线性微分方程组课件

线性微分方程组

§5.1线性微分方程组解的

存在唯一性定理Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

5.1.1记号与定义/SymbolandDefinition/一阶微分方程组初值条件§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

一阶线性微分方程组…(5.1)§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

……….(5.2)……(5.3)………….(5.4)§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

可定义矩阵与向量函数在区间连续:连续。在区间可微:可微。在区间可积:可积。在区间§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

上的连续维向量，方程组上连续且满足定义1设是区间上的连续矩阵，是区间………….(5.4)在某区间的解就是向量在区间§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

定义2初值问题(CauchyProblem)………….(5.5)的解就是方程组(5.4)在包含使得§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

例1

验证向量是初值问题在区间上的解。解因此是给定初值问题的解。§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

5.1.2

n

阶线性微分方程与一阶线性微分方程组等价例1令解§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

满足解构造向量§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

解满足§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

令§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

………(5.6)等价………(5.7)§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

例2令将初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题。解§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

例3将下列方程组化为高阶方程解注意：不是所有方程组都可化为高阶方程§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

5.1.3存在唯一性定理初值问题(CauchyProblem)………….(5.5)§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

定理1f(t)是n

维列向量，上连续，则对于区间上的任何数及任一常数向量方程组(5.5)存在唯一解定义于整个区间上，且满足初始条件如果矩阵，它们都在区间§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

现取，构造皮卡逐步逼近向量函数序列：向量函数称为(5.4)的第k次近似解。§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

例4求方程组的初值问题的二次近似解。解令§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

5.1.4简单方程组的消元法例5

求解方程组解关键：保留一个未知函数，消掉另一个未知函数§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

方程组的解为§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

例6

求解方程组解：保留一个未知函数x，消掉另一个未知函数y§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

另外，由方程组的解为§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

练习：2求方程组的初值问题的二次近似解。1P.1842(b)§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

作业：P.184第2(c),3题。3求下列方程组的解§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

§5.2

线性微分方程组的一般理论

GeneralTheoryofLinearODEs

掌握线性齐次微分方程组的解的性质及代数结构。

掌握线性非齐次微分方程组的解的代数结构，理解常数变易法的基本思想。本节要求/Requirements/§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs(5.14)则(5.14)称为非齐次线性的。则方程(5.15）称为齐次线性的。如果(5.15)若为常数矩阵，则称为常系数线性方程组。如果§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs5.2.1齐线性微分方程组定理2（叠加原理）如果u(t)和

v(t)是(5.15)的解，也是(5.15)的解。则它们的线性组合(5.15)证明：§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs如果是(5.15)的解，则也是(5.15)的解。可验证是方程组的解，则也是方程组的解。§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs成立；否则，为线性无关的。基本概念/BasicConcept/定义在区间上的向量函数是线性相关的，如果存在不全为零的常数使得等式§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs例线性无关。设有n

个定义在区间上的向量函数§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs由这n个向量函数构成的行列式，称为这些向量函数的伏朗斯基行列式。如果向量函数上线性相关，则它们的伏朗斯基行列式定理3在区间§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs由假设，存在不全为零的常数使得(5.16)证明

其系数行列式恰是证毕§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs线性无关，那么，它们的伏朗斯基行列式设有某一个使得考虑下面的齐次线性代数方程组：(5.17)定理4如果(5.15)的解证明用反证法。§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs它的系数行列式，所以(5.17)有非零解以这个非零解作向量函数(5.18)满足初始条件(5.19)的解。(5.19)易知x(t)

是(5.15)的解，且满足初始条件而在上恒等于零的向量函数0也是(5.15)的§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs因为不全为零，这就与线性无关矛盾。由解的唯一性，知道即定理得证。结论斯基行列式W(t)或者恒等于零，或者恒不等于零。由(5.15)的解作成的伏朗§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs定理5(5.15)一定存在n

个线性无关的解。线性无关定理得证。§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs是(5.15)n个线性无关这里的解，则(5.15)的任一解x(t

)

均可表示为定理6如果是相应的确定常数。任取(5.15)的任一解

，它满足令上式看作是以为未知量的线性代数方程组，证明(5.20)§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs系数行列式就是它显然是(5.15)的解，且满足条件线性无关，则，(5.20)有唯一解作向量函数初始条件，因此由解的存在唯一性条件可知证毕使得§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs与具有相同的基本解组：(5.15)的

n

个线性无关解。推论1(5.15)线性无关解的最大个数等于n

。解矩阵：由(5.15)n

个解的列构成的矩阵。由(5.15)n

个线性无关解的列构成的矩阵。基解矩阵：标准基矩阵：定理5和定理6的另一种形式§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs定理1*(5.15)一定存在基解矩阵；若是(5.15)任一解，则而且，如果对某一个定理2*一个解矩阵是基解矩阵的充要条件是§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs例1

验证是方程组的基解矩阵。首先证明是解矩阵。令表示的第一列，表示解的第二列§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs这表示

是方程组的解，因此是解矩阵。又因为是基解矩阵。，所以§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs必满足关系结论：是方程组(5.15)的一解矩阵的充要条件是§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs令是解矩阵。是(5.15)的基解矩阵。如果常数矩阵，那么,也是(5.15)在区间推论1是(5.15)在区间上的基解矩阵，

C非奇异上的基解矩阵。证明证毕§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs如果在区间上是方程组(5.15)的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异常数矩阵C,使得在区间上推论2证明基解矩阵，存在，令或证毕§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs如果在区间上是某方程组的基解矩阵，那么，这个方程组为推论3证明设所求方程组为则故§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs例已知一个一阶线性齐次方程组的基解矩阵为，求该方程组。解所求方程组为§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs作业P.200,第2,4题。P.184,第2(c),3题。练习1已知一个一阶线性齐次方程组的基解矩阵为，求该方程组。§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs5.2.2

非齐线性微分方程组(5.14)性质1是(5.14)的解，是(5.14)的解。方程组(5.15)的解，则

如果是对应齐次性质2是(5.14)的任意两个解，是(5.14)对应齐次线性方程组如果则(5.15)的解。都可以定理7设是(5.15)的基解矩阵，是(5.14)的某一解，则(5.14)的任一解这里c是确定的常数列向量。(5.23)是(5.14)的任一解，是齐次方程组(5.15)的解，因此存在常列向量

c，使得证明表示为:已知(5.15)的基解矩阵，则可用常数变易法求的解，则(5.25)为了寻求(5.14)的通解，只要知道(5.14)对应齐的齐线性方程组(5.15)的基解矩阵和自身的一个解即可。假设(5.14)存在形如(5.14)的特解而(5.24)这样，(5.24)变为如果(5.14)有一个形如(5.24)的解,则(5.26)由(5.26)决定。反之易证明由(5.26)决定的向量函数一定是(5.14)的解。(5.26)一定是(5.14)的解。反之易证明由(5.26)决定的向量函数定理8是(5.15)的基解矩阵，则向量函数(5.27)如果是(5.14)的解，且满足初始条件(5.14)满足初始条件的解是(5.26)(5.14)通解例2试求下面初值问题的解解基解矩阵课堂练习：试求下面初值问题的解分析常数变易法/AnalyticofUnknownFunctionMethod/

(5.25)是(5.14)的满足

的解。推论3是区间上的连续函数，是对应齐次方程的基本解组，那么，非齐次线性方程（5.28）(5.21)(5.28)如果满足初始条件的解为应用到n阶线性方程(5.29)(5.28)的常数变易公式是(5.28)的通解可以表示为

思考1推论3的推导过程2到目前为止n阶线性方程求特解的方法有多少？当n=2时，公式(5.29)就是因此，当n=2时常数变易公式变为而通解就是这里任意常数。(5.31)(5.32)利用公式(5.31)来求方程的一个解，例3解的一个特解。试求方程易知对应的齐线性方程的基本解组为,注意，因为sint是对应的齐线性方程的解，所以函数也是原方程的一个解。作业P.202,第6,8，9(a)题。求齐次线性方程组的解的另一方法：消元法保留一个未知函数x1，消掉另一个未知函数x2求非齐次线性方程组的另一方法：消元法保留一个未知函数x1，消掉另一个未知函数x2利用消元法，求下列方程组的通解练习：§5.3

常系数线性微分方程组

CoefficientsLinearODEs1常系数齐线性微分方程组的基解矩阵的结构，这里A是常数矩阵。2

通过代数的方法，寻求(5.33)的一个基解矩阵。(5.33)3拉普拉斯变换在常系数线性微分方程组中的应用。本节主要内容/MainContents/5.3.1

矩阵指数expA

的定义和性质无穷矩阵级数如果每个收敛，则收敛。判断无穷矩阵级数收敛的法则：而级数收敛，则收敛。同理，可给出在区间I上的一致收敛的定义，和函数等类似的结果。(5.34)定义1

矩阵指数E为n阶单位矩阵,是矩阵A的m次幂。expA是一个确定的矩阵。对于一切正整数k，而收敛，则收敛。对于一切正整数k，当(c是某一正常数)时，有而数值级数是收敛的，(5.35)在

t

的任何有限区间上是一致收敛的。定义2

矩阵指数函数因而(5.35)在

t

的任何有限区间上是一致收敛的。性质性质1如果矩阵A，B是可交换的，即AB=BA，则(5.36)证

由于级数绝对收敛，由绝对收敛级数的乘法定理，得另一方面，由二项式定理及AB=BA

，由绝对收敛级数的乘法定理，得另一方面，由二项式定理及AB=BA

，性质2

对于任何矩阵A，存在，且(5.39)证

A与-A是可交换的，故在(5.36)中，令B=-A

得事实上性质3

如果T是非奇异矩阵，则定理9是(5.33)证明是(5.33)的解矩阵，又因为因此,是(5.33)的标准基解矩阵。证毕(5.41)矩阵的标准基解矩阵。例1

如果A是一个对角矩阵试求出

的基解矩阵。(其中未写出的元素均为零)解方程组可以写成分别积分据定理9，这就是基解矩阵。例2

试求的基解矩阵。解以验证后面的两个矩阵是可交换的，得到但是因此，基解矩阵就是其中常数和向量c是待定的。因为(5.44)5.3.2基解矩阵的计算公式(5.33)(5.43)若(5.33）有的解，反过来，和向量c

满足方程组(5.44)和c

满足方程则是(5.33)的非零解(5.44)是A

的特征值，c

是A

的属于的特征向量。特征方程是(5.33)的非零解是A

的特征值，c

是A

的属于的特征向量。例3

求解解1如果是简单特征根，2

如果是特征方程的

k

重根(即具有因子,而没有因子则称是

k

重特征根。是特征方程的单根，则称)，它们对应的特征值分别为(不必各不相同)，那么是常系数线性微分方程组

的一个基解矩阵。(5.33)定理10如果矩阵

A具有n个线性无关的特征向量求解常系数线性齐次方程组实基解矩阵的方法之一每一个向量函数是线性无关的,所以证明都是(5.33)的一个解,基解矩阵。注1它们对应的特征向量分别为那么是常系数线性微分方程组

的一个基解矩阵。推论如果矩阵

A具有n个互不相同的特征值注2标准基解阵的表示标准基解阵一定为实矩阵。注3若实系数线性方程组(5.33)有复值解，则其实部与虚部都是（5.33）的解.例5

试求解解1求A

的特征值和特征向量对于任意常数是对应于类似的，可以求出对应于的特征向量为其中的特征向量，2求实基解矩阵就是一个基解矩阵。1计算特征值，特征向量；求实基解矩阵的步骤(利用定理10)2求解基解矩阵，求标准基解矩阵（实）；3*写出方程的通解。作业P.236,第4(a),(b)题。课堂练习试求解求解常系数线性齐次方程组实基解矩阵的方法之二假设A是一个矩阵，其不同特征值它们的重数分别为

那么，对于每一个重特征值,线性方程组(5.48)的解全体构成n维欧几里得空间的一个子空间且

n

维欧几里得空间维对于n维欧几里得空间的每一个向量u，存在唯一的使得(5.49)互不相同，对应的特征向量A

有一个重特征值(5.48)的解全体就构成n维欧几里得空间，不必分解。向量分别为且满足(5.51)则存在唯一的(5.50)是(5.33)的满足

的解，设是n维向量使得(5.48)由此可推得(5.52)满足(5.48)(5.33)的满足

的解：当A只有一个特征根时，无需将特征向量分解为(5.50)。这时对于任何u

都有(5.53)解1

求A

的特征值例4

试求解2

代入公式，求初值问题的解3

求A

的标准基解矩阵例5试求满足初始条件的解并求expAt。解1

求A

的特征值或其中为任意常数。子空间是由向量所生成的。2

确定的分解其中是任意常数。子空间是由向量所张成的。解之得到根据公式(5.52)，3

求满足初始条件的解为4

求出expAt依次令得到三个线性无关的解。以这三个解作为列，得5

求通解x(t)=(expAt)c作业P.236,第4(c),5(b)题。求解常系数线性齐次方程组实基解矩阵的方法之三利用若当标准型计算基解矩阵Axp(At)

根据线性代数知识,对每一个n阶矩阵A,存在n阶非奇异矩阵P,使得其中为若当标准型.假设若当块则是阶的有如