四川省眉山市龙正区2024年中考数学押题卷（含解析）

四川省眉山市龙正区2024年中考数学押题卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

x-a<0

1.已知关于x的不等式组°,至少有两个整数解，且存在以3,”，7为边的三角形，则。的整数解有（）

2%-1>7

A.4个B.5个C.6个D.7个

2.小丽只带2元和5元的两种面额的钞票（数量足够多），她要买27元的商品，而商店不找零钱，要她刚好付27元,

她的付款方式有（）种.

A.1B.2C.3D.4

3.如图，在平行四边形ABCD中，都不一定成立的是（）

@AO=CO；②AC_LBD；③AD〃BC；@ZCAB=ZCAD.

A.①和④B.②和③C.③和④D.②和④

4.如图所示，在平面直角坐标系中，点A、5、C的坐标分别为（-1,3）、（-4,1）、（-2,1）,将AA5C沿一确

C.Ai(4,3),Ci(2,3)D.Ai(3,4),Ci(2,2)

5.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点，其顶点为P,若SAAPB=L则b与c满足的关系是()

A.b2-4c+1=0B.b2-4c-1=0C.b2-4c+4=0D.b2-4c-4=0

6.如图，已知。是AABC中的边上的一点，ZBAD=NC,NABC的平分线交边AC于E,交A。于尸，那

么下列结论中错误的是（）

A.△BAC^ABDAB.△BFA^ABEC

C.ABDF^ABECD.△BDF^ABAE

7.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（-1,0）,点B的坐标是（3,0）,在y轴的正半轴上取一点C,使A、B、

C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是（）

A.(0,73)B.(若，0)C.(0,2)D.(2,0)

8.如图，AB是。O的切线，半径OA=2,OB交。。于C,ZB=30°,则劣弧AC的长是（)

A.——7TB.-71C.-71D.——7T

2333

9.已知反比例函数y=-9,当-3<xV-2时，y的取值范围是()

x

A.0<y<lB.l<y<2C.2<y<3D.-3<y<-2

10.将二次函数y=/的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）

A.j=（x-l）2+2B.j=（x+l）2+2C.j=（x-l）2-2D.j=（x+l）2-2

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.计算序。+/=.

12.如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是R3ABC的两条边，△ABC最小的角为A,那么tanA的值为

13.如图，在R3ABC中，D,E为斜边AB上的两个点，且BD=BC,AE=AC,则NDCE的大小等于

度.

14.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A,B为格点

（I）AB的长等于一

3

（II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中求作一点C,使得CA=CB且AABC的面积等于大，并简要说明点C

2

的位置是如何找到的__________________

15.某校组织“优质课大赛”活动，经过评比有两名男教师和两名女教师获得一等奖，学校将从这四名教师中随机挑选

两位教师参加市教育局组织的决赛，挑选的两位教师恰好是一男一女的概率为—.

16.如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成.若较短的直角边3c=5,将

四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若的周长是30,则这个风车

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图①，在四边形ABCD中，ACJ_BD于点E,AB=AC=BD,点M为BC中点，N为线段AM上的点,

且MB=MN.

（1）求证：BN平分NABE；

（2）若BD=1,连结DN,当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；

（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM,求证：AMFN^ABDC.

18.（8分）剪纸是中国传统的民间艺术，它画面精美，风格独特，深受大家喜爱，现有三张不透明的卡片，其中两张

卡片的正面图案为“金鱼”，另外一张卡片的正面图案为“蝴蝶”，卡片除正面剪纸图案不同外，其余均相同.将这三张

卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图（或列表）

的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率.（图案为“金鱼”的两张卡片分别记为A1、A2,图案为“蝴蝶”

的卡片记为B)

19.(8分)在平面直角坐标系中，已知点A(2,0),点B(0,273)，点O(0，0).△AOB绕着O顺时针旋转,

得AA9B，，点A、B旋转后的对应点为A，、B',记旋转角为a.

(I)如图1,若a=30。，求点B，的坐标；

(II)如图2,若0。<(/<90。，设直线AA，和直线BB，交于点P,求证：AA,±BB,；

(III)若(FVaV360。，求(II)中的点P纵坐标的最小值(直接写出结果即可).

20.(8分)据某省商务厅最新消息，2018年第一季度该省企业对“一带一路”沿线国家的投资额为10亿美元，第三季

度的投资额增加到了14.4亿美元.求该省第二、三季度投资额的平均增长率.

21.(8分)如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，CE=CD,连接EB、ED,延长BE交AD于点F.求

证：DF2=EF»BF.

22.(10分)如图，已知正方形A5C。的边长为4,点尸是A5边上的一个动点，连接CP,过点尸作PC的垂线交AO

于点E,以PE为边作正方形PEFG,顶点G在线段PC上，对角线EG、尸厂相交于点O.

(1)若AP=1,贝!)AE=；

(2)①求证：点O一定在AAPE的外接圆上；

②当点尸从点A运动到点5时，点。也随之运动，求点。经过的路径长；

(3)在点尸从点A到点3的运动过程中，AAPE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到43边的距离的最大值.

23.(12分)如图，点-是反比例函数与一次函数-在-轴上方的图象的交点，过点-作---轴,

/、—

一□.=--J———

1，r

垂足是点二，二二=二二一次函数二.=二二+二的图象与二轴的正半轴交于点二.

+二的解析式;

24.如图，已知与抛物线C1过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3).

(1)求抛物线Ci的解析式.

(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点P,D为第四象限内的一点，若ACPD为等腰直角三角形，求出D点坐标.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、A

【解析】

依据不等式组至少有两个整数解，即可得到a>5,再根据存在以3,a,7为边的三角形，可得4VaV10,进而得出a

的取值范围是5<a<10,即可得到a的整数解有4个.

【详解】

解：解不等式①，可得x<a,

解不等式②，可得迂4,

•.•不等式组至少有两个整数解，

・・ci'^59

又•.•存在以3,a,7为边的三角形，

.,.4<a<10,

：.a的取值范围是5<a<10,

：.a的整数解有4个，

故选：A.

【点睛】

此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，

同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

2、C

【解析】

分析：先根据题意列出二元一次方程，再根据x,y都是非负整数可求得x,y的值.

详解：解：设2元的共有x张，5元的共有y张，

由题意，2x+5y=27

•••x,y是非负整数,

X=1x=llx=6

1尸5或＜或＜

y=1[y=3

.••付款的方式共有3种.

故选C.

点睛：本题考查二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系,

列出方程，再根据实际意义求解.

3、D

【解析】

,••四边形ABCD是平行四边形，

/.AO=CO,故①成立；

AD/7BC,故③成立；

利用排除法可得②与④不一定成立,

•.•当四边形是菱形时，②和④成立.

故选D.

4、A

【解析】

分析：根据B点的变化，确定平移的规律，将△ABC向右移5个单位、上移1个单位，然后确定A、C平移后的坐标

即可.

详解：由点B（-4,1）的对应点Bi的坐标是（1,2）知，需将△ABC向右移5个单位、上移1个单位,

则点A（-1,3）的对应点Ai的坐标为（4,4）、点C（-2,1）的对应点Ci的坐标为（3,2）,

故选A.

点睛：此题主要考查了平面直角坐标系中的平移，关键是根据已知点的平移变化总结出平移的规律.

5、D

【解析】

b4c—b2II

抛物线的顶点坐标为P（-丁丝/），设A、B两点的坐标为A（占，0）、B（%2,0）则AB=|%—々I，根据

根与系数的关系把AB的长度用b、c表示，而SAAPB=1,然后根据三角形的面积公式就可以建立关于b、c的等式.

【详解】

解：超=

V%+-b,x1x2=c,

・，・AB=-x2|=+%)2-4%%2=J"-4〃c,

\•若SAAPB=1

.".SAAPB=^-xABxt£l=1,

24

设db2-4。。=s,

则$3=8,

故s=2,

\/b2—4c=2,

.•"2—40—4=0.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了抛物线与x轴的交点情况与判别式的关系、抛物线顶点坐标公式、三角形的面积公式等知识，综合性

比较强.

6、C

【解析】

根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断.

【详解】

■:NBAD=NC,

ZB=ZB,

AABACABDA.故A正确.

VBE平分NABC,

.\ZABE=ZCBE,

/.△BFA^ABEC.故B正确.

:.ZBFA=ZBEC,

NBFD=NBEA,

/.△BDF^ABAE.故D正确.

而不能证明ABDFs^BEC,故C错误.

故选C.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定.识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角.

7,A

【解析】

直接根据4AOC^ACOB得出OC2=OA・OB,即可求出OC的长，即可得出C点坐标.

如图，连结AC,CB.

依小AOC^ACOB的结论可得：OC2=OA.OB,

即OC2=1X3=3,

解得：OC=6或-逝（负数舍去），

故C点的坐标为（0,逝）.

故答案选：A.

【点睛】

本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是熟练的掌握坐标与图形的性质.

8、C

【解析】

由切线的性质定理得出NOAB=90。，进而求出NAOB=60。，再利用弧长公式求出即可.

【详解】

TAB是。O的切线，

ZOAB=90°,

•.•半径OA=2,OB交。O于C,NB=30。，

NAOB=60°,

60乃x22兀

劣弧AU的长是:

180T

故选：c.

【点睛】

本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长的计算，解题的关键是先求出角度再用弧长公式进行计算.

9、C

【解析】

分析：

由题意易得当-3<xV-2时，函数，=-9的图象位于第二象限，且y随X的增大而增大，再计算出当x=-3和x=-2

X

时对应的函数值，即可作出判断了.

详解：

,6,

•・•在y=——中，-6V0,

x

.•.当-3Vx<-2时函数丁=-£的图象位于第二象限内，且y随x的增大而增大，

1•当x=-3时，y=2,当x=-2时，y=3,

.•.当-3VxV-2时，2<y<3,

故选C.

点睛：熟悉“反比例函数的图象和性质”是正确解答本题的关键.

10、A

【解析】

试题分析：根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案.

解：将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是y=(x-1)2+2,

故选A.

考点：二次函数图象与几何变换.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、a1.

【解析】

试题分析：根据同底数募的除法底数不变指数相减，可得答案.

原式=ai°-i=a】，

故答案为a1.

考点：同底数易的除法.

12、」或巫

34

【解析】

解方程x2・4x+3=0得，xi=l,X2=3,

①当3是直角边时，:△ABC最小的角为A,・・・tanA=g；

②当3是斜边时，根据勾股定理，/A的邻边=如32—F=20，.•.tanA=3=Y2；

2V24

所以tanA的值为工或正.

34

13、45

【解析】

试题解析：设NDCE=x,ZACD=y,则NACE=x+y,ZBCE=90°-ZACE=90°-x-y.

VAE=AC,

ZACE=ZAEC=x+y,

VBD=BC,

.,.ZBDC=ZBCD=ZBCE+ZDCE=90°-x-y+x=90°-y.

在/kDCE中，,:ZDCE+ZCDE+ZDEC=180°,

,*.x+(90°-y)+(x+y)=180°,

解得x=45°,

.\ZDCE=45°.

考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形内角和定理.

3

14、75取格点P、N(SAPAB=5),作直线PN,再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C,点C即为所

求.

【解析】

(I)利用勾股定理计算即可；

3

(II)取格点P、N(SAPAB=—),作直线PN,再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C,点C即为所求.

2

【详解】

22

解：(I)AB=A/2+1=5

故答案为途.

3

(II)如图取格点P、N(使得SAPAB=—),作直线PN,再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C,点C即为

2

所求.

3

故答案为：取格点P、N(SAPAB=—),作直线PN,再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C,点C即为所求.

2

【点睛】

本题考查作图-应用与设计，线段的垂直平分线的性质、等高模型等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思

考问题，属于中考常考题型.

2

15、-

3

【解析】

根据列表法求出所有可能及可得出挑选的两位教师恰好是一男一女的结果数而利用概率公式计算可得.

【详解】

解：所有可能的结果如下表：

男1男2女1女2

男1（男1,男2）（男1,女1）（男1,女2）

男2（男2,男1）（男2,女1）（男2,女2）

女1（女1,男1）（女1,男2）（女1,女2）

女2（女2,男1）（女2,男2）（女2,女1）

由表可知总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同.挑选的两位教师恰好是一男一女的结果有8种,

o9

所以其概率为挑选的两位教师恰好是一男一女的概率为一=;,

123

2

故答案为彳.

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法

适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之

比.

16、71

【解析】

分析：由题意NACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一

步求得四个.

详解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x,AC=y,则

X2=4y2+52,

VABCD的周长是30,

x+2y+5=30

则x=13,y=l.

，这个风车的外围周长是：4(x+y)=4x19=71.

故答案是：71.

点睛：本题考查了勾股定理在实际情况中的应用，注意隐含的已知条件来解答此类题.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)证明见解析；(2)叵;(3)证明见解析.

5

【解析】

分析：(1)由AB=AC知NABC=NACB,由等腰三角形三线合一知AMLBC,从而根据NMAB+NABC=NEBC+NACB

知NMAB=NEBC,再由△MBN为等腰直角三角形知NEBC+NNBE=NMAB+NABN=/MNB=45。可得证；

(2)设BM=CM=MN=a,知DN=BC=2a,证4ABN^ADBN得AN=DN=2a,RtAABM中利用勾股定理可得a的值,

从而得出答案；

MFMN1

(3)F是AB的中点知MF=AF=BF及NFMN=NMAB=NCBD,再由——=----=-即可得证.

ABBC2

详解：(1)VAB=AC,

.\ZABC=ZACB,

为BC的中点，

•\AM±BC,

在RtAABM中，ZMAB+ZABC=90°,

在RtACBE中，ZEBC+ZACB=90°,

ZMAB=ZEBC,

又；MB=MN,

...AMBN为等腰直角三角形，

NMNB=NMBN=45。，

:.ZEBC+ZNBE=45°,ZMAB+ZABN=ZMNB=45°,

；.NNBE=NABN,即BN平分NABE；

(2)设BM=CM=MN=a,

•••四边形DNBC是平行四边形，

.,.DN=BC=2a,

在AABN^ADBN中，

AB=DB

•:\NNBE=NABN,

BN=BN

/.△ABN^ADBN(SAS),

；.AN=DN=2a,

在RtZkABM中，由AM2+MB2=AB2可得(2a+a)2+a2=l,

解得：a=土®(负值舍去)，

10

.*.BC=2a=^^；

5

(3)..7是AB的中点，

.•.在RtAMAB中，MF=AF=BF,

...NMAB=NFMN,

XVZMAB=ZCBD,

.,.ZFMN=ZCBD,

..MFMN

.MFMN_1

"BD~BC~2,

.,.△MFN<^ABDC.

点睛：本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质、直角三角形和平行四边形的

性质及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点.

4

18、一

9

【解析】

【分析】列表得出所有等可能结果，然后根据概率公式列式计算即可得解

【详解】列表如下:

AiA2B

Ai(Ai,Ai)(A2,Ai)(B,Ai)

A2(Ai,A2)(A2,A2)(B,A2)

B(Ai,B)(A2,B)(B,B)

由表可知，共有9种等可能结果，其中抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的4种结果,

4

所以抽出的两张卡片上的图案都是“金鱼”的概率为一.

9

【点睛】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

19、(1)B，的坐标为(百，3)；(1)见解析；(3)百-1.

【解析】

(1)设与x轴交于点H,由OA=1,OB=1«,NAOB=90。推出NABO=NB，=30。，

由NBOB，=a=30。推出BO〃AB,由OB，=OB=1«推出OH=,OB，=6B，H=3即可得出；

(1)证明NBPA，=90。即可；

⑶作AB的中点M(l,遂)，连接MP,由NAPB=90。，推出点P的轨迹为以点M为圆心，以MP=9AB=1为半

径的圆，除去点(1,2盗)，所以当PMLx轴时，点P纵坐标的最小值为6-1.

【详解】

(I)如图1,设A，B，与x轴交于点H,

•/OA=1,OB=l/3»NAOB=90。,

...NABO=NB，=30。，

VNBOB'=a=30°,

ABO/ZAB',

.,.OH^OB'=A/3，B'H=3,

...点B，的坐标为(6，3)；

(II)证明：VZBOB'=ZAOA'=a,OB=OB',OA=OA',

/.ZOBB'=ZOA'A=—(180°-a),

2

VZBOA'=90°+a,四边形OBPA，的内角和为360°,

/.ZBPA'=360°-(180°-a)-(90°+a)=90°,

即AA'IBB'；

（in）点p纵坐标的最小值为a-2.

如图，作AB的中点M（1,遂），连接MP,

VZAPB=90°,

.•.点P的轨迹为以点M为圆心，以MP=,AB=1为半径的圆，除去点（1,2«）.

.,.当PM，x轴时，点P纵坐标的最小值为3-1.

【点睛】

本题考查的知识点是几何变换综合题，解题的关键是熟练的掌握几何变换综合题.

20、第二、三季度的平均增长率为20%.

【解析】

设增长率为x,则第二季度的投资额为10(1+x)万元，第三季度的投资额为10(1+x)2万元，由第三季度投资额为

10(1+x)2=14.4万元建立方程求出其解即可.

【详解】

设该省第二、三季度投资额的平均增长率为X,由题意，得：

10(1+x)2=14.4,

解得：xi=0.2=20%,X2=-2.2(舍去).

答：第二、三季度的平均增长率为20%.

【点睛】

本题考查了增长率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据第三季度投资额为10(1+x)2=

14.4建立方程是关键.

21、见解析

【解析】

证明△FDE^AFBD即可解决问题.

【详解】

解：•••四边形ABCD是正方形，

/.BC=CD,且NBCE=NDCE,

又...CE是公共边，

/.△BEC^ADEC,

/.ZBEC=ZDEC.

VCE=CD,

/.ZDEC=ZEDC.

VZBEC=ZDEC,ZBEC=ZAEF,

:.ZEDC=ZAEF.

VZAEF+ZFED=ZEDC+ZECD,

:.ZFED=ZECD.

,••四边形ABCD是正方形,

11

AZECD=-NBCD=45°,ZADB=-/ADC=45°,

22

/.ZECD=ZADB.

/.ZFED=ZADB.

又••,/BFD是公共角，

/.△FDE^AFBD,

EFDF,

**•-----=------，即onDF?=EF・BF.

DFBF

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，和正方形的性质，正确理解正方形的性质是关键.

22、(1)(2)①证明见解析；②，:；(3)z.

【解析】

试题分析：(1)由正方形的性质得出NA=N3=NEPG=90。，PF±EG,AB=BC=4,ZOEP=45°,由角的互余关系证出

NAEP=NPBC,得出△APESABC产，得出对应边成比例即可求出AE的长；

(2)①4、尸、。、E四点共圆，即可得出结论；

②连接04、AC,由勾股定理求出二，由圆周角定理得出N。4P=NOEP=45。，周长点。在AC上，当尸运动到

点5时，。为AC的中点，即可得出答案；

(3)设白APE的外接圆的圆心为M,作MNLAB于N,由三角形中位线定理得出MN^AE,设AP=x,则BP=4-x,

由相似三角形的对应边成比例求出AE的表达式，由二次函数的最大值求出AE的最大值为1,得出MN的最大值乏即

可.

试题解析：(1)•・,四边形A5C。、四边形PEFG是正方形，

AZA=ZB=ZEPG=9Q°,PF±EG,AB=BC=4,ZOEP=45°,

：.ZAEP+NAPE=90。，ZBPC+ZAPE=90°,

/.ZAEP=ZPBC,：.△APEs/\BCP,

三=ii即二二3解得：AE=：

故答案为：三；

(2)®'：PF±EG,...NEO歹=90°,

NE。尸+NA=180°,二4、P、。、E四点共圆,

/.点O一定在△APE的外接圆上；

②连接Q4、AC,如图1所示：

,四边形A5CZ>是正方形，.,.N3=90。，NR4c=45。，：.AC=\4：+4：=4^,

'：A.P、0、E四点共圆，AZOAP=ZOEP=45°,

.,.点。在AC上，当P运动到点5时，。为AC的中点，。4=幺。=，二，

即点。经过的路径长为2\二；

(3)设AAPE的外接圆的圆心为M,作MNLA8于N,如图2所示：

贝!|MN〃AE,'：ME=MP,：.AN=PN,:.MN斗E,

设AP=x,贝!]BP=4-x,由(1)得：AAPE^ABCP,

•••===，即髭=3解得：4/=二一：匚；=一“口一2)，+」,

，x=2时，AE的最大值为1,此时的值最大=41=3

即4APE的圆心到AB边的距离的最大值为

图1图2

【点睛】本题考查圆、二次函数的最值等，正确地添加辅助线，根据已知证明△A