高考数学复习：三角函数的图象与性质

第26讲三角函数的图象与性质

［课程标准］1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能

画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性、最大QJ')值2借助

图象理解正弦函数、余弦函数在［0,2兀］上，正切函数在［-爹，之上的性质.

基础知识整合

＞知识梳厘

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

⑴在正弦函数y=sinx,00,2印勺图象上，五个关键点是：(0,0),停，1),

(兀，0),俘，一1),(271,0).

(2)在余弦函数y=cosx,曰0,2兀］的图象上，五个关键点是：(0,1),仔，0),

(兀，-1),仔,0),(271,1).

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质

函数y二sinxy-cosxy=tanx

y斗

1丁、江2r.

图象7

77….……….X

-10...klz..….…多

-11

画

定义域国旦国旦

jx|%£区且存日+%兀，

值域[o^r-i,n[osir-i,11画E

在画在画「(22-1沅，

兀兀］在|TT|［一］+/兀，与+左兀］

—g+2kli,5+2kli的］匹Z1上递

单调性

色红Z)上递增；增；在11。12%兀,(2)匹④上递增

在画+1)兀］伏©Z)上涕

兀C73兀减

8+2左兀，2+2左兀

鱼豆Z）上递减

x=112母+2左兀(2£Z)X=K]2E(《©Z)

时,ymax=1；时,ymax=1；

最值x=[15|兀+无最值

X=国]一3+

22兀优£Z)日寸,'min

2kli(k£Z)日寸,ymin=—

=-1

1

奇偶性国］奇函数回偶函数呵奇函数

对

司（左兀+1,0）,

称

眄(E,0),kJZ国件，。），旧

中

对左GZ

称心

性对

㈤直线x=E+J,画直线X=E,

称无对称轴

kbk・Z

轴

最小正

国区因互126|TI

周期

。知识拓展

1.函数y=Asin（①x+9）（AR0,①加）和y=Acos（69x+（p）（A^O,①WO）的最小正

2兀兀

周期7=向，函数V=Atan（0x+0）（A加，①邦）的最小正周期7=而函数y=|Asin（①x

兀

+0）|,y=|Acos（（yx+（p）\,y=|Atan（0x+夕）|的周期均为T=而函数y=HsinQx+夕）

2兀

+砥屏0）,y=|Acos（（yx+夕）+例（原0）的周期均为T=面.

2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,

相邻的对称中心与对称轴之间的距离是铜期.正切曲线相邻两对称中心之间的距

离是半周期.

3.若/（%）=Asin（cox+9）（AW0,①RO）,则

7T

（i）Hx）为偶函数的充要条件是9=2+®/©z）；

（2）;（x）为奇函数的充要条件是9=for（左£Z）.

＞双基自测

1.函数y=l-sinx,%£[0,2兀]的大致图象是（）

37r27r%

答案B

解析当x=0时，y=l；当x=为时，y=0;当》=兀时，y=l;当》=当时,

y=2;当X=2兀时，y=l.结合正弦函数的图象可知B正确.故选B.

2.下列函数中，最小正周期为2兀的奇函数为（）

AA.y=s-inX]cosX]B.y=sin2x

C.y=tan2xD.y=sin2x+cos2x

答案A

解析y=sin2x为偶函数；y=tan2x的最小正周期为菱；y=sin2x+cos2x为非

奇非偶函数，故B,C,D都不正确.故选A.

3.（2021.新高考I卷）下列区间中，函数於）=7sin（T）单调递增的区间是

B《，兀

答案A

TTTTITTTz.TT.

解析令一1+2%兀+2左兀，攵£Z,得一g+2EWxW§+2E,%£Z.

取左=o,贝ij-卜xW兴因为（o,g-f,y,所以区间（o,习是函数於）的单

调递增区间.故选A.

4.（人教B必修第三册第七章复习题A组Tu改编）函数4沙=cos（2x+§的图

象的对称轴方程为,对称中心的坐标为.

答案x=-郛©Z）隹+竽,。卜©Z）

JTJT女冗

解析令2x+,=E/GZ）,解得对称轴方程为x=-d+了”GZ）；函数人为

JTJTJTKTT

的对称中心的横坐标满足2x+w=foi+2（lcZ）,解得工=五+5■（左©Z）,所以对称

中心的坐标为他+竽，0卜©Z）.

5.（人教A必修第一册习题5.4Tio改编）y=3sin（2T）在区间0,扛的值

域是.

答案[-13

解析当X©0,E时，2x-y,sin（2x—-；，1,故

3sin（2x-聿）©-|,3,即y=SsinQx-5）在区间0,为上的值域为-1,3.

核心考向突破

考向一三角函数的定义域和值域

例1⑴函数y=2tan,+1的定义域为..

答案+墨左©z]

解析由3x+氏E+方代Z,解得城+号,左©Z,所以函数y=2tan（3x+3

的定义域为]+冬左©z].

(2)函数y=lgsin2x+的定义域为

兀

sin2x>0,左兀vxv左兀+7，%£Z,jrjr

2

解析由c倚，日4/.-3Wxv-]或0<x<2«**•

t9-%2>0,

—34W3,

的定义域为

函数y=lgsin2x+y]9-x2-3,-flufofl

⑶(2023•北京丰台区二模)若函数外)=sin%-cos2x,则庶

，fix)

的值域为

2

答案01

解析=sing-cos|^2x-J=---=。.火x)=sinx-cos2x=sin%-(1-2sin2x)

=2sin2x+sinx-1,设t-sinxE[-1,1],贝ljy=It1+t-\,^[-1,1],当

tQ-1,4)时，y=2^+t-\单调递减，当P1时，y=2t1+t-\单调

递增，所以当t=时,3=-1;当。=1时,ymax=2.所以外)的值域为K，2.

(4)函数)7=sin%-cosx+sinxcosx,xe[0,兀]的最大值与最小值的差为

答案2

解析令■=sin%—cos%,又九£[0,兀],:・1二色sinQ—彳1,t^[-1,y[2].由

_。「1-t21-t2

t=sinx-cosx,得Z2=1-2sin%cosx,即sinxcosx=-〜./.原函数变为y=t+~〜-,

=

日[-1,包即y~亍2+1+/./・当t—\日寸,'max=—]+1+]=1；当t=-1

时，>min=-;-1+|=-L故函数的最大值与最小值的差为2.

I触类旁通I

1.三角函数定义域的求法

（1）求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式（或等式）.

（2）求三角函数的定义域经常借助三角函数的图象，有时也利用数轴.

（3）对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式（组）分别求解,

然后利用数轴求交集.

2.求三角函数的值域（最值）的三种类型及解题思路

（1）形如y=asira+6cosx+c的三角函数化为y=Asin（①x+夕）+c的形式，再求

值域（最值）.

（2）形如》=酒112%+戾血+（:的三角函数，可先设sinx=K化为关于/的二次

函数求值域（最值）.

（3）形如y=asinxcosx+Z?（sinx±cosx）+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx,

化为关于t的二次函数求值域（最值）.

即时训练1.（2023・新乡三模）已知函数火x）=4,2%-看|+1的定义域是[0,

m],值域为[-1,5],则m的最大值是（）

A2兀C兀

A-TB-3

堞D-T

OO

答案A

解析Vxe[0,m],2机-&.&）的值域为[-1,5],A-

菱Wsin[2x—・.]W2加一不五不，解得4，..加的取大值为至.故选

A.

2.函数y=1g（sinx-cosx）的定义域是_______.

｛兀5TTI

xW+2far<x<7+2kn,左eZj

解析要使函数有意义，必须使sinx-cosx>0.利用图象，在同一坐标系中画

出[0,2兀]上y=5血和y=cosx的图象,如图所示:

J

在［0,2兀］内，满足siiw=cosx的x为苧，在售，内sinx>cosx,再结合

正弦、余弦函数的周期是2兀，所以定义域为相+2foi<x号+2E,左©Z；.

考向二三角函数的单调性

例2(1)(2024・济南质检)已知函数於)=2cos(x+看，设。=剧，。=周，c

贝1J。，b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

答案A

兀兀3兀

解析由2knWx++7i,kRZ得2%兀一kRZ,所以«x)

/兀、兀3兀兀

=2cos［x+dJ的单调递减区间为［2E-不2/OT+yJ(^EZ),所以於)在［0,或上单

调递减，所以即。>。>口

(2)函数产2sin|^-2%)(00,兀］)的单调递增区间是(

c71兀7兀

A.0,g

B.12112

「「兀5兀5兀

力，TD•3，兀

答案C

解析y=2sine一2x)=-2sin(2x—，由胃+2左兀・2工一号・:+2左兀，左GZ,

解得？+EWxWV+E，k《Z,即函数的单调递增区间为^+kn,~^+kn,左GZ,

JTSjT

・•.当k=0时，单调递增区间为铮y

I触类旁通I

1.求三角函数单调区间的两种方法

⑴代换法：将比较复杂的三角函数解析式中含自变量的代数式（如5+0）整

体当作一■-•角，利用基本三角函数。=sinx,y=cosx,y=tanx）的单调性列不等式

求解.

（2）图象法：画出三角函数的图象，利用图象求函数的单调区间.

提醒：要注意求函数y=Asin（s+e）的单调区间时。的符号，若0<0,那么

一定要先借助诱导公式将o化为正数.同时切莫忘记考虑函数自身的定义域.

2.比较三角函数值大小的方法

先统一为同名的三角函数，然后利用诱导公式把角化为同一单调区间内的角，

再利用函数的单调性比较.

即时训练1.（2024.山东新高考联合质量测评）已知段）=cos（2x+0）,厕与

7T

火》）的一个极值点是不贝小）

A./）在电，篇上单调递增

B.於）在［去篇上单调递减

C.於）在（音，野上单调递增

D.於）在（卷目上单调递减

答案C

兀兀（兀、

解析因为火x）=cos（2x+9）,磔</,小）的一个极值点是不所以cos|j+q|=

兀兀兀兀

±1,所以］+9=而，左©Z,即9=_）+E,左GZ.因为|夕|<1，所以9=_W,火为

（兀、兀兀兀

=cos（2x—•.由一兀+2ZTIW2冗一gW2Z兀，k^Z,解得一§++左兀，k^Z.

当k=0时，段）在（-*看上单调递增，故C正确，D错误；由2加0-畀兀

+2防I,解得聿+EWxW竽+析，攵£Z.当左=0时，於）在（季，号）上单调递

减，故A,B错误.故选C.

2.（2024德州开学考试）函数y=|tanx|的单调递增区间为,单调递减

区间为.

答案防I,左兀+野，左©Z[kn-,kn,左©Z

解析作出函数y=|tan%|的图象，如图.

观察图象可知，函数y=|tanx|的单调递增区间为[E,E+方，左©Z,单调递

减区间为,苫，kn,左@Z.

多角度探究突破_______________________________________

考向三三角函数的周期性、奇偶性、对称性

角度1三角函数的周期性

例3（1）函数/（x）=cosx+2cos%：的一■-4周期为（）

A.兀B.2兀

C.3兀D.4兀

答案D

解析易知y=cosx,yi=2cosg的最小正周期分别为2兀，4兀，贝4兀的

公倍数4兀是人外的一个周期.故选D.

1—cos4x

（2）（2023•南昌模拟）函数汽x）的最小正周期是（）

A兀C兀

A]B2

C.兀D.2兀

答案B

1-cos4x2sin^2x兀

解析因为段）=sin4x=2sin2xcos2x=tan2x,所以最小正周期7=亍

⑶（2023•辽宁实验中学模拟）函数於）=上向|+|cosx|的最小正周期和最小值分

别为（）

A，兀.4.1Br，2兀,,2

三

J1D.兀，1

答案C

解析解法一：因为/+*Sin（x+野+cos（x+裔胡x）,++习=

sinQ+习+cos1+3）=|cosx|+|-sinr|=|cosx|+|sinx|=fix）,故排除A,D;最

小正周期为自，当x©0,■^时，於）=sinx+cosx=disin（x+点），当x=0或翔，

7U）取得最小值1,所以函数1》）的最小值是1.故选C.

兀

表sin2kjiWxW2kTi+],

兀一

表sin

-4;2kli+2<xW2kn+兀，

解法二：由题设,»

3兀

,in,2E+兀v%W2E+，

,2左兀+竽vxW2

in厂（女+1）兀

kRZ,所以人冷的部分图象如下:

JT

所以最小正周期和最小值分别为5,1.故选c.

触类旁通I求三角函数周期的常用方法

正弦型、余弦型、正切型函数的最小正周

公式法期分别是需,舒,俞

由几个三角函数的和组成的函数，可先找

最小公

出每个函数的最小正周期，求出所有最小

倍数法

正周期的最小公倍数即可

通过函数的图象观察得到函数的最小正

图象法

周期

对于较特殊的函数，不能用上述方法求解时,

定义法

可用周期的定义验证函数的最小正周期

即时训练1.（2023•长沙雅礼中学一模）函数sin2x+1的最小正周期为

（）

A.7iB.2兀

7T

C，2D.不能确定

答案A

解析作出函数>=sin2x+1的图象如图所示，得到函数的最小正周期为TT.

故选A.

2.（2023・江西上高一模）若函数於）=21211（丘+§的最小正周期T满足1<T<2,

则自然数上的值为.

答案2或3

兀71

解析由题意得1<%<2,左©N,：.^<k<n,左GN,，％=2或3.

角度2三角函数的奇偶性

例4（1）函数/0）=25由23+1—1是（）

A.最小正周期为2n的奇函数

B.最小正周期为TT的偶函数

C.最小正周期为2TT的偶函数

D.最小正周期为TT的奇函数

答案D

解析fix)=2sin2(j+J-1=一1-2sin2(j+J=一cosq+2x)=sin2x,可得

2兀

段)的最小正周期为万=兀因为火-X)=sin(-2x)=-sin2x=-於),所以於)是奇

函数，所以八%)是最小正周期为兀的奇函数.故选D.

(2)(2023・威海三模)已知函数Hx)=sinr-cos(2x+0)(°G[O,n])为偶函数,则

9=()

兀

A.0B，

71

(2^2D*兀

答案C

解析.•&)的定义域为R,且为偶函数，..附=]第3(兀+0)=-cos(-

兀兀

兀+9)n-cos°=cos9=>cos9=0,丁9£[0,兀],，夕=].当夕=]时,八％)=-sinxsin2x

为偶函数，满足题意.故选C.

I触类旁通I解答三角函数奇偶性问题的常用方法

(1)依据奇(偶)函数的定义，即由五-x)=-五X)

(或火-X)=人动对定义域内任意自变量X都成立，建立关于参数的方程.

(2)由奇(偶)函数的必要条件入手，求出参数的可能取值，再进行验证.

(3)三角函数中奇函数一般可化为丁=44118或丁=42115的形式，而偶函数

一般可化为y=Acosox+6的形式.据此结合诱导公式可以确定参数的值.

(4)在,=45[!1(0_¥+9)(或,=4<：050%+6)中代入％=0,若y=0,贝为奇函数，

若y为最大或最小值，则为偶函数.

「即时训练若函数y=3cos(2x-^+J为奇函数，则|0|的最小值为..

,..71

答案6

兀兀5兀_

解析依题意得，一w+9=E+1«eZ）,9=而+石（左©Z）,因此|刎的最小

值殿

角度3三角函数的对称性

例5（1）（多选）（2024•济南模拟）已知函数於）=或血+＜：05式0＞0）的最大值为

2,则（）

A.a=y[3

B.丁=於）的图象关于点用0）对称

7T

C.直线x=4是y=Hx）图象的一条对称轴

D.丁=於）在[,4上单调递增

答案AD

解析易得兀0=asin%+cosx=yja1+lsin（x+9）/119=，则J（x）^：yja2+1=

2,解得"小，故A正确；由A项分析知於）=2sin[x+|）,当》=聿时，局=

2s试=小，故B错误，C错误;当x©[o,§时，%+/用罗，由正弦函数的

性质可得，此时y=Hx）单调递增，故D正确.故选AD.

（2）（2022•新高考I卷）记函数外）=sin"+；）+0（①＞0）的最小正周期为T.若

y＜r＜7i,且丁=%）的图象关于点修，2）中心对称，则局=（）

3

A.1B，2

C.|D.3

答案A

27T271271

解析因为不＜T＜兀，所以不＜丁＜兀，解得2＜。＜3.因为y=«x）的图象关

，3兀、，3兀兀、，3兀兀、

于点［甘，2)中心对称，所以6=2,且sin匠①+或+6=2,即sin^0+编=0,

LL、|3兀71,z__「ccLL、rl3jl3兀兀19兀LL、13兀兀,

所以Z①+1=左兀(％£Z),又2V①V3,PJTI^~<YC0+4<~,所以E①+［=4兀，

解得①=|,所以於)=sin(|x+手+2,所以局=sin(|x畀手+2=s祥+2=1.

故选A.

I触类旁通I求三角函数图象对称中心、对称轴的方法

(l)y=sinx图象的对称中心是(fat,0),左©Z,对于y=Asin(0x+0)图象的对

称中心，由方程。％+9=攵兀，左©Z解出x即可.

兀兀

(2))7=sin%图象的对称轴是直线工二左兀+/,左£Z,由cox+(p=尿+牛女£Z

解出二即可得到函数y=Asin(cox+9)图象的对称轴.

(3)注意y=tanx图象的对称中心为曰Oj(^EZ).

即时训练(2024.邯郸模拟)写出函数八%)=詈工图象的一个对称中心：

1—sinx

答案］4,0)(答案不唯一)

x.xX.X%x兀

cos9二-sm9「cos^+sin7;1+tan/tan/+tan4

COSX2222

解析»

1-tan11-tan^tan4

（无兀、vjp左兀7L7C

tan|j+4J,令]+a=y（左©Z）,则x=_]+for/©Z）,令左=0,则x=—],所以

函数危溷象的一个对称中心是0；

课时作业

一、单项选择题

1-函数五x)=In(cosx)的定义域为()

A.\x\hi一+胃，kGZ

B.{%|左兀+兀,kRZ}

兀兀

C.ix2%兀一5Vx<2E+5,kRZ

D.{x|2E<x<2E+兀，左£Z}

答案c

兀兀

解析由cosx>0,解得2E—]<x<2左兀+],左©Z,所以函数«x)=ln(cosx)的

定义域为卜卜左兀-3<X<2E+3,左©z].

2.(2023•四川成都模拟)在函数y=sin|x|,y=|sinx|,y=tan(x+],y=cos(2x+§

中，最小正周期为兀的函数的个数为()

B.2

C.3D.4

答案C

解析函数y=sin|x|的图象如图所示，由图可知，函数y=sin|x|不是周期函数.

-SV~Pi~0

令fix)=|sinx|,则找x+7i)=|sin(x+兀)|=|-sinx|=|sinx|=f^x),则函数y=|sinx|

的最小正周期为兀，y=tan(x+§的最小正周期为T=f=兀，y=cos(2x+§的最小

2兀

正周期为T=了=兀故选C.

3.(2023•兰州模拟)如图所示，函数y=cosx,|tanx(0Wx<?且月与)的图象是

答案C

兀、3兀

sinv,0&%<2或兀忘X<2，

解析丁=cosx|tanx|=5根据

TL

-sin%,2<X<JI，

正弦函数的图象，作出函数图象如图所示.故选C.

4.（2023・长沙模拟）正割（Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学

家、天文学家阿布尔•威发首先引入，sec,esc这两个符号是荷兰数学家基拉德在

《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割seca=±,

余割csca=熹.则函数於）=+：+去：的值域为（）

A.[-1,1]B.[-y/2,y/2]

C.[-2,2]D.[-啦，-1）U（-1,1）U（1,啦]

答案D

解析Hx）=+最\=cosx+sinx=gsin（x+：）,其中sin%#0,cosx力0,

所以-V2<»<V2,且於并±1，即於）的值域为[-蛆，-1）U（一1,1）U（1,陋].故

选D.

5.（2023•太原二模）已知函数段）=cosx-2cos2自-助+1,则下列说法正确的

是（）

A.产+-"为奇函数B."为偶函数

cy=/x+；）—1为奇函数D-y=，x+：）—1为偶函数

答案B

伊必l+cos|j-x）

解析因为於）=cosx-2cos2l-2I+1=cosx-2x-----------+1=cosx-

sinx=6cos1+,所以火x）=6cos1+手,所以，x-4}=也cos（J-4）+4=也

cosx,所以y=《x-番为偶函数，故A错误,B正确;又y=[x+：）-1=dicos[x+1]

-1=-V2sinx-1,所以函数y=/x+^-l为非奇非偶函数，故C,D错误.故

选B.

6.（2023•全国乙卷）已知函数八x）=sin（5+0）在区间（会引单调递增，直线

》=聿和》=用为函数丁=加）的图象的两条对称轴，贝4-司=（）

A.一半B,4

C.；D.坐

答案D

T2冗7L712兀7L

解析由题意，2=y_6=2,不妨设0>0，则7=兀，8=7=2,当x=d时,

兀兀5兀

1Ax）取得最小值，贝1J2石+9=2左兀_],左©Z,贝1」9=2痴_不，左©Z,不妨取左=0,

则於）=sin（2尤一事则（一尚=sin（一苧）=坐故选D.

7.（2024徐州模拟）设a,烦匀为锐角，则“a>2厂是“sin（a-£）>sinQ”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案C

TTTTTT

解析因为a,4均为锐角，所以0<«<2,0<夕<].当o>2B时，2>«-^>0.

（兀兀、

因为函数丁=$皿-在?上单调递增，所以sin（a-份）sin£,故“a>2厂是“sin（a

TTTTTTTT

-份〉sin.”的充分条件；当sin（a-£）>sin£时，由0<a<],0<A<],得一]<a-4<5,

（兀兀\

因为函数y=siiw在[-5,之上单调递增，所以a-夕川,即a>2△故国>2厂是“sin（a

一份〉sin£”的必要条件.综上所述，“a>2厂是“sin（a-份〉sin.”的充要条件.

8.（2023•榆林四模）已知函数4x）=cosfcox+9-"cosRx+9+如。>0）的最小

正周期为兀，且曲线丁=%）关于直线工£对称，贝巾el的最小值为（）

兀

A兀n5

A6B24

lJLc兀

ur-24D.§

答案B

兀

兀)

解析+75+9_%+2,cos\ax+(p-

兀兀兀)

--sinfcox+9-+9-(

cos\COX+61+2cox+2p—I.*•*fix)

2兀则於）=一；（夕亏兀：曲线=段）

的最小正周期是兀，，五=兀,•»co=1,sin2x+2J.y

关于直线工=1对称，.,.ZxW+Z。一m=左兀+方，左GZ,...夕ku7兀

=T+24，k《Z,贝lj当左

77T571571

0时，101=五，当左=一1时，101=万，贝小9怕勺最小值为五.故选B.

二、多项选择题

9.（2024.山东新高考联合质量测评）已知函数外）=tan（2T）,则下列说法正

确的是（）

7T

A.兀0的最小正周期为]

B.於）在信号上单调递减

D.4x）的定义域为卜卜耳+桁，左©z:

答案AC

解析因为外）=tan[2xV）,对于A,於）的最小正周期为T=l，故A正确；

对于B,当x黑，时，2x-聿无，9，因为y=tanz在z©（0,期上单调递增,

故於）在（右§上单调递增，故B错误；对于C,因为加）的最小正周期为T=E

所以周述一野故。正确；对于D,令2x-藉+E,上Z,解得

诏+竽，左©Z,所以外）的定义域为卜局+当―z],故D错误.故选AC.

10.（2024・保定模拟）若函数人%）=25：1113.053%+2＜：0523；1-1,贝1J（）

A.於）=A/2COS^6X+

71

B.Hx）的最小正周期为]

7T

C.於）的图象关于直线％=方对称

D.於）在[-告，0上单调递增

答案BCD

解析由题意得於）=sin6x+cos6x=M^sin（6x+：）=d^cosbx-；）,所以於）

TTTTTTTT

的最小正周期为A错误，B正确；因为6q+a=,所以五X）的图象关于直线

工=壶对称，C正确；由x©-专，0,得6x+*,所以於）在-全，0

上单调递增，D正确.

11.（2023•湖南邵阳一模）随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广

泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理

4sin[⑵-1)x]

背后的“功臣”就是正弦型函数，»=z—1—的图象就可以近似的模拟

i=1一

某种信号的波形，则下列说法正确的是()

A.函数Xx)的图象关于直线x=W对称

B.函数人x)的图象关于点(0,0)对称

C.函数人x)为周期函数，且最小正周期为兀

D.函数人x)的导函数/(x)的最大值为4

答案ABD

-

解析因为函数段)=z4sin[(2z1)x]=S加+曾sin3x+2si詈n5x+号sinU7x定义域

i=1」

、sin(3TI+3x)sin(5兀+5%)sin(7兀+7%)

为R,A+x)=sin(TT+x)+++]

.sin3xsin5xsin7x.、sin(-3x)sin(-5x)

=-sinx-一j=sin(z-x)+++

sin(-7x)兀

-------7-------=八-x),所以函数Hx)的图象关于直线x=]对称，故A正确；对于B,

“、.，、sin(-3x)sin(-5x)sin(-7x)sin3xsin5x

j\—x)=sin(-x)++y=_sinx-—

sin7x

所以函数4X)为奇函数，图象关于点(0,0)对称，故B正确；对

于C,由题意知1Ax+©=-Hx)新X),故c错误；对于D,由题意可知/(x)=cosx

+cos3x+cos5x+cos7xW4,故D正确.故选ABD.

三、填空题

12.函数於)=sin(2x+用-3cosx的最小值为.

答案-4

解析=sin(2x+竽)-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos-3cosx+1=

C3、2I?

—2lcosx+I+,—1WcosxW1,♦•当cosx=1时，兀v)有最小值—4.

13.已知火x)=sin^(x+1)小cos5(x+D],则段)的最小正周期为

，加)+m)+…+12023)=.

答案6小

7T

解析依题意可得人x)=2sin1x,其最小正周期T=6,且11)+五2)+…+16)

=0,故加)+/2)+."2023)=加)=5.

14.(2023•泰州模拟)当。=%时,»=sin26-cos20取得最大值,则sin(2%+手

答案W

解析人。)=sin26-3(1+cos26)=sin26-cos26-^=乎

^^sin20-害cos2H-3=坐'sinQ。-9)一；［其中coscp半,sin,

，当购

7171

取得最大值时，2%-9=5+2而，左£2,所以2%=9+]+2而，左@2,所以sin26o

2小当，所以

sin1。+2+2%兀J=coscpcos20o=cos"+2+=-sin^=

5

sin(26o+率的+景。s2%=冬平+久一啕=喀

四、解答题

15.已知函数«x)=sin12x-§+坐.

⑴求函数人x)的最小正周期及其图象的对称中心；

(2)若Hxo)W小，求xo的取值范围.

解(1)函数火x)的最小正周期丁=兀

由2x—女=Mr,kQZ得x=亳+当左©Z,

故函数外)图象的对称中心为偿+竽，*k・Z.

(2)因为五xo)W小，

4兀7171

所以一亍+2knW2xu-2^3+2%兀，kRZ,

n兀7C

BP-2+E,K^Z.

I兀兀

即％0的取值范围为jxo-/+E<M)<Q+内I,女ezj.

16.已知函数火%)=2sinxcosx+cos(2x-+cos(2x+^j,%£R.

⑴求《金)的值；

兀

(2)求函数人乃在区间后，可上的最大值和最小值，及相应的x的值；

兀

(3)求函数於)在区间岳可上的单调区间.

解(1)V/(x)=2sinxcosx+cos[lx-+cos[lx+=sin2x+cos2xcos^+

sin2xsin看+cos2xcos看