高考数学一轮复习：数列求和问题过关练习卷

数列求和问题过关练习卷-高考数学一轮复习

一、单选题

1.某旅游景区计划将山脚下的一片荒地改造成一个停车场，根据地形，设计7排停车位，

靠近山脚的第1排设计9个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2

倍减去8,则设计的停车位的总数是()

A.172B.183C.286D.311

2.在数列｛%｝中，已知(n+2)an+l=nan,则它的前30项的和为()

19r28八29-30

AA.—B.—C.—D.—

29293031

3.已知｛%｝是递增的等比数列，且为+%+%=28,等差数列也｝满足伪=生，4=%+2,

bbb

4=%.设机为正整数，且对任意的〃EN*，rn>—+—+,则m的最小值为()

%“3an+\

A.8B.7C.5D.4

4.数列｛风｝的前“项和为S“，%=I,1,”=S“+〃("-l)(〃wN*),设则数列｛2｝

的前51项之和为()

A.-149B.-49C.49D.149

5.已知数列｛。“｝满足弓=1,%用=2q,+l("wN*),S“是数歹［］｛a"｝的前几项和，贝1JS9=()

A.29-10B.29-11C.210-10D.210-11

6.如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正

方形的个数依次构成一个数列｛an｝的前4项.记S='+,+•••+—!—,则下列结论正确的为

00

77

QQ

C.5<?D.S与］的大小关系不能确定

7.已知首项为2的数列｛4｝满足4a“+i-5a,,+ia“-2a0=2,当｛q｝的前"项和216时，贝|〃

的最小值为（）

A.40B.41C.42D.43

8.如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1

个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第w堆有〃层共

20

S,个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，….已知邑。=1540,则£/=

n=\

（）

二、多选题

9.已知函数/（x）满足/（x+y）/（x-y）=r（x）-r（y）,川）=1,/⑵=0,下列说法正确

的是（）

A.〃3）=-1B./（2024）=0

2024

C.无=2%+l（%eZ）时，/（》）=（_及D.初=2024

k=l

10.利用不等式“lnx-x+1<0,当且仅当x=1时，等号成立“可得到许多与加“22且〃©N*）

有关的结论，则下列结论正确的是（）

11111

A.inn<1+—HF-d———B.Inn>—+—+—+…d-----

23n-14562n

n(n+l)

c-(l+2)(l+4)---(l+2")>e-2^-D.1+2〃+…

e-1

11.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第w行从左至右的

数字之和记为%,如01=1+1=2,%=1+2+1=4,--,{q}的前"项和记为8“，依次去掉每一

行中所有的1构成的新数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,记为{%},{g}的前〃项

和记为北，则下列说法正确的有（）

试卷第2页，共6页

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

2%11

A.，。=1022B.的前”项和彳------7

s„-sn+l2«„+2-2

C.b51=66D.%=4150

三、填空题

111,

12.在数列｛%｝中，%=1且％。什1=〃，当/N20时，一+—+…+—a„+an+i-2，则实

a2a3an

数几的取值范围为.

13.已知数列｛%｝满足4=1,。e+。“=2〃+1,则其前9项和Sg=,数列的前

2024项的和为.

14.高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子'’的称号，用他名字定

义的函数〃力=3称为高斯函数，其中国表示不超过x的最大整数，如

[2.3]=2,[-1.9]=-2,已知数列｛%｝满足弓=1,%=5,%+2+4%=5%,若包=[kga,-J,S*

j81OS1

为数列厂厂的前”项和，贝时$2025]=.

四、解答题

15.已知数列｛%｝,｛%｝中,4=4,1=-2,｛叫是公差为1的等差数列,数列｛%+%｝是

公比为2的等比数列.

⑴求数列也｝的通项公式；

(2)求数列出｝的前〃项和&

16.已知数歹!]｛%｝满足4用一4,=2〃+2.

(1)证明：数列｛q-/｝是等差数列.

(2)若％=2,求数列卜勺前n项和Sn.

试卷第4页，共6页

17.已知数列｛4｝是递增的等差数列，它的前三项和为9,前三项的积为15.

⑴求数列｛%｝的通项公式.

⑵记如=区餐，设数列出｝的前〃项和为小求证：(,＜；.

18.已知｛叫是等差数列，也｝是等比数列，且也｝的前〃项和为%2al=4=2,

6=5(%-%)，在①4=4(%-么)，②或+i=S,+2这两个条件中任选其中一个，完成下面

问题的解答.

⑴求数列｛%｝和也｝的通项公式;

(2)设数列的前”项和为北,求却

19.已知f(x)=4COSX+耳.

⑴若f(x)在上单调递增，求a的取值范围；

11112n2-n

++++>

tanl2tanl3tanl,"ntanl2〃+l

23n

试卷第6页，共6页

参考答案:

题号12345678910

答案BDDBDCBDABCABD

题号11

答案BCD

1.B

【分析】设每排停车位的个数构成数列｛&J，则。角=2%-8,构造新数列｛g-8｝,可以证

明为等比数列，求出。"=2片+8,再分组求和即可.

【详解】设每排停车位的个数构成数列｛an｝,贝丘用=2。「8,即a用一8=2（%—8）,

所以数列,“-8｝是以9-8=1为首项，2为公比的等比数列，所以%-8=1X2"T=2"T,

所以凡=2力+8,所以设计的停车位总数为1+2+2?+…+26+7X8="92+56=183・

1-2

故选：B.

2.D

〃11

【分析】由题意可得才二仁,运用数列的恒等式可得-再由数列的裂项相

消求和，计算可得所求和.

【详解】解：由（〃+2）a.+i=nan,

a,n

可得但=

〃+2

1]___1_

所以当〃>2时，an=ai

an_}2345n+\n{n+1)nn+\

、30

所g以1So=.1-1----11----1------------1----1---=,11-----

3022330313131

故选：D.

3.D

bbb

【分析】根据已知条件求出％，2，设S“=,+二+…+益，利用错位相减求出s“可得答

a2a3an+l

案.

答案第1页，共14页

【详解】设等比数列5｝的公比为明

24

由〃3+〃4+%=28得a[q+ax(f+a[q=28,(T)

因为｛匕｝是等差数列，所以2仇=8+4,

即2(〃4+2)=/+〃5，可得2(q/+2)=%乡2+47,②

1

2,或v

由①②解得q=a,

q=l

%=64

4=2

因为｛%J是递增的等比数列，所以I，即4=2〃」，

4=1

设数列｛4｝的公差为d,

由4=〃3=4,b5=a4+2=10,得

b2=bi+d=4fb5=b1+4d=10,解得d=2,q=2,

所以a=2+2(〃-1)=2〃,

hbh24In

设So=1—?—H1-----=—I—+…-I

我”的%a用2222"

1242n

则nil5邑c百丁…+广,

r,日1o2222In

两式相减可侍5szi=]+g+g+…+9一声

1

4+2〃

2衿=2一出，所以S〃=4-

=2—

12〃T

2

4+2〃4+2〃

因为>0,所以4-<4,

2"T

b”1d+a

^m>—+—H---1---,贝°加2

Cl?Cl、a,a

n+l、%%n+lmax

可得〃z24,

所以”?最小值为4.

故选：D.

4.B

【分析】由凡与S”的关系，结合等差数列的通项公式求得4=2〃-3,即可得到

答案第2页，共14页

勿=(-1)〃(2”3),再由并项求和法计算可得.

【详解】因为解+I)(〃£N*),

当〃22时，nan=n(Sn-Sn_1)=Sn+"(〃一1),

即(n-l)Sn-nSn_｝=n(n-1),

可得与一身［=1,又?=4=_1,所以［4］是以一1为首项，1为公差的等差数列，

nn-11InJ

q

所以」■=-1+〃-1=〃-2,则5“=几(〃一2),

n

当〃22时Sn_x=(n-l)(n-3),

所以4=S〃=几(〃一2)-(〃一1)(〃-3)=2〃-3,当〃=1时。〃=2〃一3也成立，

所以2=(T)Z=(T)"(2"-3),

可得数歹！］｛2｝的前51项之和为(l+D+(-3+5)+…+(-95+97)-99=2x25-99=T9.

故选：B.

5.D

【分析】由题意可得+1=2(%+D("eN*),可得数歹|｛4+1｝是以2为公比的等比数列,

从而可求出与，进而可求出

【详解】因为4+i=2a“+l(〃eN*),所以％包+1=2(4+D("eN"),

由于4+1=2,贝l］a“+lwO,所以%£=2,

〃〃十1

所以数列｛%+1｝是以2为公比，2为首项的等比数列，

所以%+I=2x2"i=2",

所以a“=2"-1,

所以风=⑵一1)+(22-1)+(23-1)+…+(29-1)

=(2'+22+23+---+29)-9

2(1-2。八

1-2

=210-11，

故选：D

答案第3页，共14页

6.C

【分析】根据图象的规律，归纳各项，通过放缩结合等比数列的求和公式即可求解.

【详解】由图分析可知q=1,%=8q+l=8+l,

%=8%+1=8（8+1）+1=8?+8+1,

4=8%+1=86+8+1）+1=83+82+8+1,

9897

依次类推，«100=8"+8+8+...+8+1,

一c1111111

所以S=--1----1---1----=1-1------1--z-----+...-1-----------------------------------

899+898+897+…+

%%%008+18+8+18+1

8

<—•

7

故选：C.

7.B

【分析】通过计算得到｛%｝为一个周期为4的数列，从而计算出

S41=1。(4+生+/+。4)+2=17,得到答案.

【详解】由题意得。i=2,4a2=2,解得出=一1,

同理4%-5a3a2-2a2=2,解得。3=。，

4〃4-5〃4。3-2〃3=2,解得

4。5-5。5。4-2。4=2,解得%=2,

1a

故｛%｝为一个周期为4的数列，且。|+%+%+%=2-1+。+3=

故S1r=10(q+%+/+%)=15,S4]=10(a1+a、+/+q)+2=17,

故”的最小值为41.

故选：B

8.D

【分析】由题意总结规律得见-再利用累加法求得｛即｝的通项公式，然后再

20

进分组求和，建立一个关于X"的方程，解方程可得.

〃=1

答案第4页，共14页

【详解】在第〃(心2)堆中，从第2层起，第〃层的球的个数比第〃-1层的球的个数多小

记第〃层球的个数为％,则〃22),

得%=4+3-。1)+(。3-〃2)+…+(〃〃_〃1)=1+2+3H----\-n=—n(n+1)

2I

其中q=1也适合上式，则/+=；(1+〃)，

在第n堆中，=4+4+/+…+4=—1^(12+2?+32+…+/)+(1+2+3+…+〃)]

=g02+22+32+…+/)+g〃(几+1),

1(20、20

2

当”=20时，520=-^«+210=1540,解得£/=2870.

，I"=1)«=1

故选：D.

9.ABC

【分析】关键利用函数恒等式得到了(2K+2)/(202)=/(2Q,keZ,和

fQk+3)于Qk-D=f2Qk+D，keZ,从而可以利用数列思想求解并加以判断.

【详解】令x=2,y=l得：〃3)/(1)=尸⑵-产⑴,又因为/⑴=1,△2)=0,

所以〃3)=0-1=-1,所以选项A是正确的；

令x=2匕y=2得：f(2k+2)f(2k-2)=f2(2k)-/2(2)=f2(2k),

因为/⑵=0,所以由上式得，/⑷寸⑵/⑹加，/⑹寸(4)/(8)=o,…

根据递推可得，/(2024)=0,所以选项B是正确的；

令x=2%+l,y=2得：f(2k+3)/(2左-1)=/2(2k+1)-/2(2)=/2(2/:+1),

所以｛/(2左+1)｝是等比数列，由/⑴=1,/(3)=-1可得公比为-1,所以“2左+1)=(-琰,

所以选项C是正确的；

2024

31/■(斗1+0+1+0+…+1+0=1012,所以选项D是错误的.

k=\

故选：ABC.

10.ABD

【分析】对于A：令x=l+工(wN2),代入可得+运算整理即可；对于B：可

n<nJn

答案第5页，共14页

得ln(l-x)W-x,4x=-^0,可得运算整理即可；对于C：取特值〃=2检

nVnJn

验即可；对于D：令X」,可得In上V’-l,结合等比数列求和公式分析证明.

nnn

【详解】对于不等式IruW%-1,当且仅当工=1时，等号成立,

对于选项A：令X=1+,(〃22),则lnjl+,]<l+'—l=L

n\nJnn

pj^ln|l+i|+ln|l+-!+•••+ln|1+-^—|<1+-+---+-^—,

I1)I2)In—1J2n—1

其中ln[l+,J+ln[l+]jH----1-InI1d--------I=ln2-lnl+ln3-In2H----bln⑺-In(几

=ln(?z)-lnl=ln(M),

所以ln(“)<l+g+；+…+去，A正确;

对于选项B：将x替换为Ir,可得ln(l-x)Wl-x-l=-x,当且仅当x=0时等号成立.

4^=-*0,可得整理可得hl"-

n1几Jnn

+ln2Jn(21)>：+g+…+(

故ln2-Ini+ln3-In2H—

即ln(2〃)〉；+；+・1

+一,

In

所以111(〃)>工+1-1112+工+…+工>工+…故B正确;

一2342n4In

对于选项C：令〃=2,可得(l+2)(l+4)>e",即15>8e,

这显然不成立，故C错误；

对于选项D：等价于证明⑶+…+⑶<上，

\n)\n)\nje—1

将InxWx-l中的无替换为上，其中ieN*，neN*，^\in\n-<i-n,

nnnn

可得(,〔Wej,当且仅当二〃时，等号成立，

所以1+2"+…故D正确.

e-1

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：对于已知不等式证明不等式的问题，常常利用代换的思想，结合数列求

答案第6页，共14页

和进而放缩证明.

11.BCD

【分析】由题意分析出数列｛a“｝为等比数列，再求其前项和，再对各项逐一分析即可.

【详解】从第一行开始，每一行的数依次对应(a+匕)"的二项式系数，

所以4=(1+1)"=2",所以｛即｝为等比数列，s=2X(1_2")=2”+「2,

"1-2

所以品,=2"-2=2046,故A错误；

2a»___J_______1

-(2,,+1-2)(2"+2-2)-2K+1-2-2,,+2-2'

故的前〃项和为

----1--------1-------1---------1------------1——।------1-------------1-----1-------1--------1-----1-----------

2334n+1+2,,+2

2-22-22-22-2…2-22"-222-22an+2-2'

故B正确；

去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为0,1,2,3…，构成一个等差数列,

项数之和为地二Q457,贝什的最大整数为11,此时I""-1)=55,

22

杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1,

%取的就是第12行中的第3项，/?57=C；2=66,故C正确;

有是右中去掉22个1,再加上第12行中的第2项和第3项,

所以n7=5“一22+C；2+C；2=4150,故D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题考查“杨辉三角”与数列求和问题，解题的关键是将数列与“三角

数阵”联系起来，结合二项式系数的性质与等比数列求和公式求解.

12.(-=0,1]

【分析】由数列的递推式可得一=4+1-求和后结合条件可得》W2,求出2即可.

a“

【详解】因为4M“+1=”,4=1,所以%=1，

1

当“22时，an_xan=n-i,所以4a“+「a“_q=1,所以丁=

答案第7页，共14页

所以一+—+…+—=a3-ax+a4-a2+a5-a3+--+an+l-an_x=an+an+i-a1-a2

^^3^,n

=a+a

nn+l~2，

111y

因为一+—+•••+-<an+an+l-2,

所以4+4+i—2Wa〃+a〃+i—2',所以2%<2，解得

所以实数力的取值范围为

故答案为：（-00,1]

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由数列的递推式可得‘■=4+1-4.1,然后利用累加

册

法求和求解范围即可.

4048

13.45

2025

【分析】第一空方法一由递推关系得到=2,即奇数项和偶数项分别称等差数列,

再计算前9项和；第一空方法二利用每两项和成等差数列，再求出前9项和；第二空分别讨

论几为奇数和〃为偶数时求出通项，和前〃项和公式，再将的通项裂项后求和即可.

【详解】方法一：由q+1+%=2〃+1,q+2+q+1=2〃+3得。〃+2-%=2,

以S9=(6+/+。5+%+佝)+(出+/+4+%)=(56+20)+(4/+12).

又因为4+%=3,所以S9=%+44=45.

万法二：Sg=%+(/+%)+(/+〃5)+(〃6+%)+(4+%)=1+5+9+13+17=45.

由题意知的=1%=2,氏+1+%=2n+l,an+2+an+l=2n+3,则。〃+2-=2,

当〃为奇数时，an—ax-\-l]x2=1+〃+1—2二〃，

当〃为偶数时，〃〃=%2=2+2=孔，

所以

所以数列｛%J是首项为1,公差为1的等差数列，

所以S,=笑'，

答案第8页，共14页

故上=-2—=21__L

〃伽+1）nn+l

4048

故答案为：45；

2025

14.2025

【分析】由*+-=5%变形为am-%+1=4(%+]-%),得到数列｛为「q｝是等比数列,

从而得至1]。用-4=4",再利用累加法得到从而d=[log2%+』=2”,再利用裂项相消法

求解.

【详解】解：由。”+2+4q=5%得%+2-4+1=4(。“+]-。”)，又出一％=5-1=4,

所以数列｛。用-。”｝是以4为首项和公比的等比数列，故。用-=4",

4〃+[—1

由累力口法得Q〃+]=（a〃+i_〃〃）+（%一q一i）^-----生一6）+%=4〃+4〃T+…+4+1=--—

P4向-1

lo

所以2=[log2〃〃+i]=g2^—，

4〃+i—1

+1+1

•.Tog?—7=log2（4"-l）-log23<log24"-l=2n+l,

-4"+1-1（4-1）4"

又log2—-->log2---——=log24=2n,:.bn=2n,

810881088108111

令A%==”"==五百方=2°27。q》

=

/.=20271^1-

代入”=2025得[Sw5]=2027x[l--l-]1=2025.

故答案为：2025

答案第9页，共14页

15.(1)2=2"-”-3

力27n

(2)7,=2"+1----2

22

【分析】(1)先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列｛%｝的通项公式，再根据等比数

列的通项公式计算出数歹的通项公式，即可计算出数列｛2｝的通项公式；

(2)根据数列｛"｝的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公

式即可计算出前,项和1一

【详解】(1)由题意，可得%=4+(〃-1)义1=〃+3,

故%=〃+3,〃eN*,

数歹U｛4+b„]是公比为2的等比数列，且％+4=4-2=2,

:.an+b„=2-2"-'=2",

bn=2"-an=2"-n-3,〃eN*.

(2)由题意及(1),可得纥=2"-(w+3),

则看=61+62+63+…+6”

=(21-4)+(2Z-5)+(23-6)+.--+[2"-(n+3)]

=(2'+22+23+...+2,')-[4+5+6+...+(/I+3)]

2(1-2")5+7)〃_2向“27〃2

1-22TT

16.(1)证明见解析.

【分析】(1)通过构造[凡+「("+1)2卜(%-/)=1证明即可；

(2)采用裂项相消法求解出s,即可.

【详解】(1)因为(+1-a“=2〃+2,所以4+[-(〃+1)2=4,+2〃+2-(〃+1)2,

化简得[%-(〃+1)[-(%-叫=1,

答案第10页，共14页

所以｛%-/｝为等差数列.

(2)由6=2,贝!］｛4-/｝为首项为1,公差为1的等差数列；

22/\1_1_11

所以。〃一九=几,即氏二孔+孔=〃(〃+1),一=—｝一二二----：，

nnyan矶"+l)nn+1

c11111111,1n

所以S,=—+—+--------=1-=-7.

ata2an223nn+1n+vn+l

17.(l)a„=2w-l

⑵证明见解析.

【分析】(1)根据题意列出方程，求出等差数列的首项和公差即可.

(2)先求数列｛"｝的通项，放缩后再裂项求和即可证明.

【详解】(1)设等差数列｛%｝的首项为公差为d,依题意：

(出口2a3一

所以3a2=9,%=3,ara3=5

所以［因为｛%｝是递增数列，所以d>0

+2d)=5

所以解得q=l，d=2

所以即=l+(n—l)x2=2n-l

(2)b“==1=——<1="工_工)

n222

(an+1)(271+1)24n+4n+l4n+4n4n(n+l)4\nn+17

所以〃=瓦+人+…»升…+：^)=2

因为neN+，所以右；>3所以*=：一高：<［得证•

18.(1)凡=〃(〃£N*)，2=2"(〃wN*)

⑵<=2一耍

【分析】(1)根据等差数列定义可求得数列｛即｝的通项公式，利用等比数列定义根据条件①②

列方程组解得公比可得数列｛5｝的通项公式；

(2)利用错位相减法求出(=2-岁.

【详解】(1)设等差数列｛5｝的公差为4,

答案第11页，共14页

*.*2〃i=2,a5=5(/_/)，

4+4d-5(q+3d—q—2d),

・・q—d—IL,

an=l+(w-l)xl=〃(〃wN)

设等比数列｛篇｝的公比为q,

若选条件①，&=4(2-4)，

由a=2,且白二处"一白),

得如:4仅1/一如2),

/-4q+4=0,解得q=2.

所以｛g｝是首项为2,公比为2的等比数列.

故a=2X2，T=2"(〃eN)

若选条件②,bn+1=Sn+2,

令〃=1,得打=H+2=4+2=4,

b.

公比4=片7=2,

.••数列｛%｝是首项为2,公比为2的等比数列.

从而2=2x2i=2"("eN)

/_、e、re123n-1n

(2)^Tn=-+^-+—+-■-+—r+—,

二匚I1123n-\n

所以]]=级+域+环+…+f+尹，

两式相减,得卜=:+*+*+…'

日n1T11n

即-71=1-----------r,

2T2n+1

所以(=2-变72+2.

19.(l)a<l

(2)证明见解析

答案第12页，共14页

【分析】(1)由题意可得-asinx+xNO在"刍上恒成立.构造相应函数后借助导数分类讨

论研究其单调性即可得解；

(2)由⑴可得当xe(0,夜)时，cosx>l-—>0,—>->0,即可得上>1一工，