2024年中考数学押题题型训练：圆（九大题型+解题方法）

冲刺2024年中考数学考点押题题型训练（全国通用）

中考压轴题-圆（九大题型+解题方法）

解题方法

1、圆中常见相似三角形

不含切线

△PACMPDB

△480sZUEC

△DCB

△ODE­△OADs△DAE

2.在圆中解三角形或四边形的常用思路

画出特殊图形：如圆中的特殊三角形、特殊四边形等，在已知条件下，以结果为导向，在这

些特殊图形中求出一些中间量。

目录:

题型1:圆与三角形综合

题型2：圆与四边形综合

1

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题型3：圆有关的动态问题

题型4：圆与坐标系或函数

题型5：以实际问题为背景，求圆与三角形、四边形综合问题

题型6：最值问题

题型7：在解三角形、四边形中作辅助圆

题型8：定值问题

题型9：在圆综合中求解三角函数值

题型1：圆与三角形综合

AD_LBC于点,E,连接AE=CE.

(1)如图1,连接OE,求乙4EO的度数;

(2)如图2,连接NC,延长EO交/C于点N,点F为/C上一点，连接EF,在E尸上方作等腰直角三角形EFG,

且/EG尸=90。，连接NG,求证：NG//BC；

(3)在(2)的条件下，连接CD,当点G落在线段45上时，过点。做。交CD于点、L,交CE

于点T,若OE=6&EG=2CL,求。。半径的长.

［答案］(1)45°

(2)见详解

⑶6石

【分析】本题考查了圆与三角形的综合，涉及到全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线成

比例，勾股定理，圆周角定理等，正确添加辅助线，熟练灵活运用知识点是解决本题的关键.

(1)连接。4。。，证明△ZE。/△CEO即可；

(2)过点G作GALGN交EN于点心先证明△GER四△G/W,得GR=GN,

所以NGNR=NGRN=45°,得至UNG2V7?=N2VEC,故GN||3c.

(3)过G作GR,GN交NE的延长线于点R,连接8,OC,作。K,CD于点K,OHLCE于点、H,先证

明△/BE丝EG=〈CD,设CL=a,EG=2a,AB=CD=4a,DL=3a,则0。=。。=2/0，

OK=DK=2a,KL=a,证出ZKOL=ZOCT,贝UtanZKOL=tan乙OCT,

2

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最后在RtA。。”中运用勾股定理求OC=6石.

【解析】（1）连接。4。。，

yc

D

图1

•：OAQC为OO半径，

：.OA=OC,

•:EA=EC,OE=OE,

：./\AEO^/\CEO,

ZAEO=/CEO,

・・•ADIBC,

：.ZAEC=90。,

：.ZAEO=ZCEO=-ZAEC=45。；

（2）证明：过点G作GRLGN交EN于点夫,

二/RGN=90。，

G\N

图2

/RGN=ZEGF,

・•・ZRGN-NRGF=ZEGF-NRGF,

3

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/EGR=4FGN,AE=CE,ZAEN=ZCEN,

：.ENLAC,AN=CN,

：.ZENC=90°f

：.ZENC=90°=ZEGF,

・•・/GEN=ZGFN,

又♦:GE=GF,

:・AGER"AGFN,

：.GR=GN,

：./GNR=/GRN=45。,

：.ZGNR=ZNEC,

：.GN\\BC.

(3)过G作GR,GN交WE的延长线于点H,连接OQ,OC,作m，8于点长，OHICE于点H,

由(2)得△G/W之△GER,得GN||，

.ANAG

••国―茄’

・・•AN=CN,

：.AG=BG,ZAEB=90°,

・・・EG=；AB,/BAD=/BCD,AE=CE,ZAEB=ZCED,

/\ABE沿八CDE,

・・・AB=CD,

：.EG=-CD,

2

没CL=a,EG=2a,AB=CD=4〃,DL=3Q,NEAC=90°-ZAEN=45°,

：.ZDOC=90°,

：.ZDOK=ZCOK=45°,

4

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ZODC=ZOCD=45°,

贝IJOZ)=OC=2&a，OK=DK=2a,KL=a,

在RtZXOKL中，tanZLOK=-,

2

'：OLLOE,

：.43=90。，

ZOED=ZOTE=45°,

VZKOL+ZLOC=45°,ZOCT+ZLOC=45°,

：.ZKOL=NOCT,

：.tanZKOL=tanZOCT,

；OE=6yf2,OH=6,HC=12,

在RLOCH中，0c2=OH2+HC2,

OC=675.

2.（2024•黑龙江哈尔滨•一模）已知：NB为。。的直径，点C为蓝上一点，连接NC,点。为前上一

点，连接过点。作43的垂线，垂足为点R交。。于点E,连接CE,分别交和于点//和点

K,且乙〃殂=90°.

(1)如图1,求证：NCAD=NB4D；

（2）如图2,连接打尸，过点”作/小的垂线交于点7,求证：AB=1FT；

（3）如图3,在（2）的条件下，连接3c交AD于点G,延长CD交AB的延长线于点若CM=/G,FT=5,

求CG的长.

【答案】（1）见详解

（2）见详解

5

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【分析】(1)证明"HCS"ED,即可得出结论；

(2)连接3c,证明也次(ASA),得到CH=KH,ZACH=NAKH,证明^TKH^^FDH,得到

=根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出=D尸，得到NTHK=ZACH,推

出AC〃TH,证明“KCS^TK”，得到江=生=区空=2,再证明。BCs”“，即可证明结论；

THHKHK

(3)连接GK,过点M作。8的垂线，垂足为点N,证明丝△/M(ASA),得到CH=KH,4c=4K,

进而推出N4CG=N4KG,证明△G4K24/CN(AAS),得到4C=/K=CN,进而推出GK=MV=CG,证

明△GBKgaMSN(AAS),得至"BK=BN,设BK=BN=a,则4K=4C=CN=10—a,C5=10—2。，求出

BK=2,AC=8,BC=6,设CG=GK=冽，则GB=6—%,利用勾股定理即可求解.

【解析】(1)解：・・・43，。£,

ZAFD=90°

VZAHE=90°,ZC=ZD

：.^AHC^^AFD

：.ACAD=ZDAB；

(2)解：如图2：连接5C,

A

图2

由（1）知NCAD=NDAB,

ZAHK=ZAHC=90°,AH=AH,

:AAHC咨小AHK（AS*,

/.CH=KH,/ACH=NAKH,

•・•/BAD+ZAKH=/BAD+ZADF=90°,

ZADF=NAKH,

THLFH,

6

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'.ZTHK+ZFHK=ZFHK+ZFHD=90°,

ZTHK=NFHD,

.MKHs@DH,

1./HTK=ZHFD,

・点尸是。E的中点，ZEHD=90°,

.HF=DF,

1.ZFHD=ZFDH,

.ZTHK=ZTKH,

:ZTKH=ZACH,

\ZTHK=ZACH,

,AC//TH,

.^AKC^^TKH

ACCK2HK2

,^rH~HK~HK

,AC//TH

\/CAB=/HTB,

rZACB=ZTHF=90°

•・^ABCSQFH

ABAC2

*7F-TH-

.AB=2FT；

(3)解：如图3,连接GK,过点M作CB的垂线，垂足为点N,

•・•ACAD=/BAD,/AHC=ZAHK=90°,AH=AH

图3

:AAHC知AHK(ASA)

:.CH=KH,AC=AK

7

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ZACK=ZAKC

CG=GK

ZGCK=NGKC

ZACK+ZGCK=ZAKC+ZGKC

:.ZACG=ZAKG

•••4B是。。直径

ZACB=ZAKG=ZGKB=90°

•••/AKG=/CNM=90。,ZGAK=AMCN,AG=CM

.•.△G/K四△MCN(AAS)

:.AC=AK=CN

:.GK=MN=CG

•・•ZGKB=/MNB=90°,ZGBK=4MBN

.•.△G5K也△MBN(AAS)

/.BK=BN

-TF=5,AB=2FT,

AB=10fOA=OB=5,

设BK=BN=a,则4K=/C=CN=10—a,C8=10—2。

在Rt/XABC中，AC2+BC2=AB2

BP(10-a)2+(10-2a)2=l(f

二.Q=2或a=10(舍去)

BK=2,AC=8,BC=6

设CG=GK=m,则G8=6—加，

在RtaGKB中，GK2+BK2=GB2

即m2+22=(6—加『

8

:.m=—

3

.”8

•.CG=—.

3

【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形全等的判定

和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形，

8

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全等三角形.

3.（2024•黑龙江哈尔滨一模）如图1,在。。中，直径48垂直弦CD于点G,连接AD,过点C作

于R交4B于点、H,交。。于点E,连接。£.

图1图2图3

（1）如图1,求证：ZE=2ZC；

（2）如图2,求证：DE=CH■,

（3）如图3,连接8E,分别交4D、CD于点、M、N,当OH=2OG,HF=M，求线段EN的长.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

⑶12

【分析】（1）连接ZC,根据垂径定理和等弧所对的圆周角相等，结合等角的余角相等即可证明结论；

（2）连接3C,运用同弧（等弧）所对的圆周角相等，结合同角的余角相等和等量代换即可证明；先证明

BC=CH,再证明3C=Z）E；

（3）根据已知设出OG和OH,结合（2）表示BG,进而用x表示半径、直径，结合勾股定理表示

结合ABGNS^BEA,即可求解.

【解析】（1）证明：连接/C,

9

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A

B

是。。的直径，ABLCD,

・・・前=前，ZBAD+ZADG=90°

：./CAB=/BAD=-ACAD=-ZCED,

22

AFICE,

：.ZECD+ZADG=90°,

：.ZECD=ABAD,

・•・NE=2ZDCE；

(2)连接3C,

A

B

图2

・.,ABVCD.CEVAD,

：.ZECD+ZCHG=ZECD+ZCDF=90°,

ZCHG=ZADC,

又「ZADC=/B,

：.ZCHG=ZB,

・•・CH=CB,

由(1)知：/E=2/ECD,

10

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:・CD=2DE，

U-CD=2BC^

•-DE=BC^

：.DE=BC=CH；

(3)连接。。,4万，贝lj：AAEB=90°,

B

•：OH=2OG,

・,•设OG=x,则。〃=2x,

：.HG=OH+OG=3x,

由(2)知，BC=CH,

・.,ABLCD,

：.BG=GH=3x,

：.OB=BG+OG=4x,

OC-4x,AB—8x,AH=2x,

・.・ZCHB=ZAHE,ZCBH=ACEA,且ZCHB=ZCBH,

・・・ZAHE=ZCEA,

・•・AE=AH=2x,

：•RtA^BE中，BE=y]AB2-AE2=2岳x，

RtZXOGC中，CG=y/0C2-0G2=VlSc，

RM"GC中，CH=y]CG2+GH2=246x^

9-9DE=BC=BD，

・•・/BAD=/DCE,

11

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HFHG

Z.sin/BAD=sinNDCE,即:

AH~CH

.V103x

,,2x-2y[6x)

.2V15

••x=-------，

3

:・BE=2/x=M,BG=3x=2^/15,AB=Sx=,

・.,/ABE=/GBN,ZBGN=ZAEB=90°,

・•・八BGNs八BEA,

.BNBG

'•商一康

2岳x16vB

BGAB

BN=________3_=8

BE20

：.EN=BE-BN=n,

【点睛】此题主要考查圆的综合问题，涉及到垂径定理，圆周角定理，弧、弦、角之间的关系，解直角三

角形，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，熟悉圆的相关性质，会结合题意灵活运用勾股定

理和方程思想，会借助相似三角形构建等量关系是解题的关键.

(2)如图2,若点E为弧/C上一点，连结8E交4。于点R若NBAD=2NCAD,ZDBF+4ZCAD=90°,连结OF,

求证：OF平分NAFB；

⑶在(2)的条件下，如图3,点G为8C上一点，连结EG,ZBGE=2ZC.若AD=屈,BD+EG=3,

求。尸的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

12

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⑶恪

6

【分析】

（1）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，且结合4D/BC,即可作答；

（2）先根据三角形的外角性质，得NABF=NBAD=2a,等角对等边，得BF=AF,即可证明

“OF冬ABO尸（SSS）,结合全等三角形的对应角相等，即可作答；

（3）根据同弧所对的圆周角是相等，得乙4EB=90°-a,由三角形的内角和，得NBAE=90,—a,等角对

等边，得AB=BE,进而证明^ABD=ABEM（AAS）,得ME=BD,等角对等边，得工G=EN,故

V6ME

MN=ME+EN=3因为/MBE=/MNB,BMN=/BMN=92。，证明,第

f丁店’

解得旌=2,由勾股定理建立式子，即可作答.

【解析】（1）证明：

ZADC=90°,

：.ZC+ZDAC=90°,

：.2ZC+2ZD^C=180°,

ZAOB=2/C,

：.ZAOB+2ZDAC=ISO°；

（2）证明：设/C40=a,

ABAD=2NCAD,/DBF+4ZCAD=90°,

AABAD=2a,"BD=90。—4a,

：・/BFD=4a,

：.NABF=ABAD=2a,

・•・BF=AF,

•：OB=OA,OF=OF,

：.A^OF^A5OF（SSS）,

：.ZBFO=ZAFOf

・・・。月平分乙4所；

（3）解：连接过点E作画于点M交5C的延长线于点N,

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NABF=/BAD=2a,

/ABE=2a,

,:/BGE=2/C,且"=90。-戊，

・•・NBAE=180°-/ABE-ZAEB=90°-a,/BGE=180。—2a,

ZBEA=ZBAE,ZEGC=2a,

・•・AB=BE,

丁/BAD=/ABE,/BME=NADB=90°,

:•八ABD%BEM(AAS),

：.ME=BD,AD=MB=a,NMEB=/DBA=90。-2a,

•:/EBN=9。。—4a,

：.ZN=2a,

：,/EGC=/ENG,

：.EG=EN,

•：BD+EG=3,

:.MN=ME+EN=3,

•：ZMBE=ZMNB,BMN=/BMN=哪，

：.ABMEs^NMB,

,BMME

••NM-MB'

.4^ME

：・ME=2,

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：.ME=BD=2,

BD2+DF2=BF2,

：.22+DF2=(V6-DF)2,

•八斤瓜

••DF=--.

6

【点睛】本题考查了圆综合，涉及圆周角定理，三角形外角性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形

的判定与性质，勾股定理等综合内容，难度较大，综合性较强，学会灵活运用等角对等边以及作出正确的

辅助线是解题的关键.

题型2：圆与四边形综合

5.(2024•浙江杭州•模拟预测)如图，四边形48co内接于ZC为OO的直径，DE工AC于点、F交BC

图1

(1)设ND5C=a,试用含a的代数式表示/4DE；

nr\

(2)如图2,若BE=3CE,求正的值;

⑶在(2)的条件下，若交于点G,设F£上G=》，cos/BDE=y.

CF

①求y关于x的函数表达式.

②若BC=BD,求y的值.

【答案】(1)90。-。

(2)2

三2^11

(3)①了—-②立

x+116

【分析】(1)根据同弧所对的圆周角相等，结合三角形的内角和定理，即可得解;

(2)圆周角定理得到/4DC=90。=N4FD,进而得到NCUC=NCD尸，推出AOCESABCD,得到

DF)C'D

器=夕==，设CE=a,求出CD的长，即可得出结果;

DECDCE

(3)①过点G作,得到ACEFSKHGQBHGSABED,进而得到

15

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器=H=篇果=H=黑，根据等5BE=3CE,推出DG.肛DF=^-^.DE,利用

尸cos/m£=器结合器=2进行求解即可；

②作E印工BD于印,根据已知条件推出8。=4CE,DE=2CE，设CE=a,DW=m，勾股定理求出m=—a,

8

DW

再根据尸侬包「定求解即可.

【解析】（1）解：,・•四边形/BCD内接于

・•・ZDAC=ZCBD=a,

*：DE1AC,

：.ZAFD=90°,

：.ZADE=90°-ADAC=90。—a；

(2)・・・/C为。。的直径，

：.ZADC=90°=ZAFD,

：.ADAC=/CDF=90°-ZADF,

*：ZDBC=ZDAC,

：.ZDBC=ZCDF,

•.・ZDCE=ZBCD,

・•・ADCES^BCD,

.BDBCCD

''DE~~CD~~CE"

*：BE=3CE,

・,•设CE=Q,则：BE=3a,

BC=4a,

・•・CD2=BCCE=4aa=4/,

：.CD=2a(负值舍去)；

.BD_BC_4a2

99DE~CD~2a~；

(3)①过点G作G打〃。£,

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则：△CEFSACHGQBHGSABED,

CE_CF_EFGH_BH_BG

CH~CG~GH"DE~BE~BD

FG

-----=x,BE=3CE,

CF

CEEF

=—,BC=ACE,

CHGHx+1

EF=-^GH,CH=(x+\)CE,

\BH=BC-CH=ACE-[x+\)CE=(3-x)CE,

：BE=3CE,

.BGGHBH3-x

*BD—~BE~~Y~，

3—x3—x

GH=——DE,BG=——BD,

33

ia_丫

*.DG=BD-BG=-BD,EF=--GH=—~~-DE

3x+13(x+l)y

4Y

•DF=DE-EF=———--DE

3(x+l)，

4rDE

…"皿=变=3匠1)

'DGXBD

3

由(2)知：—=2,

DE

4x

正m-

一%,zoX+1

3

②如图，作于匹,

BC=BD,BD=2DE,BC=ACE,

BD=4CE,DE=2CE,

设C£=〃，DW=m,贝I」：BD=4a,DE=2a,BE=3a,BW=BDDW=4a-m,

EW2=DE2-DW2=BE2-BW1,

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/.2-m2=9a2-(4a-nif,

解得：m=^-a,

o

11

—a11

y=cosZBDE=^-8_H.

DE2a16

【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及到圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，求函数

解析式，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，计算量大，掌握圆周角定理，添加辅助线，构造特殊图

形和相似三角形，是解题的关键，注意计算的准确性.

6.(2024・广东珠海•一模)如图1,尸为正方形/BCD边8C上一点，连接N尸，在4尸上取一点。，以CM

图1图2

(1)若正方形的边长为4时，求。。的半径;

(2)如图2,将不绕点A逆时针旋转45。后，其所在直线与。。交于点G,与边CD交于点连接DG,BG.

①求乙4DG的度数；

②求证：ABBF+AGFG=BG2.

【答案】(1g

(2)①45。；②证明见解析

【分析】(1)连接05、OE,如图所示，先证明N尸是。。的直径，再证明OE是梯形的中位线，设OO的

半径为人由梯形中位线性质及正方形性质得到尸C=2r-4,BF=8-2r,AF=2r,在RM48产中，由勾

股定理列方程求解即可得到答案；

(2)①连接8。交。。于“，如图所示，利用正方形性质、旋转性质及圆周角定理得到3G与8。重合，即

可得到答案；②过点6作6"，3c于M,GN工AB于N,如图所示，得到四边形3MGN是矩形，进而结

合等腰直角三角形的判定、全等的判定与性质、正方形的判定与性质得到相应边的关系，设正方形8MGN的

边长为a,AN=FM=b,贝l|AS=3N+NN=a+6,BF=BM—FM=a—b,在RtZiGMF中，由勾股定理

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可得6/2=/+〃，在中，由勾股定理可得GB2=2/,即可得到所证等式成立.

【解析】（1）解：连接03、OE,如图所示：

OA=OB,OELDC,

：.ABAC=NOBA,OE//AD//BC,

在正方形/BCD中，ZABF=90。,则/A4C+/4FB=90。，ZOBA+ZOBF=90°,

ZOBF=ZOFB,贝ij03=0尸，§POA=OB=OF,

为即的中点，

•­•OE//AD//BC,

，券=g=1，即E是。。中点，

CEOF

是梯形的中位线，则OE=；（AD+PC）,

设。。的半径为r,则尸C=2厂-4,

/.BF=4—FC=8—2尸,AF=2r,

在Rt”M中，由勾股定理可得/序+瓦72=/产，即42+（8-2厅=（24，解得厂=：；

（2）解：①连接AD交。。于/,如图所示：

在正方形/BCD中，ZABD=45°,

・•・4尸是。。的直径，且将4尸绕点A逆时针旋转45。到

ZFAH=45°,NAGF=90°,

ZAFG=45°,

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■：AG=AG，

ZABG=ZAFG=45°,

.•.3G与加重合，则/4DG=45。；

②过点G作GWL8C于M,GNLAB于N,如图所示:

.,.四边形氏WGN是矩形，

由①知NABG=45°,则DGBF=45°,

.•.△2MG是等腰直角三角形，即MG=MB,

四边形2MGN是正方形，

:.GN=GM,

由①知—GR是等腰直角三角形，即G/=G/，

RtAGA^^RtAGA/F(HL),

AN=FM,

设正方形3MGN的边长为。，AN=FM=b,贝A8=8N+/N=a+6,BF=BM-FM=a-b,

在RtZXGMF中，由勾股定理可得G尸=G"+FA〃=/+〃，

在RtAGAffl中，由勾股定理可得GB2=GM2+BM2=a2+a2=2a2,

ABBF+AGFG

=ABBF+FG-FG

=(a+b)(a-b)+(/+%2)

=2a2

=BG?,

ABBF+AGFGBG2.

【点睛】本题难度较大，综合性强，涉及圆周角定理、梯形中位线的判定与性质、勾股定理、旋转性质、

圆周角定理、矩形的判定、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性

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质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定，根据问题作出相应辅助线求解是解决问题的关键.

题型3：圆有关的动态问题

7.（2024・广东•一模）综合探究：

如图，已知48=10,以43为直径作半圆。，半径。/绕点。顺时针旋转得到OC,点/的对应点为C,当

点C与点8重合时停止.连接BC并延长到点。，使得CD=BC,过点D作DEJ.4B于点、E,连接AD,AC.

⑵如图2,当OE=1时，求3C的长；

（3）如图3,若点尸是线段4。上一点，连接尸C,当PC与半圆。相切时，判断直线PC与的位置关系,

并说明理由.

【答案】（1）△/四是等边三角形，理由见解析

⑵3C的长为而或2后

（3）PCLAD.理由见解析

【分析】（1）由圆周角定理得到NC/3C,结合已知条件CD=3C和等腰三角形“三线合一”性质推知

40=48=10,再由等腰“三线合一”性质得到8。，即可得到结论；

（2）分类讨论：点E在线段/O和线段03上，借助勾股定理求得8c的长度；

（3）由三角形中位线定理知OC〃N。，又由切线的性质知尸CLOC,根据平行线的性质即可得到答案.

【解析】（1）△45。是等边三角形，理由如下：

如图1,是圆。的直径，

:.AC1BC,

又•：CD=BC,

AD=AB=10,

■:点E与点。重合，

AE=BE，

21

冲刺2024年中考数学考点押题题型训练(全国通用)

DE上AB,

AD=BD,

•/AD=AB,

AD=AB=DB,

:.^ABD是等边三角形;

：.AO=BO=5,

当点E在/。上时，

则ZE=ZO-OE=4,BE=BO+OE=6,

vAD=10,DELAO,

：.在RtAADE和R3BDE中,

由勾股定理得AD2-AE2=BD2-BE2，

即102—4?=5—6"

解得8。=2回，

BC=；BD=A；

当点£在03上时，同理可得1()2_62=瓦)2一42,

解得8。=46，

:.BC=-BD=245；

2

综上所述，BC的长为回或2行；

(3)PCLAD.理由如下：

如图3,连接。C.

•・•点。是50的中点，点。是的中点，

.:OC是△48。的中位线,

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OC//AD

又：PC与半圆。相切,

PC±OC

PCLAD.

【点睛】此题考查了圆周角定理，等边三角形的判定，等腰三角形三线合一性质，勾股定理，三角形中位

线定理，切线的性质等知识，根据点E的位置正确分类是解题的关键.

8.（2024•浙江湖州•一模）如图，在Y/BCD中，N8是锐角，AB=642,8C=10,在射线比1上取一点

P,过尸作尸EL3c于点£,过PE,C三点作OO.

3

⑴当cos3=g时，

①如图1,若与。。相切于点尸，连结CP,求CP的长；

②如图2,若。。经过点D,求。。的半径长.

（2）如图3,已知与射线8/交于另一点R将ABE尸沿E尸所在的直线翻折，点2的对应点记为8',且8'

恰好同时落在。。和边4D上，求此时P/的长.

【答案】（1）①CP=8；②。。的半径长为国；

（2）尸/=1日

【分析】（1）①利用切线的性质得到/8尸。=90。，利用三角函数的定义求得5P的长，再利用勾股定理求

23

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解即可；

②连结PD,PC,求得尸C是O。的直径，利用三角函数的定义结合勾股定理即可求解；

（2）过点尸作厂交。/的延长线于点连结CF,CP,PC是直径，得到/尸尸C=90。，求得8尸

和相的长，再利用勾股定理求得/夕=6.再求得平行四边形8c边上的高的长，设PN=AN=x,利用

勾股定理即可求解.

【解析】（1）解：①•.・尸即/尸EC=90。，

；.CP是OO的直径，

••­与。。相切于点P,

NBPC=90°.

3

QcosB=-,56=10,

5

/.BP=BC,cosB=6,

根据勾股定理，得CP=yjBC2-BP2=8：

②如图，连接P。，PC,

：.PC是QO的直径,ZPDC=90°,

■■■四边形NBCD是平行四边形，

:.AD〃BC,ABHDC,AD=BC,CD=AB,

3

cosZPAD=cosB=-,NAPD=NPDC=90°,AD=BC^10,CD=AB=6也,

AP=AD•cosZPAD=6,

根据勾股定理，得PD2=AD?-AP2=64,

PC=yJPD2+CD2=2A/34.

的半径长为国；

(2)解：如图，过点尸作松交DN的延长线于点连接CF,CP,记PE于交于点N,

24

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•：ZFB'E=ZB，/FB'E=/FPE，

/./B=/FPE，

•：PELBC,

:./B=NFPE=45。，

•/ZP£C=90°,

/.PC是直径,

...ZPFC=90°,

:.BF=BCss450=5^，AF=近，

・；/MAF=NB=45。，

AM=MF=AF-=\,

2

♦.・B'F=BF=56，

MB=YJB'F2-MF2=7，BPABr=6.

・••帅为平行四边形BC边上的高，

.•.7VE=6V2-sin45°=6，

又丁/PAN=/B=45。,

/.PN=AN.

设PN=AN=x,则PE=x+6,NB=6—x,

•:PE=BE=BE，

BE=x+6,

根据勾股定理，得NB'2+NE?=B'E?,BP(6-X)2+62=(6+X)2,

3

解得X=Q，

a

/.PA=—y/l..

2

【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判

定与性质、折叠的性质.正确添加辅助线解决问题是解题的关键.

9.(2024•云南昭通・模拟预测)如图，在。。中，是。。的直径，点M是直径45上的一个动点，过点

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M的弦交OO于点C、D,连接8C,点厂为3c的中点，连接。尸并延长，交AB于点、E,交。。

于点G.

BA

图1图2

图1图2备用图

(1)如图1,连接CG,过点G的直线交。C的延长线于点P当点M与圆心。重合时，若NPGC=NMDE,

求证：PG是O。的切线；

⑵在点M运动的过程中，DE=kDF1为常数)，求后的值；

(3)如图2,连接8G、OF、MF,当尸是等腰三角形时，求NBGO的正切值.

【答案】(1)见解析

⑵左二|

(3”BGD的正切值为6或g

【分析】(1)连接OG,根据圆周角定理，结合等角的余角，求得/CGO+N尸GC=90。，进而得到OGLPG,

即可得证；

(2)过点F作FHLCD,垂足为H,易得FH是ABCM的中位线，进而推出也=；，证明ADMEsgHF,

DH3

2

得到。E=尸，即可得出结果；

(3)分点M在圆心O的左侧和点M在圆心O的右侧，两种情况进行讨论求解即可.

【解析】(1)证明：如图1,连接OG,则OD=OG,

Z.NMDE=NOGE,

当点M与圆心。重合时，CD是。。的直径，

AZCGD=90°,即/CGO+/OGE=90。，

ZPGC=ZMDE,

ZPGC=ZOGE,

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NCGO+/PGC=90°,

即OGLPG,

0G是。。的半径，

J.PG^QO的切线.

(2)解：如图1,过点尸作垂足为X,则切〃48,

P

图1

图1

.•点厂为8C的中点，

.CHCF_x

"HM~BF~'

•.H为CM的中点，

FH是ABCM的中位线，

*.CH=MH=-CM,

2

是OO的直径，弦。，N8,

CM=DM=-CD,

2

•DM2

‘DH一3’

:NDME=NDHF=90°,/MDE=/HDF,

\4DMEsADHF,

.DEDM2

•DF一DH-3'

DE=-DF,

3

\k=~.

3

(3)解：如图2,当点M在圆心。的左侧时，OF=OM,连接CO,

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・・,点尸为5C的中点,

：.OF±BC,

CO=CO

在RtZXO尸。和RQOMC中，\OF_OM

：.RtAOFC^RtAOMC(HL),

・•・CF=CM.

在Rt△。期中，点户为5C的中点,

・•・MF=CF=BF,

：.MF=CF=CM,

・•.△CMF是等边三角形，

・・・NDCB=60。,

：.ZBGD=60°f

•*-tan/BGD=tan60°=V-3;

如图3,当点M在圆心。的右侧时，OF=OM,/FOM=NOFM,

图3

：.OF1BC,

：.ZOFB=90°f

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冲刺2024年中考数学考点押题题型训练(全国通用)

；・/OFM+/MFB=90。,ZFOM+ZMBF=90°,

：.ZMFB=/MBF,

:・MF=MB,

在Rt△。期中，点产为5C的中点，

・•.MF=BF=CF,

：.MF=MB=BF,

**•VMBF是等边三角形，

・•・/MBF=60°,

・・・ZAfCF=30°,

・•・/BGD=/BCD=30。,

**•tanZ.BGD=tan30°=.

3

综上所述，NBGO的正切值为省或1.

3

【点睛】本题考查圆与三角形的综合应用，涉及切线的判定，垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定

和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，综合性强，难度

大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键.

题型4：圆与坐标系或函数

10.(2024•福建龙岩•一模)如图，抛物线y=-/+3x+4与x轴分别交于A、B两点(点A在点3的左侧)

与y轴交于点c.

(1)直接写出A、B、c三点的坐标；

(2)如图(1),P是抛物线上异于A,8的一点，将点B绕点尸顺时针旋转45。得到点。，若点。恰好在直线/P

上，求点尸的坐标；

(3)如图(2),是抛物线上异于B,C的两个动点，直线8N与直线CM交于点7,若直线经过定点

(1,3),求证：点T的运动轨迹是一条定直线.

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【答案】（1）/（-1,0）,即4,0）,C（0,4）

（2）尸（1,6）或尸（2,6）

（3）见解析

【分析】

（1）分别令x/=0,即可求解；

（2）以为斜边向上作等腰直角三角形△力即，得出“葭］,依题意，N4PB=45。="DB,尸是半

（22）2

径为g行的。。与抛物线的交点，设尸（私-川+3%+4）,其中-1＜小＜4,根据勾股定理建立方程，解方程,

即可求解；

（3）设分别表示出直线6,TC的解析式弘=」^X+3，%=IX+4,进而联立抛物线解析

m-44-mm

式，得出％=——二-1,如=3-巴*，依题意，直线儿W的解析式为了=左卜-1）+3,即夕=依-4+3,

联立抛物线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系可得X”+4=3-斤，xM-xN=-k-1,进而得出关于

优，"的恒等式，即可求解.

【解析】（1）解：对于抛物线了=-x?+3x+4,当x=0时，7=4,则C（0,4）,

当y=0,即一/+3x+4=0

解得：无1=-1,々=4,

/(-1,0),8(4,0)

（2）解：如图所示，以为斜边向上作等腰直角三角形△力m,

⑴

V^(-1,0),5(4,0),则43=5,

-1+43

,,XD-AB=-

2=《，打22

30

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依题意，NAPB=45。=工/ADB,

2

P是半径为:啦的OD与抛物线的交点,

2

设尸（山m2+3m+4）,其中一1<根<4

整理得（刃+1）（加一4）（加一2）（冽-1）=0

解得：加=±1,2,4

V-1<m<4

・・•冽=1或冽=2

则尸（1,6）或尸（2,6）；

（3）解：设7（〃?,〃），

V5（4,0）,C（0,4）,

设直线俎TC的解析式分别为必=klx+bl,y2=kx+b2

4%+4=06=4

mk{+bx=nmk2+b2=n

n

7n-4

m-4左2二一

解得：,m

4〃

b2=A=4

4-m

n4"«-4.

------x+4

..・%==r+=?%=m

n4〃〃一4,

必=-----%+-----y=----x+4

联立m-44-m,2m

y=-x2+3x+4y=-x2+3x+4

n

消去y得：/+-3|x-4+^-=0,

m-4J4-m

T-31x=0

x2+

m)

=3--------7，BPX=---------1

m-