专题15数形结合思想

专题15数形结合思想专题点拨数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合．(1)数形结合思想解决的问题常有以下几种：①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围；②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围；③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系；④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；⑤构建立体几何模型研究代数问题；⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；⑦构建方程模型，求根的个数；⑧研究图形的形状、位置关系、性质等．(2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：①准确画出函数图像，注意函数的定义域；②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图像，由图求解．(3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解．例题剖析一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用【例1】若方程x2－4x＋3＋m＝0在x∈(0，3)时有唯一实根，求实数m的取值范围．【解析】利用数形结合的方法，直接观察得出结果．原方程可化为－(x－2)2＋1＝m(0<x<3)，设y1＝－(x－2)2＋1(0<x<3)，y2＝m，在同一坐标系中画出它们的图像(如图所示)．由原方程在(0，3)内有唯一解，知y1与y2的图像只有一个公共点，可得m的取值范围是(－3，0]∪{1}．【变式训练1】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x＞0，,－x2－2x，x≤0.))若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围为________．【答案】(0，1)【解析】函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x＞0,－x2－2x，x≤0))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x＞0,－（x＋1）2＋1，x≤0))，画出其图像如图所示．又由函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，知y＝f(x)与y＝m有3个交点，则实数m的取值范围是(0，1).【例2】设点，，若点在线段上，则的取值范围是

A. B.

C. D.以上都不对【答案】【解答】解：如图，取点，

则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围，

因为点，，点在线段上，

则直线的斜率满足：或，

又，，

所以或，

即的取值范围为．

故选A．二、数形结合思想在不等式求最值问题、求方程的根的相关问题中的应用【例3】若x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－y≤0，,x＋y－4≤0，)))则eq\f(y,x)的最大值为________．【答案】3【解析】作出约束条件确定的可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，eq\f(y,x)是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A与原点连线的斜率最大．联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－1＝0,x＋y－4＝0)))，解得A(1，3)，所以eq\f(y,x)的最大值3.【例4】已知函数，且在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】【解答】解：函数在上单调递减，

则：

解得；

在同一直角坐标系中，画出函数和函数的图象，如下图：

由图象可知，在上，有且仅有一个解，

故在上，有且仅有一个解，

当即时，联立，

即，，

则，

解得或舍去，

当时，方程可化为，符合题意；

当即时，由图象可知，符合条件，

综上：的取值范围为，

故选：．【例5】若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0，3)内有唯一解，求实数m的取值范围．【解析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决．原方程变形为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x＞0，,－x2＋3x－m＝3－x，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x＞0，,（x－2）2＝1－m.))设曲线y1＝(x－2)2，x∈(0，3)和直线y2＝1－m，图像如图所示．由图可知：①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1；②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3<m≤0.综上可知，实数m的取值范围是m＝1或－3<m≤0.三、数形结合思想在平面解析几何中的应用【例6】已知曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是

．【答案】【解答】解：

，

为恒过的直线，

则曲线图象如下图所示：

由图象可知，

当直线斜率时，曲线与直线有两个交点，与半圆相切，

可得：解得：，

又半圆的左端点坐标为与点连线，

其斜率为，，

故答案为

．巩固训练1.函数，的最大值为，则的取值范围为

．【答案】【解答】解：

作出分段函数的图象如图：

由图可知，要使函数，的最大值为，

则的取值范围为．

故答案为：．2．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数，且f(2)＝0，则不等式x[f(－x)－f(x)]<0的解集为________．【答案】(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】由f(－x)＝－f(x)，x[f(－x)－f(x)]<0可转化为xf(x)>0.画出f(x)的简图，如图所示，可知xf(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．3.已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________．【答案】(eq\f(1,4)，－1)【解析】定点Q(2，－1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P到点Q和到抛物线的准线距离之和最小时，求点P的坐标，显然点P是直线y＝－1和抛物线y2＝4x的交点，解得这个点的坐标是(eq\f(1,4)，－1)．若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则实数a的取值范围为________．【答案】(1，2]【解析】设geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝logax，要使当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需g(x)＝(x－1)2在(1，2)上的图像在f(x)＝logax的下方即可．当0<a<1时，结合函数图像知显然不成立；当a>1时，如图，要使在(1，2)上，g(x)＝(x－1)2的图像在f(x)＝logax的下方，只需g(2)≤f(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，∴1＜a≤2.∴a的取值范围是(1，2]．5.已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是

．【答案】【解答】解：当时，函数的大致图象如下：

时，，

要使得关于的方程有三个不同的根，

必须，

即，

解得，

的取值范围是．

故答案为．二、选择题6．若不等式logax>sin2x(a>0，a≠1)对任意x∈(0，eq\f(π,4))都成立，则实数a的取值范围为()A．(0，eq\f(π,4))B．(0，eq\f(π,4)]C．[eq\f(π,4)，1)D．(eq\f(π,4)，1)【答案】C【解析】记y1＝logax，y2＝sin2x，原不等式相当于y1>y2，作出两个函数的图像，如图所示，知当y1＝logax过点A(eq\f(π,4)，1)时，a＝eq\f(π,4)，所以当eq\f(π,4)≤a<1时，x∈(0，eq\f(π,4))都有y1>y2.7．已知y＝f(x)是最小正周期为2的函数，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)(x∈R)图像与y＝|log5|x||图像的交点的个数是()A．8B．9C．10D．12【答案】C【解析】因函数y＝f(x)(x∈R)与y＝|log5|x||均为偶函数，故研究它们在y右侧交点情况即可．作函数图像如图所示，从图可知，当0<x<5时有四个交点，当x＝5时有一个交点，在x>5时没有交点，故在y右侧交点个数为5，由对称性知，在y轴左侧交点个数也是5.则两个函数图像交点个数为10个．三、解答题8.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(ax2＋2x＋1，x≥0，,－x2＋bx＋c，x<0)))是偶函数，直线y＝t与函数f(x)的图像自左至右依次交于四个不同点A、B、C、D，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BC))，求实数t的值．【解析】由函数f(x)是偶函数可知f(x)＝f(－x)，当x<0时，f(－x)＝a(－x)2＋2(－x)＋1＝ax2－2x＋1＝f(x)＝－x2＋bx＋c，故a＝－1，b＝－2，c＝1，则f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x≥0,－x2－2x＋1，x<0)))，由函数图像可知：①当x≥0时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(y＝t,－x2＋2x＋1＝y)))，解得x＝1±eq\r(2－t)，故C点坐标为(1－eq\r(2－t)，t)，②当x<0时，eq\b\lc\{(