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文档简介

猜想05分式(易错必刷30题13种题型专项训练)

・题型目录展示♦

一.科学记数法一表示较小的数(共2小题)二.分式的定义(共1小题)

三.分式有意义的条件(共2小题)四.分式的值为零的条件(共2小题)

五.分式的值(共1小题)六.分式的基本性质(共2小题)

七.分式的加减法(共1小题)八.分式的混合运算(共3小题)

九.分式的化简求值(共5小题)十.分式方程的解(共3小题)

十一.解分式方程(共3小题)十二.分式方程的增根(共2小题)

十三.分式方程的应用(共3小题)

♦题型通关专训♦

一.科学记数法一表示较小的数(共2小题)

1.(2022秋•垣曲县期末)随着电子技术的不断进步,电子元件的尺寸大幅度缩小,在芯片上某种电子元件

大约只占有面积0.00000065优0.00000065用科学记数法表示为()

A.6.5X107B.6.5X10-6C.6.5X10-8D.6.5X10-7

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为aXl。-",与较大数的科学记数法

不同的是其所使用的是负指数幕,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的。的个数所决定.

【解答】解:0.00000065=6.5X10-7.

故选:D.

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为aXIO",其中lW|a|<10,〃为由原数左边

起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

2.(2022秋•渝北区校级期末)将数0.00001032用科学记数法表示是1.032X1()7.

【分析】科学记数法的表示形式为"X10"的形式,其中w为整数.确定〃的值时,要看把原

数变成a时,小数点移动了多少位,”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时,”是

正整数;当原数的绝对值<1时,〃是负整数.

【解答】解:0.00001032=1.032X10-5.

故答案为:1.032X10-5.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10"的形式,其中lW|a|<10,

”为整数,表示时关键要正确确定a的值以及"的值.

二.分式的定义(共1小题)

3.(2022秋•柳州期末)下列式子是分式的是()

A.xB.—C.—D.—

3x3

【分析】根据分式的定义判断即可.

【解答】解:A.尤是整式,故A不符合题意;

3.2是整式,故2不符合题意;

3

c.2是分式,故c符合题意;

X

。三是整式,故。不符合题意;

3

故选:C.

【点评】本题考查了分式的定义,熟练掌握分式的定义是解题的关键.

三.分式有意义的条件(共2小题)

4.(2022秋•川汇区期末)要使分式——有意义,字母尤需要满足()

2

x-x

A.SOB.C.-1D.xWO且xWl

【分析】根据分式的分母不为0列出不等式,解不等式得到答案.

【解答】解:由题意得:/-xWO,

x(x-1)WO,

解得xWO且xWl,

故选:D.

【点评】本题考查的是分式有意义的条件,熟记分式的分母不为0是解题的关键.

5.(2022秋•柳州期末)当xW-4时,分式」一有意义.

x+4

【分析】分式有意义的条件是分母不为0.

【解答】解:•••分式」一有意义,

x+4

,x+4WO,

解得xW-4.

故答案为:--4.

【点评】本题考查的是分式有意义的条件:当分母不为0时,分式有意义.

四.分式的值为零的条件(共2小题)

6.(2022秋•武冈市期末)若分式-1-3的值为0,则x的值为()

x+3

A.±3B.0C.-3D.3

【分析】要使分式的值为0,必须分式分子的值为0并且分母的值不为0.

【解答】解:由题意得「X1-3=0,

lx+37t0

解得x=3.

故选:D.

【点评】本题考查了分式的值为零的条件:分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.

7.(2022秋•宁阳县期末)能使分式卜『1的值为零的所有x的值是()

x-2x+l

A.x=lB.x=-1C.x=l或x=-lD.x=2或x=l

【分析】分式的值为。的条件是:分子为①分母不为①两个条件需同时具备,缺一不可.据此可以解

答本题.

【解答】解::卜1-1=0,即鼠|-:=0,

X2-2X+1(x-l)2

又Wl,

••x=:-1.

故选:B.

【点评】此题考查的是对分式的值为0的条件的理解,该类型的题易忽略分母不为0这个条件.

五.分式的值(共1小题)

8.(2023春•开江县校级期末)若>=-一,则2x-3xy-2y的值为()

l-2xy+xy-x

A.—B.-1C.上D.J-

333

【分析】根据己知可得y-x=2移,然后代入式子中进行计算即可解答.

【解答】解:

l-2x

,*.y-2xy=x,

•'•y-x=2xy,

・2x-3xy-2y=2x-2y-3xy

y+xy-xy-x+xy

--7xy

3xy

一_—一7,

3

故选:D.

【点评】本题考查了分式的值,根据题目的已知求出y-x与孙的关系是解题的关键.

六.分式的基本性质(共2小题)

2

9.(2022秋•灵宝市期末)如果分式上一中的a,b都同时扩大2倍,那么该分式的值()

a+b

A.不变B.缩小2倍C.扩大2倍D,扩大4倍

【分析】依题意分别用2a和26去代换原分式中的。和b,利用分式的基本性质化简即可.

2

【解答】解:・・•分式刍一中的。,b都同时扩大2倍,

a+b

.(2a)22a2

2a+2ba+b

•••该分式的值扩大2倍.

故选:C.

【点评】本题考查了分式的基本性质.解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数,解此类题首先把字母

变化后的值代入式子中,然后约分,再与原式比较,最终得出结论.

10.(2022秋•忠县期末)若将分式上L中的x,y的值都变为它们的相反数,则变化后分式的值()

x-2y

A.1B.-1

C.变为相反数D.不变

【分析】利用分式的基本性质,进行计算即可解答.

【解答】解:由题意得:

-x+(-y)=-x-y=x+y,

-x-2*(-y)-x+2yx-2y

.•.若将分式三_中的无,y的值都变为它们的相反数,则变化后分式的值不变,

x-2y

故选:D.

【点评】本题考查了分式的基本性质,熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.

七.分式的加减法(共1小题)

11.(2022秋•固始县期末)分式中,在分子、分母都是整式的情况下,如果分子的次数低于分母的次数,

称这样的分式为真分式.例如,分式人,出J是真分式.如果分子的次数不低于分母的次数,称这

x+2X3_4X

样的分式为假分式.例如,分式坦,2%是假分式.一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和.例

X-lx+1

如,包

X-1X-lX-1

(1)将假分式2■化为一个整式与一个真分式的和;

x+l

2

(2)若分式」的值为整数,求x的整数值.

x+l

【分析】(1)根据题意,把分式型支化为整式与真分式的和的形式即可;

x+l

(2)根据题中所给出的例子,把原式化为整式与真分式的和形式,再根据分式的值为整数即可得出x的

值.

【解答】解:(1)由题可得,.生L='lx+1/i-0=2-3;

x+lx+lx+l

(2)(x+1)(x-l)+l=x_i+,,

x+lx+lx+lx+l

•・,分式的值为整数,且x为整数,

,x+l=±l,

・•.%=-2或0.

【点评】本题考查了分式的混合运算,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

八.分式的混合运算(共3小题)

2

12.(2022秋•莱芜区期末)化简:(a+3-上-).三二至旭.

a-3a-3

【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里,再算括号外,即可解答.

2

【解答】解:Q+3-工)-8a+16

a-3a-3

=a2_g_7.a3

2

a-3(a-4)

=(a+4)(a-4).a-3

2

a-3(a-4)

=a+4

a-4

【点评】本题考查了分式的混合运算,准确熟练地进行计算是解题的关键.

13.(2022秋•忻府区期末)学习了分式运算后,老师布置了这样一道计算题:小明同学的解

x2-lx-1

答过程如下:

2_1

x2-11AY-1

=_____2_____-_1_®

(x+1)(x-l)X-1

=----------------------------②

(x+1)(x-l)(x+1)(X-l)

=2-(x+1)③

=1-X④,

(1)请你分析小明的解答从第③步开始出现错误(填序号),错误的原因是漏掉了分母;

(2)请写出正确解答过程,并求出当x=2时此式的值.

【分析】(1)根据异分母分式加减法法则,进行计算即可解答;

(2)根据异分母分式加减法法则进行计算,然后再把尤的值代入化简后的式子进行计算即可解答.

【解答】解:(1)请你分析小明的解答从第③步开始出现错误(填序号),错误的原因是漏掉了分母;

故答案为:③,漏掉了分母;

(2)正确的解答过程如下:

2_1

x2-lx-l

2_1

(x+1)(x-l)X-l

2_x+1

(x+1)(x-l)(x+1)(x-l)

—2-x-]

(x+1)(x-l)

______1-X

(x+1)(x-l)

=_1

当x=2时,原式=-―—=--.

2+13

【点评】本题考查了分式的混合运算,熟练掌握因式分解是解题的关键.

14.(2022秋•如东县期末)定义:若分式M与分式N的差等于它们的积,即则称分式N是

分式M的“关联分式”.如」一与工,因为二——L0一±一-J-x—___-___

x+1x+2x+1x+2(x+1)(x+2)x+1x+2(x+1)(x+2)

所以」一是」一的“关联分式”.

x+2x+1

(1)已知分式_2_,则二一是上-的“关联分式”(填“是”或“不是”);

212..I21

a-1a+1a-1

(2)小明在求分式.的“关联分式”时,用了以下方法:

x+y

设十的,,关联分式,,为M贝XN,

x+yx+yx+y

(1?+l)N=J?,

x^+yx'+y

x^2+y2+1

请你仿照小明的方法求分式上L的“关联分式”.

2a+3b

(3)①观察(1)(2)的结果,寻找规律,直接写出分式工的“关联分式”:—上

xx+y

②用发现的规律解决问题:

若生二2是也2的“关联分式”,求实数相,〃的值.

mx+mmx+n

【分析】(1)根据关联分式的定义判断.

(2)仿照小明的方法求解.

(3)找规律后求解.

2_2_2Q2+l)-2(a2-l)-4

a2-1a?+l(a2-l)(a2+l)(a2-l)(a2+l)

2x2—4

a2-la2+l(a2-l)(a^+1)

;J是的关联分式.

a2+,1Ha2-11

故答案为:是.

(2)设的关联分式是N,贝的

2a+3b

a-b_va-b,N_

2a+3b2a+3b

(a-b+i).1=a-b.

2a+3b2a+3b

.3a+2b呐=>-b

2a+3b2a+3b

:.N=a-b.

3a+2b

(3)①由(2)知:工的关联分式为:工+(工+1)=上.

xxxx+y

故答案为:上.

x+y

②由题意得:4m+2=4n-2

mx+m=mx+n+4m+2

.Jn-m=1

In+3m=-2

【点评】本题考查用新定义解决数学问题,熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础

九.分式的化简求值(共5小题)

2

15.(2022秋•忠县期末)已知代数式Q+3-q-)4■士磬也.

(1)化简已知代数式;

(2)若。满足2秘-1=0,求已知代数式的值.

【分析】(1)先利用异分母分式加减法法则计算括号里,再算括号外,即可解答;

(2)根据已知易得/=4+°,然后代入(1)中化简后的式子,进行计算即可解答.

【解答】解:(1)Q+3-工)+a+泞-

a+1a2+a

=a:+4a+3-3.a(a+1)

a+1(a+4)2

=a(a+4)•a(a+1)

a+1(a+4)2

(2),/

.•.〃2-4-〃=0,

♦•a=4+〃,

22

当〃2=4+。时,原式=上一=a-=i.

a+4d/.

【点评】本题考查了分式的化简求值,熟练掌握因式分解是解题的关键.

16.(2022秋•葫芦岛期末)先化简,再求值:—^3_+(]其中》=-2.

X2+6X+9X+3

【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里,再算括号外,然后把X的值代入化简后的式子进行

计算即可解答.

【解答】解:x-3+(1一上)

X2+6X+9X+3

=x-3-x+3-6

(x+3)2x+3

=x-3.x+3

(x+3尸x-3

=1

7^3,

当x=-2时,原式=―-—=1.

-2+3

【点评】本题考查了分式的化简求值,熟练掌握因式分解是解题的关键.

2

17.(2022秋•海珠区校级期末)先化简,再求值:(厂1+立红)+匚2其中x为整数且满足-2〈尤〈

x+1x+1

【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里,再算括号外,然后把X的值代入化简后的式子进行

计算即可解答.

2

【解答】解:(X-1+红红)9

x+1x+1

=。2-1+2-2。・x+1

x+1x(x-1)

=X2-2X+1.X+1

x+1x(x-1)

=(x-1)2.x+1

x+1X(x-1)

•.5为整数且满足-2VxV3,

••%=-1,0,1,2,

Vx+1^0,+0,x-1^0,

・・xW-1,%W0,x-/-1,

.,.当x=2时,原式=£」=」.

22

【点评】本题考查了分式的化简求值,熟练掌握因式分解是解题的关键.

222

18.(2022秋•阳泉期末)先化简,再求值:三+型9_a+力然后在0,1,2,3中选一个

223a-1

a-n993a-ad1

你认为合适的a的值代入求值.

【分析】先计算分式的除法,再算加法,然后把。的值代入化简后的式子进行计算即可解答.

【解答】解:.+6a+9+&2+力,--/

a2-93a2-a3a-^

_(a+3)2.a2(3-a)+a(1-a)

(a+3)(a_3)a(a+3)a-l

=-4一〃

=-2a,

•.•〃2-9WO,〃-lWO,〃W0,

•"#±3,4Wl,q#0,

当a=2时,原式=-2X2=-4.

【点评】本题考查了分式的化简求值,熟练掌握因式分解是解题的关键.

19.(2022秋•东丽区期末)先化简,再求值.

za2bab(工$),其中”=-2,b=-1.

a-b4a-ba+2b'

【分析】先利用同分母分式加减法法则,异分母分式加减法法则计算括号里,再算括号外,然后把mb

的值代入化简后的式子进行计算即可解答.

【解答】解:(&

a-ba-ba+2bab

=a+2b.ab-a+b

a-ba+2bab

=a+2b.ab•ab

a-ba+2ba+b

当a=-2,b=-1时,原式=-「2)二X(二1)二

(-2)2-(-l)2

_4X1

4-1

—_—4.

3

【点评】本题考查了分式的化简求值,准确熟练地进行计算是解题的关键.

一十.分式方程的解(共3小题)

20.(2022秋•铁岭县期末)已知关于x的分式方程一~=1的解是非负数,则相的取值范围是()

X-1

A.m^lB.根W1C.m2-1且nzWOD.-1

【分析】由分式方程的解为非负数得到关于“的不等式,进而求出机的范围即可.

【解答】解:分式方程去分母得:m=x-L

即x=m+l,

由分式方程的解为非负数,得到

7"+120,且7"+lWl,

解得:机2-1且mW0,

故选:C.

【点评】此题考查了分式方程的解,在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大

了未知数的取值范围,可能产生增根,增根是令分母等于0的值,不是原分式方程的解.

21.(2022秋•和平区校级期末)己知关于x的分式方程工旦=1的解为非负数,则m的取值范围是m

2x-l一

2—4且.

【分析】根据题意求出分式方程的解,然后根据方程的解为非负数进行求解.

【解答】解:关于X的分式方程如W-=1化为整式方程为:根+3=2x-1,

2x-l

解得:x=空生,且xW」,

2尸2

•••方程的解为非负数,

二.空里>0,且变当卢」,

22产2

解得:加2-4且mW-3,

故答案为:加三-4且mW-3.

【点评】本题考查了分式方程的解以及一元一次不等式的解法,熟练掌握分式方程的解法及一元一次不

等式的解法是解题的关键.

22.(2022秋•永定区期末)若关于x的分式方程4=工+]无解,求机的值.

x-2x-2

【分析】先解分式方程可得(m-1)尤=2,根据分式方程无解可知原方程有增根x=2或加-1=0,进一

步即可求出m的值.

【解答】解:去分母,得》u=4+x-2,

整理,得(根-1)x=2,

:关于x的分式方程4=人+1无解,

x-2x~2

当x=2时原分式方程有增根,原方程无解,

:.2(m-1)=2,

解得m=2,

当机-1=0时,原方程无解,

解得m=l,

.'.m—2或1.

【点评】本题考查了分式方程的解,熟练掌握解分式方程的方法和分式方程无解的情况是解题的关键.

一十一.解分式方程(共3小题)

23.(2022秋•汉阴县期末)解分式方程:2二3+13-

x-22-x

【分析】按照解分式方程的步骤,进行计算即可解答.

【解答】解:x-3.3

x-3+x-2=-3,

解得:x=l,

检验:当x=l时,x-2#0,

.•.尤=1是原方程的根.

【点评】本题考查了解分式方程,一定要注意解分式方程必须要检验.

24.(2022秋•绥棱县校级期末)解下列分式方程:

⑵L1=4

32x-l6x-3

【分析】(1)按照解分式方程的步骤,进行计算即可解答;

(2)按照解分式方程的步骤,进行计算即可解答.

【解答】解:(1)」-北区=1,

X-l1-X

1-2=x-1,

解得:x=0,

检验:当x=0时,x-17^0,

・,・%=0是原方程的根;

(2)L1=4,

32x-l6x-3

2x-1-3=4,

解得:x=4,

检验:当x=4时,3(2x-1)WO,

・・・%=4是原方程的根.

【点评】本题考查了解分式方程,一定要注意解分式方程必须检验.

25.(2022秋•任城区期末)解方程:——.

x-2x-4x+4

【分析】按照解分式方程的步骤,进行计算即可解答.

【解答】解:1=_J一,

2

x-2X-4X+4

x,l4

x-2(x-2)2

尤(X-2)-(x-2)2=4,

解得:x=4,

检验:当x=4时,(x-2)2#0,

.•.尤=4是原方程的根.

【点评】本题考查了解分式方程,一定要注意解分式方程必须检验.

一十二.分式方程的增根(共2小题)

26.(2022秋•天河区校级期末)已知关于x的方程=3二一有增根,则。的值为()

x-5x-5

A.4B.5C.6D.-5

【分析】首先最简公分母为0,求出增根,化分式方程为整式方程,把增根代入整式方程即可求得相关字

母的值.

【解答】解:•.•方程有增根,

••x-5=0,

•»x=5,

上=34,

x-5x-5

x~~3(%-5)-a,

x~~3x-15-〃,

把x=5代入整式方程解得〃=-5,

故选:D.

【点评】本题考查了分式方程的增根,熟练掌握分式方程的增根产生的原因,增根确定后可按如下步骤

进行:①化分式方程为整式方程;②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值,这是解题的关键.

27.(2022秋•桥西区期末)关于x的方程变3-^=1有增根,则m=5

x-2x-2

【分析】根据题意可得x=2,然后把x=2代入整式方程中,进行计算即可解答.

【解答】解:•••坦乌-上=1,

x-2x-2

_3-x=x-2,

解得:尸变工

2

...方程叱-上=1有增根,

x-2x-2

把x=2代入中得:

2

2=^1,

2

解得:"2=5,

故答案为:5.

【点评】本题考查了分式方程的增根,根据题意求出尤的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键.

一十三.分式方程的应用(共3小题)

28.(2022秋•新抚区期末)某校购进一批篮球和排球,篮球的单价比排球的单价多30元.已知330元购进

的篮球数量和240元购进的排球数量相等.

(1)篮球和排球的单价各是多少元?

(2)现要购买篮球和排球共20个,总费用不超过1800元.篮球最多购买多少个?

【分析】(1)设排球的单价为x元,则篮球的单价为(x+30)元,由题意:330元购进的篮球数量和240

元购进的排球数量相等.列出分式方程,解方程即可;

(2)设购买排球y个,则购买篮球(20-y)个,由题意:购买篮球和排球的总费用不超过1800元,列

出一元一次不等式,解不等式即可.

【解答】解:⑴设排球的单价为龙元,则篮球的单价为(龙+30)元,

根据题意得:&_=独,

x+30x

解得:x=80,

经检验,x=80是原分式方程的解,且符合题意,

.,.x+30=110.

,篮球的单价为110元,排球的单价为80元.

(2)设购买篮球y个,则购买排球(20-y)个,

依题意得:110y+80(20-y)W1800,

解得yW62,

3

即y的最大值为6,

,最多购买6个篮球.

【点评】此题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,

正确列出分式方程;(2)找准等量关系,正确列出一元一次不等式.

29.(2022秋•魏都区校级期末)某工程队承接了30万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际

工作时每天的工作效率比原计划提高了25%,结果提前了15天完成了这一任务.

(1)用含尤的代数式填表(结果不需要化简)

工作效率(万平方米/工作时间(天)总任务量(万平方

天)米)

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