2025届湖南省益阳市一模数学试题（含答案解析）

2025届湖南省益阳市一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知4={x[—2<x<2},5={x|log2x<l},〃=4口5.则M是()

A.{x\x<2}B.{x\-2<x<2}C.{x|0<x<1}D.{x|0<x<2}

2.已知复数z满足|z-i|=2,则复数z在复平面上对应的点的轨迹是（）

A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线

3.已知等比数列{%}中，4+%=2,%+。6=16,则4o+%2=（）

A.26B.32C.512D.1024

--(■消），则/（/（-3））=（

4.已知/(%)=)

sinTEX

]_

A.B.0C.D.旦

22~2~

2

5.已知椭圆£:—+/=1与双曲线尸=1（〃>0）的焦点重合，则双曲线厂的离心率

6

为()

V53

A.B.-c

~T2-i。・平

—»1—►—>1—»

6.在平行四边形A8CZ）中，BE=-BC,/尸=,若么/=加48+"/。，则切+”=（）

11

AB.-cD.1

.32-i

7.已知抛物线G：/=4X,C2：必=8x的焦点分别为片、F],若尸、0分别为。、C2上的

点，且线段P。平行于x轴，则下列结论错误的是（）

14

A.当|尸。|=5时，△片尸0是直角三角形B.当I尸0|=§时，尸。是等腰三角形

C.存在四边形片工尸。是菱形D.存在四边形片此尸。是矩形

8.已知函数“X）是定义在R上的奇函数，当x<0时，/（x）=e'（x+2）,则下列说法正确

的是（）

A.函数〃x）有两个零点B.当x>0时，/（x）=-e%（-x+2）

试卷第1页，共4页

C./0)>0的解集是(-2,02(2,+句D.%,zeR都有|/(XJ-〃X2)|<3

二、多选题

9.已知函数〃x)=2sin(2x+。!，则下列结论成立的是()

A./(x)的最小正周期为兀B.曲线了=/(幻关于直线x=5对称

C.点，联,0)是曲线y=/(x)的对称中心D.仆)在(0/)上单调递增

10.已知函数/(x)=e，-x,对于任意实数。，b,下列结论成立的有()

A./Wmin=1

B.函数/(x)=ex-x在定义域上单调递增

C.曲线/(x)=e，-x在点(0,1)处的切线方程是了=1

D.若。=一6>0,则/(。)>/(6)

11.在棱长为1的正方体N8CD-44G。中，尸为棱3月上一点，且BF=2PB,0为正方

形25CC内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是()

A.若2。//平面吊尸。，则动点。的轨迹是一条长为5的线段

B.不存在点。，便得20_L平面

C.三棱锥0-4月。的最大体积为三

D.若2。=乎且，。与平面4尸D所成的角最大时，三棱锥0-4尸。的体积为g

三、填空题

12.若sincc=！，则cos2c=.

3----------------

13.在某世界杯足球赛上，a,b,c,d四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛

中，。对6,c对力然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决

出第三名和第四名.若a对6、a对d的胜率均为0.6,a对c、c对4的胜率均为0.5,则。获

得冠军的概率为.

试卷第2页，共4页

14.已知｛an｝是各项均为正整数的无穷递增数列，对于在eN*,定义集合为=*€收阿＜4｝,

设4为集合以中元素的个数，若纥=0时，规定4=0.

(1)若。"=3",则g=；

(2)若数列｛%｝是等差数列，则数列｛an｝的前50项之和为.

四、解答题

15.已知V48c的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且6asinC—ccos/-c=0.

⑴求A；

(2)若a=4,V48c面积为2VL求6+c的值.

16.某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分

旅游线路.为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游

客的人数之比为2:3,其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意.

满意不满意总计

男游客35

女游客15

合计100

(1)完成2*2列联表，依据表中数据，以及小概率值a=0.05的独立性检验，能否认为游客对

公园新措施满意与否与性别有关？

(2)从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客.再随机从这5名游客中抽取3名游客

征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为X.求出X的分布列

及数学期望.

参考公式：其中〃=a+6+c+d.

参考数据:

a0.100.050.0100.005

Xa2.7063.8416.6357.879

试卷第3页，共4页

17.如图，四边形48CD与四边形4DE产均为等腰梯形，BC//AD,EFI/AD,AD=4,

AB=BC=EF=2,AF=4u>F2_L平面/BCD,M为AD上一点，且FA/_LAD,

连接BD、BE、BM.

(1)证明：8C_L平面8FW；

(2)求平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值.

18.已知两点/(-2,0),8(2,0)及一动点尸，直线左，总的斜率满足后"•七B=-：，动点尸

的轨迹记为C.过点(1,0)的直线/与。交于M,N两点，直线/M,BN交于点。.

(1)求C的方程；

(2)求的面积的最大值；

(3)求点。的轨迹方程.

19.若函数/(无)=Inx-^xZ.

(1)若。=4,且曲线了=/(x)的切线/过点(0,2e?),求直线/的方程；

⑵证明：若/(%)=/仕)(0＜玉＜%)，则七迤］＜0；

⑶若G(无)=/(x)+x+ln'|w0恒成立，求。的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案DBDDABCCACACD

题号11

答案BCD

1.D

【分析】化简集合3,再根据集合的交集运算得解.

【详解】由logzXCl,BPlog2x<log22,则o<x<2,

所以8={x[0<x<2},又/={司-2<x<2},

二M=/c8={x[0<x<2}.

故选：D.

2.B

【分析】根据题意结合复数的几何意义分析判断.

【详解】设复数z,i在复平面内对应的点为尸,C（0,l）,

因为|z-i|=2,即1Pq=2,

故复数z在复平面上对应的点的轨迹为以C为圆心，半径为2的圆.

故选：B.

3.D

2

【分析】设等比数列{七}的公比为q,联立%+%«2=2,%/+%/=16,解出4=2,%=1,

代入％0+%2=%夕9+“闯”，即可得到答案.

【详解】设等比数列{%}的公比为“，

因为4+%=2,%+以=16,

35

所以为+%12=2,aXq+axq=16,

由（%+4.2）/=16,贝|/=8,得夕=2,

2

解得q=w，

所以％。+%2=%/+%«“=；（29+2"）=1024.

答案第1页，共18页

故选：D.

4.D

【分析】先求”-3)=；,再求-3))=/[£|=sin；,即可求解.

【详解】根据已知〃-3)=-(-3/=；,

所以“(-3))=吗卜呜=卓

故选：D.

5.A

【分析】根据椭圆方程求得。，进而求得“，从而求得双曲线的离心率.

2_____

【详解】椭圆E:土+/=1对应的c=J^T=石，

6

22

所以对于双曲线有/+1=(岔)，4=2,

所以双曲线下的离心率为£=*.

a2

故选：A

6.B

【分析】利用平面向量的线性运算求出加,〃即可求出加+〃.

【详解】由题意如图所示:

--1—»1/—►--\

因为/b=+

-3

1—►1—►—►—►

=—ABH——AD=mAB+nAD,

36

所以机=:,〃=，，

36

所以加+"=」，

2

故选：B.

7.C

答案第2页，共18页

【分析】设出己。的坐标并求得IPQI，由此对选项进行分析，结合图象求得正确答案.

【详解】依题意，线段尸。平行于x轴，不妨设己。在第一象限，设尸

222

则|尸0|=1_二=匚，焦点片（1,0）,工（2,0）,

488

，1

A选项，当忸0|=。=_1时，解得7=2,所以P（l,2）,0

82

则尸片，P0,△片尸0是直角三角形，A选项正确.

，时，解得公孚，所以手］0仁,手,>0,

B选项，当|尸0|=。=

8

84

由于43=2,所以尸，。关于直线x=2对称，而巴（2,0）,

2一

所以此时△工尸。是等腰三角形.

对于CD选项，先考虑四边形片工尸。是平行四边形，

2

则\PQ\=\F,F2\,-=1J=2后，则尸（2,2亚）,0（1,2血），

此时尸耳月，。耳，耳方,耳国耳闾，

所以四边形片耳尸。是矩形，不是菱形，所以C选项错误，D选项正确.

答案第3页，共18页

故选：c

8.C

【分析】利用函数的奇偶性即可求解x>0时函数的解析式，即可判断B；分情况令/(切=0

即可求解函数的零点判断A；令〃x)>0求出解集即可判断C；分情况对函数求导，判断函

数的单调区间即可求得函数的最值，用最大值减最小值即可判断D.

【详解】设x>0,贝>x<0,所以/■(-x)=er(-x+2),

因为是奇函数，所以/(-「)=-小),

所以一/⑸=「(-X+2),即/(x)=-er(-X+2),

ex(x+2),x<0

所以函数的解析式为/=<O,X=0,故B不正确；

—e(-x+2),x>0

因为函数〃尤)是定义在R上的奇函数，所以/'(0)=0,

当x<0时，令/(无)=0,解得尤=一2,

当x>0时，令”x)=0,解得x=2,

所以函数〃x)有三个零点，故A不正确；

当x<0时，令/(x)>0,解得x>-2,

当x>0时，令/(x)>0,解得x>2,

所以/(x)>0的解集为(-2,0)U(2,+8),故C正确;

当x<0时，/(x)=e*(x+3),

所以当x<-3时，r(x)<0,函数/(X)单调递减，

答案第4页，共18页

当-3<x<0时，/'(x)>0,函数/'(x)单调递增,

所以当x=-3时，函数/卜)取得最小值-厂,

当尤>0时，f'(x)=e~x(-x+3),

所以当0<x<3时，/，(x)>0,函数/'(x)单调递增,

当x>3时，/'(x)<0,函数/(x)单调递减,

所以当x=3时，函数/(x)取得最大值厂,

当x=0时，/(0)=0,

112

所以VX],%eR都有|/(xJ-〃X2)|q/(xJ-〃X2)]max=£+/=/，

所以D不正确.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性求出函数的解析式，分情况求解即可.

9.AC

【分析】由题干条件求函数1(X)的最小正周期，可判断A选项，利用正弦型函数的对称性

可判断BC选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断D选项的正误.

【详解】设〃x)=2sin(2x+■^的最小正周期为T,7=g=兀故A正确；

因为/0=2si吟=-1*±2,所以B错误；

因为/[-展]=2sin1.J=。，所以点(-展，。]是曲线尸f(x)的对称中心,C正确；

由xjg可，得2x+?孚，“X)在伫,上单调递减，所以D错误.

163/6122J163J

故选：AC.

10.ACD

【分析】对函数/(x)=e，-x求导，判断其单调性，再求出最值，以及在某点处的切线方程,

判定ABC,构造新函数，借助导数研究最值判定D即可.

【详解】对A,对/(x)=e，-x求导，f'(x)=ex-l

令((x)=0,即e-l=0,解得x=0.

当x<0时，r(x)<0,函数〃尤)单调递减；当x>0时，f'(x)>0,函数〃尤)单调递增.

答案第5页，共18页

所以函数/(尤)在X=O处取得最小值，即"0)=1,所以/(x)min=l,A选项正确.

对B,由上述分析可知，(f,0)上函数“X)单调递减，(0,小)上函数/(X)单调递增，B选

项错误.

对C,由于/(O)=e°-O=l,_f(0)=e°-l=0.切线斜率为0,在点(0,1),切线方程为了=1,

C选项正确.

a

对D,因为Q=>0,b=-。<0,则/(。)=e"-a,/(b)=f(-a)=e+a.

贝ll/(Q)_/S)=ea_Q_(eP+q)=e“_ep_2q.

令g(x)=e*—ef-2x,贝IJgf(x)=e1'+e-x-2>2小”b-2=0，

则g(x)在(。,包)单调递增.故g(x)>g(0)=0.

即f(a)-〃，)>0,即f(a)>f(b).D选项正确.

故选：ACD

11.BCD

【分析】在4G，CG取点瓦尸，使得，£=28也6/=2。/，证得平面。£尸//平面49，

进而得到2。〃平面4尸。，可判定A不正确；以2为原点，建立空间直角坐标系，求得平

面4尸〃的一个法向量有=(3,-2,3),根据丽=4碗，得出矛盾，可判定B正确；利用向量

的数量积的运算及三角形的面积公式，求得s“陷=窄，在求得点0到平面4尸。的最大距

离"max=:，结合体积公式，可判定C正确；根据题意，求得点点。的轨迹，结合线面

角的公式，求得。(；」,；)时，取得最大值，进而求得三棱锥的体积，可判定D正确.

【详解】对于A中，如图所示，分别在4G，Cg取点区尸，^ClE=2BiE,ClF=2CF,

可得跖//4c,因为4。//4C,所以E尸〃/Q,

因为4。U平面4尸。，族.平面49，所以所//平面4尸D,

又由RE//4P,且4尸u平面4尸。，。尸(Z平面4尸。，所以2尸//平面4P。，

又因为£FcZ)]F=尸，且平面。£尸，所以平面。跖//平面N/。，

且平面DEFc平面BCCE=EF,

答案第6页，共18页

若。0/平面4肛则动点。的轨迹为线段跖，且科唳所以A不正确;

对于B中，以。为原点，以44,AG，。。所在的直线分别为x,y,z轴,

建立空间直角坐标系，如图所示,

2___..?

可得4(1,0,0),。(0,0,1),尸(1,1写)，则4。=(一1,0,1),4尸=(o,i,7,

设。(尤,1,Z)(0MXV1,0MZ41),可得丽=(x,l,z),

m-A^D——Q+C=0

设加=(a,6,c)是平面AXPD的一个法向量，贝人一一►2，

m-=b+—c=0

取。=3,可得z=3,b=—2,所以加=(3,—2,3),

若2。，平面49，则而〃浣，所以存在使得丽=4浣，

3

则x=z=-］任［0,1］,所以不存在点Q,使得4。，平面4勿，所以B正确；

对于C中，由丽=(-1,0,1),章=(0,1,1),可得|而卜后,|福=卓，丽.好=：,

则cos/Q，4P=x，所以sin4D，4P=看，

所以S.”附=-4尸sin〃4P=UJT®短

--------XI——=----------

3V266

要使得三棱锥。-4尸。的体积最大，只需点。到平面4包)的距离最大,

—■一\A.Q-m\1

由40=(X-1,1,2)，可得点。到平面AXPD的距离［==J=|3(x+z)-5l,

\m\V22

因为OVxWl,O"Vl,所以当x+z=O时，即点。与点。重合时，可得4ML展

，22

5

所以三棱锥。-4尸。的最大体积为;S.”。卡L叵5

所以C正确;

3~6~'忘一1

对于D中，在正方体中，可得4G，平面BCC4,且G0U平面BCC4，

所以D©1C.Q,则GQ=血。2一小；=辛，

所以点。的轨迹是以Cj为圆心，以自为半径的圆弧，其圆心角为:，

答案第7页，共18页

则m=(x,O,z),所以I迎卜=即V+z2=g,

又由丽=(x,i,z),设2。与平面4尸。所成的角e,

|3(x+z)-2|_V2|3(x+z)-2|

所以sm。=|cosm,乌0='八西］

V22-VX2+1+Z2-722x73

因为/+z2=g,可得(x+z)242，+Z2),当且仅当x=z时，等号成立,

所以x+zwi,即x=z6时，2Q与平面4尸。所成的角最大值，即0H)

—►11|4。,丽L2

可得(-于1,5),则点。到平面的距离为&=

\m\V22

此时三棱锥。_&PD的体积为:M4=等X-|==UD正确.

【点睛】方法点拨：求解立体几何中的动态问题与存在性问题的策略:

1、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线

的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程;

2、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置

关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛

盾的结论，则否定假设;

3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为

代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在,

同时，用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导思想是解答此类问题的

关键.

12'?

答案第8页，共18页

【详角星】cos2a=l-2sin2a=1-2x(—)2=—.

13.0.33

【分析】由分步乘法和分类加法原理，分两种情况讨论即可；

【详解】a获得冠军，第一轮中必须胜出，概率为0.6,

由题意可得，第二轮比赛中可以分两种情况，，胜，概率为0.5,然后。胜，由独立事件的

乘法公式可得a获得冠军的概率为0.6x0.5x0.5=0.15；

第二种情况为d胜，概率为0.5,然后。胜，由独立事件的乘法公式可得a获得冠军的概率

为0.6创).50.6=0.18；

由分类原理可得a获得冠军的概宰为0.18+0.15=0.33,

故答案为：0.33.

14.21275

【分析】(1)利用新定义求解即可；

(2)要计算数列｛册｝的前50项之和，先要明白｛an｝是一个什么样的数列，需要先计算首项,

再看各项之间的关系，最后求解即可.

【详解】(1)由题可知，a„=3"<10,又因为“eN*,所以练=｛1,2｝,故狐=2；

(2)由题可知所以4=0,所以4=0.

右％=加亍2,则用=0,^m+l=｛1｝,

所以伪=0,bm+1=l,与也｝是等差数列矛盾.所以%=1.

设媒=eN*),因为｛6｝是各项均为正整数的递增数列，所以媒eN*.

假设存在左GN*使得公22.设&=，，由&+i-2得&+i2，+2.

由6=，<，+l<f+2V&+i，得&<后，%=4+2=4，与他｝为等差数列矛盾.

所以对任意力eN*都有痣=1.所以数列｛《｝是等差数列，0n=1+("-1)=".

故答案为：2；1275

【点睛】思路点睛：很多和数列相关的新概念的练习，我们都可以在里面找到，我们学过的

一些数列的影子，所以我们考虑的时候可以从我们常见的数列入手.

答案第9页，共18页

/、兀

6(1。

(2)2而

【分析】（1）由正弦定理，可得百sin/sinC—sinCcos/-sinC=0,得VJsinX-cosZT二0,

贝lj2sin14—.

=1,即可求得A；

（2）由V/BC面积为2道，利用三角形面积公式可得从=8,由余弦定理得

\6=b2+c2-2bcx-,即(Z?+c)2=16+3bc=40,贝！J可求得b+c的值.

【详解】(1)由正弦定理得a=27?sin/,c=2AsinC,

^V3asinC-ccosA-c=0

VJsin24sinC-sinCeosT4-sinC=0，

••,CG(0,n),「.sinCwO,

Gsin/-cosZ-l=0，

2sin^-=1,

71

AG(0,71),A=—.

3

(2)・・・△ZBC面积为26，

2^/3=—ftesinA=—besin—=^-bc，

2234

二.be=8,

'：a=4,A=—,

3

由/=/+/—2bccos4得16=/+c2-2bcx^,

即(b+c)2=16+3bc=40,

b+c=2y/10.

16.(1)联表见详解，不能.

⑵分布列见详解，E(X)=g

答案第10页，共18页

【分析】（1）根据男游客与女游客的人数的比值，结合卡方计算公式进行计算求解即可;

（2）根据超几何分布的性质，结合数学期望公式进行求解即可.

2

【详解】（1）因为调查的男游客人数为：--xl00=40,所以，调查的女游客人数为

2+3

100-40=60,于是可完成2x2列联表如下：

满意不满意总计

男游客35540

女游客451560

合计8020100

零假设为H。：游客对公园新措施满意与否与性别无关.根据列联表中的数据，可得：

2100x（35x15-45x5）275..

r=--------------------------—<3<3.841=0/x11,,

80x20x40x6032nn°-5

根据小概率值a=0.05的/独立性检验，没有充分证据推断H。不成立，因此可以认为H。成

立，即游客对公园新措施满意与否与性别无关；

（2）由（1）可知男游客抽2人，女游客抽3人，依题意可知X的可能取值为0,1,2,并

1'1「2A

且X服从超几何分布，即P（工=0）=卡=行，P（X=l）=-^=-,

所以X的分布列为:

17.（1）证明见详解

⑵空

【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即可;

（2）作垂足为N,根据平行四边形和矩形的判定定理，结合（1）的结论，利

答案第11页，共18页

用勾股定理，可以以BC,8尸所在的直线分别为X轴、＞轴、z轴建立空间直角坐标

系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】（1）因为F2_L平面/BCD,又/Du平面48CZ）,

所以又S.FBC\FM=F,

所以4D_L平面AFA/.因为8C///D,所以8C_L平面AFA/.

（2）作EN_L4D,垂定为N.则FM//EN.又EF//AD,

所以四边形必WE是平行四边形，又ENLAD,

所以四边形用WE■是矩形，又四边形4DEF为等腰梯形，且ND=4,EF=2,

所以=1.

由（1）知4D_L平面所以J.4D.又/8=也，

所以倒/=1.在Rt/UFA/中，FM=产-AM?=而.

在RtA^MB中，FB=^FM2-BM2=3.

由上可知，以8河,BC,8尸所在的直线分别为X轴、,V轴、Z轴建立如图所示空间直角坐

标系.

cy

则/(T,-1,O)，5(0,0,0),川(0,0,3),£>(-1,3,0),E(0,2,3),

所以方=(1,1,0),丽=(0,0,3),丽=(-1,3,0),屉=(0,2,3),

设平面N"的法向量为应=（再,必/］）,

X+%=0

1;，可取玩二(1,—1,0).

•BF=。

设平面DBE的法向量为五=（%,力，Z2）,

答案第12页，共18页

m-n9-33国

因此，COS(M2,n)

\m\-\n\V1+1-V81+9+447,

依题意可知，平面月与平面D8E的夹角的余弦值为上且

47

2

18.⑴.+R=I(XH±2)

(2)正

2

⑶x=4(ywO)

【分析】(1)设出动点尸(X,y),利用直线尸工,尸8的斜率之积为-!，即可得解；

(2)设出直线/的方程x=0/+l«eR),并代入椭圆方程，得到关于>的一元二次方程，由

韦达定理得到必+%==，从而得

r+4/+4

s二x|_2”x|y|—xJ")2_4.(_3).(/+4),然后利用函数求最值得

^"21俨区间2入4r+4

方法求解即可;

x+2x—2

(3)设出直线与3N的方程，联立后可整理得到二丁二厂厂，利用韦达定理的结论

%%

可得/一工=£+工，代入整理得到所求点Q的轨迹方程.

【详解】(1)设动点尸(x,y),因为直线己4,尸8的斜率满足七

-=-；(xR±2),化简整理得上+j?=1(》/+2).

%+2x—244

2

所以轨迹C的方程为、+必=1原彳±2).

(2)设过点(1,0)的直线/的方程为：x=O+l(feR),W(x2,y2),

x=ty+\

由d,得(〃+4)/+2w—3=0,显然A>0.

——+y=1、/

I4

则乂+%=9'

1.||।3J(2，)2_4.(_3).(»+4)6&+3

5历=于卜2—物%一%|二^^------------------

*+4

令〃=小?+3,贝!J〃2百，』=〃2一3，所以~~r

U+1

答案第13页，共18页

2

6u6—6u

设s(")=则s'3)

w2+l(储+)

所以当百时,s'(")<0,则s(")在［后+8)单调递减,

所以s(")的最大值为S(a=唳

(3)由已知可设直线的方程为、=急(％+2),即片&(x+2),

直线阶的方程为"旌-2),即"后(1一2),

x+2x—2

消去,'得票显然

31,(*)

%少2

由(2),得乂+%=目-311_2t1_t1

?1?2=-~~7>二一+一^―,:」----=T+-,

t+4%%3为3yt

x+2x—2

所以(*)式可化为"2(+二］,.\x+2=3(x-2),即x=4.

31力

%

显然ywo,否则重合，不合题设,

所以点。的轨迹方程为X=4(yN0).

【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是利用前问韦达定理的结论得到"'=£+',

代入运算得解.

1-4e2,

19.(l)y=-----x+2e2

e

(2)证明见详解

(3)0=2

【分析】(1)对函数求导得了'(X),设所求切线的切点为(%,%),写出直线/的方程，将点

(0,2d)代入直线/的方程中化简得一个关于看的方程，构造函数，利用函数导数与单调性求

答案第14页，共18页

出X。即可；

(2)根据/(玉)=/。2),得出相应的方程，然后利用分析法结合函数导数证明即可；

(3)解法一；由题意将〃x)代入不等式得出G(x)40的表达式，利用导数求出G(x)的最大

值，在根据G(x)=/(x)+x+ln1W0恒成立即可求出。的值(或取值范围)；解法二：由题意

将〃尤)代入不等式得出G(x)V0的表达式，由G(x)W0恒成立，利用函数导数分析求出G(x)

的最大值，再结合题意分析求解即可.

【详解】(1)由题意得/3=工-6=匕竺%>0),

设所求切线的切点为(%,%),

则直线/的方程为了一%=/'(%)(X-X。)，

1—4%24

即=-----(x-x0),又为=lnx0--x„=lnx0-2x^,

/2

2-X

/.2e-(lnx0=-~~Oo)«

%

即InX。+2XQ1-23—1=0,

令Z(x)=Inx+2x2-2e2-1,

可知V=t(x)在(0,内)上单调递增.

又，(e)=0,所以方程In/+2xl-2er-1=0有唯一解x0=e.

所以直线/的方程是+或(l-4e2)x-ey+2e3=0.

e

(2)证明：•・•/(再)==(%2)(°<再<%2)，

,ax2142

/.mxj~~\=Inx2-—x2,

即贴士=也山，要证了,(q]<0,

xx-x22\2)

由(1)知只要证二一-"@<0,

xx+x22

2Inx-In八

即证----------!------<o,

X[+x2X]-x2

答案第15页，共18页

又因为0＜西＜.，即证幺乜二切＞ln土，（*）

再+x2x2

令凡=t,则欲证（*）式成立,

x2

2(/-1)

等价于证明--------->I1n/