2025年高考数学一轮复习：平面向量的综合应用（学生版）

培优点06平面向量的综合应用（2种核心题型+基础保分练+

综合提升练+拓展冲刺练）

唱【核心题型】

题型一平面向量在几何中的应用

用向量方法解决平面几何问题的步骤

平面几何问题*0#一向量问题—'嚏一解决向量问题一还速一解决几何问题.

77

【例题1］（2。24•湖南娄底•一模）已知圆内接四边形/BCD中，/。=2,//。8=二,8。是圆

的直径，AC-Bl5=2,则N4DC=（）

5兀兀7兀2兀

A.—B.—C.—D.—

122123

【变式1】（2023•河南•模拟预测）在AABC中，内角4,B,C所对的边分别为。，b,c,

NBAC=3,D为BC上一点,BD=2DC,AD=BD=—,则“BC的面积为（）

32

373R9739A/3

-----D.-----IF

【变式2】（2023•天津南开•一模）在平面四边形23CD中，

|ZB|=|SC|=|CD|=52-DC=I,&4-SC=1,贝|同卜；BD.CD=.

【变式3】（2024•河北张家口•三模）在“8C中，内角/,B,C的对边分别为0,6,c,点

D为边BC上一点,且满足（而+就）.就=0.

⑴证明：AD=b-

—►1—>2-

⑵若为内角力的平分线，且+求sin".

题型二和向量有关的最值（范围）问题

命题点1与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题

【例题2】（2024•内蒙古呼和浩特•一模）在。8C中，。为线段/C的一个三等分点,

=连接四，在线段加上任取一点E,连接/E,若荏=0万+陶瓦贝%2+〃

的最小值为（）

13542

A.—B.-C.—D.一

42135

【变式1］（2023•山东泰安•模拟预测）己知⑷=,|=©=1,。/,c=xa+yb（x,y&W）,

则x-V的最小值为（）

A.-2B.C.-V3D.-1

3

【变式2】（2024•全国•模拟预测）已知正方体44GA的棱长为2,空间中点P满

足国+闵=5则三棱锥P-ACD,的体积的最大值为.

【变式3】（23-24高三下•天津和平•开学考试）在。中，M是边3C的中点，N是线段

______»_兀

BM的中点.设AB=a,ZC=B，记AN=ma+nb，贝!J机一〃二________；若Z-A——,&4BC

6

的面积为百，则当I瑟卜时，彳/新取得最小值.

命题点2与数量积有关的最值（范围）问题

【例题3】（2024•黑龙江•三模）己知。BC内角4瓦。的对边分别为

3

a,b,c,c=2,a^4,cosB,动点M位于线段8c上，则的最小值为（）

4

999

A.0B.——C.——D.——

101610

——IT

【变式1】（2024•全国•模拟预测）己知万，B为非零向量，且|口=|b|=r（r>0）,（a,b）=-,

若展+区|的最小值为G，则r2+”的值为（）.

5917

A.-B.-C.4D.—

244

【变式2】（2024•四川遂宁•模拟预测）已知A,B为圆。:/+/=4上的两个动点，

\AB\=2A/3,若点P为直线无+>-4&=0上一动点，则用.丽的最小值为.

【变式3】（2024•重庆・模拟预测）在A/BC中，内角N,B,C所对的边分别为a,b,c.已

知6=2

（1）求角/的大小;

（2）若丽=定，且b+c=2,求4P的最小值.

命题点3与模有关的最值（范围）问题

TT

【例题4]（2022•内蒙古赤峰•模拟预测）已知点A、3在单位圆上，ZAOB=--,若

4

而=E+x历（xeR）,则无的取值范围是（）

A.[0,+<»）B.g'+0°]

C.李+81D.[1,+»）

【变式1】（2023・重庆•三模）已知Z是单位向量，向量否0HH满足刃-£与♦成角60。，则W

的取值范围是（）

A.B.

【变式2】（2022・浙江•三模）已知平面向量9且满足,2-闻=2,+4e2,b^e1+e2,

若141.BV2，贝！H训的取值范围为.

【变式3]（2022•上海•模拟预测）已知向量2在向量B方向上的投影为-2,且|印=3,则

团+力的取值范围为（结果用数值表示）

【课后强化】

【基础保分练】

一、单选题

7TJT

1.（2024•江西鹰潭•二模）在RtZUBC中，角4瓦。所对应的边为a,6,c,/=7，C=-,

62

c=2,尸是。3C外接圆上一点，则无•（苏+而）的最大值是（）

A.4B.2+V10C.3D.1+V10

2.（2024•陕西渭南・二模）已知菱形/BCD的边长为l,cosNA4〃=g,。为菱形的中心，E是

线段上的动点，则瓦市的最小值为（）

1211

A.—B.-C.-D.一

3326

3.Q024•四川凉山三模）已知平面向量入3夹角为凡且满足同=3近，忖=1,若当f=T

时，归+回取得最小值，则sin"（）

4.（2023•陕西榆林•模拟预测）已知向量Z，3满足同=2瓦a-b=-l，贝中+4的取值范

围为（）

A.[2,+co）B.—,+co^C.[V^,+co）D.-^~,+c0^

二、多选题

5.（2023・山东烟台•二模）如图，在“BC中，48=2,2C=3,ABAC=60°,点。,E分别

在48,NC上且满足方=2而，衣=3次，点/在线段DE上，下列结论正确的有

（）.

A.若方=几罚+〃就，贝1]3几+2〃=1

B.若/=2而，则瓦7LC尸

c.叵+词的最小值为乎

D.而.乐取最小值时，S△胆

16

6.（2024,河南信阳•二模）如图，在四棱锥0-跖G〃中，底面是边长为2夜的正方形，M

为0G的中点.QE=QF=QG=QH=4,过0作平面EFG”的垂线，垂足为O,连EG,

EM,没EM,。。的交点为A,在中过A作直线交。"，QF于B,C两点，

QB=xQH,QC=yQF,过EM作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的

体积分别为匕，匕，下列说法正确的是（）

Q

C.匕=2技yD.的最小值为:

三、填空题

7.（2024•湖北•模拟预测）已知向量入B满足同=2,网=1,且方，B的夹角为弓，则

卜-冈（XeR）的最小值是.

8.（2024・上海闵行•二模）己知£、B是空间中两个互相垂直的单位向量，向量）满足F|=3,

且==当2取任意实数时，R-箫+研的最小值为.

9.（2022•天津南开•二模）已知平行四边形23CD中，AB=A,AD=2,AC.AD=8＞贝!I

|就|=;若赤=丽，DF=ADB，则万.屋的最大值为.

四、解答题

TT

10.（2023•湖北•二模）已知在A/BC中，角aB、C的对边分别是a、b、c,C=y.

⑴若2C边上的高等于"a,求cos/；

3

（2）若B•赤=2，求48边上的中线C。长度的最小值.

11.（2023•四川成都,一模）已知AA8C的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且

c（c-a）=（Z?-a）（/）+a）.

⑴求角B；

（2）若边NC上的中线长为2,求“3C面积的最大值.

【综合提升练】

一、单选题

1.（2023・陕西咸阳・模拟预测）已知向量Z,b＞且|@=W=5,口+,=6,则K+,（feR）

的最小值为（）

241612

A.—B.4C.—D.—

555

2.（2024・全国•模拟预测）若单位向量心尾的夹角为120。，则当届-图/eR）取得最小

值时，2的值为（）

11

A.-2B.—1C.—D."

22

3.（2023高三下•全国・竞赛）已知平面向量。B满足同=3痣，忖=1,并且当2=-4时,

区+初取得最小值，则sinR,B）=（）

A.迪B.iC.姮D.i

3344

4.（2023・山东青岛•三模）已知向量a,b,c满足：卜卜|q=1,a'^a—b^=—,

0-c）-（3B-c）=O,则k-c|的最小值为（）

A.73-1B.V3C.2D.1

5.（2023高一•全国•单元测试）若鼠3是两个互相垂直的单位向量，且向量工满足

，一2a|+仅-3对=而，贝*+4的取值范围是（）

A.^p-,VToB.[3,V10]

6.（2024•湖北武汉•模拟预测）已知“8C是边长为46的正三角形，点尸是“BC所在平

面内的一点，且满足|N+丽+岳卜3,则|不|的最小值是（）

8

A.1B.2C.3D.-

3

7.（2023,江西景德镇•三模）互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如

果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为"斜坐标系”.如图，在斜坐标系中,

过点P作两坐标轴的平行线，其在x轴和V轴上的截距。，b分别作为点P的x坐标和N坐标,

记尸（生吐若斜坐标系中，x轴正方向和了轴正方向的夹角为方，则该坐标系中又（2,2）和

N（4,l）两点间的距离为（）

8.（2022•浙江宁波•二模）已知平面向量3,b，日满足同=1,忖=2,\a-c\^\b-c\=3,

c=Xa+/nb（A>0,4>0）.当X+〃=4时，k|=（）

AV58RV62「瓜nV70

2222

二、多选题

9.（2023,全国•模拟预测）已知点8（3,1）,C（4,m+1）（机eR）,则下列说法正确的

是（）

A.画=«B.若在,元，贝！|加=-2

C.若不〃反,贝lj"z=一1

D.若到，前的夹角为锐角，则加<2且

1

mw——

2

10.（2023•湖北•模拟预测）下列关于平面向量的说法中正确的是（）

A.已知/（2,3）,8（4,-3）,点尸在直线上，且/=：而，则尸的坐标为

__---―►1——»2

B.若。是。8c的外接圆圆心，则4220=548

C.若.（2询,且工/°,贝工=5

D.若点尸是AA8C所在平面内一点，且国.而=说.衣=衣.用,则尸是A/8C的垂

心.

11.（2024•全国•模拟预测）在平面直角坐标系中，P（x,y）,0（-3,0）,且阿卜2|阿，MV

是圆0：（x+3）2+/=4的一条直径，贝I]（）

A.点尸在圆。外B.|图的最小值为2

C.OM-ON=5D.两.两的最大值为32

三、填空题

12.（2023,全国•模拟预测）已知在A48C中，AB/C=60。，点。为边8c的中点，E,尸分别

为BD,。。的中点，若4D=1,则加.下+就.通的最大值为.

7T

13.（2023・广西•模拟预测）在。8C中，ZABC=~,点。在线段NC上，且4D=3OC,

BD=4,则A48c面积的最大值为__.

14.（2024・贵州贵阳•模拟预测）如果复数z=x+ji（xeR,yeR）,々=-2,z2=-1,z3=i

在复平面内对应的点分别为Z,z,,z2,Z3,复数z满足|Z-Z||=2|Z—2],且

率=几布+〃立（2eR，zzeR）,贝132+2〃的最大值为.

四、解答题

15.（2024•湖南衡阳•模拟预测）在A/BC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,已知

a=PCOSC------csinn

3

⑴求角3

（2）过5作,交线段4。于且4D=2DC,求角C.

16.（2022・湖南•一模）在。8C中，内角N,B,C所对的边分别为a,b,c,己知

a=y[?.,b=Vs,c=1•

(1)求sin4sin8,sinC中的最大值;

⑵求/C边上的中线长.

17.（2022•广东深圳•一模）如图，在A42c中，已知N3=2,AC=6垃，NBAC=45°,

BC,/C边上的两条中线NM,8N相交于点P.

B

（1）求/胡”的正弦值；

⑵求/MPN的余弦值.

18.2023・河南•模拟预测）“3C的内角42,C的对边分别为a,6,c,已知56siiL4=3atan8,r>

是NC边上一点，AD=2DC,BD=2.

（1）求cosB；

⑵求防.数的最大值.

19.（2023・四川自贡・一模）在中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

gcosZ+sin/=0.若。在线段5c上，且丽=2觉，%。|=2.

（1）求/;

⑵求A/BC面积的最大值.

【拓展冲刺练】

一、单选题

1.（2022•安徽黄山•一模）在中,48=0,乙4。8=45。,。是“"的外心,则

衣.南+。心.益的最大值为（）

37

A.1B.—C.3D.—

22

2.（2022•江苏盐城,模拟预测）在中，过重心£任作一直线分别交48,NC于M,N

两点，设京=xM，AN^yAC>（x>0,y>0）,则4x+>的最小值是（）

410

A.-B.—C.3D.2

33

3.（22-23高三下•河北石家庄•阶段练习）设48是平面直角坐标系中关于了轴对称的两点,

且|研=2.若存在加,〃eR,使得机焉+刀与/g+用垂直，且

|（/WAB+a4）-（«AB+OS）|=2,则|刀|的最小值为（）

A.1B.V3C.2D.26

4.（2023•贵州毕节•模拟预测）已知点G为三角形N8C的重心，且|田+9|=|田-演］,

当/C取最大值时，cosC=（）

432

A.B.C.D.

55