离心率是

【答案】75

【解析】

【分析】利用三角形中位线定理、锐角三角函数的正弦与余弦的定义，结合已知，可以求出。力的双曲，进

而求得双曲线的离心率.

【详解】因为N是P外中点，即QV是..尸耳工的中位线，

b

则tan/PF]F?=tanZNOF=-,

2a

ha

可得sinNP^B二—，cosNP£B=—,

cc

又因为|耳司=2c,则附=2a,附|=»,关系

则归闾-卢凡=2b—2a—2a=>b—2a,

所以双曲线的离心率是e=9=+=6

故答案为：y/5.

14.若函数/(1)=sin6x+cos6x+^^sin4x-机在[。,会上有两个零点，则m的取值范围是.

【答案】—)

【解析】

【分析】利用三角恒等变换化简函数，再结合正弦型函数图象性质求出m的范围.

【详解】令函数g(x)=sin6x+cos6x+—sin4x=(sin2x+cos2x)3-3sin2xcos2x(sin2x+cos2x)

8

V3一

H---sin4x

8

26.4[3.2cA/3..13l-cos4xA/3..

=1-3smxcosx-\---sm4x=1——sm2xd-----sm4x=1--------------1----sm4x

848428

.71.7Cr7C4jt

由九£[0,：]，4x+—G[—,——],

4333

当+即xe［0,刍］时，函数g(x)单调递增，函数值从1增大到山@,

332248

当4x+工e［工出］,BPxe［—函数g(x)单调递减，函数值从土迪减小到。，

32324484

7T

由/(x)=0,得g(x)=〃z,函数/(X)有两个零点，即直线y=m与函数y=g(x)在［0,—］上的图象有两

4

个交点，

则百,所以加的取值范围是工9±|，1).

故答案为：［1,5+2^)

8

【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的最值问题，根据给定的自变量取值区间求出相位

的范围，再利用正(余)函数性质求解即得.

15.数列｛。“｝满足：q=l,a“+i=2a〃+l；设6“=。”+1

(1)证明｛%｝是等比数列，并求｛4｝的通项公式；

(2)求｛。“｝的前〃项和S“.

【答案】(1)证明见解析，a„=2n-l

,+l

(2)Sn=2'-n-2

【解析】

【分析】(1)由已知可得%+i+l=2(4+l),即2M=22，结合等比数列定义即可证明结论，利用等比数

列的通项公式即可求得答案；

(2)利用等比数列前〃项和公式，即可求得答案.

【小问1详解】

由题意知q+i=2%+1,则a.+1=2(4+1),

即bn+l=2bn,又q=1,则4=q+1=2,

故｛%｝是首项为2,公比为2的等比数列，

故2=2",即册+1=2",:.%=2"-1；

【小问2详解】

由于故S=2+22++2"-n=2^-2-n=2n+1-n-2-

n1-2

16.2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开

始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行

调查，得到如下列联表：

周平均锻炼时长

年龄合计

周平均锻炼时间少于4小时周平均锻炼时间不少于4小时

50岁以下4060100

50岁以上(含50)2575100

合计65135200

(1)试根据。=0.05的％2独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？(力2精确到0.001)；

(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访

谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为X,求

X的分布列和数学期望.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

n{ad-bcf

参考公式及数据：%2=，其中“=a+〃+c+d.

(a+》)(c+d)(a+c)0+d)

9

【答案】（1）有关联（2）分布列见解析，-

【解析】

【分析】（1）根据二联表中数据，求解卡方，即可与临界值比较作答,

（2）根据抽样比可得抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有2人，不少于4小时的有3人，即可

利用超几何分布的概率公式求解.

【小问1详解】

零假设8°：周平均锻炼时长与年龄无关联.

由”列联表中的数据，可得力、端篙篇誓。5.128,

2

/.xx5.128>x005=3.841.

根据小概率值。=0.05的独立性检验，我们推断不成立,

即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.

所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异.

【小问2详解】

抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有5义他=2人，不少于4小时的有5x%=3人,

100100

所以X所有可能的取值为1,2,3,

所以尸(x=l)=罟尸§(X=2)=C罟2cl=|3,尸(X=3)=罟c3C°/1

所以随机变量X的分布列为:

X123

331

P

10510

XA23X19

随机变量X的数学期望E(x)=l+2X+

105105

17.如图，在四棱锥P—A5CD中，上4,平面尸3与底面A3CD所成角为45。，四边形

ABCD是梯形，AD_LAB,BC//AD,AD=2,PA=BC=1.

(1)证明：平面K4CL平面尸CD；

(2)若点T是CD的中点，点M是PT的中点，求点尸到平面的距离.

(3)点T是线段CD上的动点，PT上是否存在一点M,使平面若存在，求出M点坐标,

若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明过程见解析

e3屈

13

【解析】

【分析】(1)先证明B4LCD,继而证明OCLAC,即可证明DC，平面上4C,从而根据面面垂直的

判定定理证明结论；

(2)建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面ABAf的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求

得答案.

(3)设AT=XAC+(1—X)A£),PM=/LIPT,进而表示出PT=(42—4―1),

A3=(l,0,0),AM=(M，24—©,1—〃)，由题意列出关于几,〃方程组求解即可.

【小问1详解】

由上4_1_平面ABCD，A3u平面ABCD，CDu平面ABCD,

得PA±CD,PB与底面ABCD所成角ZPBA=45°.

所以三角形Q45为等腰直角三角形，AB=AP=1.

又由四边形ABCD是直角梯形，BC//AD,可知

所以VA3C为等腰直角三角形，而3C=1,故AC=0.

在直角梯形ABC。中，过C作CELAO,垂足为E,则四边形ABCE为正方形，

可知AE=3C=CE=1.

所以DE=1，在等腰直角三角形COE中，CD=V2.

则有=2+2=4=47)2,所以OC，AC.

又因为K4LOC,PAAC=A,E4u平面0AC，ACu平面。AC.

所以。C,平面B4c.因为OCu平面PCD,所以平面E4CL平面PCD.

【小问2详解】

以A为坐标原点，分别以AB,ARAP所在的直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则4(0,0,0),P(0,0,l),5(1,0,0),£>(0,2,0),C(l,l,0).

因为T是。的中点，点〃是PT的中点，所以T—。，明―

设平面ABM的法向量为〃=(%,%z),A3=(1,0,0),AM=

%=0

n-AB-0

则J，得3131c

n-AM=0-x+-y+-z=0

11442

取y=4,则z=—6，得平面ABM的一个法向量为〃=(O,4,—6),

IAP-ZZI663岳

而AP=(0,0,l)，所以点P到平面ABM的距离为

\n\J16+36-2后一13

【小问3详解】

设AT=2AC+(1-2)AD=(A,2,0)+(0,2-22,0)=(2,2-2,0),注意到4(0,0,0),

所以T(42—40),

所以PT=(42—4-L),

设PM=fjPT="(彳,2—X,—1)=(〃彳,2〃一^^,一〃)，注意到P(0,0,1),

所以Af(M，2〃-，

因为4(0,0,0),B(l,0,0),所以AB=(l,0,0),AM=(〃42〃一一4),

若PT,平面ABM，

PTAB=A=0卜=0

则当且仅当《一.,,即当且仅当＜1,

PT-AM=juA2+jU(2-Ay+ju-l=0=g

此时M,河，

综上所述，当且仅当『0重合，此时存在■!，[],使PT,平面5W.

PTAB=0

【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于知道若平面ABW,则当且仅当《.，从而只需

PTAM=0

引入两个参数，分别表示出PT,AB,AAf,由此即可顺利得解.

18.己知椭圆C：1+/=l(a〉6〉0)的右焦点为b(1,0),离心率为弓，直线/经过点斤，且与。相交

于A,B两点、,记/的倾斜角为

(1)求C的方程；

(2)求弦AB的长(用a表示)；

7T

(3)若直线"N也经过点尸，且倾斜角比/的倾斜角大一，求四边形4WBN面积的最小值.

4

【答案】(1)土+/=1

2•

(2)答案见解析(3)

3

【解析】

【分析】(1)根据条件，直接求出即可求解;

⑵分a和aw],当a=|■时，直接求出|4国=拒，当时，设出直线/的方程为

y=k(x-1),联立椭圆方程，利用弦长公式，即可求解;

TTTTTT

(3)根据题设，先求出a=—和a=—时，四边形的面积，再求出—时,

244

2V2[tan2(cr+-)+l]

\MN\=-------------4——,从而得出

l+2tan2(cr+^)

2V2[tan2(cr+-)+l]

1jr_V|2技ta/a+l)

S=^\MN\-\AB\sin-=x------------------4——，再通过化简，得到

4l+2tan2a

1+2tan2(cr+~)

872

S=,令y=(3-cos2<z)(3+sin2a),通过求出V的最大值，即可解决问题.

(3-cos2a)(3+sin2①

【小问1详解】

由题知C=l,又£=正，得至1」。=后，所以/=°2一°2=2-1=1,

a2

2

故椭圆c的方程为L+V=1.

2-

【小问2详解】

设4(七,%),3(々,当)，因为直线/经过点尸，且倾斜角为a,

X_2_1厂

7T+y

当仪=—时，直线/：%=1,由1~2,解得x=l,y=±—,止匕时=

2x=l2

7T

当aw—,设直线/的方程为丁=左(％—1),其中左二tana,

2

y=k(x-l)

由<尤2.,消y得到(1+2产)/一4女2%+2左2—2=0,

—+y2=l

12'

又△=16左4—4(1+2左2)(2左2—2)=8比2+8,所以

《8(1+/)_2亚(E+1)即

2\AB\=2@tan2a+l)

IAB|=y/l+k|%2—无11=J1+t2X

1+2421+2公1+2tan2cif

综上，当&=二时，邳=J5；当aw4时，剧=冥辿乌山.

211211l+2tan2a

【小问3详解】

直线MN也经过点尸，且倾斜角比/的倾斜角大三，所以ce0,孚］,

4_4)

2亚tai?：+1)

472

当&=?时，易知|肱珏=夜，|AB|=----，此时四边形AMBN面积为

l+2tan2—3

4

s=M阴叫小后手条孚

当0工色时，可设MN:y=左i(x-l),其中匕=tan(a+二),

4-4

2V2[tan2(«+-)+l]

同理可得\MN\=--------------——,

l+2tan2(cr+^)

2亚tan?T+