2024-2025学年人教版高中数学复习讲义：正态分布

第08讲7.5正态分布

学习目标

课程标准学习目标

①通过误差模型初步了解服从正态分布

的随机变量的特点。

②并能通过具体的实例，借助频率直方图的通过本节课的学习，要求在了解正态分布的含义基础

几何直观性，了解正态分布的特征，了解正上，能解决与正态分布相关的问题，根据正态密度曲线

态密度函数的性质。的对称性，增减性，求特定区间的概率，相应的参数及

③了解正态分布的均值、方差及含义。解决简单的正态分布的应用问题。

④了解35原则，能通过具体的实例求会求

指定区间的概率，以及解决简单的正态分布

问题

思维导图

知识点1：正态曲线

（1）连续型随机变量

除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚

至整个实轴，但取一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续型随机变量.

(2)正态的曲线的定义

函数/(")=篇二安，其中〃eR,a>。为参数.

显然对于任意XCR,/(%)>0,它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1,我们

称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.

①函数的自变量为X,定义域为R

②解析式中含有两个常数兀和e,这两个是无理数，其中兀为圆周率，e为自然对数的底数

③解析式中含两个参数4和6其中4可取任意实数，。>0,不同的正态曲线4和。的取值是不同的.

④解析式的前面是一个系数会,后面是一个以e为底的指数函数的形式,指数为-与警，其中

。这个参数在解析式中的两个位置出现，注意保持一致.

(3)正态曲线的几何意义

由正态曲线，过点(a,0)和点(6,0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形(图中阴影部分)

的面积，就是X落在区间［a,切的概率的近似值.

(4)正态曲线的特点

①曲线位于％轴上方，与久轴不相交;

②曲线是单峰的，它关于直线久=〃对称；

③曲线在X=〃时达到峰值岛；

④当X<〃时，曲线上升；当久>〃时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以久轴

为渐近线，向它无限靠近.

⑤曲线与X轴之间的面积为1；

⑥4决定曲线的位置和对称性；

当。一定时，曲线的对称轴位置由〃确定；如下图所示，曲线随着〃的变化而沿x轴平移。

⑦。确定曲线的形状;

当〃一定时，曲线的形状由。确定。。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；。越大，曲线越“矮胖”，

表示总体的分布越分散。

知识点2：正态分布

(1)正态分布

若随机变量X的概率密度函数为/(乃=1篇e-与岁，(久6R,其中。>0为参数)，称随机变量X服从

正态分布，记为X〜N(4,o2).

【即学即练1】(2024•全国•高三专题练习)设随机变量X〜N(4,d),若P(X>HI)=0.8,则P(X>8—爪)等

于()

A.0.2B.0.7C.0.8D.0.9

【答案】A

【详解】由题意知，正态曲线的对称轴为％=4,血与8—m关于x=4对称，

所以P(X<8-m)=P(X>m)=0.8.

所以P(X>8—m)=1-0.8=0.2.

故选：A.

(2)标准正态分布

若随机变量X〜N(〃R2),则当〃=0,c=1时，称随机变量X服从标准正态分布，标准正态分布的密度函数

解析式为f(乃=意e4,x€R,其相应的密度曲线称为标准正态曲线.

【即学即练2](2024上•江西上饶•高二江西省广丰中学校考期末)阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.

若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时¥都服从正态分布,其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是()

x的密度/八丫的密度

26303438x

A.y的数据较x更集中

IB.若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大

C.若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大

D.P(X>30)+P(y<30)=1

【答案】D

【详解】观察图象知，X〜N(30届),bN(34,遐),

对于A,y的密度曲线瘦高、x的密度曲线矮胖，即随机变量y的标准差小于x的标准差，即q〉©，

因此y的数据较X更集中，A正确；

对于B,显然P(XW34)>3=P(YW34),则当有34min可用时，坐公交车不迟到的概率大，B正确；

对于C,显然P(XW38)<P(YW38),则当有38min可用时，骑自行车不迟到的概率大，C正确；

对于D,显然P(X>30)=±30)<P(y<34)=5因此P(X>30)+P(yw30)<1,D错误.

故选：D

知识点3：正态分布的3。原则：正态分布在三个特殊区间的概率值

假设X〜N(〃，(72),可以证明：对给定的keN*,P(〃—ko<X<n+ku)是

一个只与k有关的定值.

特别地，P(4一(JWXW〃+。)a0.6827,

-2cr<X<M+2<r)«0,9545,________一

-68.27%

95.45%

99.73%

P(M-3cr<X<M+3<r)«0,9973.

上述结果可用右图表示.

此看到，尽管正态变量的取值范围是(-8,+8),但在一次试验中，X的值几乎总是落在区间口-36〃+

3司内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生.

在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量x只取+35中的值，这在统计学中

称为3o■原则.

【即学即练3］(2024上•辽宁辽阳•高二统考期末)某市高三年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态

分布N(171/6),现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于［171,179)内的概率(结果保留三位有效

数字)是()参考数据：P(4-aWXW〃+=0.683,-2(7<X<M+2d)«0.954,-3<r<

X<4+30=0.997.

A.0.477B.0.478C.0.479D.0.480

【答案】A

【详解】由题意可知，4=171,<7=4,

所以］(1714X<179)=尸(〃MX<M+2CT)20.954+2=0477.

故选：A

题型精讲

题型01正态密度函数

【典例1】(2024•全国,高三专题练习)"杂交水稻之父"袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，

发明了“三系法”釉型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安

全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高

(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为/(x)=焉e-■比，XGR,则下列说法埼误的是()

A.该地水稻的平均株高为100cm

B.该地水稻株高的方差为100

C.随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小

D.随机测量一株水稻，其株高在(90,100)和在(100,11。)(单位：cm)的概率一样大

【答案】C

【详解】依题意〃=100,。=10,

所以平均数为100cm，方差为。2=100,所以AB选项正确.

依题意P(X>100+20)=P(X<100-20),P(X>120)=P(X<80),

而P(X<80)>P(X<70),即P(X>120)>P(X<70),所以C选项错误.

P(100-10<X<100)=P(100<X<100+10),P(90<X<100)=P(100<X<110),所以D选项正

确.

故选：C

【典例2】(2024•全国•高二假期作业)某市组织了一次高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分

布，其密度函数/(X)=—Zoo'XG(—8,+8),则下列命题不正确的是

A.该市这次考试的数学平均成绩为80分

B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同

C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同

D.该市这次考试的数学成绩标准差为10

【答案】B

【详解】•••密度函数/(%)小呼

二该市这次考试的数学平均成绩为80分

该市这次考试的数学标准差为10,

从图形上看，它关于直线久=80对称，

且50与110也关于直线x=80对称，

故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同.

故选B.

【典例3】(2024•全国•高三专题练习)如图，若一个随机变量X服从某正态分布X〜NO，/),且已知函数

e-M的图象及部分重要点的坐标如图，则该组随机变量的数学期望E(X)=________________，方

八'O-V27T

差D(X)=.

【详解】由图可知，当x=5时，*幻=3e-■■有最大值为亘，

八’。物F27r

所以〃=5«=1,

所以X〜N(5,l),所以E(X)=〃=5,D(X)=°2=L

故答案为：5;1.

(X-/Z;)2

【变式1](2024•全国•高二假期作业)已知三个正态分布密度函数“无)=，)二厂067?"=1,2,3)的

图象如图所示，则下列结论正确的是()

A.41=42>“3，0=>。3

B.41<42=〃3，=0〈方

C.41<42=43，q=。2>©3

D.Ml=林2>林3，<。3

【答案】B

【详解】根据正态分布密度函数中参数出。的意义，

结合图象可知上(%),人(X)对称轴位置相同，所以可得“2=”3；

且都在式(久)的右侧,即列<fi2=出，

比较/!(")和心0)图像可得，其形状相同，即01=。2，

又启0)的离散程度比内0)和左0)大，所以可得名=外<的；

故选：B

【变式2】(多选)(2024•全国,高三专题练习)18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服

从二项分布8(九,p)，那么当〃比较大时，可视为X服从正态分布N(〃,。2)，其密度函数0“(%)=盍屋与警，

xER.任意正态分布X〜B(〃,02),可通过变换Z=转化为标准正态分布(〃=0且。=1).当Z〜N(0,l)

时，对任意实数》,记t(x)=P(Z<%),则()

A.t(—%)=1—t(x)

B.当x>0时，P(Z<x)=1—2t(x)

C.随机变量X〜NQ,/),当〃减小，。增大时，概率p(|x—〃|<。)保持不变

D.随机变量X〜N(4,M),当〃，。都增大时，概率P(|X—屈<。)单调增大

【答案】AC

【详解】对于A,根据正态曲线的对称性可得：t(-x)=P(Z<-x)=P(Z2x)=1-P(Z<x)=1-t(x),

故A正确；

对于B,当x>0时，t(x)=P(Z<%),故B错误；

对于C,D,根据正态分布的3c准则，在正态分布中。代表标准差，4代表均值，

%=〃即为图象的对称轴，根据3。原则可知X数值分布在(〃-6〃+。)中的概率为0.6826,是常数,

故由P(|X—〃|<。)=—。<X<〃+o)可知，C正确，D错误，

故选：AC

【变式3](多选)(2024•全国•高三专题练习)已知某批零件的长度误差X服从正态分布N(〃《2),其密度

(附：若随机变量f服从正态分布N(〃,02),则尸=0.6826,P(〃—2oVfV〃+20)=

0.9544,P(〃-3°Vf<〃+3(7)=0.9974.)

A.CT=3

B.长度误差落在(-3,3)内的概率为0.6826

C.长度误差落在(3,6)内的概率为0.1359

D.长度误差落在(3,9)内的概率为0.1599

【答案】ABC

【详解】由图中密度函数解析式，可得。=3,A选项正确；

又由图像可知〃=0,

则长度误差落在(-3,3)内的概率为

P(-3<X<3)=P(〃-(r<X<〃+(i)=0.6826,B选项正确；

长度误差落在(3,6)内的概率为

11

P(3<X<6)=£[P(—6<X<6)—P(—3<X<3)]=—2cr<X<〃+2cr)—尸(〃—cr<X<〃+cr)]

=|(0.9544-0.6826)=0.1359,C选项正确；

长度误差落在(3,9)内的概率为

P(3<X<9)=[[P(—9<X<9)—P(—3<X<3)]=|[P(〃-3cr<X<〃+3(r)—P(〃一0<X<〃+

a)]=I-1(0.9974-0.6826)=0.1574,D选项错误；

故选：ABC.

题型02概率分布曲线的认识

【典例1】(2024•全国•高二假期作业)设随机变量f服从正态分布，f的分布密度曲线如图所示，若P(f<0)=

p,则P(0<§<1)与。C)分别为()

_111

c-L7D.p，z

【详解】根据题意，且P（f<O）=p,贝UP（O<f<1）=空=3-p,

由正态曲线得f〜N（1，C）2）,所以£）&）=©）2=%

故选：C.

(%一脱)

【典例2】（2024•全国•高二假期作业）已知三个正态密度函数化（乃~^—e2ai(%e/?,i=1,2,3)的

N271(71

图像如图所示，则（）

A.=〃3>42，>。3B.V〃2=〃3，V。2<

C.=〃3>〃2，=。2<。3D.V〃2=〃3，=。2V。3

【答案】C

【详解】由题图中y=夕式%）的对称轴知:〃1=〃3>〃2,

y=%（%）与y=92（%）（一样）瘦高，而y=03（%）胖矮，

所以可=tr2<a3.

故选：C

【典例3］（2023下•高二课时练习）甲、乙两类水果的质量（单位:kg）分别服从正态分布N（〃LM）,N（〃2,苏），

其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（）

（注：正态曲线的函数解析式为/（X）=嵩e-喑，XER）

A.甲类水果的平均质量4=0.4kg

B.乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右

C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大

D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数©=1.99

【答案】A

【详解】由题图可知甲图象关于直线x=0.4对称，乙图象关于直线x=0.8对称，

所以%=0.4,[12-0.8,故A正确，C错误；

因为甲图象比乙图象更"高瘦"(曲线越"高瘦"，。越小，表示总体的分布越集中)，

所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误；

1

因为乙图象的最高点为(0.8,1.99),即南瓦=199,所以。2#199,故D错误.

故选：A.

【变式1](2024•全国•高三专题练习)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车

和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时丫都服从正态分布，

x〜N(%,62),y〜N(〃2,22).X和y的分布密度曲线如图所示.则下列结果正确的是()

A.D(X)=6B.M

C.P(X<38)<P(Y<38)D.P(X<34)<P(Y<34)

【答案】C

【详解】对于A中，随机变量X服从正态分布，且X〜N(〃I，62),

可得随机变量X的方差为M=62,即D(X)=36,所以A错误；

对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量%=30,%=34,

所以生<〃2，所以B错误；

对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得X<38时，随机变量X对应的曲线与x围成的面积小于y<38时

随机变量y对应的曲线与％围成的面积，

所以P(X<38)<P(Y<38),所以C正确；

对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得P(XW34)>点P(Y<34)=

即P(X<34)>P(Y<34),所以D错误.

故选：C.

【变式2](2024•全国•高二假期作业)设X〜N(%4/),丫〜N(〃2,域)，这两个正态分布密度曲线如图所示，

下列结论中正确的是()

A.〃i>〃2B.>a2

C-P（Y>/z2）>P（Y>Mi）D.P（XW的）2P（XW的）

【答案】D

【详解】因为X~N（〃1，珑），丫〜N（〃2,冠）,两曲线分别关于X=〃1，X=〃2对称，

所以由图可知，41<的，所以A错误，

因为X的分布曲线"高瘦”，Y的分布曲线"矮胖"，

所以/，所以B错误，

所以p（y>M2）<P（Y>MJ-P（X<%）>P（X<MI）>

所以C错误，D正确，

故选：D

【变式3］（多选）（2023上•全国•高三专题练习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件

的尺寸分别记为X,Y,已知X,丫均服从正态分布，X~N（MQY〜N（林2晟），其正态曲线如图所示，

则下列结论中正确的是（）

A.甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值

B.甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值

C.甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性

D.甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性

【答案】AC

【详解】x,y均服从正态分布,x〜N（的,犹）,丫〜N（〃2,赞），

结合正态密度函数的图象可知，可得的=出，/<©，

故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误;

甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误.

故选：AC

题型03标准正态分布的应用

【典例1】（2023下•江苏淮安•高二校考阶段练习）我省高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思

想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划

分为A,B+,B,C+,C,D+,D,E共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%,

7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%,选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，

依照等比例转换法则,分别转换到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,50],[31,40],[21,30]

八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果某次高考模拟考试物理科目的原始成绩X〜N(50,256),那么。

等级的原始分最高大约为()

附：①若X〜N(林《2),丫=一，则丫〜N(0,l)；

②当y〜N(0,l)时，P(Y<1.5)X0.9.

A.23B.29C.26D.43

【答案】C

【详解】由题意知：从低到高，即E到。等级人数所占比例为10%,

若。等级的原始分最高为x,贝i|p(yw鬻)=o.i,x?(r<1.5)~0.9,

所以p(y<詈)=I-P(Y<1,5),而y〜N(O,I),

所以P(yW厘)=P(yW-1.5),即厘=一1.5,可得X=50-1.5X16=26分.

1616

故选：C

【典例2】(多选)(2023下•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习)已知随机变量X服从正态分布N(0,l),

定义函数/(比)为X取值不超过x的概率，即/(X)=P(XWx).若x>0,则()

A./(—%)=1—/(%)B./(2x)=2/(%)

C./(x)在(0,+8)上是减函数D.P(|X|<x)=2/0)-1

【答案】AD

【详解】因为随机变量X服从正态分布N(0,l),

所以/'(-%)=P(X<-x)=P(X>x)=1-P(X<x)=1-f(x),A正确；

f(2久)=P(X<2%),2/(x)=2P(X<x),因为x>0,所以/(x)=P(X<x)>|,

所以J(2x)=2f(x)不可能，B不正确;

因为x>0,所以当x增大时，f(x)=P(XWx)也增大，C不正确；

P(|X|<x)=P(-x<X<%)=1-2P(X>x)

=1-2[1-/(%)]=2/(%)-1,D正确.

故选：AD.

【典例3](2024・山西・校联考模拟预测)2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人.2019

年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时.为

了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长(单位：小

时)，并绘制如图所示的频率分布直方图.

(1)求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数元和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中

间值代表)；

(2)由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长X服从正态分布其中〃近似为样本平均数

a近似为样本方差52.一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X〜N(〃,o2),

令y=_,则丫〜N(0,l),且P(XWa)=P(Y<于).

(i)利用直方图得到的正态分布，求P(X<10)；

(ii)从该地随机抽取20名志愿者，记Z表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求

P(Z>1)(结果精确到0.001)以及Z的数学期望.

参考数据：VL64x1.28,O.773420«0.0059.若丫〜N(0,l),则P(Y<0.78)=0.7734.

【答案】(1)9,1,64；(2)(I)0,7734,(ii)0.994,4.532.

【详解】解：(1)元=6X0.02+7X0.1+8X0.2+9X0.38+10X0.18+11X0.08+12X0.04=9.

s2=(6-9)2x0.02+(7-9尸x0.1+(8-9)2x0.2+(9-9)2x0.38+(10-9)2x0.18+(11-9)2x

0.08+(12-9)2x0.04=1.64.

(2)(i)由题知〃=9,(T2=1.64,所以X〜N(9,1.64),a=VL64«1.28.

所以P(X<10)=P(y<糕)=P(Y<0,78)=0.7734.

(ii)由(i)知P(X>10)=1-P(X<10)=0.2266,可得Z~B(20,0.2266).

P(Z>1)=1-P(Z=0)=1-O.773420«1-0.0059=0.9941«0.994.

故Z的数学期望E(Z)=20x0.2266=4.532.

【变式1](2024•全国•高二假期作业)《山东省高考改革试点方案》规定：2020年高考总成绩由语文、数

学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目

的考生原始成绩从高到低划分为A、B+,B、C+、C、D+、D、E共8个等级，参照正态分布原则，确定

各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%、16%、7%、3%,选考科目成绩计入考生总成绩时，

将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100],[81,90],[71,80]、[61,70]、

［51,60］、［41,50］、［31,40］、［21,30］、八个分数区间，得到考生的等级成绩，如果山东省某次高考模拟考试

物理科目的原始成绩X〜N(50,256),那么。等级的原始分最高大约为()

附：①若x〜N(〃,b2),丫=一，则丫〜N(O,I)；②当丫〜N(O,I)时，p(yw1.3)=0.9.

A.23B.29C.36D.43

【答案】B

【详解】由题意知：X〜N(50,256)则有〃=50,。=16

设。等级的原始分最高大约为X,对应的等级分为40,而P(等级分240)=1-(7%+3%)=0.9

.••有P(原始分2富)=0.9

而P(Y<1,3)«0.9,由对称性知P(Y>-1.3)«0.9

=-1.3,即x=29.2夕29

16

故选：B

【变式2】(多选)(2023下•高二课时练习)若随机变量§〜N(0,l),。(久)=P(fW久)，其中久>0,下列

等式成立的有()

A.<i>(—%)=1—<?>(%)B.<i>(2x)=20(%)

C.P(|§|Wx)=2O(x)-1D.P(|f|>x)=2-2<X>(x)

【答案】ACD

【详解】对于A选项，利用正态密度曲线的对称性可知P(f<-%)=>%)=1-P铉<x),

所以，0(-x)=1-0(x),A对；

对于B选项，0(2x)=<2%)<1<2Pq<x)=20(%),B错；

对于C选项，P(|f|<x)=P(-x<^<x]-P(f<%)-P(f<-x)--0(x)-0(-x)

=0(%)-[1-0(x)]=20(x)-1,C对；

对于D选项，P(|f|>%)=1-P(曰<x)=1-[20(x)-1]=2-2<X>(x),D对.

故选：ACD.

【变式3】(多选)(2024•全国•高三专题练习)设随机变量X~N(0,1),f(x)=P(X<x),其中x>0,则下

列等式成立的有()

A./W=V(x)B./(2x)=2/0)

C.小)在(0,+8)上是单调增函数D.P(|X|<x)=2f(%)-1

【答案】ACD

【详解】因为随机变量X服从正态分布N(0,l),所以正态曲线关于直线x=0对称.

对于4因为/(x)=P(XWx),所以/(—x)=P(XW—x)=P(X2x)=1—/(x),故4正确；

对于B,当％=1时，/(I)=P(X<1)>0.5,2/(1)>1,而/(2)<1,故8错误：

对于C,结合正态曲线，易得/O)在(0,+8)上是单调增函数，故C正确；

对于DP(\X\<x)=P(-x<X<x)=1-2[1-/(x)]=2f(*)-1,故。正确.

故选：ACD

题型04特殊区间的概率

【典例1】(2024•全国•模拟预测)某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量X〜N(1000,2500)(单

位：个)，估计300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约是()

(若随机变量X〜NQ,/),贝(〃一。wx=0.6827,PQ-2b斐XW>+2。)、0.9545,

P(〃一3。WXW〃+3。)=0.9973)

A.236B.246C.270D.275

【答案】B

【详解】由题可知，〃=1000,a=50,P(950<X<1100)=P(〃一cWXW〃+2。)=P(4-WXW〃)+

<^<M+2ff)~竺詈+竺罗=0.8186所以300天内小笼包的销售量约在950到1100个的天数大约

是300X0.8186=245.58«246天.

故选：B.

【典例2】(2024上•黑龙江•高二校联考期末)已知某批产品的质量指标X服从正态分布N(25,0.16),其中

X£[24.6,26.2]的产品为"可用产品"，则在这批产品中任取1件，抽到"可用产品”的概率约为.

参考数据：若X〜N(JI«2),贝曲(〃一。WXW〃+(T)-0.6827,P(g-2a<X<(i+2CT)®0.9545,P(〃一

21

3cr<X</I+3(r)«0.9973.【答案】0.84/—

【详解】由题意知,该产品服从X〜N(25,0.16),则〃=25,(r=0.4,

所以P(24,6<X<26.2)=P(25-0.4<X<25+3X0.4)=P(〃一0WXW〃+3。)

即抽到“可用产品”的概率为0.84,

故答案为：0.84

【典例3】(202牛全国♦高三专题练习)某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否

合格可用.已知某批产品的质量指标X服从正态分布N(15,9),其中XC[6,18]的产品为"可用产品"，则在这

批产品中任取1件，抽到"可用产品"的概率约为.

参考数据：若X〜N(〃R2),则P(〃-<TWXW〃+(T)=0.6827,PQ-2。WXW〃+2o)=0.9545,

P(〃—3a<X<n+3a)«0.9973.

【答案】0.84/||

【详解】由题意知，该产品服从X〜N(15,9),则〃=15,士=3,

所以P(6<X<18)=P(15-3<X<15+3x3)=P(/z-<X</z+3cr)

=P(H—cr<X<jU+cr)+PQt+a<X</z+3a),

又P(〃+a<X</z+2(T)=|[P(〃-2d<X</z+2(f)—P(〃—cr<X</i+(j)]=0.1359,

产(〃+2。WXW〃+3(7)=|[P(〃-3(y<X<p,+3a)—P(ji—2(T<X<pi+2。)]=0.0214,

所以+a<X<IJ.+3a)=P(4+a<X</J.+2a)+P(〃+2a<X<+3a)=0.1573,

所以P(〃-a<X<fi+a)+P^+a<X<ii+3(j)=0.1573+0,6827=0.84,

即P(6<X<18)=0.84.

所以抽到“可用产品”的概率为0.84.

故答案为：0.84.

【变式。(多选)(2024上•湖南长沙•高三雅礼中学校考阶段练习)已知随机变量X服从正态分布N(100,102),

则下列选项正确的是(参考数值：随机变量f服从正态分布则()

—cr<^</z+cr)~0.6827,P(ji—2cr<f</z+2<r)〜0.9545,P(〃—3cr<f</z+3。)~0.9973)

A.E(X)=100B.D(X)=10

C.P(X>90)-0.84135D.P(X<120)=P(X>90)

【答案】AC

【详解】•••随机变量X服从正态分布N(100,102),

正态曲线关于直线X=100对称，且E(X)=100,0(X)=102=100,从而A正确，B错误，

根据题意可得，P(90<X<110)x0.6827,P(80<X<120)«0.9545,

；.P(X>90)®0.5+|x0.6827=0.84135,故C正确；

XW120与X290不关于直线X=100对称，故D错误.

故选：AC.

【变式2](2024•四川内江•统考一模)某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车

进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：

根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布N(〃,d),用样本平均

数元和标准差S分别作为〃、。的近似值，其中样本标准差S的近似值为50,现任取一辆汽车，则它的单次最

大续航里程X£[250,400]的概率为.

(参考数据：若随机变量X〜NO，/),则P(4-。WXW〃+o)«0.6827,PQ-2。WXW4+2。)«0.9545,

P(〃一3。WXW〃+3。)=0.9973)

【答案】0.8186

【详解】斤=205x0.002x50+255x0.004x50+305x0.009x50+355x0.004x50

+405X0.001X50=300,

故X〜N(300,502),p(250<X<400)

=1-|[1-P(/z-2(r<X</I+2(T)]一-P(〃-cWXW〃+O]=0.8186.

故答案为：0.8186

【变式3](2024上•湖南长沙•高三长郡中学校考期末)某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指

标值不小于60就认为身体素质合格.现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值项(i=

1,2,3,-,100),经计算£氏々=7200,鹉*=100x(722+36).若该市高中生的身体素质指标值服从

正态分布则估计该市高中生身体素质的合格率为.(用百分数作答，精确到0.1%)

参考数据：若随机变量X服从正态分布N(4，。2),贝UP(〃一c<X<〃+O=0.6827,P0-+

2cr)«0.9545,P(〃-3cWXW〃+3(r)=0.9973.

【答案】97.7%

【详解】因为100个数据%2>x3>%100的平均值元=击羽雪々=72,

方差52=击£捣方-云)2=京阴瑞媛一100元2)=击x[100X(722+36)-100X722]=36,

所以〃的估计值为〃=72,。的估计值为。=6.

设该市高中生的身体素质指标值为X,

由P(〃-2<r<X</z+2<r)«0,9545,得P(72-12<X<72+12)=P(60<X<84)«0.9545,

1-PQ-2。<X<〃+2。)1-0.9545

P(X>84)=P(X>〃+2<T)=P(X<〃-2CT)=----------------------------------2---------------

-1

所以P(X>60)=P(60<X<84)+P(X>84)x0.9545+；x(1-0,9545)=0.97725«97.7%.

故答案为：97.7%.

题型05指定区间的概率

【典例1】(2024•重庆•统考一模)已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X(单位：小时),且X〜

N(55c2),尸(x>6)=0.2.现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6

小时的概率为()

A.0.642B.0.648C.0.722D.0.748

【答案】B

【详解】由题意得P(x>5.5)=0.5,贝i]P(5.5<%<6)=0.5-0.2=0.3,

则P(5<x<6)=0.3X2=0.6,

则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为废0.62x0.4+Cf0.63=0.648,

故选：B.

【典例2】(2024上•辽宁•高二盘锦市高级中学校联考期末)己知随机变量X〜N(3«2),p(xwi)=0.2,

则P(1<X<5)=()

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.7

【答案】C

【详解】由X~N(3R2),P(X<1)=0.2,则P(X25)=0.2,

故P(1<X<5)=1-P(X<1)-P(X>5)=1-2X0.2=0.6.

故选：C.

【典例3】(2024•全国•模拟预测)已知随机变量X服从正态分布N(1,M)①>0),若尸(X>0)=0.9,贝|

P(1<X<2)=.

【答案】0.4/|

【详解】由尸(X>0)=。9可得P(X<0)=1-0.9=0.1,

则P(X>2)=P(X<0)=0,1,故P(0<X<2)=1-0.1-0.1=0.8,

所以P(1<X<2)=Tx0.8=0.4.

故答案为：0.4.

【变式1](2024上•河南焦作・高二统考期末)已知随机变量X〜N(10,—),且P(X<11)=0.7,贝”(10W

X<11)=()

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

【答案】B

【详解】根据正态分布曲线的对称性，

可得P(10<X<11)=P(X<11)-P(X<10)=0.7-0.5=0.2.

故选：B.

【变式2】(多选)(2024上•广西桂林•高二统考期末)某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生

儿体重X〜N(3.5,0.25),则下列结论正确的是()

___1

A.该正态分布的均值为3.5B.P(X>3.5)=-

C.P(4<X<4.5)>|D.P(X>4.5)=P(X<3)

【答案】AB

【详解】因为X〜N(3.5,0.25),

对于A选项，该正态分布的均值为〃=3.5,A对；

对于B选项，P(X>3.5)=}B对；

对于C选项，P(4<XW4.5)<P(X>3.5)=；-1,C错；

对于D选项，由正态密度曲线的对称性可知，P(X<3)=P(X>4)>P(X>4.5),D错.

故选：AB.

【变式3](2024•全国,模拟预测)已知随机变量X服从正态分布N(8,M),且P(X<5)=0.3,则

P(8<X<11)=.

【答案】0.2

【详解】随机变量X服从正态分布N(8,M),可得到对称轴为x=8,

又由P(X<5)=0.3,则P(X>11)=0.3,

所以P(8<X<11)=|[1-2P(X<5)]=0.2.

故答案为：0.2

题型06正态分布的实际应用

【典例1】(2024上•江西九江•高二统考期末)某工厂生产一批零件，其直径X〜N(10,4),现在抽取10000

件进行检查，则直径在(12,14)之间的零件大约有件.

(注：P(“—CT<X</z+cr)~0.6826,PQi—2a<X<[i+2cr)~0.9544,PQi—3a<X<+3<r)~

0.9974)

【答案】1359

【详解】vX满足正态分布X〜N(.10,4),11=10,<T=2,.-.P(8<X<12)«0.6826,

P(6<X<14)x0.9544,P(12<X<14)七。,954410.6826=0.1359,

二直径在(12,14)之间的零件大约有1359件.

故答案为：1359

【典例2】(2024•全国•高三专题练习)2023年国家公务员考试笔试于1月8日结束，公共科目包括行政职

业能力测验和申论两科，满分均为100分，行政职业能力测验中，考生成绩X服从正态分N(80,d).若

P(75<%<85)=|,则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，恰有2名考生的成绩高于85的概率

为.

【答案】4/0288

【详解】由正态分布可得：考生的成绩高于85的概率P(X>85)=/1-P(75WxW85)]=|,

所以恰有2名考生的成绩高于85的概率P=*X(I?X(1-|)=聋.

故答案为：瑞.

【典例3】(2024上•全国•高三期末)据相关机构调查表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体

指标(如肺活量、柔韧度、力量、速度、耐力等)自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极

干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量、柔初度、力量、速度、而力等

多项指标出现好转，但肥胖、近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日

常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩(单

位：秒)，整理得到如图所示的频率分布直方图(每组区间包含左端点，不