2024-2025学年人教版八年级上册数学期末专项复习：分式（易错必刷30题）解析版

猜想05分式（易错必刷30题13种题型专项训练）

・题型目录展示♦

一.科学记数法一表示较小的数（共2小题）二.分式的定义（共1小题）

三.分式有意义的条件（共2小题）四.分式的值为零的条件（共2小题）

五.分式的值（共1小题）六.分式的基本性质（共2小题）

七.分式的加减法（共1小题）八.分式的混合运算（共3小题）

九.分式的化简求值（共5小题）十.分式方程的解（共3小题）

十一.解分式方程（共3小题）十二.分式方程的增根（共2小题）

十三.分式方程的应用（共3小题）

♦题型通关专训♦

一.科学记数法一表示较小的数（共2小题）

1.（2022秋•垣曲县期末）随着电子技术的不断进步,电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件

大约只占有面积0.00000065优0.00000065用科学记数法表示为（）

A.6.5X107B.6.5X10-6C.6.5X10-8D.6.5X10-7

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为aXl。-",与较大数的科学记数法

不同的是其所使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的。的个数所决定.

【解答】解：0.00000065=6.5X10-7.

故选：D.

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为aXIO",其中lW|a|<10,〃为由原数左边

起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

2.（2022秋•渝北区校级期末）将数0.00001032用科学记数法表示是1.032X1（）7.

【分析】科学记数法的表示形式为"X10"的形式，其中w为整数.确定〃的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，”是

正整数；当原数的绝对值<1时，〃是负整数.

【解答】解:0.00001032=1.032X10-5.

故答案为：1.032X10-5.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中lW|a|<10,

”为整数，表示时关键要正确确定a的值以及"的值.

二.分式的定义（共1小题）

3.（2022秋•柳州期末）下列式子是分式的是（）

A.xB.—C.—D.—

3x3

【分析】根据分式的定义判断即可.

【解答】解：A.尤是整式，故A不符合题意；

3.2是整式，故2不符合题意；

3

c.2是分式，故c符合题意；

X

。三是整式，故。不符合题意；

3

故选：C.

【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键.

三.分式有意义的条件（共2小题）

4.（2022秋•川汇区期末）要使分式——有意义，字母尤需要满足（）

2

x-x

A.SOB.C.-1D.xWO且xWl

【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案.

【解答】解：由题意得：/-xWO,

x（x-1）WO,

解得xWO且xWl,

故选：D.

【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为0是解题的关键.

5.（2022秋•柳州期末）当xW-4时,分式」一有意义.

x+4

【分析】分式有意义的条件是分母不为0.

【解答】解：•••分式」一有意义，

x+4

，x+4WO,

解得xW-4.

故答案为：--4.

【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义.

四.分式的值为零的条件（共2小题）

6.（2022秋•武冈市期末）若分式-1-3的值为0,则x的值为（）

x+3

A.±3B.0C.-3D.3

【分析】要使分式的值为0,必须分式分子的值为0并且分母的值不为0.

【解答】解：由题意得「X1-3=0,

lx+37t0

解得x=3.

故选：D.

【点评】本题考查了分式的值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.

7.（2022秋•宁阳县期末）能使分式卜『1的值为零的所有x的值是（）

x-2x+l

A.x=lB.x=-1C.x=l或x=-lD.x=2或x=l

【分析】分式的值为。的条件是：分子为①分母不为①两个条件需同时具备，缺一不可.据此可以解

答本题.

【解答】解：:卜1-1=0,即鼠|-：=0,

X2-2X+1（x-l）2

又Wl,

••x=:-1.

故选：B.

【点评】此题考查的是对分式的值为0的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为0这个条件.

五.分式的值（共1小题）

8.（2023春•开江县校级期末）若>=-一,则2x-3xy-2y的值为（）

l-2xy+xy-x

A.—B.-1C.上D.J-

333

【分析】根据己知可得y-x=2移，然后代入式子中进行计算即可解答.

【解答】解:

l-2x

,*.y-2xy=x,

•'•y-x=2xy,

・2x-3xy-2y=2x-2y-3xy

y+xy-xy-x+xy

--7xy

3xy

一_—一7,

3

故选：D.

【点评】本题考查了分式的值，根据题目的已知求出y-x与孙的关系是解题的关键.

六.分式的基本性质（共2小题）

2

9.（2022秋•灵宝市期末）如果分式上一中的a,b都同时扩大2倍，那么该分式的值（）

a+b

A.不变B.缩小2倍C.扩大2倍D,扩大4倍

【分析】依题意分别用2a和26去代换原分式中的。和b,利用分式的基本性质化简即可.

2

【解答】解：・・•分式刍一中的。，b都同时扩大2倍，

a+b

.（2a）22a2

2a+2ba+b

•••该分式的值扩大2倍.

故选：C.

【点评】本题考查了分式的基本性质.解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母

变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论.

10.（2022秋•忠县期末）若将分式上L中的x,y的值都变为它们的相反数，则变化后分式的值（）

x-2y

A.1B.-1

C.变为相反数D.不变

【分析】利用分式的基本性质，进行计算即可解答.

【解答】解：由题意得：

-x+（-y）=-x-y=x+y,

-x-2*（-y）-x+2yx-2y

.•.若将分式三_中的无，y的值都变为它们的相反数，则变化后分式的值不变，

x-2y

故选：D.

【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.

七.分式的加减法（共1小题）

11.（2022秋•固始县期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，

称这样的分式为真分式.例如，分式人，出J是真分式.如果分子的次数不低于分母的次数，称这

x+2X3_4X

样的分式为假分式.例如，分式坦,2%是假分式.一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和.例

X-lx+1

如，包

X-1X-lX-1

（1）将假分式2■化为一个整式与一个真分式的和；

x+l

2

（2）若分式」的值为整数，求x的整数值.

x+l

【分析】（1）根据题意，把分式型支化为整式与真分式的和的形式即可；

x+l

（2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的

值.

【解答】解：（1）由题可得，.生L='lx+1/i-0=2-3；

x+lx+lx+l

（2）（x+1）（x-l）+l=x_i+，,

x+lx+lx+lx+l

•・,分式的值为整数，且x为整数，

，x+l=±l,

・•.％=-2或0.

【点评】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

八.分式的混合运算（共3小题）

2

12.（2022秋•莱芜区期末）化简：（a+3-上-）.三二至旭.

a-3a-3

【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答.

2

【解答】解：Q+3-工）-8a+16

a-3a-3

=a2_g_7.a3

2

a-3（a-4）

=（a+4）（a-4）.a-3

2

a-3（a-4）

=a+4

a-4

【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.

13.（2022秋•忻府区期末）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：小明同学的解

x2-lx-1

答过程如下：

2_1

x2-11AY-1

=_____2_____-_1_®

(x+1)(x-l)X-1

=----------------------------②

(x+1)(x-l)(x+1)(X-l)

=2-(x+1)③

=1-X④，

(1)请你分析小明的解答从第③步开始出现错误(填序号)，错误的原因是漏掉了分母；

(2)请写出正确解答过程，并求出当x=2时此式的值.

【分析】(1)根据异分母分式加减法法则，进行计算即可解答;

(2)根据异分母分式加减法法则进行计算，然后再把尤的值代入化简后的式子进行计算即可解答.

【解答】解：(1)请你分析小明的解答从第③步开始出现错误(填序号)，错误的原因是漏掉了分母;

故答案为：③，漏掉了分母;

(2)正确的解答过程如下：

2_1

x2-lx-l

2_1

(x+1)(x-l)X-l

2_x+1

(x+1)(x-l)(x+1)(x-l)

—2-x-]

(x+1)(x-l)

______1-X

(x+1)(x-l)

=_1

当x=2时，原式=-―—=--.

2+13

【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键.

14.(2022秋•如东县期末)定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即则称分式N是

分式M的“关联分式”.如」一与工,因为二——L0一±一-J-x—___-___

x+1x+2x+1x+2(x+1)(x+2)x+1x+2(x+1)(x+2)

所以」一是」一的“关联分式”.

x+2x+1

(1)已知分式_2_,则二一是上-的“关联分式”(填“是”或“不是”)；

212..I21

a-1a+1a-1

(2)小明在求分式.的“关联分式”时,用了以下方法:

x+y

设十的，，关联分式，，为M贝XN,

x+yx+yx+y

(1?+l)N=J?，

x^+yx'+y

x^2+y2+1

请你仿照小明的方法求分式上L的“关联分式”.

2a+3b

（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式工的“关联分式”：—上

xx+y

②用发现的规律解决问题：

若生二2是也2的“关联分式”，求实数相，〃的值.

mx+mmx+n

【分析】（1）根据关联分式的定义判断.

（2）仿照小明的方法求解.

（3）找规律后求解.

2_2_2Q2+l)-2(a2-l)-4

a2-1a?+l(a2-l)(a2+l)(a2-l)(a2+l)

2x2—4

a2-la2+l(a2-l)(a^+1)

；J是的关联分式.

a2+,1Ha2-11

故答案为：是.

(2)设的关联分式是N,贝的

2a+3b

a-b_va-b,N_

2a+3b2a+3b

(a-b+i).1=a-b.

2a+3b2a+3b

.3a+2b呐=>-b

2a+3b2a+3b

：.N=a-b.

3a+2b

(3)①由(2)知：工的关联分式为：工+(工+1)=上.

xxxx+y

故答案为：上.

x+y

②由题意得:4m+2=4n-2

mx+m=mx+n+4m+2

.Jn-m=1

In+3m=-2

【点评】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础

九.分式的化简求值（共5小题）

2

15.（2022秋•忠县期末）已知代数式Q+3-q-）4■士磬也.

（1）化简已知代数式;

（2）若。满足2秘-1=0,求已知代数式的值.

【分析】（1）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；

（2）根据已知易得/=4+°,然后代入（1）中化简后的式子，进行计算即可解答.

【解答】解：（1）Q+3-工）+a+泞-

a+1a2+a

=a：+4a+3-3.a（a+1）

a+1（a+4）2

=a（a+4）•a（a+1）

a+1（a+4）2

(2),/

.•.〃2-4-〃=0,

♦•a=4+〃，

22

当〃2=4+。时，原式=上一=a-=i.

a+4d/.

【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键.

16.（2022秋•葫芦岛期末）先化简，再求值：—^3_+（］其中》=-2.

X2+6X+9X+3

【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把X的值代入化简后的式子进行

计算即可解答.

【解答】解：x-3+(1一上)

X2+6X+9X+3

=x-3-x+3-6

(x+3)2x+3

=x-3.x+3

(x+3尸x-3

=1

7^3，

当x=-2时，原式=―-—=1.

-2+3

【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键.

2

17.(2022秋•海珠区校级期末)先化简，再求值：(厂1+立红)+匚2其中x为整数且满足-2〈尤〈

x+1x+1

【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把X的值代入化简后的式子进行

计算即可解答.

2

【解答】解：(X-1+红红)9

x+1x+1

=。2-1+2-2。・x+1

x+1x(x-1)

=X2-2X+1.X+1

x+1x(x-1)

=(x-1)2.x+1

x+1X(x-1)

•.5为整数且满足-2VxV3,

••%=-1,0,1,2,

Vx+1^0,+0,x-1^0,

・・xW-1,%W0,x-/-1,

.,.当x=2时，原式=£」=」.

22

【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键.

222

18.(2022秋•阳泉期末)先化简，再求值：三+型9_a+力然后在0,1,2,3中选一个

223a-1

a-n993a-ad1

你认为合适的a的值代入求值.

【分析】先计算分式的除法，再算加法，然后把。的值代入化简后的式子进行计算即可解答.

【解答】解：.+6a+9+&2+力，--/

a2-93a2-a3a-^

_(a+3)2.a2(3-a)+a(1-a)

(a+3)(a_3)a(a+3)a-l

=-4一〃

=-2a,

•.•〃2-9WO,〃-lWO,〃W0,

•"#±3,4Wl,q#0,

当a=2时，原式=-2X2=-4.

【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键.

19.(2022秋•东丽区期末)先化简，再求值.

za2bab（工$）,其中”=-2,b=-1.

a-b4a-ba+2b'

【分析】先利用同分母分式加减法法则，异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把mb

的值代入化简后的式子进行计算即可解答.

【解答】解：(&

a-ba-ba+2bab

=a+2b.ab-a+b

a-ba+2bab

=a+2b.ab•ab

a-ba+2ba+b

当a=-2,b=-1时，原式=-「2)二X(二1)二

(-2)2-(-l)2

_4X1

4-1

—_—4.

3

【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键.

一十.分式方程的解(共3小题)

20.(2022秋•铁岭县期末)已知关于x的分式方程一~=1的解是非负数，则相的取值范围是()

X-1

A.m^lB.根W1C.m2-1且nzWOD.-1

【分析】由分式方程的解为非负数得到关于“的不等式，进而求出机的范围即可.

【解答】解：分式方程去分母得：m=x-L

即x=m+l,

由分式方程的解为非负数，得到

7"+120,且7"+lWl,

解得：机2-1且mW0,

故选：C.

【点评】此题考查了分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大

了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解.

21.（2022秋•和平区校级期末）己知关于x的分式方程工旦=1的解为非负数，则m的取值范围是m

2x-l一

2—4且.

【分析】根据题意求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数进行求解.

【解答】解：关于X的分式方程如W-=1化为整式方程为：根+3=2x-1,

2x-l

解得：x=空生，且xW」，

2尸2

•••方程的解为非负数，

二.空里＞0,且变当卢」,

22产2

解得：加2-4且mW-3,

故答案为：加三-4且mW-3.

【点评】本题考查了分式方程的解以及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不

等式的解法是解题的关键.

22.（2022秋•永定区期末）若关于x的分式方程4=工+］无解，求机的值.

x-2x-2

【分析】先解分式方程可得（m-1）尤=2,根据分式方程无解可知原方程有增根x=2或加-1=0,进一

步即可求出m的值.

【解答】解：去分母，得》u=4+x-2,

整理，得（根-1）x=2,

:关于x的分式方程4=人+1无解，

x-2x~2

当x=2时原分式方程有增根，原方程无解,

：.2(m-1)=2,

解得m=2,

当机-1=0时，原方程无解,

解得m=l,

.'.m—2或1.

【点评】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法和分式方程无解的情况是解题的关键.

一十一.解分式方程（共3小题）

23.（2022秋•汉阴县期末）解分式方程：2二3+13-

x-22-x

【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答.

【解答】解:x-3.3

x-3+x-2=-3,

解得：x=l,

检验：当x=l时，x-2#0,

.•.尤=1是原方程的根.

【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须要检验.

24.（2022秋•绥棱县校级期末）解下列分式方程：

⑵L1=4

32x-l6x-3

【分析】（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答;

（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答.

【解答】解：（1）」-北区=1，

X-l1-X

1-2=x-1,

解得：x=0,

检验：当x=0时，x-17^0,

・,・％=0是原方程的根；

（2）L1=4,

32x-l6x-3

2x-1-3=4,

解得：x=4,

检验：当x=4时，3（2x-1）WO,

・・・%=4是原方程的根.

【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验.

25.（2022秋•任城区期末）解方程：——.

x-2x-4x+4

【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答.

【解答】解：1=_J一，

2

x-2X-4X+4

x,l4

x-2（x-2）2

尤（X-2）-（x-2）2=4,

解得：x=4,

检验：当x=4时，（x-2）2#0,

.•.尤=4是原方程的根.

【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验.

一十二.分式方程的增根（共2小题）

26.（2022秋•天河区校级期末）已知关于x的方程=3二一有增根，则。的值为（）

x-5x-5

A.4B.5C.6D.-5

【分析】首先最简公分母为0,求出增根，化分式方程为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关字

母的值.

【解答】解：•.•方程有增根，

••x-5=0,

•»x=5，

上=34，

x-5x-5

x~~3（%-5）-a,

x~~3x-15-〃，

把x=5代入整式方程解得〃=-5,

故选：D.

【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根产生的原因，增根确定后可按如下步骤

进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，这是解题的关键.

27.（2022秋•桥西区期末）关于x的方程变3-^=1有增根，则m=5

x-2x-2

【分析】根据题意可得x=2,然后把x=2代入整式方程中，进行计算即可解答.

【解答】解：•••坦乌-上=1,

x-2x-2

_3-x=x-2,

解得：尸变工

2

...方程叱-上=1有增根,

x-2x-2

把x=2代入中得:

2

2=^1,

2

解得："2=5,

故答案为：5.

【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出尤的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键.

一十三.分式方程的应用（共3小题）

28.（2022秋•新抚区期末）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元.已知330元购进

的篮球数量和240元购进的排球数量相等.

（1）篮球和排球的单价各是多少元？

（2）现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元.篮球最多购买多少个？

【分析】（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，由题意：330元购进的篮球数量和240

元购进的排球数量相等.列出分式方程，解方程即可；

（2）设购买排球y个，则购买篮球（20-y）个，由题意：购买篮球和排球的总费用不超过1800元，列

出一元一次不等式，解不等式即可.

【解答】解：⑴设排球的单价为龙元，则篮球的单价为（龙+30）元，

根据题意得：&_=独，

x+30x

解得：x=80,

经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意，

.,.x+30=110.

，篮球的单价为110元，排球的单价为80元.

（2）设购买篮球y个，则购买排球（20-y）个,

依题意得：110y+80（20-y）W1800,

解得yW62,

3

即y的最大值为6,

，最多购买6个篮球.

【点评】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，

正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式.

29.（2022秋•魏都区校级期末）某工程队承接了30万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际

工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前了15天完成了这一任务.

（1）用含尤的代数式填表（结果不需要化简）

工作效率（万平方米/工作时间（天）总任务量（万平方

天）米）