2024-2025学年北京十四中八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年北京十四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共20分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（2分）在下面由冬季奥运会比赛项目图标组成的四个图形中，其中可以看作轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2分）下列各式计算正确的是（）A．x3•x3＝2x3 B．（x2）3＝x5 C．x3+x5＝x8 D．（xy）4＝x4y44．（2分）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 B．x2+x﹣1＝（x﹣1）（x+2）+1 C．ax+bx+c＝x（a+b）+c D．a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）5．（2分）已知x2+2mx+9是完全平方式，则m的值为（）A．6 B．±6 C．3 D．±36．（2分）从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），可以验证成立的公式为（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）7．（2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，E．若△ABC的周长为22，BE＝4（）A．14 B．18 C．20 D．268．（2分）下列尺规作图，能确定AD是△ABC的中线的是（）A． B． C． D．9．（2分）在△ABC中，AB＝3，AC＝5，使CD＝BC，连接AD（）A．7＜AD＜13 B．2＜AD＜14 C．2＜AD＜7 D．5＜AD＜1110．（2分）设a，b是实数，定义*的一种运算如下：a*b＝（a+b）2，则下列结论有：①a*b＝0，则a＝0且b＝0②a*b＝b*a③a*（b+c）＝a*b+a*c④a*b＝（﹣a）*（﹣b）正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（第11-18题每题3分，共24分）11．（3分）计算：（π﹣2）0＝．12．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为．13．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是．14．（3分）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD＝AE，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，则△AMN的周长为．16．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CE，∠FDE＝65°°．17．（3分）已知a﹣2b＝10，ab＝5，则a2+4b2的值是．18．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，3），C（0，2），点D在第二象限（1）点D的坐标为；（2）点P在坐标轴上，且△PAC是等腰三角形，则P点的个数为．三、解答题（第19、20题各9分，第21、23、24、25题各6分，第22、26题各7分，共56分）19．（9分）计算：（1）4x2•（﹣3x）2；（2）（2m﹣3）（m+5）；（3）（1﹣5n）（1+5n）﹣（n﹣1）（n+5）．20．（9分）因式分解：（1）n2﹣5n；（2）3m2﹣6m+3；（3）9m2（x﹣y）+n2（y﹣x）．21．（6分）先化简，再求值：（x+y）2+（x+2y）（x﹣y）﹣2x3y÷xy，其中x＝1，y＝2．22．（7分）根据题意，完成作图及推理：已知：在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，AB＝4．（1）作出∠BAC的平分线（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）求△ABD的面积．解：过D作DE⊥AB于点E，∵∠C＝90°，∴DC⊥于点C，∵AD平分∠BAC，∴＝CD（），∵CD＝1，∴DE＝，∵AB＝4，∴S△ABD＝．23．（6分）已知：如图，CB＝DE，∠B＝∠E求证：AC＝AD．24．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AD于点F，交AC于点E．求证：△AEF为等腰三角形．25．（6分）阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．利用分组分解法解决下面的问题：（1）分解因式：x2﹣2xy+y2﹣4；（2）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．26．（7分）已知：如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD＝AB，点E为BA延长线上一点且AE＝AC，连结AF．（1）求证：∠FCA＝∠AEF；（2）作A点关于BC的对称点M，分别连接AM，FM．①依题意补全图形；②用等式表示EF，CF，AM之间的数量关系并证明．四、附加题（共10分）27．（4分）在学习整式乘法一章时，小明发现：若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”．例如：5是“智慧数”，因为5＝22+12；再如：M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），所以M也是“智慧数”．（1）请你再写一个小于10的（5除外）“智慧数”，并判断29是否为“智慧数”（填“是”或者“否”）；（2）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数），k是常数，要使S为“智慧数”28．（6分）对于平面直角坐标系内的任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），定义它们之间的“直角距离”为d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．对于平面直角坐标系内的任意两个图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，Q两点间的“直角距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“直角距离”（M，N）．（1）已知A（1，0）、B（0，2），则d（A，B），D（O，AB）＝；（2）已知A（1，0）、B（0，t），若D（O，AB），则t的取值范围是；（3）已知A（1，0），若坐标平面内的点P满足d（P，A）＝1，该图形的面积是．

2024-2025学年北京十四中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共20分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（2分）在下面由冬季奥运会比赛项目图标组成的四个图形中，其中可以看作轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形．故选：D．2．（2分）如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∴BD＝AC＝7，∵BE＝5，∴DE＝BD﹣BE＝8，故选：A．3．（2分）下列各式计算正确的是（）A．x3•x3＝2x3 B．（x2）3＝x5 C．x3+x5＝x8 D．（xy）4＝x4y4【解答】解：x3•x3＝x6，故本选项错误；B、（x2）3＝x8，故本选项错误；C、x3+x5不能合并，故本选项错误；D、（xy）3＝x4y4，故本选项正确．故选：D．4．（2分）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 B．x2+x﹣1＝（x﹣1）（x+2）+1 C．ax+bx+c＝x（a+b）+c D．a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）【解答】解：A、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，从左到右的变形是整式的乘法运算，故此选项不符合题意；B、x2+x﹣6＝（x﹣1）（x+2）+7，从左到右的变形，故此选项不符合题意；C、ax+bx+c＝x（a+b）+c，故此选项不符合题意；D、a2b﹣ab2＝ab（a﹣b），从左到右的变形，故此选项符合题意．故选：D．5．（2分）已知x2+2mx+9是完全平方式，则m的值为（）A．6 B．±6 C．3 D．±3【解答】解：已知x2+2mx+7是完全平方式，∴m＝3或m＝﹣3，故选：D．6．（2分）从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），可以验证成立的公式为（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【解答】解：图甲中阴影部分的面积为：a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b），∵甲乙两图中阴影部分的面积相等，∴a4﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴可以验证成立的公式为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b4．故选：D．7．（2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，E．若△ABC的周长为22，BE＝4（）A．14 B．18 C．20 D．26【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，BC＝2BE＝8，∵△ABC的周长为22，∴AB+BC+AC＝22，∴AB+AC＝14，∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AB+AC＝14，故选：A．8．（2分）下列尺规作图，能确定AD是△ABC的中线的是（）A． B． C． D．【解答】解：根据作图方法可得A选项中D为BC中点，则AD为△ABC的中线，故选：A．9．（2分）在△ABC中，AB＝3，AC＝5，使CD＝BC，连接AD（）A．7＜AD＜13 B．2＜AD＜14 C．2＜AD＜7 D．5＜AD＜11【解答】解：如图，延长AC到E使CE＝AC．∵BC＝CD，AC＝CE，∴△ACB≌△ECD（SAS），∴DE＝AB＝3．在△AED中，根据在三角形中任意两边之和大于第三边．∴AE＝2AC＝10，AE+DE＝13．∴8＜AD＜13．故选：A．10．（2分）设a，b是实数，定义*的一种运算如下：a*b＝（a+b）2，则下列结论有：①a*b＝0，则a＝0且b＝0②a*b＝b*a③a*（b+c）＝a*b+a*c④a*b＝（﹣a）*（﹣b）正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵a*b＝0，a*b＝（a+b）2，∴（a+b）2＝0，即：a+b＝0，∴a、b互为相反数，a*b＝（a+b）8，b*a＝（b+a）2，因此②符合题意，a*（b+c）＝（a+b+c）2，a*b+a*c＝（a+b）4+（a+c）2，故③不符合题意，∵a*b＝（a+b）2，（﹣a）*（﹣b）＝（﹣a﹣b）7，∵（a+b）2＝（﹣a﹣b）2，∴a*b＝（﹣a）*（﹣b）故④符合题意，因此正确的个数有5个，故选：B．二、填空题（第11-18题每题3分，共24分）11．（3分）计算：（π﹣2）0＝1．【解答】解：（π﹣2）0＝4，故答案为：1．12．（3分）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（3，﹣2）．【解答】解：点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（2．故答案为：（3，﹣2）．13．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是17．【解答】解：（1）若3为腰长，7为底边长，由于5+3＜7，则三角形不存在；（2）若2为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为7+7+5＝17．故答案为：17．14．（3分）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD＝AE，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是BC＝EF或∠BAC＝∠EDF或∠C＝∠F．（只填一个即可）【解答】解：若添加BC＝EF，∵BC∥EF，∴∠B＝∠E，∵BD＝AE，∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；若添加∠BAC＝∠EDF，∵BC∥EF，∴∠B＝∠E，∵BD＝AE，∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），若添加∠C＝∠F，∵BC∥EF，∴∠B＝∠E，∵BD＝AE，∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．故答案为：BC＝EF或∠BAC＝∠EDF或∠C＝∠F．15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，则△AMN的周长为10．【解答】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO，∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO，∴MB＝MO，NC＝NO，∴MN＝MO+NO＝MB+NC，∵AB＝4，AC＝6，∴△AMN周长为AM+MN+AN＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝10，故答案为：1016．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CE，∠FDE＝65°50°．【解答】解：在△BDF和△CED中∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD＝∠CDE，∵∠FDE+∠FDC＝∠B+∠BFD，∴∠B＝∠FDE＝65°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣65°﹣65°＝50°，故答案为：50．17．（3分）已知a﹣2b＝10，ab＝5，则a2+4b2的值是120．【解答】解：∵a﹣2b＝10，ab＝5，∴（a﹣5b）2＝100，4ab＝20，∴a8+4b2＝（a﹣5b）2+4ab＝100+20＝120，故答案为：120．18．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，3），C（0，2），点D在第二象限（1）点D的坐标为（﹣3，2）；；（2）点P在坐标轴上，且△PAC是等腰三角形，则P点的个数为5个．【解答】解：（1）∵点A（2，0），2），2），∴OA＝2，OB＝4，∠AOB＝90°，∵△AOB≌△OCD，∴∠AOB＝∠OCD＝90°，OA＝OC＝2，AB＝OD∵点D在第二象限，∴点D的坐标为（﹣3，2），故答案为：（﹣3，2）；（2）在Rt△OAC中，OA＝OC＝7，由勾股定理得：AC＝＝，∵点P在坐标轴上，且△PAC是等腰三角形，∴有以下三种情况：①∵OA＝OC＝2，当点P于点O重合时，则PA＝PC，∴点O为符合题意的点，如图2所示：此时点P的坐标为（0，0）；②以点A为圆心，以AC为BA半径画弧交x轴于点P，则PA＝AC，P'A＝AC，∴点P，P'为符合题意的点此时点P（4+，7），2）；③以点C为圆心，以CA为半径画弧交y轴于P，则PC＝AC，P'C＝AC，∴点P，P'为符合题意的点此时点P（0，2+），2﹣），综上所述：符合题意的点P共有5个．故答案为：7个．三、解答题（第19、20题各9分，第21、23、24、25题各6分，第22、26题各7分，共56分）19．（9分）计算：（1）4x2•（﹣3x）2；（2）（2m﹣3）（m+5）；（3）（1﹣5n）（1+5n）﹣（n﹣1）（n+5）．【解答】解：（1）4x2•（﹣2x）2＝4x3•9x2＝36x4；（2）（2m﹣3）（m+3）＝2m2+10m﹣5m﹣15＝2m2+4m﹣15；（3）（1﹣5n）（7+5n）﹣（n﹣1）（n+3）＝1﹣25n2﹣（n3+5n﹣n﹣5）＝4﹣25n2﹣n2﹣3n+n+5＝﹣26n2﹣5n+6．20．（9分）因式分解：（1）n2﹣5n；（2）3m2﹣6m+3；（3）9m2（x﹣y）+n2（y﹣x）．【解答】解：（1）原式＝n（n﹣5）；（2）原式＝3（m6﹣2m+1）＝2（m﹣1）2；（3）原式＝（x﹣y）（7m2﹣n2）＝（x﹣y）（8m+n）（3m﹣n）．21．（6分）先化简，再求值：（x+y）2+（x+2y）（x﹣y）﹣2x3y÷xy，其中x＝1，y＝2．【解答】解：原式＝x2+2xy+y6+x2﹣xy+2xy﹣8y2﹣2x7＝3xy﹣y2，当x＝3，y＝2时2＝8．22．（7分）根据题意，完成作图及推理：已知：在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，AB＝4．（1）作出∠BAC的平分线（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）求△ABD的面积．解：过D作DE⊥AB于点E，∵∠C＝90°，∴DC⊥AC于点C，∵AD平分∠BAC，∴DE＝CD（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵CD＝1，∴DE＝1，∵AB＝4，∴S△ABD＝2．【解答】解：（1）如图，AD即为所求．（2）过D作DE⊥AB于点E，∵∠C＝90°，∴DC⊥AC于点C．∵AD平分∠BAC，∴DE＝CD（角平分线上的点到角两边的距离相等）．∵CD＝1，∴DE＝1．∵AB＝3，∴S△ABD＝2．故答案为：AC；DE；1；2．23．（6分）已知：如图，CB＝DE，∠B＝∠E求证：AC＝AD．【解答】证明：∵∠BAE＝∠CAD∴∠BAE﹣∠CAE＝∠CAD﹣∠CAE∴∠BAC＝∠EAD，在△ABC与△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS），∴AC＝AD．24．（6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AD于点F，交AC于点E．求证：△AEF为等腰三角形．【解答】证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∴∠BAD＝∠C，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBE，∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，∴∠AFE＝∠AEF，∴AF＝AE，即△AEF为等腰三角形．25．（6分）阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．利用分组分解法解决下面的问题：（1）分解因式：x2﹣2xy+y2﹣4；（2）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．【解答】解：（1）x2﹣2xy+y7﹣4＝（x﹣y）2﹣5＝（x﹣y+2）（x﹣y﹣2）（2）∵a3﹣ab﹣ac+bc＝0，∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝2，∴a﹣b＝0或a﹣c＝0或a﹣b＝6且a﹣c＝0，∴a＝b或a＝c或a＝b＝c，∴△ABC是等腰三角形或等边三角形．26．（7分）已知：如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD＝AB，点E为BA延长线上一点且AE＝AC，连结AF．（1）求证：∠FCA＝∠AEF；（2）作A点关于BC的对称点M，分别连接AM，FM．①依题意补全图形；②用等式表示EF，CF，AM之间的数量关系并证明．【解答】（1）证明：∵∠CAB＝90°，∴∠CAB＝∠EAD＝90°，∵AD＝AB，AE＝AC，∴△CAB≌△EAD（SAS），∴∠BCA＝∠AED，即∠FCA＝∠AEF；（2）解：①依题意补全图形即可；②EF＝CF+AM，理由如下：∵∠BCA＝∠AED，∠CDE＝∠EDA，∴∠CED＝∠ADE＝90°，即EF⊥BC，∵点A、点M关于BC对称，∴AM⊥BC，∠AFB＝∠MFB，∴AM∥EF，在EF上截取点N，使NE＝CF，∵∠C＝∠E，AE＝AC，∴△CAF≌△EAN（SAS），∴AF＝AN，∠AFC＝∠ANE，∴∠AFN＝∠ANF＝∠AFB，∠FAN＝∠DAE＝90°，∴∠AFN＝∠ANF＝∠AFB＝∠MFB，∴∠MFA