高三数学一轮复习：三角形中的中线高线角平分线 专项训练

三角形中的中线、高线、角平分线

[A组在基础中考查学科功底]

一、单项选择题

1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且NA4c=60。，b=3,

AD为BC边上的中线，若AD=5则BC的长为()

A.7B.3V2C.V19D.3V3

2.ZXABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A3边上的高为2c,A=

则cosC=()

4

V10D3V10

AA.-----D.-----

1010

/3A/5cV5

U.—U.—

105

3.如图所示，在四边形ABC。中，AC=AD=CD=7,ZABC=120°,BD^jZABC

的角平分线，sinNA4C=逋，则3。=()

14

A.6B.8

C.7V2D.9

4.如图，在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,。，c,点。为3c的

中点，AD=1,B=p且△ABC的面积为*则c=()

C.2D.3

5.在△ABC中，。为的中点，3sinZADB=2sinC,BC=6,AB=4版则

△ABC的面积为()

A.2V3B.3V3

C.2V2D.4V2

6.如图，在△ABC中，已知A3=2,AC=5,NB4c=60。，BC,AC边上的两

条中线AM,BN相交于点P,则NAPB的余弦值为（）

B

A.V13B.2V13

1313

2回4V91

C.D.

9191

二、多项选择题

7.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=ccosNB4C,ABAC

的角平分线交3c于点D,AD=1,cosZBAC=^,则以下结论正确的是（）

8

3

A.AC=-

4

B.AB=8

C.—=-

BD8

D./XABD的面积为心

4

8.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,NA3C的角平分线交AC

于。，E为AC的中点，则下列说法正确的是（）

A.若巫，则NABC=E

a+c3

B.若巫，则NABC=E

a+c6

C.若5E=空手W,则NA3C=]

D.若5E=丝宇华则NA3C=*

三、填空题

9.在△ABC中，/BAC=6。。，AB=2,BC=渔,NA4c的角平分线交3c于。，

则AD=.

10.（2021•浙江高考）在△ABC中，ZB=60°,AB=2,般是3c的中点，AM=

2V3,则AC=：cosZMAC=.

四、解答题

11.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且9_=晅衿朕.

b+csinyl-sinC

(1)求&

(2)若6=巡，NA3C的平分线交AC于点。，BD=1,求△ABC的面积.

12.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2csinB=(2a—c)tan

C.

⑴求角B；

(2)若c=3a,。为AC的中点，BD=y/13,求△ABC的周长.

13.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=6,bsin2A=4而sin

B.

⑴若b=l,证明：C=A+)

(2)若BC边上的高为?，求△ABC的周长.

参考答案

［A组在基础中考查学科功底］

1.C［如图，AD=I(AB+AC),

A

BDC

：.AD2=|(AB2+ZC2+2AB•ZC),

.♦.c=5(负根舍去)，

'：BC2=b2+c2-2bccosZBAC

=9+25-2X3X5Xi=19,

：.BC=V19.]

2.B[如图，AB边上的高为CD,

因为A=E,所以AD=2C,2c=bsin

44

所以3D=c,b=242c,

由勾股定理可得BC=7c2+4c2=V5c,

由余弦定理的推论可得cosNAC5=5c2皆22=羽眄故选B

3.B[因为3。为NA3C的角平分线，所以NABD=60°,因为NA3C=120。,

所以NR4c为锐角，所以cosNB4C=J1—(餐)2=*

所以sinZBAD=sm(ZBAC+ZDAC)

=sinABAC•cosZDAC+cos/BAC,sinND4c

_5V3111V3_4V3

----------X—I--------X----------------,

1421427

由正弦定理可知JD=",

smz.BADsmz.ABD

即BD=sinZBADXAD=—xW=8.故选B.]

sin^ABD7叵」

2

4.B[VB=p.,.在△ABD中，由余弦定理得

2

/+(])—2cX^cos；=1,a2+4c2~2ac=4,

又SAABC=—acsinB~^—ctc~,解得〃c=2①，

242

+4c2—lac=4=lac,即4c2—4^c+<72=0,

・・.(2c—a)2=0,即a=2@,

将②代入①得2c2=2,解得c=l或c=-1（不合题意，舍去），故选B.]

5.D[在△ABD中，由正弦定理可得AB=/£_

smz.ADBsmB

在△ABC中，黑二嗯,

sinCsinB

两式相比可得史上侬=些

sinCAD

因为3sinZADB=2smC,

所以祭=1，设AC=2hAD=3左,

由余弦定理的推论可得

nAB2+BD2-AD2AB2+BC2-AC2

cosB=---------------=-,---又---因---为---3--C=6,A3=4A/7,。为3c的中点,

2AB-BD2AB•BC

所以BD=3,

2

即32+9—9k232+36-4/c,解得公=1,

2X4A/2X32X4A/2X6

匕二八,八日.八

所以cos3=-3-2-+--9-9-X1=—2V2,可F得/sin3=-1,

2X4VF2X333

所以S^ABC=^AB•BC•sinB=jx4V2X6x|=4V2.

故选D.]

6.D[因为A3=2,AC=5,NB4c=60。，由余弦定理可得

BC=AB2+AC2-2AB•AC•cosABAC=V4+25-2x2x5cos60°=V19,

因为病=：（同+就），所以

22V39

J^(AB+AC+2\AB\\AC\cos^BAC4+25+2x2x5x—=

2

由余弦定理的推论可得

AB2+BC2-AC24+19-25

cosXABC=1,~BN=^(BA+BC\可得

2AB・BC2X2V192-719

\BN\=/廊2+前2+2函MCOSZABC

J(4+19+2x2xV19x(-熹)=早

由重心的性质可得AP=14M=F

吁抑T

39,21.,_

4P2+BP2TB2_+__4

在△AP3中，由余弦定理的推论可得cosNAP3=

2AP・BP2x逵x叵一_^T'

33

故选D.]

7.ACD［因为Z?=ccosN3AC,

由正弦定理可得sinB=sinCeosZBAC

=sin(ZBAC+Q,

所以sinZBACcosC=0,因为sinZBAC^Q,

所以cosC=0,即C=]

因为工=cosZBAC=—,

由角平分线定理可得

ADDUO

设AC=x,则AB=8x,

则BC=3y/7x,CD=yX

2

在Rt^ACD中，由勾股定理可得f+=1,

解得x==即AC==AB=6.

44

因为SAABC=-AC•BC=-x-X3V7x-=^,

224432

所以SAABD=*AABC=¥.故选ACD.］

8.AD［对于A,B项，由S"3C=S“5D+SMCZ)可得,

11

-acsinXABC=-a•BDsin/.ABC+,1-c•BnDcsm•-/--A-B--C

22222

le.Z.ABCZ.ABCDC•/-ABC.g•乙ABC

贝1nUlacsm-----cos-----=a•BDsin-----+c•BDsin------

2222

因为sin*W0,

2

所以2〃ccos^^-=(a+c)BD,cos^l£=^a+c^BD

222ac

因为BD=—,

a+c

则cos等=q,即/ABC、,故A正确，B错误;

对于C,D项，由题可知雇=3瓦5+前），所以前2=1（瓦就）2=：（瓦+

JC2+2BA-BC）=i（a2+c2+2tzccosZABC）.

因为3E=三三

2

所以a+；-a，=*2+c2+2accosZABC）,

整理可得cosZABC=-p

所以NA3C=*,

故C错误，D正确.

故选AD.]

9.2［由余弦定理的推论得cos60°=丝，整理得AC?—2AC—2=0,得AC

2X2^4C

=1+V3.

o

因为5AABC=SAABD+SAACD,所以|X2ACsin60°=|x2ADsin30+|AC•ADsin

30°,所以AD=逆竺=28x（1；遮）=2.］

AC+23+V3」

10.2V13誓［在△ABM中，

AM2=BA2+BM2-2BA•BMcos60°,

.,.（2V3）2=22+BM2-2X2XBMXj,

：.BM2-2BM~8=0,解得BM=4或一2（舍去）.

,点M是BC中点,.,.MC=4,BC=8,在△ABC中，AC2=22+82-2X2X8cos

60°=52,/.AC=2V13.

（2可+（2g）242

在△中，

AMCcosZMAC=2X2V3X2V13

13」

11.解：（D因为其=也匕电＜，由正弦定理得旦=上£,整理得"一丝=尻—C2,

b+csirii4-sinCb+ca-c

即a2+c2—b2=ac,

又由余弦定理的推论得cosB=a-b=

因为3©（o,。所以

(2)如图所示，因为SAABC=S/\ABD+S/\BCD,

B

所以SAABC=-BD•csin-+-BD•asin-=-(tz+c).

26264

又因为S/^ABC=~CICsin-=,所以1(o+c)=f

由余弦定理得b2=a2+c2—2accos]=(Q+C)2—3QC=6,

f—l(Za+.cX)=_—V3etc,cc

联立方程组4、4可得3(QC)2—3QC=6,即(QC)2—QC—2=0,

(a+c)2—3ac=6,

解得ac=2或ac=-1(舍去)，

所以SAABC=—acsinB=--uc=~.

242

12.角窣：(1)\,2csinB=(2a—c)tanC,

/.2sinCsinB=(2sinA-sinC)•sinCWO,

则2sinBcosC=2sinA—sinC=2sin(B+C)—sinC=2(sinBcosC+cosBsinC)

—sinC,整理得2sinCcos5=sinC,

又sinCWO,.*.cosB=|,而3@(0,兀)，

(2)c=3Q,

由余弦定理得

b2=a2+c1-2accosB=a1+9a2—2aX3aXcos；=74，

因为。是AC的中点，则AD=CD=^-a,

Z£l+13-9a2

在△A3。中,由余弦定理的推论得cosZADB=^T-----,

2X3X尺

型+13-。2

在ACBD中，由余弦定理的推论得cos/CDB=F----,

2x^axV13

XCDB+XADB=TI,COSXCDB+COSAADB=Q,

2,

年7-a+13^-9。孚+13-。2

+\——=0