专题37切线长定理（能力提升）-2022-2023学年九年级数学下册《考点解读专题训练》（北师大版）

专题3.7切线长定理（能力提升）一、选择题。1．（2021秋•中山市期末）如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（）A．8 B．9 C．10 D．112．（2021秋•上思县期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．103．（2020秋•樊城区期末）如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（）A． B． C． D．4．（2022•拱墅区模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（）A．3 B．4 C．5 D．65．（2021秋•高阳县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．12cm B．7cm C．6cm D．随直线MN的变化而变化6．（2021•柯桥区模拟）如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．67．（2020•永州）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2021•东港区校级一模）如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（）A．6 B．3 C．6 D．39．（2021秋•西岗区期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（）A．8 B．12 C．16 D．2010．（2020•河北模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（）A．π B．2π C．4π D．0.5π二、填空题。11．（2022•南安市一模）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于．12．（2021•雁塔区校级模拟）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为．13．（2022秋•南岗区校级月考）如图，分别过⊙O上A、B、C三点作⊙O切线，切线两两交于P、M、N，PA＝9，则△PMN的周长为．14．（2022•相城区校级自主招生）一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的比是．15．（2021秋•金川区校级期中）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝6，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是．16．（2021秋•原州区期末）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，那么△PDE的周长为．17．（2021秋•兴化市月考）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为．18．（2021•哈尔滨模拟）如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为．三、解答题。19．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA．（1）求证：∠POA＝2∠PCB；（2）若OA＝3，PA＝4，求tan∠PCB的值．20．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A，B．点Q为AB上一点．过点Q作⊙O的切线，分别交PA，PB于E，F两点．已知PA＝12cm，∠P＝56°．（1）求△PEF的周长；（2）求∠EOF的度数．21．（2021秋•无为市校级月考）如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．C是弧AB上任意一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA和PB于D，E两点，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周长．22．（2019秋•增城区期中）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P＝60°，PB＝2cm．（1）求证：△PAB是等边三角形；（2）求AC的长．23．已知正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不与M和C重合，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．求四边形CDFP的周长．24．如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，∠P＝60°，PA＝10cm，那么AB的长为cm．25．（2021•滨海县一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：（1）PA的长；（2）∠COD的度数．26．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P的度数．专题3.7切线长定理（能力提升）一、选择题。1．（2021秋•中山市期末）如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D。【解答】解：∵⊙O内切于四边形ABCD，∴AD+BC＝AB+CD，∵AB＝10，BC＝7，CD＝8，∴AD+7＝10+8，解得：AD＝11．故选：D．2．（2021秋•上思县期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝5，则△PCD的周长为（）A．5 B．7 C．8 D．10【答案】D。【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，∴PA＝PB，同理可得：CA＝CE，DE＝DB．∵△PCD的周长＝PC+CE+ED+PD，∴△PCD的周长＝PC+CA+BD+PD＝PA+PB＝2PA，∴△PCD的周长＝10，故选：D．3．（2020秋•樊城区期末）如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（）A． B． C． D．【答案】A。【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB∵△PCD的周长等于3，∴PA+PB＝3，∴PA＝．故选：A．4．（2022•拱墅区模拟）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B。【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝6，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4．故选：B．5．（2021秋•高阳县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．12cm B．7cm C．6cm D．随直线MN的变化而变化【答案】B。【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm，∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，故DM＝MF，FN＝EN，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．故选：B．6．（2021•柯桥区模拟）如图，△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16．若⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A。【解答】解：∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，∴AD＝AF，BE＝BD，CE＝CF，∵BC＝BE+CE＝6，∴BD+CF＝6，∵AD＝AF，∠A＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝AF＝DF，∵AB+AC+BC＝16，BC＝6，∴AB+AC＝10，∵BD+CF＝6，∴AD+AF＝4，∵AD＝AF＝DF，∴DF＝AF＝AD＝×4＝2，故选：A．7．（2020•永州）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C。【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．8．（2021•东港区校级一模）如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（）A．6 B．3 C．6 D．3【答案】A。【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，∴∠OAB＝60°，在Rt△ABO中，OB＝ABtan∠OAB＝3，∴光盘的直径为6，故选：A．9．（2021秋•西岗区期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C。【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，即△PCD的周长为16．故选：C．10．（2020•河北模拟）如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（）A．π B．2π C．4π D．0.5π【答案】C。【解答】解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，连接OE，OF，则四边形OECF是正方形，∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠EOM＝∠FON，∴△OEM≌△OFN（ASA），∴EM＝NF，∴CM+CN＝CE+CF＝4，∴OE＝2，∴⊙O的面积为4π，故选：C．二、填空题。11．（2022•南安市一模）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于1．【答案】1。【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，∴∠APO＝∠BPO＝∠APB，∠PAO＝90°∵∠APB＝60°，∴∠APO＝30°，∵PO＝2，∴AO＝1．故答案为：1．12．（2021•雁塔区校级模拟）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为S1+S3＝S2+S4．【答案】S1+S3＝S2+S4。【解答】解：如图设切点分别为E、F、G、H，由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BCOH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r，设DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d，S1＝r（a+b），S2＝r（b+c），S3＝r（c+d），S4＝r（a+d），∴S1+S3＝r（a+b）+r（c+d）＝r（a+b+c+d），S2+S4＝r（a+d）+r（b+c）＝r（a+b+c+d），∴S1+S3＝S2+S4．故答案为S1+S3＝S2+S4．13．（2022秋•南岗区校级月考）如图，分别过⊙O上A、B、C三点作⊙O切线，切线两两交于P、M、N，PA＝9，则△PMN的周长为18．【答案】18。【解答】解：∵PA、PB、MN分别与⊙O切于A、B、C，∴PA＝PB，MA＝MC，NB＝NC，∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝PM+MC+CN+PN＝PM+MA+NB+PN＝PA+PB＝9+9＝18，故答案为：18．14．（2022•相城区校级自主招生）一直角三角形的斜边长为c，它的内切圆的半径是r，则内切圆的面积与三角形的面积的比是．【答案】。【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：S＝，又∵r＝，∴a+b＝2r+c，∴直角三角形的面积是r（r+c）．又∵内切圆的面积是πr2，∴它们的比是．故答案是：．15．（2021秋•金川区校级期中）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA＝6，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是12．【答案】12。【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，∴PB＝PA＝6，CA＝CE，DB＝DE，∴△PCD的周长＝PC+CE+PD＝PC+CE+DE+PC＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝12．故答案为：12．16．（2021秋•原州区期末）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8cm，那么△PDE的周长为16cm．【答案】16cm。【解答】解：∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝8+8＝16cm；∴△PDE的周长为16cm．故答案为16cm．17．（2021秋•兴化市月考）如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为14．【答案】14。【解答】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，∵CE与半圆O相切于点F，∴AE＝EF，BC＝CF，∵EF+FC+CD+ED＝12，∴AE+ED+CD+BC＝12，∵AD＝CD＝BC＝AB，∴正方形ABCD的边长为4；在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，∴AE+EF+FC+BC+AB＝14，∴直角梯形ABCE周长为14．故答案为：14．18．（2021•哈尔滨模拟）如图，切线PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交PA、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段PA的长为3．【答案】3。【解答】解：∵EA，EC都是圆O的切线，∴EC＝EA，同理FC＝FB，PA＝PB，∴△PEF的周长＝PF+PE+EF＝PF+PE+EA+FB＝PA+PB＝2PA＝6，∴PA＝3；故答案为：3．三、解答题。19．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA．（1）求证：∠POA＝2∠PCB；（2）若OA＝3，PA＝4，求tan∠PCB的值．【解答】证明：（1）连接OB，∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∴PA＝PB，∠OBP＝∠OAP＝90°，在Rt△POA和Rt△POB中，∵，∴Rt△POA≌Rt△POB（HL），∴∠POA＝∠POB，∵∠POB＝2∠PCB，∴∠POA＝2∠PCB；（2）过B作BE⊥PC于E，∵PB＝PA＝4，OB＝OA＝3，∴PO＝5，∴PO•BE＝OB•PB，∴BE＝，由勾股定理得：OE＝＝，∴CE＝OC+OE＝3+＝，在Rt△OBE中，tan∠PCB＝＝＝．20．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A，B．点Q为AB上一点．过点Q作⊙O的切线，分别交PA，PB于E，F两点．已知PA＝12cm，∠P＝56°．（1）求△PEF的周长；（2）求∠EOF的度数．【解答】解：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，过点Q作⊙O的切线，PA＝12cm，∴EA＝EQ，FQ＝FB，PA＝PB＝12cm，∴△PEF的周长＝PE+EQ+FQ+PF＝PA+PB＝24（cm）；（2）∵PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A，B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠P＝56°，∴∠AOB＝124°，∵PA，PB是⊙O的切线，过点Q作⊙O的切线，∴∠AEO＝∠QEO，∠QFO＝∠BFO，∠EAO＝∠EQO＝90°，∠FQO＝∠FBO＝90°，∴∠AOE＝∠QOE，∠QOF＝∠FOB，∴∠EOF＝∠AOB＝62°．21．（2021秋•无为市校级月考）如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．C是弧AB上任意一点，过点C画⊙O的切线，分别交PA和PB于D，E两点，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周长．【解答】解：∵PA和PB是⊙O的两条切线，∴PA＝PB，同理可得：DA＝DC，EB＝EC，∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10（cm）．22．（2019秋•增城区期中）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P＝60°，PB＝2cm．（1）求证：△PAB是等边三角形；（2）求AC的长．【解答】解：（1）∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴PA＝PB，且∠P＝60°，∴△PAB是等边三角形；（2）∵△PAB是等边三角形；∴PB＝AB＝2cm，∠PBA＝60°，∵BC是直径，PB是⊙O切线，∴∠CAB＝90°，∠PBC＝90°，∴∠ABC