等差数列求和详细教案

课题等差数列求和学习内容与过程引入数列中，称为数列的前n项和，记为.与之间的关系：由的定义可知，当n=1时，=；当n≥2时，=-，即=知识点1.等差数列的前项和公式（1）证明：①②①+②：∵∴由此得：（2）用上述公式要求必须具备三个条件：但代入公式1即得：此公式要求必须已知三个条件：（有时比较有用）总之：两个公式都表明要求必须已知中三个（3）两个公式的选择：若已知首项及末项用公式较简便；若已知首项及公差d用公式较好；（4）在运用时，注意性质“m+n=p+q(m,n,p,q∈N)”的运用；例1一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.解：根据题意，得=24,－=27，则设等差数列首项为,公差为d,则解之得：∴=3+2（n－1）=2n+1.变式1：已知等差数列的前5项之和为25，第8项等于15，求第21项；等差数列-16，-12，-8，...，前几项的和为72？变式2：在等差数列中，（1）已知；（2）已知变式3：已知数列的前n项和，求数列的通项公式2.等差数列前n项和的性质（1）在等差数列中，连续m项的和仍组成等差数列，即，,，...仍为等差数列（2）根据，知，当d≠0，是一个常数项为零的二次式因此可设（3）在等差数列中：，...，也成等差数列，公差为若若若项数为2n，则（为中间两项），若项数为2n-1，则，若数列与均为等差数列，且前n项和分别是，，则（证明：）例2在等差数列中，变式1：已知非常数等差数列{}的前n项和满足(n∈N,m∈R),求数列{}的前n项和.解：由题设知，＝lg()＝lgm＋nlg3＋lg2,即＝[]n＋(lg3＋)n＋lgm,∵{}是非常数等差数列，当d≠0，是一个常数项为零的二次式∴≠0且lgm＝0,∴m＝－1,∴＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n,则当n=1时，＝当n≥2时,＝－＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2)＝∴＝，d====数列{}是以=为首项,5d=为公差的等差数列，∴数列{}的前n项和为n·()＋n(n－1)·()＝例3涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比问题，一般宜用性质来求解一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d.解：设这个数列的首项为,公差为d，则偶数项与奇数项分别都是公差为2d的等差数列，由已知得,解得d＝5.解法2：设偶数项和与奇数项和分别为S偶，S奇，则由已知得,求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d,∴d＝5.变式1：项数为2n+1的等差数列的奇数项的和与偶数项的和之比为例4涉及两个等差数列前n项和之比问题，一般是利用公式将它转化为两项和之比的问题，再利用函数思想来解决问题两个等差数列，它们的前n项和之比为,求这两个数列的第九项的比解：.变式：已知等差数列{}、的前n项和分别为和，若，求3.等差数列前n项和公式与二次函数区别联系定义域为图像是一系列孤立的点解析式都是二次式定义域为R图像是一条光滑的抛物线（1）设，利用二次函数的相关性质及图像可求其最值，但并不一定是时，有最大值（或最小值），而是当时，；而当时，n取与最接近的正整数即可（2），即，由二次函数性质可知，时，有最小值；时，有最大值（3），时，有最大值；，时，有最小值；最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或例5在等差数列中，，求的最大值变式1在等差数列中，，则取最大时，n=变式2等差数列的前n项和为，公差，若存在正整数m（），使得，则当时，有巩固练习1．{an}是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝2005，则序号n等于．2．等差数列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n项和Sn=100，则n=．变式：等差数列{an}中如果a6=6，a9=9，那么a3=．3．数列的通项，则其前项和．4．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（）A.等比数列B.等差数列C.等差数列且等比数列 D.既非等比数列又非等差数列5．等差数列{an}中，S15=90，则a8=()(A)3(B)4(C)6(D)12变式：等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8=()(A)45(B)75(C)180(D)3006．数列{an}的前n项和为Sn，若（）（A）12 （B）18 （C）24 （D）42变式：等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()(A)130(B)170(C)210(D)1607．在项数为2n+1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于(A)9(B)10(C)11(D)12变式：等差数列{an}的公差为，且S100=145，则奇数项的和a1+a3+a5+……+a99=()(A)60(B)80(C)72.5(D)其它的值8.已知一个等差数列的前5项的和是120，最后5项的和是180，所有项的和为360，此数列的项数为A．12项 B．13项 C．14项 D．15项9．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2003＋a2004＞0，a2003·a2004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是10．若两个等差数列则A． B． C． D．11.数列通项公式为an＝n2－5n＋4，问（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值.12.设等差数列{}的前n项和为，已知＝12，>0，<0，(1)求公差d的取值范围；(2)指出,,,……,中哪一个最大，说明理由解：(1),∵＝＋2d＝12,代入得,∴－<d<－3,(2)＝13<0,∴<0,由＝6(＋)>0,∴＋>0,∴>0,最大.课后作业1.在等差数列中，已知，那么等于（）A.3B.4C.6D.122.在等差数列中，若等于（）A.B.C.2D.3.已知等差数列的公差为1，且，则()A.99B.66C.33D.04.在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（）A.9B.10C.11D.125.若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A.13项B.12项C.11项D.10项6.等差数列中，则使其前n项和成立的最大自然数n是（）A.11B.12C.13D.147.等差数列中，是其前n项的和，若=（）A.15B.18C.9D.128.等差数列和中，，则数列的前100项的和为（）A.0B.100