浙江省“浙南名校联盟”2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题 含解析

2024-2025学年浙江省“浙南名校联盟”高二上期中联考数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为集合，，所以故选：C2.直线关于y轴对称的直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出已知直线上两点关于y轴对称点，然后根据两点坐标求出直线方程即可.【详解】直线与两坐标轴的交点分别为和0,1，因为这两点关于y轴的对称点分别为1,0和0,1，所以直线关于y轴对称的直线方程为故选：A3.在空间直角坐标系中，向量，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据空间向量的坐标运算求出，，然后根据投影向量公式求解即可.【详解】因为，，所以，，则向量在向量上的投影向量为

.故选：D4.若α，β为两个不同的平面，m为一条直线，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则α与β相交 D.若m⊥α，，则α⊥β【答案】D【解析】【分析】根据线面平行、垂直，面面平行、垂直的判定与性质逐项分析即可.【详解】若，不一定成立，也可能相交，故AC错误；若，则或，故B错误；若，则必有一直线且，所以，又，所以，故D正确.故选：D5.已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分离常数后直接验算即可.【详解】解：因为，则，故函数的图象的对称中心的坐标为.故选：A6.已知三条直线，，将平面分为六个部分，则满足条件的m的值共有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个【答案】C【解析】【分析】分三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交两种情况讨论即可求解.【详解】因为三条直线，，将平面分为六个部分，所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交，当三条直线交于一点时，联立可得，此时，即，当两条平行线与第三条直线相交时，可得或，所以或故选：C.7.已知抛物线过点，圆如图，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则的最小值为（）A.4 B.5 C.6 D.9【答案】A【解析】【分析】求得物线的标准方程，根据圆心和半径并利用焦半径公式可证明，再由基本不等式计算可得结果.【详解】因为抛物线过点，则，则，即抛物线的标准方程，焦点坐标F1,0，准线方程为；圆：圆心为1,0，半径1，故直线PQ过抛物线的焦点，设直线PQ的方程为，；联立，整理可得，所以，再由焦半径公式可得则，所以；当且仅当，即时等号成立，即的最小值为故选：A8.已知棱长为1的正方体内接于球O，在球O与正方体之间放入一个小正方体，则小正方体的棱长的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出大正方体外接球的半径，再根据小正方体上底面的中心、上底面的某个顶点和球心构成的直角三角形即可求解.【详解】由题，棱长为1的正方体内接于球，令球的半径为，则球的直径即为正方体的体对角线，，所以，当小正方体的下底面与正方体相接，且上底面的四个顶点均在球面上时，小正方体的棱长最大，此时小正方体的正中心与球心的连线垂直于正方体的上下底面，令小正方体的棱长为，由球心，小正方体上底面的中心，小正方体上底面的顶点组成的三角形为直角三角形，有，将代入，解得，故小正方体的棱长为故选：C二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，以下选项正确的有（）A. B.本组样本的众数为250C.本组样本的第45百分位数是300 D.用电量落在区间内的户数为82【答案】ACD【解析】【分析】由频率分布直方图中矩形面积之和为1计算可得A正确；根据众数以及百分位数定义计算可得B错误，C正确；由频率估计对应频数计算可得D正确.【详解】对于A，因为，解得，故A正确；对于B，样本的众数位于内，但不一定是250，故B错误；对于C，前2组的频率之和为，前3组的频率之和为，故第45百分位数位于内，设其为，则，解得，故C正确；对于D，的频率为，故用电量落在区间内的户数为，故D正确.故选：ACD10.已知直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则下列选项正确的是（）A.直线l恒过定点B.若圆C关于直线l对称，则k=1C.若直线l与圆C相切，则D.当k=1时，取y轴上一点，则的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，看出关于的多项式恒等于0即可判断；对于B，把圆心坐标代入已知直线即可判断；对于C，根据圆心到直线的距离等于半径列方程即可判断；对于D，找对称点，转换为将军饮马模型即可求解.【详解】解：对于A，直线l：k，即，令，则，解得，，所以直线|恒过定点，故A正确;对于B，若圆C关于直线l对称，则直线l过圆心，所以，解得，故B错误;对于C，若直线与圆C相切，则圆心到直线的距离等于半径1，即，解得，故C正确;对于D，当k=1时，直线，点关于直线l的对称点，则有，解得，即，所以的最小值为，故D正确.故选：ACD.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，其一条渐近线为，直线l过点且与双曲线C的右支交于A，B两点，M，N分别为和的内心，则下列选项正确的是（）A.直线l斜率的取值范围为 B.点M与点N的横坐标都为aC.为直角三角形 D.面积的最小值为【答案】BC【解析】【分析】对于A，先得出的倾斜角的取值范围，进一步得斜率范围即可判断；对于B，由双曲线定义即可求解；对于C，直接验算即可；对于D，根据三角函数、三角形面积公式验算即可.【详解】解：因为双曲线的其一条渐近线为，故双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为和，作图可知，若直线l过点且与双曲线C的右支有两个交点，则直线l倾斜角的取值范围为，则直线l斜率的取值范围为，故A错误；设焦距为2c，由题可知，故，如图，过点M分别作，，的垂线，垂足分别为D，E，H，易得，，，因为，所以，又，得，，所以，M点横坐标为a，同理可得N点横坐标也为a，故B正确;设直线l的倾斜角为，则，所以，即是直角三角形，故C正确;易得，则，，所以，，，由对勾函数可得，当且仅当时等号成立，则MN最小为2a，所以三角形的面积的最小值为，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若A，B为两个相互独立的事件，，，则______.【答案】【解析】【分析】依题意可得事件与事件相互独立，求出，再根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得.【详解】因为

相互独立，所以与B也相互独立，

又，，所以，所以故答案为:13.若函数的图象向右平移个单位后在区间上单调递减，则__________.【答案】【解析】【分析】求出平移后解析式，再由余弦函数的单调性建立不等式求解即可.【详解】函数

)的图象向右平移

个单位后，得到，当时，，在上单调递减，，，又，故答案为：14.已知正四面体的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足，则线段EF长度的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，取定空间的基底，利用空间向量的线性运算表示向量，再利用向量数量积的运算律，结合二次函数求出最小值.【详解】在棱长为2的正四面体中，由点M，N为棱BC，AD的中点，得，由点E，F分别在线段AM，CN上，，令，则，所以，又，，，故，当时，，所以线段EF长度的最小值为.故答案为：【点睛】思路点睛：取定空间的一个基底，表示向量，再利用向量运算求解.四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.一个不透明的盒子中装有大小和质地相同的5个小球，其中有3个黑球(标号为1、2和，2个白色球(标号为4和若一次性从盒子中取出2个小球.（1）写出试验的样本空间;（2）求取出的小球恰好是1个黑球和1个白球的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，直接写出样本空间即可；（2）根据题意，由古典概型概率公式代入计算，即可得到结果【小问1详解】；【小问2详解】设事件A为取出的小球恰好是1个黑球和1个白球，则16.已知圆心在直线上的圆C经过两点和（1）求圆C的方程;（2）设点，若圆C上存在点P满足，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出的垂直平分线方程并于直线联立解得圆心为，求出半径可得圆C的方程;（2）根据题意求得满足题意的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，再由两圆位置关系计算可得结果.【小问1详解】设M，N的中点为点A，则A点坐标为，易知，则过A点且与直线MN垂直的直线方程为，解得，又圆心也在直线上，联立，解得，即圆心为，又易知，因此圆C的方程为；【小问2详解】设，，，由题可得，，，化简得，可知点P轨迹是以为圆心，以为半径的圆，依题意可知圆C与圆有公共点，即，解得即实数a的取值范围为17.如图，四棱锥中，平面，，，，点为线段的中点.（1）证明：平面；（2）若为线段上一点，且，为何值时，直线与平面所成角的正弦值为?【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由已知，取线段中点G，连结，可证得四边形为平行四边形，得，即可证得平面；（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出一个平面的一个法向量，由，可得，设直线与平面所成角为，由，利用坐标运算，即可解得的值.【小问1详解】取线段中点G，连结，，G分别是线段的中点，且，，，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面；【小问2详解】因为平面，平面，所以，如图，以为原点建立空间直角坐标系.设直线与平面所成角为，已知，，，，则可得P0,0,1，，，，，DC=1,0,0，，，设平面的一个法向量为n=x,y,z所以，则，令，则，为线段上一点，且，，所以，，，解得18.已知直线l是过椭圆上一点Px0,（1）已知椭圆C的切线l过，求切线l的方程;（2）求两焦点，到直线l的距离之积;（3）若圆心在原点的圆与直线l也相切，且与椭圆C相交于点Q，若P，Q都在第一象限，求面积的最大值.【答案】（1）或（2）（3）【解析】【分析】（1）利用直线与椭圆相切可得判别式为0，即可得出直线方程；（2）利用点到直线距离求出距离，相乘化简即可解；（3）分斜率是否存在讨论，当斜率存在时，求出Q点坐标，表示三角面积，换元后，利用对勾函数单调性可得出面积最大值.【小问1详解】设，则，，可得，则l为或；【小问2详解】证明椭圆切线方程一般形式：①当切线斜率存在时，设过点的切线方程为，联立方程，整理得，由可得，所以由韦达定理可知，即，把代入中，得，所以，化简得．②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式．综上，椭圆上一点的切线方程为．因为满足，所以直线，左右焦点，到直线l距离分别为，，；【小问3详解】①当l斜率不存在时，此时不满足题意；②当l斜率存在时，设，，，其中直线，对于圆，其中，则，可得，，令，，因为，所以由对勾函数性质可得，则，即面积的最大值为.19.在平面直角坐标系xOy中，定义：为，两点之间的“折线距离”.（1）已知，动点满足，求动点M所围成的图形的面积;（2）已知Q是直线上的动点，对于任意点，求证：的最小值为（