2023年高考数学二轮复习试题汇编：圆锥曲线中的定点与定值问题（含解析）

专题15圆锥曲线中的定点与定值问题

一、核心先导

二、考点再现

【考点1】、【直线过定点的解题策略】

(1)如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情

况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.

(2)直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，

从而得到定点.

(3)若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的

特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，

设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.

【重要结论】

1.动直线，过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为了=履+力，由题设条件将力用A表示为力=〃"，得y

=k(x+而,故动直线过定点(一如0).

2.动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得

出定点.

3.“弦对定点张直角”-圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB,则AB必过定点

2222

x0(g-b)y0(a-Z?)

Va2+b2，a2+b2),

4.只要任意一个限定AP与BP条件(如左AP•左BP=定值，左AP+左8「=定值)，直线AB依然会过定点

【考点2】、【定值问题的常见类型及解题策略】

(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；

(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形

求得；

(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对，解析式进行化简、变形即可求得.

【知识拓展】

1.设点是椭圆C：^+1=l(a〉Z?〉O)上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若

kpA+kpB=入，则2=0时直线AB斜率为定值上;(〃wo),若XHO,则直线AB过定点

2n

m-----,—n—

2

2.设点尸(771,71)是双曲线C:—~——1(〃>0,b>0)一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点,

若即A+%>B=X，则2=0时直线AB斜率为定值——若义工0，则直线AB过定点

m---，一〃+—%—；

(%)

3.设点是抛物线C：V=22%(〃>0)一定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若

kpA+kpB=入，则4=0时直线AB斜率为定值一二("7°)，若则直线AB过定点

三、解法解密

圆锥曲线的第三定义：

平面内的动点到两定点A(-a，。)&",0)的斜率乘积等于常数e2-1点的轨迹叫做椭圆或双曲线，

其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数e2-1>1时，轨迹为双曲线，如果e2-i?(1,0)

时，轨迹为椭圆。

圆锥曲线的第三定义的有关结论：

2

1.椭圆方程中有关-彳b的经典结论

Xyh

⑴.AB是椭圆二+2=1的不平行于对称轴的弦，为AB的中点，则上o/L=—

aba

22

(2).椭圆的方程为0+1=1(a>b>0)，A,4为椭圆的长轴顶点,P点是椭圆上异于长轴顶点的任

ab

b2

一点，则有Kp&K%

a2

22

(3).椭圆的方程为=+与=1(a>b>0),8,3,为椭圆的短轴顶点,P点是椭圆上异于短轴顶点的

ab

b2

任一点，则有Kp81Kp为

22

(4).椭圆的方程为^+%=1(a>b>0),过原点的直线交椭圆于两点,P点是椭圆上异于

b2

两点的任一点，则有KK=---

PAPBa

2

2.双曲线方程中有关b与的经典结论

a

2272

⑴AB是双曲线0―多=1的不平行于对称轴的弦，M(Xo，y0)为AB的中点，则上OM此B=F

a厅a~

b2

即K般武x

22

(2)双曲线的方程为3=1(a>0,b>0),A,双为双曲线的实轴顶点,P点是双曲线上异于实轴

a"b"

b2

顶点的任一点，则有KPAKPA?7

22

⑶双曲线的方程为二—二=1(a>0,b>0),8,双为双曲线的虚轴端点,P点是双曲线上异于虚轴

ab

b2

端点的任一点，则有K两K%7

22

(4)双曲线的方程为j—3=1(a>0,b>0),过原点的直线交双曲线于A3两点,P点是双曲线上

ab

b1

异于A5两点的任一点，则有KK=—

PAPBa

四、考点解密

题型一:定点问题

例1、（2022•浙江台州•模拟预测）已知点尸（2,1）是双曲线:X?-丁=。与椭圆6：；十丁=。的公共点，

直线A5与双曲线c交于不同的两点A,B,设直线R4与总的倾斜角分别为a,。，且满足。+分=?37.t

4

（1）求证：直线A3恒过定点，并求出定点坐标;

⑵记（1）中直线A3恒过定点为Q,若直线A3与椭圆C?交于不同两点E,F,求QE•。尸的取值范围.

【答案】⑴证明见解析，（1,-2）

（14-艮）J26

⑵

3兀

【分析】（1）记以，PB的斜率为《，k2,由a+4=亍可得尢+&+1=上的，联立直线与双曲线，用坐标

表示《+%+1=尢左2，结合韦达定理可得（％+机+2）（2左+根-1）=0,分析即可得解;

（2）用坐标表示。足3=（毛-1,%+2>（4-1，%+2），结合韦达定理以及A>0得到左的范围，求解即可.

【详解】（1）由己知得“=3,

所以G：反-片=1,C2:—+^=1,

3363

当以，PB斜率不存在时，则直线F4,PB为x=2或y=x-l,与题意不符;

当F4,尸3斜率存在时，记可，依的斜率为％,k2

所以根据tan（a+4）=tan彳=-1

可得K+左2+1=桃2,（*）

设AQ,yJ,B（X2,J2）,直线AB:y=fcv+wi,

y=kx+m,

22

由＜Xy联立可得（1—左之）%?—2初优—根2—3=0,

------二1,

133

12HO,

△=4居后+4(1-阴(川+3)>0,

所以m2+3

「=下T

…=匚2k记m

因为K+左2+1=k'k2,

2

所以(一左2+2左+1)玉々+(一•一化+加一3)(玉+x2)-m-2m+7=0,

所以(左+机+2)(2左+m-l)=0,

所以加=—左—2或m=—2k+1（此时直线A5过尸（2,1）,不符，舍去）

所以直线A3恒过定点（12）；

（2）由（1）知，可设直线的方程：丁+2=左（x—1）,

设直线A3与椭圆G的交点E，尸坐标分别为石(毛,%)，产(%%)，

)+2=左(％_1),

由I/、2「/x-12可得

(%-1+1)+2[(y+2)-2J=6,

(1+2左2)(%—1)2+(2—8左)(x—1)+3=0,

所以=铲，

1I乙K

因为QE•QF=(九3-1,为+2),(%-L%+2)

.3（1+/）

所以。足。尸=七，33

--1------T

XI乙K22+4/

又因为A=（2-8左）2-12（1+2r）＞0可得上＞1或左＜一!，

又因为直线与双曲线C|交于不同的两点A,B,由

y=kx-k-2,

联立可得（1-左2）*2+2左（左+2）*一（左+2）2-3=0,

x2-y2=3,

又因为A=4/(%+2y+4(l-[化+2y+3]>0可得1一手<女<1+乎,

所以1一述＜左＜一!或1＜左＜1+述，

252

所以结合⑴可得％2的取值范围为心,1卜（1《+3后J,

所以0瓦0尸的取值范围为（竺.

I8JI9J

【变式训练1-1】、（2022•河南•鹤壁高中模拟预测（理））在平面直角坐标系中，已知等轴双曲线

22

G：，-方=1（a＞0,b＞0）过点（A/3,A/2）

⑴求双曲线的方程；

（2）已知点A（板,1）,斜率为左的直线/与双曲线交于RQ两点（不同于点A）,且加+心2=&,求证直线

I过定点.

【答案】⑴——丁=1（2）证明见解析

【分析】（1）由题意“多，代入点（百，0），求解即可;

（2）设/：'=履+利，联立直线和双曲线，用坐标表示心「+七2=0，结合韦达定理，可得〃2=_0k+1或

m=1,分析即得解.

【详解】（1）由等轴双曲线知。多，

又过点（、回后），所以坐匚-步1=1,

解之得a=b=l,

所以双曲线的方程为*-y2=i.

（2）^,l:y=kx+m,尸（药,yJ,Q（尤2，%），

’2上:得（1—42卜2-2切式—疗—1=0,

联立

2km

当1一廿w0,A＞。时，再+9=匚L二二厂

又因为心「+心。=0,即:

即kx不,+mh—1xkx＞+m『—l反n-

化简得根2+（岳一2）加一0k+1=0解得=1或M=l,

当加=-04+1,直线方程为y=依-后人+1=左。-后）+1,过定点（0,1）,与A（④'」）重合，不成立，舍去;

当机=1,直线方程为y="+l,恒过点（0,1）.

【变式训练1-2】、（2022•湖南永州•一模）点尸（4,3）在双曲线<7：2-1=1（。>0力>0）上，离心率e=当.

⑴求双曲线C的方程；

⑵A,3是双曲线C上的两个动点（异于点尸），配&分别表示直线尸4网的斜率，满足毕2=：，求证:

直线A3恒过一个定点，并求出该定点的坐标.

【答案】⑴：-1=1

⑵证明见解析，定点［g，-1］

【分析】（1）根据题意列出方程组，求得。力，可得答案；

（2）分类讨论直线AB的斜率是否存在的情况，斜率存在，设出直线方程并联立双曲线方程，得到根与系

数的关系，表示出左/2=；，结合根与系数的关系化简，可得参数之间的关系式，结合直线方程，求得答案.

【详解】（1）由题意点P（4,3）在双曲线C:5-：=im>0,b>0）上，离心率e=，

169

,/一*「

可得；1g---7/—，解出，a=2,b=\/3，

yla12+*4b2_V7

、a2

所以，双曲线C的方程是：-：=1

（2）①当直线A3的斜率不存在时，则可设4伍,%）,3伍,-%）,

22&

代入?-4=1,得为2=a2一3,

1Q_32

贝I左左二-%_3_9-y；=4〃二3,

12—4n-4-（n-4）2-（n-4）2~2

,43

即9〃2—48〃+48=0,解得〃=］或〃=4,

当〃=4时，%=±3,A3其中一个与点P（4,3）重合，不合题意；

44

当〃=］时，直线的方程为％=§,它与双曲线。不相交，故直线A3的斜率存在;

②当直线AB的斜率存在时，设直线的方程>=区+机代入1-1=1,

整理得，（3-4女2卜2一8幼^一4/一12=0,设，

8km4m2+12

贝！Jx{+x2=3—442，龙毛1一一3_442

由A=(-8M2-4(3-4/)(T/一12)>0,W+3>4左2,

2

yI-3y-3kXi+m-3kx2+m-3_+^(m-3)(^+x2)+(m-3)

所以匕无2=2

七一4x?—4-4x2-4-4(%1+々)+16

所以，(2k2一3)%]%2+(2加一6人+12)(%1+兀2)+2m2-12机-30=0,

即口-3•噢J+MF+12)•冷

+2m2-12m-30=0,

整理得3加2+(16左一6)机+16左2—9=0,

即(3帆+4左+3)(m+4左一3)=0,

所以3根+4左+3=0或加+4左一3=0,

若3帆+4左+3=0,则③3,直线A5化为y=%[一：]一1,过定点■，一1)；

若根+4左一3=0,则根=-4左+3,直线化为丁=左(％-4)+3,它过点尸(4,3),舍去

综上，直线A3恒过定点

另解：

设直线A3的方程为旭(龙一4)+“(y-3)=l①，

双曲线C的方程：-：=1可化为3[(x-4)+4]2-4[(y-3)+3(=12,

即3(x-4)2-4(y-3)2+24[(x-4)-(y-3)]=0(2),

由①②可得3(x-4)2-4(y-3)2+24[(x-4)-(y-3)][Mx-4)+〃(y-3)]=0,

整理可得(24m+3)(x-4)2_(24"+4)(y-3)2+24(〃-wi)(x—4)(y—3)=0,

两边同时除以(X-4)2,

2

)-3

整理得(24力+4)—24(77—7?2)―—-(24m+3)=0③,

x-4

A=242(n-m)2+4(24n+4)(24m+3)>0,

则勺，质是方程③的两个不同的根,

所以"=—(24小+3)=g,即8相+12〃+3=0④,

1224〃+42

4

—31—4)=8,叫x=一

由①④可得■,-3)=123,

J=T

故直线A3恒过定点

【点睛】本题考查了双曲线方程的求法，以及直线和双曲线相交时直线过定点的问题，综合性较强，计算

量大，解答时要明确解题思路，注意分类讨论，解答的关键是利用联立方程得到根与系数的关系，并利用

该关系式化简得到参数之间的关系，从而解决直线过定点问题.

题型二:定值问题

例2.（2022•江西宜春•模拟预测（理））双曲线G：当-二=1（。>0,6>0）与椭圆C2:三+汇=1的焦点相

ab59

同，且渐近线方程为y=±6x,双曲线C1的上下顶点分别为A,B.过椭圆C,上顶点R的直线/与双曲线G

交于点P,Q（P,。不与A,8重合），记直线R4的斜率为耳，直线Q8的斜率为七.

⑴求双曲线C1的方程；

（2）证明｝为定值，并求出该定值.

【答案】⑴qq=i

（2）证明见解析，石-2

【分析】（1）由CI与G的焦点相同，可得C=2,又因为渐近线方程为V=±瓜，可得：=括，即可得出

b

双曲线的方程.

（2）设直线PQ方程为y-3=fcr，尸（%,%）©（%,%），联立双曲线的方程可得韦达定理，可求出k=一九泸’

又因为匕=上二且，公=上立，所以代入化简有：Q-噌％，即可求出答案.

玉/化2（2+，3）占一工2

（1）

2222_

由椭圆C?:工+匕=1的焦点（0,2）,即C：5-==1（。>0,6>0）中c=2,渐近线方程为y=±?尤=±氐即

59abb

--=V3,则由C?=々2+）2,即可求出〃=6\。=1.

b

22

所以双曲线C1的方程为：=

(2)

RQ3）,由题意可知，直线P。的斜率上存在，所以，设直线P。方程为3=履，尸（七,必）。（々,%）

y-3=kx

联立方程/,得（/一3）/+6爪+6=0

----------=1

I31

-6k

%+%2二f——

由韦达定理得k；两式相除，有人=一上土土①

6x,x2

为"2=-7

I12k2-3

_y2-73

，八2一

X

%一2

kx^+（3-V3）X②

.h=y「6%x22

左2玉

kXry+3->/3kxxx0+（3+近）x,

k、__（%+々）+（3-追）々=（2-君）/一网=代_2

将①代入②得,

k,—（X]+x?）+（3-（2+,\/3）x1—x2

【变式训练2-1】、（2022•全国•模拟预测）已知双曲线C的一条渐近线方程为了=岳，M（-2,O）,N（2,0）

分别为双曲线的左、右焦点.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）尸为双曲线C上任意一点，连接直线尸M,PN分别交C于点A,B,且PM=2〃A，PN=RNB,求证：

几+〃为定值，并求出该定值.

2

【答案】⑴/一4=1;

（2）证明见解析，定值为一个.

【分析】（1）由题意可求。的值，进而求出双曲线C的标准方程；

（2）讨论直线P8的斜率存在与否的两种情况，分别联立方程组化简4和〃，即可得出结论.

（1）

22

由题意可设双曲线C的标准方程为，-斗=1（。＞0力＞0）,

ab

2=6

由已知得c=2,则＜〃，解得a=l,b=V3,

a2+b2=4

故双曲线c的标准方程为Y-21=1.

3

（2）

由双曲线的对称性不妨设P在第一象限,设P（Xo,几），A。,M），*尤2,%），

若直线PB的斜率存在，则kpB=kPN=

则直线尸8的方程为尤-2）.

不一2

（x-2）

%o-2

联立，消去x整理得（3年一12%+12-北）丁+12%（与_2）y+9y；=0,

2

将后普=1代入上式整理得（15-12%）丁+12%a―27+9¥=0.

5-12%。0,A>0,

uJN「为_%_4X°_5

故“一丈二一3%一3，（根据向量的关系转化为坐标间的关系），

同理可得2=-45一5,故几+〃=*.

若直线尸8的斜率不存在，则尸（2,3）,此时PBLx轴，〃=1,直线

3

PA的方程为y=z（x+2）n3x-4y+6=0.

3%-4>+6=0

联立，V2,消去x整理得13y2-48y+27=0,解得H=:

x--=113

综上所述，几+〃为定值-1.

一题多解：

（2）由于P,N,3三点共线，设3（孙粉）,P（x0,y0）,

又N（2,0）,所以由PM〃NB，PN=（2—Xo，—%）,A®=（%-2,%），

得%（2-%）=%（2-9）=%y2f%=2（%-%）①.

羽=1

3

由于<22

3

将上述两式相减可得-+/%)=(%—%)(%+%)②.

将①代入②可得x0y2+%%=%；%③.

①+③得2%％=23,解得为5-4%*0,

PN^-y0_y0_4x0-5

故"NBy23%3，

4xo5

同理可得％=-4?-5,故沈+孚.

33

【变式训练2-2】、(2021•上海闵行一模)如图，在平面直角坐标系中，与耳分别为双曲线二X2-/=2

的左、右焦点，点。为线段耳。的中点，直线MN过点凡且与双曲线右支交于加(为,%),"(%,方)两点，延

长MD、ND,分别与双曲线「交于P、Q两点.

(1)已知点〃(3,"),求点。到直线MN的距离；

⑵求证：-WX=2(%-乂)；

⑶若直线MMP。的斜率都存在，且依次设为丘心.试判断与是否为定值，如果是，请求出勺的值；如果

K]/v|

不是，请说明理由.

【答案】(1)主叵

4

(2)证明见解析

⑶鲁=7是定值.

【分析】(1)求得。点坐标和直线MN的方程，由此求得。到直线MN的距离.

(2)对MN的斜率是否存在进行分类讨论，由此证得结论成立.

(3)设出直线40的方程并代入双曲线方程，求得尸,Q的坐标，由此计算4=7是定值.

《

【详解】(1)x2—y2=2,———=l,a=b=^2,c=2,

22

所以耳(一2,0),尸(2,0),则。(一1,0),

直线的方程为y=尤一2)=近"一2),即«彳->-2#=0,

所以。到直线的距离为卜,一之]问=里="工.

A/7+12V24

（2）直线脑V的斜率不存在时，石=%=2,芭%-々乂=2%-2%=2（%-%），

直线跖V的斜率存在时，kMF^=kNFi,=上不，整理得占%一/%=2（%—乂）,

综上所述，玉%-彳2%=2（%-%）成立.

（3）依题意可知直线MD的斜率存在且不为0,

设直线”。的方程为y=/）（x+l）,代入双曲线V-产=2并化简得：

（%1+l）2x2-^（x+1）2-2（x,+1）2=0@,

由于k-y；=2,则=X；-2代入①并化简得：

（2X]+3）x~—2（x；—2）x—3x；—4%=0,

—

n._3x?_4x3%1-4，代入y=pr（x+i），

设户（4,九）,]J[ljX,XQ=,XQ=

2工1+3°2%+3

(CA\

f即p-3芭一4一

得%=2%+3'1(2±+3'2%+3j

一%f

_2x,+32%+3_-2（/%-%%）-3回-乂）

所以2--3尤「4与口一

2X2+32玉+3

=T%-yJT%-%）=㈢）.--弘=北

%一%石一%

所以4=7是定值.

五、分层训练

A组基础巩固

22

1、（2021•全国）己知椭圆C:f+与=1（。>6>0）,M,N分别为椭圆C的左、右顶点，若在椭圆C上存

ab

在一点a,使得“。｛-川，则椭圆c的离心率e的取值范围为（）

【答案】A

【分析】

设”伍,为）,得到需=5（/一端，结合3得到一结合离心率的定义，即

可求解.

【详解】

22

由题意，椭圆C:三+2=1（。>6>0）,可得M（F,O）,N（a,O）,

ab

设"（x0,%）,代入椭圆的方程，可得¥=/（/一年），

故选：A.

22

2、（2021•全国高二课时练习）已知A,B,P是双曲线二-2=1上不同的三点，且点A,8连线经过坐

ab

4-

标原点，若直线B4,总的斜率乘积为］,则该双曲线的禺心率为（）

A.—B.旦C.V?D.—

223

【答案】D

【分析】

设出点A,点P的坐标，求出斜率，将点A,尸的坐标代入方程，两式相减，再结合初•/“=：，即可求得

离心率.

【详解】

设A&,%),尸(%,%),

因为点48连线经过坐标原点，根据双曲线的对称性，则3（-西

y2f%+x

所以kpA*kpB

x2一%x2+xx

J

b1

因为点A,P在双曲线上，所以

4=i

1/b1

b24

两式相减，得kpA,kpB=-7

a3

2+"27二匚［、］而

所以/=工—,所以e=---

a233

故选：D.

3.（中学生标准学术能力诊断性测试2022-2023学年高三上学期11月测试文科数学试题）已知点尸，。在

椭圆:+y=1上，。为坐标原点,记直线op,OQ的斜率分别为%，即°,若kOP-kOQ

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

印|,,2

【分析】联立方程得出iqi=,I/1=瓦,再由距离公式得出IOP『+IOQ『.

J1+4k24^T

【详解】设直线。尸的斜率为左,则直线。。的斜率为

则直线。尸，。2的方程分另W，尸-小,

—+y2=12

由«4■得,(1+4左2)—=4,即Ixpl=

J1+4左2'

y=kx

fx2

——+y2=11

1I的

由，「得,(i+e=74,即I%1=

J1+4/，

y=------x

4k

211的5+20k2

所以|8|2+|0。|2=6/17港・y+(ji+)2==5

J1+4左21642Ji+4〃1+4左2

故选：D

22

4.（2021•河南高二期中（理））已知平行四边形ABCD内接于椭圆O：—5+斗~=1(6Z>/?>0)，且AB,

a2b2

A£＞斜率之积的取值范围为,则椭圆。的离心率的取值范围为

A.

【答案】A

【分析】

先表示出直线AB,AD斜率，利用A3,AD斜率之积的范围为[-士-1],得到]的范围，进而构造出

2

I54；a

关于e的不等式，最后解出e的范围.

【详解】

平行四边形ABCD内接于椭圆。，

假设AC不关于原点对称，过点AC作互相平行的两条直线，分别交椭圆。于民。两点，

则由椭圆的对称性，AB^CD,这与条件不符合.

所以由椭圆的对称性可得AC关于原点对称，B,D关于原点对称.

设C（ff）,B（x0,y0）,D（-x0,-y0）,

二直线AB的斜率直线AD的斜率脑="五，贝必加％=为二斗，

尤o一百毛+西尤;一X；

又A,5都在椭圆。上，则必="1-斗犬="1一引，

5.（百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考）己知平行四边形4BCD内接于椭圆

Q:g+城=1（。〉6〉0）,且A5,A。斜率之积的范围为g],则椭圆.Q离心率的取值范围是

（）

【答案】A

b1

【解析】由圆锥曲线的经典结论得：kAB^kAD=-^,

a

22

6.（2022•四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））已知椭圆C：f+[=l（a>b>0）的两个顶点在直

ab

线x-应y-血=0上，耳,Fz分别是椭圆的左、右焦点，点尸是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点尸

作椭圆C的切线I与直线x=-2交于点M,设直线PFi,MF2的斜率分别为k1,k2,则W的值为。

【答案】A

【分析】根据题意求出a=应，b=l,进而写出椭圆的方程，设点尸的切线方程为，=履+加，与椭圆联立,

由△=（）得到加=2r+1,然后依次表示出相关点的坐标，利用斜率公式表示出匕&，进而化简整理即可求

出结果.

【详解】:•椭圆C的两顶点在直线x-后y-忘=0上，..•a=0,匕=1,.♦.椭圆C的方程为J+y2=l,

y=kx+m

.（TO）,耳（1,0）,设点p的切线方程为广麻+加，P（%,九），联立』，消去y得

k+y

(2Zr2+1)x2+4hnx+2m2-2=0,;•直线/与椭圆C相切，A=0,即(4加)？-4(2公+1)(2疗-2)=0,

.912km...y0=kx0+m=k-(-^^-m.(2kmm

••Tn-2k一+1,兀o=-7~,+'”=「？・.・点P一，又

2k2+1k乙KI12严+1'2人2+1

2k11

m2=2F+1,AP\-,设点M（-2,%）,又M在切线＞=履+机上,

mm_生_(_1)m-2k

m

m-2k-0_2k—m2k—m_1

A/(—2,m—2k),k?•*ki,-

-2-13-m—2k3--3

故选：A.

【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立,消去双或y）建立一元二次方程，然

后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.

（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为。或不存在等特殊情形.

22

7.（2022•新疆实验高二期中）已知椭圆E:±+±=1,P为椭圆E的右顶点，直线/交E于A,B两点，且

164

PA±PB,贝"恒过除P点以外的定点（）

A.〔刿B.与。卜.［吟＞.O

【答案】A

【分析】若直线/的斜率存在，设直线/为、=履+“，与椭圆联立，结合韦达定理得到

（4k+m）（12k+5m）=0,进而可求出结果，注意检验斜率不存在时即可得出结论.

22

【详解】椭圆E：^+Y=1,P为椭圆E的右顶点，所以P（4,o）,

由题意知：若直线/的斜率存在，设直线/为1=履+”，

「22

土+匕=1

则＜164,联立可得（1+4左2）/+8初a+4m2-16=0,

y=kx+m

设4（/%）,3（孙％），则=-16何一侬2一4）,

8km4m2-16

因为P4_LM,即AP.3P=0，贝阳一玉）（4一%）+X%=。，

即16-4（%+%2）+W+%%=0

I—32km4m2—16m2—16k2.

1+4左21+4左21+4左2

即48r+32km+5m2=0，因此（必+m）（12k+5in）=0,

即％=—；相，所以直线丁=-+冽过定点（4,0）,不符合题意，舍去；

k=--m,所以直线y=-』如+加过定点佯＞。］,符合题意；

121215）

当直线的斜率不存在时，直线为x=£,此时设

A。=||，一|］，，P=］|，|］，API尸=0符合题意，故直线/恒过除尸点以外的定点

故选：A.

22

8.（2022•浙江•镇海中学高二期中）已知椭圆3+斗=1（。＞6＞0）,两条直线4：x-3y=0;/2：x+3y=0,

ab

过椭圆上一点P作4，4的平行线，分别交4，，2于M,N,若|"N|为定值，则£=（）

A.9B.4C.3D.2

【答案】A

【分析】设点户（外,几），可得出尤=〃一攀，求出点加、N的坐标，利用两点间的距离公式结合|MN|为

定值可求得/的值，即可得解.

b

【详解】设点P（x0,几），则直线的方程为y-%=-g（x-x。），

1一XJo+3%

2,即点加（之毕，包膂］

联立1，解得v

x0+3y0126）

y~y（）=_§（%一%0）丫一6

直线N尸的方程为y-%/），

^1,二x（）一3%

V=——XX

32&，即点N［壬也，一包力

联立1，解得＜

册一3%126

xx

yy^-3\o）y-6

22h2x2

由已知可得存r+兴v=1,贝ljy；=/—安，

aba

所以，MM=卜$+）=小暮+］g-r卜;为定值

则工_犀=0,可得£=9.

9a2b

故选：A

2

9.（2022•吉林吉林•模拟预测（文））己知直线/：y=履（左大。）与双曲线C：宁_丁=1交于p,。两点,

轴于点8,直线尸8与双曲线C的另一个交点为T,则际°j27=（）

A.LB.±C.ID.2

42

【答案】B

【分析】利用点差法，能得到七丁・%7的值，则通过％”就可以推导出％r，然后就可以推出的218的值.

【详解】/

设尸（%,％）,。（-玉,—yj,H（-X1,0）,T（孙％），则*=&.

X

丫21/、

由1_丁2=］得，y2=—-4）,

*1)

y；=11

则一y；441

1

x

x2-xxx2+x1~i4

4

=且」11

k—kpT・k*k,k—

八PH，,,NQT,•(PQ(QT-

%+xx2玉2