四川省绵阳市某中学2024-2025学年高三年级上册10月月考数学试题【含解析】

数学试卷

一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求.)

1.已知集合"斗■—4叫，8={止2<%<2},则"露=()

A.|x|-l<x<2!B.|x|-l<x<2|C,{x[2<x<4}D.{x[2<x<4}

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合A,利用补集和交集的定义可求得集合Zc仆5.

【详解】因为幺={%,2-3》一4«0}={耳—14》44},B^{x\-2<x<2\,

则={x|x〈一2或x之2},故Nc={x[2<x<4}.

故选：D.

2.下列函数是偶函数的是()

2x+1

A.f(x)=In[yjx+1+xjB.f(x)=xln

x-1

C.f(x)=tanxD.f(x)=---

「2X-1

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数奇偶性的定义判断各选项即可.

【详解】对于A,函数定义域为R,/(-x)=ln(6+l—4

所以f(x)+f(-x)=ln(Jx?+1+x)+In(Jx?+1-xj=Ini=0,

则/(—x)=一/(x)，所以函数/(x)为奇函数；

对于B,函数定义域为(一,/(-x)=-xlnX+1=-xln--5■=xln小口=/(x),

X1X+1X1

所以函数/(x)为偶函数；

对于C,正切函数/(x)=tanx为奇函数;

12X

对于D,函数定义域为(—8,0)U(O,+8),/(-%)=w/(x)，

2-11-2"

所以/（X）不为偶函数.

故选：B.

3.由一组样本数据（七,…,（当,匕）得到经验回归方程/=%+/,那么下列说法正确的是

（）

A.若相关系数r越小，则两组变量的相关性越弱

B.若A越大，则两组变量的相关性越强

C.经验回归方程y=bx+a至少经过样本数据（石,%,（乙，%）中的一个

D.在经验回归方程/=%+&中，当解释变量x每增加1个单位时，相应的观测值y约增加A个单位

【答案】D

【解析】

【分析】根据相关系数的含义可判断AB；根据回归直线的含义可判断CD；

【详解】对于A,若相关系数越小，则两组变量的相关性越弱，A错误；

对于B,若卜|越大，则两组变量的相关性越强，g是回归直线的斜率，

它不反应两变量的相关性强弱，B错误；

对于C,经验回归方程/=%+/不一定经过样本数据（七,%）,（%，%）-，（乙，匕）中的一个，C错误；

对于D,在经验回归方程/=%+/中，当解释变量x每增加1个单位时，

若3〉0,相应的观测值y约增加A个单位；若3<0,相应的观测值y约增加-忖个单位；

故当解释变量x每增加1个单位时，相应的观测值y约增加A个单位，正确，

故选：D

4.在△NBC中，角/、B、C的对边分别是a、b、c,且acos8+6cos4=6,则△48。一定是（）

A.等腰三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.直角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】由题意根据正弦定理及和差公式可得sinG4+8）=sin8,由/+8+。=兀及诱导公式可得

sinC=sin8,结合民。为三角形的内角可得8=C,即可得结果.

（详解】acosB+bcosA=b,

由正弦定理得sinZcosB+sinBcos/=sinB,

则sin(4+B)=sinB,又4+5+。=兀，

可得sinC=sin5,

•・•瓦。为三角形的内角，

:.B=C,

所以一定是等腰三角形.

故选：A.

5.函数/(x)=/cos(<yx+0)(/>0#>0)的图象如下，则其解析式可能是()

A.f(x)=2cos^2x—-jB.f(x)=2cos|2x-^

C.f(x)=2cos^2x+jD./⑴=2cos12x+g

【答案】A

【解析】

【分析】结合图象可知/(O)=—l,—2,由此可判断BCD不可能，结合函数周期说明A中图象

可能正确，即可得答案.

【详解】结合题意以及各选项可知/可为2,

结合图象可知/(0)=-1,/^-^=-2,

则对于B,/(0)=2cos[—；]=1,由此可判断B中解析式不可能；

对于C,/(0)=2COS]=1,由此可判断C中解析式不可能；

对于D,E]=2COS[-1+=由此可判断D中解析式不可能；

对于A,由于一〉一，.二一x—＞一,「.0＜刃＜3,即刃可取2；

464①6

2兀4兀

由2cos0=-1,则0=±彳+2析，左£Z,由于0＞0,可取/=3-,

止匕时/（x）=2cos[2x+F]=2cos12x+F—27i]=2cos[2x—g：A可能，

故选：A

6.研究发现一种鸟类迁徙的飞行速度v（单位：m/s）与其耗氧量。之间的关系式为：V1=a+61og3^

（其中见6是实数），据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时,

其飞行速度为1ms.大西洋鞋鱼逆流而上时其游速为v（单位：m/s）,耗氧量单位数为口，统计发现：匕

与log3焉成正比.当v2=lm/s时，2=900.若这种鸟类与鱼圭鱼的速度匕与v2相同时，则Qi与2的关系

是（）

A.2=90B.。；=9&C.D.。：=3。2

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意求出a,6,可得y=—l+log3&,设匕=8og3段，由题意得攵=

101002

v2=1log3^,由片=%得-l+log3磊=glog3需，根据对数的运算性质即可求解.

30

a+blog—=n0

3a=-1

【详解】由题意得90,解得,

b=l

a+blog,­二1

310

V

1=-l+log3^-)

设V2=左log3—,

23100

9001

由题意得知og3——=1，解得A=」，

1002

1,。2

••v=-log----,

223100

又M=%，

-l+log—=—log,

31023100

则log—+log—=log，即log3—=log，

3331031030310

.乌=叵,即Q：=9Q,.

3010

故选：B.

7.己知（西,凹）,（》2，%）是函数y=log2X图象上两个不同的点，则下列4个式子中正确的是（）

X+XX+X21121弘+乃15+为

221221

①五土邃<22；②土士王〉22；③log?--------<-六；@10g2--------->-六.

22Xi+2xi+x22

A.①③B.②③C.①④D.②④

【答案】B

【解析】

【分析】求出已知两点的中点坐标及函数_P=log2X的图象上纵坐标为匕产的点，结合函数图象建立不

等式，即可得解.

【详解】如图所示，设Z（X1,%）,B（x2,y2）,48的中点为M（空，空）

必十%

点N在函数y=log2X的图象上，且跖V〃x轴，则N2'

2J

由图知点在的左侧，即士〉故①错误,

NM42H\②正确;

2

%+乃v+v2

2二%十%,即一

贝I」1幅>lOg22log2-------->

2国+92

12y,+y

即bg2K<—T'9故③正确’④错误.

故选：B.

8.设函数/(x)=a(x+l)2—l,g(x)=cosx+2ax,当时，曲线y=/(x)与y=g(x)交点个

数的情况有()种.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】设〃(x)=/(x)—g(x),由〃(x)=0,得到方程办2+a_i=cosx解的个数，进而转化为

>=。/+。一1与y=cosx的图象在(-1,1)上的交点个数，结合余弦函数的图象，以及二次函数的性质，

分类讨论，即可求解.

【详解】由函数/(x)=a(x+l)2T,g(x)=cosx+2ax,

设〃(x)=/(x)-g(x)=ax2-cosx+a-l,xe(-l,l),

可得〃(一x)=a(-x)2-cos(-x)+a-l=ax2-cosx+a-1=,

所以函数hQ)为偶函数，图象关于歹轴对称，

令〃(x)=0,可得"2-cosx+a-1=0,即ax2+a-1=cosx>

则A(x)=0解的个数，即为y=a/+。—i与y=cosx的图象在(-1,1)上的交点个数，

如图所示：

当a=0时，j=-l,此时>=一1与^=85》的图象在(-1,1)上没有公共点；

当。一1〉1时，即。>2时，了="2+。一1与y=cosx的图象在(一1,1)上有没有公共点；

当a-l=l时，即a=2时，y=ax?_1与歹=cosx的图象在(-1,1)上有1个公共点；

cos1+1

当2a-1>cosl且。一1<1时，即-------<a<2时，

2

y=a/+。—1与y=cosx的图象在(-1,1)上有2个公共点；

C0S1+1

当2。一IVcosl且Q>0时，即-------时，

2

y=a?+。_1与歹=cosx的图象在(一1,1)上有没有公共点；

当a<0时，此时y+。一1对应的抛物线开口向下，且。一1<一1,

此时y=a/+。—1与y=cosx的图象在(-1,1)上有没有公共点,

综上可得，曲线y=f(x)与y=。(久)交点个数的情况有3种.

故选：c.

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9.下列叙述正确的是（）

A.若等差数列｛%｝的公差d〉0,则数列｛%｝为递增数列

B.若等比数列也｝的公比q>1,则数列也｝为递增数列

C.若〃=四，则爪c成等比数列

D.若邑一是等比数列｛%｝的前2〃-1项和,则S21=0无解

【答案】AD

【解析】

【分析】对于A：根据等差数列的定义以及递增数列的定义分析判断；对于BC：举反例说明即可；对于

D：分q=l和q/1两种情况，结合等比数列求和公式分析判断.

【详解】对于A：因为4+1-%=d〉0,可知数列｛an｝为递增数列，故A正确；

对于B：例如q=-l,q=2〉0,则的=-2,即出<%，可知数列｛厮｝不为递增数列，故B错误；

对于C：例如。=6=。=0,满足但6、c不成等比数列，故C错误；

对于D：设等比数列｛g｝的公比为4,且

若q=l,则S21=（2〃—1”产0；

若qwi，则S21「〈J'_Lo；

i-q

综上所述：S2“_]=0无解，故D正确；

故选：AD.

10.设函数，若/(x)<0,则/+/的最值情况是()

A.有最大值B,无最大值C.有最小值D.无最小值

【答案】BC

【解析】

【分析】根据知=3)=0,根据/(x)<0可得a+b=l,再根据不等式性质可判断.

【详解】根据，可知/(。)=/(1-9=0,

根据/(x)40恒成立，则相同取值情况下歹=-%+。/=皿》+可为异号或同时等于0,

又歹=-x+a在R上递减，y=ln(x+A)在(一“+QO)上递增，

只需它们的零点重合，得a=1—6,即a+b=l,

所以。2+/=(1_6『+62

所以片+尸有最小值，没有最大值.

故选：BC

11.定义在R上的函数/(x)的导函数为g(x),且满足下列条件：

/(2x)+/(-2-2x)=0,g(2x)=-g(2-2x),且/(1)=1.则下列正确的是()

A.>=g(x)周期为8B.J=g(2x)图象关于(1,0)对称

2024

C.歹=/(1)关于(―1,0)对称D.Z/(Z)=°

Z=1

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,C根据已知等式结合对称中心定义得出判断；根据已知等式求导得出

g(x)=g(-2-x),结合已知得出函数周期判断B；应用导函数与原函数间关系得出/(%)周期，再根据

/(l+x)+/(5+x)=0,计算求解判断D.

【详解】对于A,B,因为g(2x)=—g(2—2x),则g(x)=—g(2—x),则g(l+x)=—g(l—x)

可知g(x)的图象关于(1,0)中心对称，知g(2x)的图象关于(g,0)中心对称，B错误；

因为〃2x)+/(—2—2x)=0,则〃x)=—/(—2—x),

两边求导数可得/'(x)=/'(-2-x),即得g(x)=g(-2-x),

所以g(2—x)=—g(—2—x),即得g(2+x)=—g(—2+x),

所以g(4+x)=-g(x),g(8+x)=-g(x+4)=g(x),

所以函数g(x)的周期为8,A正确；

对于C,因为〃2x)+/(—2—2力=0则=,

所以/(-1-x)=-/(-1+x),函数/(x)关于(-1,0)对称,C正确;

对于D,因为g(x)的图象关于(1,0)中心对称，所以f(x)关于”=1对称，所以/(1—x)=/(l+x),

又/("=—/(—2—x),所以/(l+x)=—/(—3—x)=/(l—x),可得—/(—3+x)=/(l+x),

所以/(x+8)=—/(x+4)=—(—/(x))=/(x),所以函数/(久)周期为8,

因为/(l+x)+/(-3+x)=0,所以/(l+x)+/(5+x)=0,

所以/⑴+/(5)=0,/(2)+/⑹=0J(3)+/⑺=。/(4)+〃8)=0,

所以/⑴+/⑵+/⑶+/(4)+…+/(2024)=253"⑴+/⑵+/⑶+/(4)+…+/⑻]

=253[/(1)+/(5)+/(2)+/(6)+/(3)+/(7)+/(4)+/(8)]=0,D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：函数周期性及函数的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已

知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.)

12.若数列｛%｝的通项公式是%=2〃，且等比数列也｝满足&=%，b5=a&,则"=.

【答案】2"T

【解析】

【分析】设等比数列｛〃｝的公比为q,根据题意结合等比数列通项公式列式求可应，即可得结果.

【详解】由题意可知：8=。1=2,4=。8=16,

设等比数列也｝的公比为4,

嘘b,的=hq=-264=1

解得＜

q=2

所以〃=1X2"T=2〃T.

故答案为：2"，

13.设函数/(%)=卜也。%|(。〉0),已知/(苞)=1,/(%2)=。，且%-％|的最小值为]，则①=:.

【答案】1

【解析】

【分析】确定/(x)=Mnox|(o>0)的周期为7=],结合题意可得即可求得答案.

【详解】由题意知/(x)=\sma>x\(a>>0)图象可由，y=sma)x(a)>0)的图象将x轴下方部分翻折到x轴

上方得到，

故/(X)■sinox|(。〉0)的周期为7=/,

又/(再)=1J(》2)=0，

则归-的最小值为函数周期的二分之一，即;7='，

即」•巴=四,00=1,

2。2

故答案为：1

14.在如下图的4x4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要

求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是.

8273262

3233763

6273866

5263966

【答案】126

【解析】

【分析】先按列分析，可知十位数是固定的，利用列举法写出所有个位数的可能结果，即可求解.

【详解】先按列分析，每列必选出一个数，所选4个数的十位数字分别为0,2,3,6,

若选中方格中的4个数之和的最小值，则需要个位数之和最小，

每种选法可标记为(见“c,d),劣仇Gd分别表示第一、二、三、四列的个位数字,

则所有的可能结果为：

(8,3,8,6),(8,3,9,6),(8,7,7,6),(8,7,9,3),(8,6,7,6),(8,6,8,3),

(3,7,8,6),(3,7,9,6),(3,7,2,6),(3,7,9,2),(3,6,2,6),(3,6,8,2),

(6,7,7,6),(6,7,9,3),(6,3,2,6),(6,3,9,2),(6,6,2,3),(6,6,7,2),

(5,7,7,6),(5,7,8,3),(5,3,2,6),(5,3,8,2),(5,7,2,3),(5,7,7,2),

此时最小为5+3+2+6=16,

所以选中的方格中，5,23,32,66的4个数之和最小,为5+23+32+66=126.

故答案为：126.

【点睛】关键点点睛：关解决本题的关键是先确定十位数，再确定个位数，利用列举法写出所有的可能结

果.

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.2021年8月，义务教育阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课

程.为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表：

喜欢奥数不喜欢奥数总计

已选奥数课(A组)15050200

未选奥数课(2组)90110200

总计240160400

(1)若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在N组、8组各抽取多少人?

(2)依据小概率值a=0.005的独立性检验，能否认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？

附:

尸[

0.10.050.010.0050.001

a2.7063.8416.6357.87910.828

n(ad-be)2、

参考公式:;T2=7-----rv；-----六7--------一六，其中〃=a+6+c+".

^a+b)[c+d)^a+c)^b+d)

【答案】(1)应在/组抽取20人，应在3组抽取12人.

(2)能认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005

【解析】

【分析】(1)根据分层抽样列式计算即可；

(2)根据表格数据求出力2的值，然后与临界值比较即可判断.

【小问1详解】

3232

应在/组抽取——xl50=20人，应在8组抽取——x90=12A.

240240

【小问2详解】

零假设为H。：选报奥数延时课与喜欢奥数无关联，

2

根据列联表中的数据，经计算可得Z=40°义(15°义110—=37.5>7,879,

200x200x240x160

根据小概率值a=0.005的独立性检验，我们推断零假设不成立，

即认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.

16.阅读一元二次方程韦达定理的推导过程，完成下列问题:设一元二次方程

a/+6X+C=O(Q。0,a,b,。后酎的两根为石，x2,则a/+/Zx+c=q(、—X])(x-x2),展开得:

21

ax+bx+c=ax-47+x2)x+axxx2,比较系数得：b=-。(再+々)，c=axxx2,于是

bc

Xj+%2=--?X]/=—.

aa

(1)已知一元三次方程ax'+'2+cx+d=o(qwo,a,b,c,deR)的三个根为孙x2,x3,类比于

上述推导过程，求MX2X3；

(2)已知/(x)=d—6/+9x+l,若存在三个不相等的实数加，n,t,使得/'(，%)=/⑺=/«),

求加取的取值范围.

【答案】(1)XlX2X3=--

a

⑵(0,4)

【解析】

【分析】(1)先把式子展开再应用待定系数法即可求值；

(2)根据函数求出导函数，根据导数正负得出函数单调性，再画出图像数形结合y=/(x)与y=s有三

个交点，即可求参数范围.

【小问1详解】

由题意知以3+bx2+cx+d=°(》一国)(》一》2)(》一》3)，

232

展开得:ax'+bx+ex+tZ=6/x-67(xj+x2+x3)x+67(Xj%2+x2x3+x3Xj)x-ax^x3,

比较系数得d=-oxxx,即Xi/%=——.

123a

【小问2详解】

令f[m}=f[n)==s,m,n,t^f(^x)=x3-6x2+9x+l=s的三个根，

即为d-6必+9x+1-5=0的三个不等根，由上知mnt=5-1.

/(X)=3X2-12X+9=3(X-3)(X-1),

于是xe(l,3),/，(x)<0,/(x)单调递减,xe(-oo,l),/,(x)>0J(x)单调递增,

xe(3,+oo),/'(x)>0J(x)单调递增,

且/(0)=/(3)=1,/(1)=/(4)=5,函数/(x)的大致图象如下：

为使得歹=/（X）与y=S有三个交点,

则sw(1,5),故加加=5-1e(0,4).

17.如图所示，直线I，之间的距离为2,直线4,4之间的距离为1，且点4瓦。分别在/A，上运动，

（1）判断△NBC能否为正三角形？若能，求出其边长的值;若不能，请说明理由;

（2）求△48。面积的最小值.

【答案】（1）△48C是正三角形，巫；

3

⑵2百.

【解析】

【分析】（1）过C作过3作BE，/1,利用直角三角形边角关系求出NC,AB,则等边三角形建

立方程求解即得.

（2）由（1）中信息，利用三角形面积公式，结合三角恒等变换及正弦函数的性质求出最小值.

【小问1详解】

过C作CDJL/1,过2作BE，/1，垂足分别为如图,

-7T2兀2兀

由NG4尸=a,ZCAB=-,得0<a<—,NBAE=——a,

333

3AB=

在A/C£>中，AC=----,在A48E中，.，2兀、

sinasm(--or)

由△Ue是正三角形'则"〜瓦即熹=4一

13-\/3

整理得cosa=-fsina,又sin?a+cos2tz=1,解得sina=1=

3V32s

所以zc=—=巫.

sina3

【小问2详解】

_1_381巫_________1_________

Sc——,A.Csin——----------------------------

由（1）知,“ABRCr232.•/2712G.1.

smasm(--a)——smacosa+—sin2a

22

而也sinacosa+』sin2a=._1_11.兀、1

sin2a—cos2aH—=—sin(2a—)H—

2244264

由0<a<女，得一=<2tz-V<?,则当2a-四='，即a=色时，Y3：sinacos(z+‘sin%取最大值

366662322

3

4

所以a=乌时，S/Bc取得最小值迪・±=26.

323

18.已知函数/(X)=12。/+4x—lnx(Q£R).

(1)若函数J=/(x)在(0,+。)上是减函数，求实数a的取值范围；

(2)“若函数y=/(x)在(0』)上只有一个极值点，求实数a取值的集合”，某同学给出了如下解法:

由/'(x)=24ax+4—L=24"+4x—l=o在上只有一个实数根,所以△=i6+96a=0,得

XX

a=—g,止匕时x=ge(O,l).所以，实数.取值的集合为｛-g1.

上述解答正确吗？若不正确，说明理由，并给出正确的解答；

(3)若函数/(x)有两个极值点项,》2,证明：/(x1)+/(x2)>3+21n2.

【答案】(1)，巴一：

(2)上述解答不正确，理由见解析，解答见解析

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)求导，分析可知/'(x)<0(x>0)恒成立，参变分理结合二次函数最值分析求解；

(2)分析可知g(x)=24af+4x—1在(o,i)上只有一个变号零点，参变分类结合二次函数分析求解；

(3)分析可知g(久)=0在(0,+8)上有两个不等实根为x15x2,利用韦达定理整理可得

+)=1—，令/=—>—,〃(/)=l+8f-ln/,利用导数分析证明.

3aI24a)24a4

【小问1详解】

24QX+4X-1

因为/'(x)=24ax+4——

由题意可知/'(X)<0(x>0)恒成立，则24ax2+4x-l>0,

可得24Q4

-4>-4,当且仅当一=2,即1二—时，等号成立,

x2

可得24a<—4，解得a<—，

6

所以实数a的取值范围为

【小问2详解】

上述解答不正确，理由如下：

由题意可知：g(x)=24ax2+4x—l在(0,1)上只有一个变号零点,

令g(x)=0,整理可得24a=’~—-4,

令/=Le(l,+”)，则24a=(7—2『—4,

JC

令力(。=(/—2『—4,/〉1,作出其函数图象,

所以实数。取值的集合是一

【小问3详解】

因为函数/(x)有两个极值点毛,》2,

可知g(x)=24ax2+4x-1=0在(0,+8)上有两个不等实根为xpx2,

△=16+96。>0

M+X)=---->0

则《一6a解得—<a<0,

6

XiX9=----->0

24a

可得/(再)+/(%2)=12QX；+4再一1叫++4X2-lnx2

2

=12〃卜；+4)+4(玉+x2)-ln(x1x2)=12a+x2)-2x^2+4(X]+—Inx1x2

令/=_1—>；,则/(石)+/(x2)=l+8^-lnr

令”/)=l+8/—则/(f)=8_；=^^〉0,

可知硝)在心,+e)内单调递增，则/?(f)>/?［；)=3+21n2,

所以/(演)+/(%2)>3+21112.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤

(1)作差或变形；

(2)构造新的函数无(久)；

(3)利用导数研究伙久)的单调性或最值；

(4)根据单调性及最值，得到所证不等式.

特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值

问题.

19.设函数/(x)=e*.

(1)设g(x)=/(x)-以T,讨论g(x)的单调区间;

(2)设曲线y=/(x)在点(〃,/(〃))(〃22,〃eN)处的切线与x轴、了轴围成的三角形面积为Sn,令