中考数学复习重难题型复习突破训练：二次函数与几何图形综合题（与圆有关问题）（原卷版+解析）

专题24二次函数与几何图形综合题（与圆有关问题）

1.（2021•四川广元市•中考真题）如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax~+bx+c

与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C,下表给出了这条抛物线上部分点（x,y）的

坐标值：

・・・・・・

X-10123

.・・・・・

y03430

（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标;

（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC

的最小值;

（3）如图2,点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作。歹，x轴，垂足为F,AABD

的外接圆与。/相交于点E.试问：线段麻的长是否为定值？如果是，请求出这个定值;

如果不是，请说明理由.

图1图2

2.（2021•四川自贡市•中考真题）如图，抛物线y=（%+1）（%-。）（其中。＞1）与x轴交

于A、B两点，交y轴于点C.

（1）直接写出N0C4的度数和线段AB的长（用a表示）；

（2）若点D为△MC的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为丽：4,求此抛物线

的解析式；

（3）在（2）的前提下，试探究抛物线y=（x+D（x-。）上是否存在一点P,使得

NC4P="54?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

3.（2021•四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=-/+法+<?交x轴于点A

和C（l,0）,交V轴于点3（0,3）,抛物线的对称轴交x轴于点E,交抛物线于点八

(1)求抛物线的解析式；

(2)将线段OE绕着点。沿顺时针方向旋转得到线段O3,旋转角为矶0。<0<90。)，连接

AE',BE',求BD+gAE，的最小值.

(3)M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N,使得以A,B,M,N为

顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由；

4.(2021•四川中考真题)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两

点，与y轴交于点C(0,6),抛物线的顶点坐标为E(2,8),连结BC、BE、CE.

(1)求抛物线的表达式；

(2)判断aBCE的形状，并说明理由；

(3)如图2,以C为圆心，血为半径作。C,在。C上是否存在点P,使得BP+^EP的值

最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

图1图2

5.(2021•湖南中考真题)如图，已知二次函数>=办2+6尤+<:的图象经过点C(2,-3)且与x

轴交于原点及点8(8,0).

(1)求二次函数的表达式；

(2)求顶点A的坐标及直线A3的表达式;

(3)判断AABO的形状，试说明理由；

(4)若点尸为。。上的动点，且。。的半径为2血，一动点E从点A出发，以每秒2个单

位长度的速度沿线段转匀速运动到点尸，再以每秒1个单位长度的速度沿线段P8匀速运动

到点8后停止运动，求点E的运动时间/的最小值.

6.(2020•德州)如图1,在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,-2),在x轴上任取一

点M,连接AM,分别以点A和点M为圆心，大于3M的长为半径作弧，两弧相交于G,H两

点，作直线GH,过点M作x轴的垂线1交直线GH于点P.根据以上操作，完成下列问题.

探究：

(1)线段PA与PM的数量关系为,其理由为：.

(2)在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表

格：

M的坐标…(-2,0)(0,0)(2,0)(4,0)…

P的坐标…_(0,-1)(2,-2)•••

猜想：

(3)请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出

的曲线L,猜想曲线L的形状是抛物线.

验证:

（4）设点P的坐标是（x,y）,根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析

应用：

(5)如图3,点B(-1,V3),C(1,V3),点D为曲线L上任意一点，且NBDC<30°,

求点D的纵坐标yD的取值范围.

5-

4-12-R2-厂

1-3・i・C

IIII_________IIIIAIIII11tl

求-4-3-2-1,01234x-4-3-2-1,01234

\M-1--1■

-2T-2-

-4-3-2-1,34x

-3--3-

-4--4-

-3-又-5--5-

-4-认

图1图2图3

7.（2020•济宁）我们把方程（x-m）2+（y-n）,=召称为圆心为（m,n）、半径长为r的圆

的标准方程.例如，圆心为（1,-2）、半径长为3的圆的标准方程是（x-1）2+（y+2）2

=9.在平面直角坐标系中，OC与轴交于点A,B,且点B的坐标为（8,0）,与y轴相切于

点D（0,4）,过点A,B,D的抛物线的顶点为E.

（1）求OC的标准方程;

（2）试判断直线AE与。C的位置关系，并说明理由.

8.(2020•遵义)如图，抛物线y=ax2+^x+c经过点A(-1,0)和点C(0,3)与x轴的

另一交点为点B,点M是直线BC上一动点，过点M作MP〃y轴，交抛物线于点P.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)在抛物线上是否存在一点Q,使得△QC0是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若

不存在，请说明理由；

(3)以M为圆心，MP为半径作。M,当。M与坐标轴相切时，求出。M的半径.

9.(2020•山东德州？中考真题)如图1,在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,-2),在

x轴上任取一点M.连接AM,分别以点A和点M为圆心，大于的长为半径作弧，两弧

2

相交于G,H两点，作直线GH,过点M作x轴的垂线1交直线GH于点P.根据以上操作，完

成下列问题.

探究：

(1)线段PA与PM的数量关系为，其理由为：.

(2)在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表

格：

M的坐标・・・(-2,0)(0,0)(2,0)(4,0)・・・

P的坐标•・・(0,-1)(2,-2).・•

猜想：

(3)请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出

的曲线L,猜想曲线L的形状是.

验证：

(4)设点P的坐标是(x,y),根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式.

应用：

(5)如图3,点8(—1,百)，C(1，百)，点D为曲线L上任意一点，且NBDC<30°,求

点D的纵坐标yD的取值范围.

10.(2020•江苏苏州？中考真题)如图，已知NMON=90°,OT是NA/QV的平分线，A

是射线上一点，04=8cm.动点尸从点A出发，以1c机/s的速度沿AO水平向左作

匀速运动，与此同时，动点。从点。出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动.连

接PQ,交07于点B.经过。、P、。三点作圆，交07于点C,连接PC、QC.设运

动时间为《5)，其中0<f<8.

M

(1)求OP+OQ的值；

(2)是否存在实数/,使得线段08的长度最大？若存在，求出f的值；若不存在，说明理

由.

(3)求四边形。尸CQ的面积.

11.(2020•山东济宁？中考真题)我们把方程(x-m)，(y-n)2=r2称为圆心为(m,n)、半径长

为r的圆的标准方程.例如，圆心为(1,-2)、半径长为3的圆的标准方程是(x-

l)2+(y+2)2=9.在平面直角坐标系中，圆C与轴交于点A.B.且点B的坐标为(8.0),与y轴

相切于点D(0,4),过点A,B,D的抛物线的顶点为E.

(1)求圆C的标准方程；

(2)试判断直线AE与圆C的位置关系，并说明理由.

专题24二次函数与几何图形综合题（与圆有关问题）

1.（2021•四川广元市•中考真题）如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线,

与X轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C,下表给出了这条抛物线上部分点（x,y）的

坐标值：

X・・・-10123・・・

y・・・03430•・・

（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；

（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC

的最小值；

（3）如图2,点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作x轴，垂足为F,ZXABD

的外接圆与。/相交于点E.试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值;

如果不是，请说明理由.

图1图2

【答案】⑴y=-（x-l）2+4；M（l,4）；（2）V13+1；⑶是，1.

【分析】

（1）依据表格数据，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求解即可；

（2）利用平移和找对称点的方式，将AQ+QP+PC的长转化为0E+1+PC,再利用两

点之间线段最短确定FE+PC的最小值等于CE的长，加1后即能确定PE+1+PC的最小

值；

（3）设出圆心和D点的坐标，接着表示出E点的坐标，利用圆心到B点的距离等于圆心到

D点的距离，求出q和e的关系，得到E点的纵坐标，进而确定EF的长为定值.

【详解】

解：（1）由表格数据可知，顶点坐标为（1,4）

设抛物线解析式为：y=a（x-l）2+4,

将点（0,3）代入解析式得：3=a+4,

a=—1,

.♦・抛物线解析式为：y=—(%—1J+4,顶点坐标M(L4).

(2)由表格可知，抛物线经过点A(-1,0),C(0,3),

如图3,将A点向上平移一个单位，得到4(-1,1),

贝i]AA'//PQ,AA'=PQ,

四边形A4'PQ是平行四边形，

APA,=QA,

作4关于MQ的对称点E,则矶3,1),

•••PA'=PE，

：.AQ+QP+PC=PE+1+PC,

当P、E、C三点共线时，PE+PC最短，

设直线CE的解析式为：y=twc+n,

zz=3

将C、E两点坐标代入解析式可得：\,

3m+n=l

n=3

・・・<2，

m=—

I3

・•・直线CE的解析式为：y=--x+3,

3

7

令x=1,则y=1，

，当Plj'g]时，0、*、C三点共线，此时尸E+PC=EC=J(3—Op+(1—3)2=而最短，

，AQ+QP+PC的最小值为V13+1.

(3)是；

理由：设ZXp,q),

因为A、B两点关于直线x=l对称，

所以圆心位于该直线上，

所以可设AABD的外接圆的圆心为0(1,e),

作垂足为点N,则N(p,e),

由止_Lx轴，

E(/7,2e-q),

VO'D^O'B,且由表格数据可知5(3,0)

GT)?+(0-e)2=(p—I)?+(q—e)2,

化简得：4+e?+(q-e)2,

•・•点D是第四象限内抛物线上一动点，且抛物线解析式为y=-(x-l)2+4,

••Q=—(^p—1^+4,

(0一1『=4-"'

«•4+e2=4—q+(q—e)~,

；qw0,

2e—q=-1,

AEF=\，

即政的长不变，为1.

【点睛】

本题涉及到了动点问题，综合考查了用待定系数法求抛物线解析式、点的平移、勾股定理、

平行四边形的判定与性质、最短路径问题、圆的性质等内容，解决本题的关键是理解并掌握

相关概念与公式，能将题干信息与图形相结合，挖掘图中隐含信息，本题有一定的计算量,

对学生的综合分析与计算能力都有较高的要求，本题蕴含了数形结合的思想方法等.

2.(2021•四川自贡市•中考真题)如图，抛物线y=(x+l)(x—a)(其中a>l)与x轴交

于A、B两点，交y轴于点C.

(1)直接写出NOC4的度数和线段AB的长(用a表示)；

(2)若点D为△MC的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为“6:4,求此抛物线

的解析式;

(3)在(2)的前提下，试探究抛物线y=(x+l)(x-a)上是否存在一点P,使得

NC4P="BA?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)/0CA=45°,AB=a+l；(2)y=x2-x-2；(3)存在，P,(--)，

24

P2(1,-2).

【分析】

(1)根据二次函数解析式可得A(a,0),C(0,-a),B(T,0),即可得出0A=0B=a,

0B=l,即可证明AOCA是等腰直角三角形，可得N0CA=45°,根据线段的和差关系可表示AB

的长；

(2)如图，作AABC的外接圆。D,根据等腰直角三角形的性质可得AC=0a，利用两点间

距离公式可用a表示出BC的长，根据圆周角定理可得ND=2/0AC=90°,可得ADBC是等腰

直角三角形，即可证明△DBCsaocA,根据相似三角形周长之比等于相似比列方程求出a

值即可得答案；

(3)如图，过点D作DH_LAB于H,过点C作AC的垂线，交x轴于F,过点0作OG_LAC于

G,连接AP交CF于E,可得AOCF是等腰直角三角形，利用待定系数法可得直线CF的解析

式，根据外心的定义及等腰直角三角形的性质可求出点D坐标，即可得出BH、DH的长，根

据NC4P=/BHD=NACE=90°可证明△BHDs^ACE,根据相似三角形的性质可求

出CE的长，根据两点间距离公式可得点E坐标，利用待定系数法可得直线AE解析式，联立

直线AE与抛物线的解析式求出点P坐标即可得答案.

【详解】

(1)•••抛物线y=(x+D(x—a)(其中a>l)与x轴交于A、B两点，交y轴于点C.

.•.当x=0时，y=-a,

当y=0时，(x+l)(x-a)=0,

解得：西=T,x2=a,

/.A(a,0),C(0,-a),B(-1,0),

/.0B=l,OA=OC=a,

/.△OCA是等腰直角三角形，

.,.Z0CA=45°,AB=OA+OB=a+l.

(2)如图,作AABC的外接圆。D,

:点D为AA6c的外心，

；.DB=DC,

「△OCA是等腰直角三角形，0A=a,

/.ZOAC=45°,AC=V2iZ>

,/ZBDC和/BAC是BC所对的圆心角和圆周角，

，NBDC=2NBAC=90°,

ZDBC=45

.•.ZDBC=ZOAC,

.'.△DBC^AOCA,

•/ABCD与/XACO的周长之比为屈：4,

2

.BC屈mV«+l而

AC4缶4

解得：a—+2>

经检验：a=±2是原方程的根，

Va>l,

a-2,

，抛物线解析式为：y=(X+l)(x-2)=f—X—2.

(3)如图，过点D作DHLAB于H,过点C作AC的垂线，交x轴于F,过点0作0GLAC于

G,连接AP交CF于E,

•a=2,

；.C(0,-2),A(2,0),AC=2A/2-

VZ0CA=45°,

AZ0CF=45°,

...△OCF是等腰直角三角形，

；.F(-2,0),

设直线CF的解析式为y=kx+b,

-2k+b=0

b=-2

k=-l

解得：<

b=—2’

/.直线CF的解析式为y=-x—2,

「△OCA是等腰直角三角形，OG±AC,

，0G所在直线为AC的垂直平分线，点G为AC中点,

:点D为△A6C的外心，

...点D在直线0G上,

VA(2,0),C(0,-2),

AG(1,-1),

设直线0G的解析式y=mx,

m——1j

直线0G的解析式y=-x,

•.•点D为4ABC的外心，

.•.点D在AB的垂直平分线上，

-1+21

•••点D的横坐标为------=；,

22

把x=/代入y=-x得y=-；,

112

.\DH=—BH=1+—

222

:/CAP=/DBA,ZBHD=ZACE=90°,

.'.△BHD^AACE,

13

•DH整，BPJ

,~CE2

CE272

解得：CE=述，

3

;点E在直线CF上，

设点E坐标为(n,-n-2),

・・・CE=5+(—〃—2+2)2二平,

2

解得：n=±~,

3

24

.・.£（_±,-2）

333

设直线AEi的解析式为y=k1x+b1,

一24

--k,+b.=--

，＜3”13,

2kl+4=0

\k1=-

解得：r2.

A=-1

直线AE.的解析式为y=^x-l,

同理：直线AE?的解析式为y=2x—4,

'1,

,y——x—1

联立直线AE】解析式与抛物线解析式得,2

y=X2-x-2

1

%=Cc

解得：\2＜%二c2（与点A重合，舍去），

、，二[为=0

•'•Pl(-----,-------)，

24

y=2x-4

联立直线AE?解析式与抛物线解析式得《

y=x2-x-2

—1=2

解得：＜八（与点A重合，舍去），

J=—2[%=0

E2

5

_

综上所述：存在点P,使得/CAP=/DBA，点P坐标为P,---------),P2(L2).

24

【点睛】

本题考查二次函数的综合，考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、圆周角

定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键.

3.（2021•四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=--+汝+（?交x轴于点A

和C（l,o）,交y轴于点8（0,3）,抛物线的对称轴交了轴于点E,交抛物线于点尸.

（1）求抛物线的解析式；

（2）将线段OE绕着点。沿顺时针方向旋转得到线段O?,旋转角为矶0。＜戊＜90。），连接

AE',BE',求的最小值.

（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N,使得以A,B,M,N为

顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由；

【答案】（1）y=-/_2x+3；（2）妞；（3）存在，N点的横坐标分别为：2,-1,-1+^

32

或T-石

2

【分析】

（1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为＞将C（l,0）,8（0,3）两点代

入求得b,c的值即可；

（2）胡不归问题，要求30+gAE，的值，将折线化为直线，构造相似三角形将;AE'转化

为;DE：再利用三角形两边之和大于第三边求得最值；

（3）分2种情形讨论：①AB为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求得

N点的坐标；

②AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,RN=1AB,利用两点距离公式求解方程可得N点的

坐标.

【详解】

解：（1）Vy=-x2+Z?x+ciiC（l,0）,3（0,3）

.J-l+/7+c=0

**|c=3

Z?=—2,c=3

抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3

(2)在OE上取一点O,使得=连接AELBD

'：OD=-OE=-OE'

33

对称轴兀="I=-1.

2

E（-1,0）,OE=\

OE'=OE=1,OA=3

OE,

=-=ZDOE'=ZE'OA

~OAOE'3

ADOE'^AE'CM

DE'=-AE'

3

BE,+-AE'=BE'+DE'

3

当8,E',。三点在同一点直线上时，BE*DE，最小为BD.

在RtABOD中，OD=_,OB=3

3

/.BD=^OB2+OD2=

即A?最小值为反.

33

(3)情形①如图，AB为矩形的一条边时,

y=0

联立

y=-x—2x+3

%=-3X=1

得

y=0y=0

；.A(—3,0),OA=3

-,-OB=3

：NABO是等腰MA,ZBAO=45°

分别过A3两点作AB的垂线，交y=-x2-2x+3于点N”Nz，

过乂,乂作轴，轴，

NQBN\=NPAN2=45°

△BN©,△AN?尸也是等腰直角三角形

设QB=m,则N1Q=〃z,所以乂(-〃z,加+3)

代入＞=-x2-2x+3,解得叫=1,«2=。(不符题意，舍)

乂(-1,4)

同理，设OP=〃，贝iJ/W="+3,所以乂(〃,-〃-3)

代入y=-/-2x+3,解得n1=2,%=-3(不符题意，舍)

.■.N2(2,-5)

②AB为矩形的对角线，设R为AB的中点，则=

A(-3,0),B(0,3)

33______

AB=V32+32=372

:.RB=-AB=^-

22

RN=-AB

2

:.RN=^-

2

2

设N{X9—x—2x+3),则

0+62+,+2厂；(事

整理得：X(X+3)(%2+X-1)=0

解得：芯=。(不符题意，舍)，X2=-3(不符题意，舍)，

•••综上所述：N点的横坐标分别为：2,-1,土叵或土好.

22

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函数与一

次函数交点，矩形的性质，等腰直角三角形性质，平面直角坐标系中两点距离计算等知识,

能正确做出辅助线，找到相似三角形是解题的关键.

4.(2021•四川中考真题)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两

点,与y轴交于点C(0,6),抛物线的顶点坐标为E(2,8),连结BC、BE、CE.

(1)求抛物线的表达式；

(2)判断4BCE的形状，并说明理由；

(3)如图2,以C为圆心，应为半径作。C,在。C上是否存在点P,使得BP+^EP的值

最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

yy

E

图1图2

【答案】(1)y=-1x2+2x+6；(2)直角三角形，见解析；(3)存在，立史

22

【分析】

(1)用待定系数法求函数解析式；

(2)分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明；

(3)在CE上截取CF=@(即CF等于半径的一半)，连接BF交。C于点P,连接EP,则

2

BF的长即为所求.

【详解】

解：(1):抛物线的顶点坐标为E(2,8),

...设该抛物线的表达式为y=a(x-2)2+8,

•••与y轴交于点C(0,6),

把点C(0,6)代入得：a=--,

2

2

,该抛物线的表达式为y=-1x+2x+6;

(2)Z\BCE是直角三角形.理由如下:

:抛物线与x轴分别交于A、B两点，

•,.当y=0时，(x-2)2+8=0,解得：xi=-2,x2=6,

；.A(-2,0),B(6,0),

.•.BC2=62+62=72,CE2=(8-6)2+22=8,BE=(6-2)2+82=80,

.•.BE2=BC2+CE2,

/.ZBCE=90°,

•,.△BCE是直角三角形；

(3)如图，在CE上截取CF=1(即CF等于半径的一半)，连接BF交。C于点P,连接

2

EP,

则BF的长即为所求.

y

■*CP-CE-21

又；NFCP=/PCE,

.'.△FCP^APCE,

•••里一—旦—」frprp--llFiprj

CPPE22

.\BF=BP+yEP,

由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+2EP为最小值.

VCF=-CE,E(2,8),

4

1

AF2~

22

1V290

；.BF=6--I+10-—

222

【点睛】

本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的性

质，相似三角形的判定和性质等，题目综合性较强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数图

象和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键.

5.(2021•湖南中考真题)如图，已知二次函数y=以2+"+。的图象经过点。(2,-3)且与工

轴交于原点及点8(8,0).

y

(i)求二次函数的表达式；

(2)求顶点A的坐标及直线A3的表达式；

(3)判断AABO的形状，试说明理由；

(4)若点尸为。。上的动点，且。。的半径为2垃，一动点E从点A出发，以每秒2个单

位长度的速度沿线段转匀速运动到点尸，再以每秒1个单位长度的速度沿线段尸8匀速运动

到点8后停止运动，求点E的运动时间/的最小值.

【答案】(1)y=52-2x；(2)A(4,-4),y=x-8；(3)等腰直角三角形，理由见解

析；(4)572

【分析】

(1)根据已知条件，运用待定系数法直接列方程组求解即可；

(2)根据(1)中二次函数解析式，直接利用顶点坐标公式计算即可，再根据点A、B坐标

求出AB解析式即可；

(3)根据二次函数对称性可知为等腰三角形，再根据0、A、B三点坐标，求出三条

线段的长，利用勾股定理验证即可；

(4)根据题意可知动点E的运动时间为t=+在OA上取点。，使OD=0,

可证明△APO"△尸口。，根据相似三角形比例关系得「刈=；门可，即

t=^\AP\+\PB\=\PD\+\PB\,当8、尸、。三点共线时，户口+户用取得最小值，再根据等

腰直角三角形的性质以及勾股定理进一步计算即可.

【详解】

解：(1)••・二次函数＞=/+法+4"0)的图象经过。(2,-3),且与x轴交于原点及点8(8,0)

・,.c=0,二次函数表达式可设为：y=aj3

将C(2,-3),8(8,0)代入丁=湛+法得：

f—3=4〃+2ba=—

。。入解这个方程组得4

n0=64〃+8b,。

i\b=-2

:二次函数的函数表达式为y=一2x

4

(2)♦..点A为二次函数图像的顶点，

•••顶点坐标为：4(4,-4),

设直线A3的函数表达式为>=履+根，则有：

f-4=4k+m[k=1

解之得：

[n0=8QZ左+m[m=-80

，直线AB的函数表达式为y=x-8

(3)AABC是等腰直角三角形，

过点A作APL03于点尸，易知其坐标为歹(4,0)

•••△ABC的三个顶点分别是0(0,0),A(4,T),8(8,0),

22

/.|OB|=|8-O|=8,网=Jo户+=^(4-0)+(-4-0)=40

|阴=<AF2+BF2=,J[0-(-4)]2+(8-4)2=40

且满足|O优=|OA『+|AB「

ABC是等腰直角三角形

(4)如图，以。为圆心，4A历为半径作圆，则点尸在圆周上，依题意知:

动点E的运动时间为/=-4尸|+|尸耳

在OA上取点。，使OD=0，

连接P£),则在和△PAO中，

pnAn

满足：一=—=2,ZAOP=ZPOD,

ODOP

：.AAPOsAPDO,

.AP_POAO

9,7D~~OD~~OP~'

从而得：忸q=义4尸|

/.t=AP|+\PB\=\PD\+\PB\

显然当B、P、。三点共线时，|PD|+|P@取得最小值，

过点。作。GL03于点G,由于夜，

且AABO为等腰直角三角形，

则有£>G=1,ZDOG=45°,

/.动点E的运动时间t的最小值为：

r=|。同=^|DG|2+|GB|2=712+(8-1)2=5&.

【点睛】

本题主要考查待定系数法求函数解析式，抛物线顶点坐标，等腰直角三角形的性质与判定，

相似三角形的判定与性质等知识点，将运动时间的最小值转换为线段长度的最小值是解题的

关键.

6.(2020•德州)如图1,在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,-2),在x轴上任取一

点M,连接AM,分别以点A和点M为圆心，大于女M的长为半径作弧，两弧相交于G,H两

点，作直线GH,过点M作x轴的垂线1交直线GH于点P.根据以上操作，完成下列问题.

探究：

(1)线段PA与PM的数量关系为—，其理由为：—.

(2)在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表

格：

M的坐标…(-2,0)(0,0)I(2,0)(4,0)…

P的坐标…_(0,-1n(2,-2)|•••

猜想：

(3)请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出

的曲线L,猜想曲线L的形状是抛物线.

验证：

(4)设点P的坐标是(x,y),根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析

式.

应用：

(5)如图3,点B(-1,V3),C(1,V3),点D为曲线L上任意一点，且NBDC<30°,

求点D的纵坐标y°的取值范围.

图2图3

【分析】(1)由题意可得GH是AM的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可求解;

(2)由(1)可知：PA=PM,利用两点距离公式可求点P坐标；

(3)依照题意，画出图象；

(4)由两点距离公式可得-y=J(x—0)2+(y+2)2,可求y关于x的函数解析式；

(5)由两点距离公式可求BC=0B=0C,可证ABOC是等边三角形，可得NB0C=60°,

以。为圆心，0B为半径作圆0,交抛物线L与点E,连接BE,CE,可得NBEC=30°,则

当点D在点E下方时，ZBDC<30°,求出点E的纵坐标即可求解.

【解析】(1)•••分别以点A和点M为圆心，大于3M的长为半径作弧，两弧相交于G,H

两点，

；.GH是AM的垂直平分线，

:点P是GH上一点，

；.PA=PM(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等)，

故答案为：PA=PM,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；

(2)当点M(-2,0)时，设点P(-2,a),(a<0)

VPA=PM,

-a=V(-2-0)2+(a+2)2,

.•・a=-2,

・・・点P(-2,-2),

当点M(4,0)时，设点P(4,b),(b<0)

VPA=PM,

-b=7(4-0)2+(b+2)2,

，b=-5,

・,•点P(4,-5),

故答案为：(-2,-2),(4,-5)；

(3)依照题意，画出图象，

猜想曲线L的形状为抛物线，

故答案为：抛物线；

(4)VPA=PM,点P的坐标是(x,y),(y<0),

•*--7=J(X-0)~2+(y+2)~G,

•_12i

••y=-；x-i；

(5)•.•点B(-1,V3),C(1,V3),

；.BC=2,0B=J(-l-0)2+(V3-0)2=2,0C=J(1-0)2+(V3-0)2=2,

；.BC=OB=OC,

.,.△BOC是等边三角形，

.•.ZB0C=60°,

如图3,以。为圆心，0B为半径作圆0,交抛物线L与点E,连接BE,CE,

图3

.•./BEC=30°,

设点E(m,n),

・・•点E在抛物线上，

・

・・1n=2—m-1,

4

V0E=0B=2,

・・・J(m-0)2+(n-0)2=2,

「・ni=2-2A/3,R2—2+2A/3(舍去)，

如图3,可知当点D在点E下方时，ZBDC<30°,

/.点D的纵坐标y°的取值范围为yo<2-2V3.

7.(2020•济宁)我们把方程(x-m)2+(y-n)2=d称为圆心为(m,n)、半径长为r的圆

的标准方程.例如，圆心为(1,-2)、半径长为3的圆的标准方程是(x-1)2+(y+2)2

=9.在平面直角坐标系中，OC与轴交于点A,B,且点B的坐标为(8,0),与y轴相切于

点D(0,4),过点A,B,D的抛物线的顶点为E.

(1)求。C的标准方程；

(2)试判断直线AE与。C的位置关系，并说明理由.

【分析】(1)如图，连接CD,CB,过点C作CMLAB于M.设。C的半径为r.在Rt^BCM

中，利用勾股定理求出半径以及等C的坐标即可解决问题.

(2)结论：AE是。C的切线.连接AC,CE.求出抛物线的解析式，推出点E的坐标，求

出AC,AE,CE,利用勾股定理的逆定理证明/CAE=90°即可解决问题.

【解析】(1)如图，连接CD,CB,过点C作OUAB于M.设。C的半径为r.

:与y轴相切于点D(0,4),

.\CD±OD,

VZCD0=ZCM0=ZD0M=90°,

四边形ODCM是矩形，

；.CM=0D=4,CD=0M=r,

VB(8,0),

.*.0B=8,

ABM=8-r,

在RtZiCMB中,•/BC2=CM2+BM2,

.,.r2=42+(8-r)2,

解得r=5,

AC(5,4),

的标准方程为(x-5)2+(y-4)2=25.

(2)结论：AE是0c的切线.

理由：连接AC,CE.

VCMXAB,

；.AM=BM=3,

AA(2,0),B(8,0)

设抛物线的解析式为y=a(x-2)(x-8),

把D(0,4)代入y=a(x-2)(x-8),可得a=工，

4

，抛物线的解析式为y=；(x-2)(x-8)=IX2-1X+4=\(x-5)2-p

44244

抛物线的顶点E(5,

4

；AE=」32+G)2=*CE=4+|=^,AC=5,

.*.EC2=AC2+AE2,

.*.ZCAE=90°,

ACAIAE,

•・.AE是。C的切线.

8.(2020•遵义)如图，抛物线y=ax2+-x+c经过点A(-1,0)和点C(0,3)与x轴的

4

另一交点为点B,点M是直线BC上一动点，过点M作MP〃y轴，交抛物线于点P.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)在抛物线上是否存在一点Q,使得△QC0是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若

不存在，请说明理由；

(3)以M为圆心，MP为半径作。M,当。M与坐标轴相切时，求出。M的半径.

【分析】(1)把点A(-1,0)和点C(0,3)代入y=ax'+2x+c求出a与c的值即可

4

得出抛物线的解析式；

(2)①当点Q在y轴右边时，假设AQC。为等边三角形，过点Q作QH±0C于H,OC=3,

则0H=tan60°=生，求出Q(越，三)，把x=%代入y=--x2+2x+3,得y=-

2OH222448162

则假设不成立；

②当点Q在y轴的左边时，假设△、0)为等边三角形，过点Q作QTLOC于T,0C=3,则

0T=-,tan60°=",求出Q(—延，把x=-逋代入丫=--x2+-x+3,得y=---

20T222448

则假设不成立;

162

(3)求出B(4,0),待定系数法得出BC直线的解析式y=-&+3,当M在线段BC上，

4

0M与x轴相切时，延长PM交AB于点D,则点D为。M与x轴的切点，即PM=MD,设P

(x,--X2+-X+3),M(x,--x+3),贝l|PD=——2+&+3,MD=--x+3,由PD-MD=MD,

444444

求出x=l,即可得出结果；当M在线段BC上，OM与y轴相切时，延长PM交AB于点D,

过点M作MELy轴于E,则点E为。M与y轴的切点，即PM=ME,PD-MD=EM=x,设P

(x,--x~+-x+3),M