辽宁省沈阳市协作体2024-2025学年九年级上学期期中数学试题（含答案）

2024—2025学年度上学期期中协作体学情调研九年级数学学科（本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟）考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效第一部分选择题（共30分）一、选择题：（本题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．下列方程中属于一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．已知一元二次方程的一个根为m，则的值是（）A．2020 B．2021 C．2023 D．20253．在中，，，，那么的值为（）A． B．2 C． D．4．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量其中三个角是否都为直角 B．测量对角线是否相等C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否相互平分5．一元二次方程的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根6．如图所示的两个四边形相似，则下列结论错误的是（）第6题图A． B． C． D．7．如图，和是以点P为位似中心的位似图形，若，的周长为6，则的周长是（）第7题图A．8 B．12 C．18 D．248．如图，在中，，，，则BC的长是（）第8题图A． B．9 C． D．9．凸透镜成像的原理如图所示，，若缩小的实像是物体的，则物体到焦点的距离与焦点到凸透镜的中心线GH的距离之比为（焦点和关于点O对称）（）第9题图A． B． C． D．10．如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一直线上，且，，连接BF，分别交AC，DC，DE与点P，Q，R．有下列结论①；②；③；④EF平分∠BFG。其中正确的有（）第10题图A．1个 B．2个 C．3个 D．4个第二部分非选择题（共90分）二、填空题：（本题共5小题，每题3分，共15分）11．若，且，则______．12．如图，某校为生物兴趣小组规划一块长15m，宽12m的矩形试验田、现需在试验田中修建同样宽的两条互相垂直的小路（两条小路各与矩形的一条边平行），根据学校规划，小路分成的四块小试验田的总面积为．求小路的宽为多少米?若设小路的宽为xm，根据题意所列的方程是______．第12题图13．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内、若OP与x轴负半轴的夹角的正切值为，则m的值为______．第13题图14．如图，正方形ABCD的边长为2，点F在线段CE上，且四边形BFED为菱形，则CF的长为______．第14题图15．如图，矩形ABCD中，，，的直角顶点P在BA的延长线上且，E在边BC上，，EF与边AD交于点M，若，则线段FD的长为______．第15题图三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16．解方程（每题5分，共10分）（1）； （2）．17．（本小题8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．（1）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的；（2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为2:1；（3）判断和是否是位似图形（直接写结果），若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标．18．（本小题8分）如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点A、B、C处均可旋转180°，CD处可摆放平板或者手机，其中，，．研究表明，当手机（CD）与桌面的夹角为55°时，更符合人体工学设计，出是多数人操作手机最舒适的角度．（1）如图2，当AB和桌面垂直且时，可将BC绕点B旋转一定的角度，就能达到最舒适的观影状态，求此时∠CBA的度数；（2）在（1）的条件下求点D到AB的距离（结果保留整数），（参考数据，，，．）19．（本小题8分）如图，在中，于点E，延长BC至点F，使，连接DF，AF与DE交于点O．（1）求证：四边形AEFD为矩形；（2）若，，，求DF的长．第19题图20．（本小题8分）某商场将进货价为30元的水杯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种水杯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．（1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；（2）从4月份起，在3月份销售量的基础上、商场决定降价促销，经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种水杯的售价每降价0.5元、其销售量增加8个．若商场要想使4月份销售这种水杯获利4864元，则这种水杯售价应定为多少元?21．（本小题9分）一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱AB的高度，设计了以下方案：在点C处放一面平面镜，从点C处后退到1m点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动4m放在F处（即），从点F处向后退1.5m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度ED，GH均为1.5m，已知点B，C，D、F，H在同一水平线上，且，，，求灯柱AB的高度．（平面镜的大小忽略不计）第21题图22．（本小题12分）问题背景数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．探究发现，如图1，在中，，（1）操作发现：将折叠，使BC边落在BA边上，点C的对应点是点E，折痕交AC于点D，连接DE，DB，则______°，设，，那么______（用含x的式子表示）；（2）进一步探究发现：这个比值被称为黄金比，在（1）的条件下试证明；拓展应用当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形，例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形ABCD中，，．求这个菱形较长对角线的长．23．（本小题12分）（1）问题探究：如图1，在中，，，于D，P，Q分别是线段AB，AC上的动点，且，求PQ的最小值．23题图123题图223题图3小慧的做法：如图2，过点P作交AD所在直线于点H，可证，四边形CQPH是平行四边形，则，求PQ的最小值即为求CH的最小值．小明的做法：如图3，过点P作于点M，于点J，于点N，于点G，可证，，可得为定长，在中，求PQ的最小值．王老师总结：两位同学都是利用图形的特点作出恰当的辅助线构造出定形或找到定关系，使离散的线段聚合或产生关联，进而使问题发生转化并得到解决．请你选择一位同学的做法，写出完整的解答过程；（2）类比练习：如图4，菱形ABCD中，，对角线AC和BD交于点O，，R是BC边上（不与点B和点C重合）的一个动点，连接RO并延长交AD于点P，M为AC上一点，Q为AB上一点且，，连接PQ，当时，求出BR的长；23题图4（3）拓展提升：如图5，在中，于D，，，，P，Q分别是线段AB，CB上的动点，且，M为BQ的中点，N为PC的中点，连接MN并延长，交AC边于点G，，请直接写出线段CM的长，23题图5

2024-2025学年度上学期期中协作体学情调研九年级数学学科评分标准一、选择题：（本题共10小题，每题3分，共30分）1．A2．B3．C4．A5．C6．B7．B8．D9．B10．C二、填空题：（本题共5小题，每题3分，共15分）11．612．13．－614．15．三、解答题（本题共8小题，共75分）16．（1）解：，，，，．（2）解：，．17．（1）图略，即为所求．（2）如图2，即为所求．（3）和是位似图形：理由如下：如图3，点M即为位似中心，．18．解：（1）过点D作于E，由题意得：，，∵，∴，∴，∴此时∠CBA的度数为125°：（2）过点C作于F，过点B作于G．∴，由题意得：，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，∴（mm）．在中，，∴（mm），∴（mm），答：点D到AB的距离约为107mm．19．（1）证明：∵，∴，即，在中，，，∴，∴四边形AEFD是平行四边形，又∵，∴，∴□AEFD是矩形；（2）∵四边形AEFD是矩形，∴，，∵，∴，在中，，∴是直角三角形，，∴，，又∵，∴，∴．20．解：（1）该商场2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x，由题意，，解得：，（<0，舍去），答：销售量月平均增长率为20%；（2）设商场决定降价a元，由题意，，解得：（<0，舍去），，，，符合题意，答：这种水杯售价应定价38元．21．解：由题意，，，，又∵，∴，∴，即，，设BC的长为2xm，则AB的长为3xm，由题意，，，，又∵，，∴，即，解得：，∴，答：灯柱AB的高度为12m．22．（1）72，：（2）证明：由（1）知：，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴；拓展应用如图，在AC上截取，连接DE，∵四边形ABCD是菱形，∴，，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．23．解：（1）小慧的做法：如图2，过点P作交AD所在直线于点H，∴∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴四边形CQPH是平行四边形，∴，∴当时，CH最小值为6，∴PQ最小值