2024-2025学年人教版高中数学复习讲义：拓展三圆锥曲线的方程（弦长问题）原卷版

第09讲圆锥曲线的方程（弦长问题）

一、知识点归纳

知识点一：弦长公式

|=-%）2+（八一%）2

\AB1=J（l+k2）（再―％）2

=Jl+k|xj—X-,|

=J（1+&）［（石+々）2-（最常用公式，使用频率最高）

=+。2）2-4yly2

知识点二：基本不等式

a+b>14^b（当且仅当a=b时等号成立）

二、题型精讲

题型01求椭圆的弦长

【典例1】（2023春•四川成都•高二校联考期末）已知椭圆E：的离心率为当且其

中一个焦点与抛物线N=8x的焦点重合.

⑴求椭圆E的方程；

（2）若直线/：y="+2与椭圆E交于不同的A,8两点，且满足西•丽=-1（。为坐标原点），求弦长|钿|

的值.

【典例2】(2023春・广西•高二校联考阶段练习)在直角坐标系xOy中己知人(-5,0),3(5,0),尸是平面内一

动点，且直线PA和直线的斜率之积为记点P的运动轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

(2)若直线/与曲线C相交于N两点.且线段MN的中点为。，求|MN|.

【变式11(2023春•黑龙江哈尔滨•高二哈尔滨三中校考阶段练习)已知平面内动点/(羽y)与定点歹(L0)的

距离和M到定直线x=4的距离的比是常数3.

⑴求动点/的轨迹方程；

⑵设动点加的轨迹为曲线C,过定点尸(1,0)的直线/和曲线C交于不同两点A、3满足衣=2而，求线段

A3的长.

【变式2](2023秋•新疆巴音郭楞•高二校联考期末)已知椭圆C的焦点为B(0,2)和尸2(0,2),长

轴长为2际，设直线y=x+2交椭圆C于A,2两点.

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)求弦AB的中点坐标及|AB|.

题型02求椭圆的弦长的最值（范围）

【典例1】（2023秋•浙江宁波•高二校联考期末）过点（0,2）的直线/与椭圆C:斗+丁=1交于P,Q两点，则|P（2|

O

的最大值是.

22

【典例2】（2023春•福建莆田•高二莆田第十中学校考阶段练习）已知椭圆C:「+2的离心率

ab

为乎，C上的点到其焦点的最大距离为亚+2.

⑴求C的方程；

4

（2）若圆尤2+>2=耳的切线/与c交于点A,B,求I4BI的最大值.

22

【典例3】（2023•全国•高三专题练习）己知椭圆C言+}=l（a>b>0）的离心率为左顶点为人（-2,0）,

直线/与椭圆C交于P,Q两点.

（1）求椭圆的C的标准方程；

⑵若直线AP,4。的斜率分别为左，k2,且尢,&=-\,求|PQ|的最小值.

22

【典例4】(2023秋•湖南岳阳,高二湖南省汨罗市第一中学校联考期末)设椭圆氏]+==1(。>6>0)的

左右焦点片，F?分别是双曲线!一y=1的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为坐.

(1)求椭圆E的方程；

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点AB,且况，砺？若存在，

写出该圆的方程，并求|钻|的取值范围，若不存在，说明理由.

【变式1】(2023•全国•高三专题练习)已知椭圆C:/+，=l(a>b>0)的离心率为白，它的四个顶点构

成的四边形的面积为4.

⑴求椭圆C的方程；

(2)设过点,0)的直线/与圆尤2+y2=i相切且与椭圆。交于人、8两点，求的最大值.

22

【变式2](2023春•福建泉州•高二福建省永春第一中学校考阶段练习)已知椭圆C：「+2=l(a>6>0)

ab

的短轴长为4,离心率为逝.点尸为圆V：尤2+丁=16上任意一点，O为坐标原点.

3

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)记线段。尸与椭圆C交点为Q,求|尸。|的取值范围.

22

【变式3］（2023•全国•高三专题练习）已知椭圆£：二+当=1（。＞6＞。）的两个焦点片，B，动点P在椭

ab

圆上，且使得/月尸鸟=90。的点P恰有两个，动点尸到焦点耳的距离的最大值为2+忘.

⑴求椭圆G的方程；

（2）如图，以椭圆C1的长轴为直径作圆C2，过直线》=_20上的动点T作圆C2的两条切线，设切点分别为A,

B,若直线AB与椭圆G交于不同的两点C,D,求弦ICOI长的取值范围.

题型03根据椭圆的弦长求参数

【典例1】（2023春•上海静安•高二统考期末）在平面直角坐标系xOy中，设A（-l,0）、以1,0）,动点P满足:

k、％=m,其中加是非零常数，％、均分别为直线尸4PB的斜率.

⑴求动点P的轨迹「的方程，并讨论「的形状与加值的关系；

（2）当机=T时，直线产质+入交曲线1于C、。两点，。为坐标原点.若线段CO的长度|C"=2,△（%©的

面积S=l,求直线CO的方程.

【典例2】(2023春•四川成都・高二四川省成都市新都一中校联考期末)已知在平面直角坐标系xOy中，椭

圆C：5+/=l(a>6>0)的右顶点为A,上顶点为8,AAOB的面积为0,离心率e=与.

⑴求椭圆C的方程；

(2)若斜率为左的直线/与圆尤2+y2=]相切，且/与椭圆C相交于M、N两点，若弦长|跖V|的取值范围为

|,2行,求斜率k的取值范围.

【典例3】(2023春•四川成都•高二四川省成都市新都一中校联考期末)已知在平面直角坐标系xOy中，椭

圆C:/+，=l(a>6>0)的右顶点为A,上顶点为3,AAOB的面积为0,离心率e=，.

⑴求椭圆C的方程；

(2)若斜率为左的直线/与圆V+y2=i相切，且/与椭圆C相交于N两点，若弦长|MN|的取值范围为

:20,求两.两的取值范围.

22

【变式1](2023春•上海浦东新•高二统考期末)椭圆C上+匕=1.

42

⑴求椭圆C的离心率；

⑵若月、尸2分别是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，且短质=1,求点尸的坐标;

⑶如果/：、=尤+a被椭圆C截得的弦长拽，求该直线的方程.

3

【变式2】（2023•黑龙江齐齐哈尔・齐齐哈尔市实验中学校考三模）在平面直角坐标系xOy中，己知椭圆

222

'+匕=l（a>板）与椭圆C?：/+匕=1,且椭圆C2过椭圆q的焦点.过点e（0,后））且不与坐标轴

a22

平行或重合的直线/与椭圆G交于A,8两点，与椭圆a交于c,。两点.

⑴求椭圆G的标准方程；

⑵若存在直线/,使得|AB|=6|CD|,求实数/的取值范围.

【变式3］（2023春•四川内江•高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）椭圆E的方程为

fv21

2+2=1（〃>6>0）,短轴长为2,若斜率为-1的直线与椭圆E交于两点，且线段A8的中点为（与）.

⑴求椭圆E的方程；

（2）若直线/：、=履+m（左>0）与圆相切，且与椭圆E交于N两点，且|MV|=若，求直线/

的方程.

题型04求双曲线的弦长

【典例1】（2023•新疆喀什,校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1,离心率为2,直线/经

过C的右焦点，且与C相交于42两点.

（1）求C的标准方程；

（2）若直线/与该双曲线的渐近线垂直，求A8的长度.

【典例2］（2023春・甘肃金昌・高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线C的渐近线为y=±后，

且过点M（l,应）.

⑴求双曲线C的方程；

（2）若直线y=6+l与双曲线C相交于A,8两点,。为坐标原点，若0A与。8垂直,求a的值以及弦长|

22

【变式1］（2023秋•广东湛江,高二统考期末）设第一象限的点〃（汽,几）是双曲线C:3=1色＞0）上

的一点，已知C的一条渐近线的方程是y=^x.

（1）求。的值，并证明：*无。一%＜且；

2%

（2）若直线/：y=尤-3和曲线c相交于E,尸两点，求但同.

【变式2］（2023・江苏•高二专题练习）双曲线的焦点耳,工的坐标分别为（-5,0）和（5,0）,离心率为e=j,

求：

⑴双曲线的方程及其渐近线方程；

⑵已知直线/与该双曲线交于交于两点，且A,8中点尸（5,1）,求直线AB的弦长.

题型05根据双曲线的弦长求参数

【典例1】（2023春•上海浦东新•高二上海南汇中学校考期中）已知点月，尸2依次为双曲线

22

土方=1（“>0,6>0）的左、右焦点，且寓局=6,令巩0力）.

⑴设此双曲线经过第一、三象限的渐近线为4,若直线工8与直线《垂直，求双曲线的离心率；

（2）若〃=有，以此双曲线的焦点为顶点，以此双曲线的顶点为焦点得到椭圆C,法向量为为=（4,3）的直线4

与椭圆C交于两点N,且|"N|=4,求直线4的一般式方程.

22

【典例2】（2023秋・重庆渝中•高二重庆巴蜀中学校考期末）已知双曲线C:二-与=1（°>0,。>0）的渐近线方

ab

程是2尤土y=0,右顶点是A（“,0）.

⑴求双曲线C的离心率；

⑵过点A倾斜角为?的直线/与双曲线的另一交点是8,若|AB|=8应，求双曲线C的方程.

【变式1］（2023秋•浙江宁波,高二期末）已知焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为〉=±2彳,

⑴求双曲线C的离心率e

（2）若直线y=x+2与C相交于不同的两点A,B,且|AB|=2年，求双曲线C的方程.

【变式2］（2023秋•安徽合肥•高三校考期末）双曲线C的中心在原点，右焦点为尸,0,渐近线方程

为y=±>/3x.

⑴求双曲线C的方程；

⑵过点"(0,1)且斜率为的直线/,与双曲线C交于不同的A,8两点，若求直线/的

方程.

22

【变式3](2023春•上海浦东新,高二上海市洋泾中学校考阶段练习)已知双曲线C?一斗=1(。>01>0)

ab

的离心率为百，实轴长为2.

⑴求双曲线的标准方程；

(2)若直线y=被双曲线C截得的弦长为40,求m的值.

题型06求抛物线焦点弦

【典例1】(2023春•甘肃武威・高二统考开学考试)已知抛物线y2=2px(p>0)过点(1,2).

⑴求抛物线的标准方程；

⑵过抛物线焦点P作直线/与抛物线交于两点，已知线段8的中点以横坐标为4,求弦。的长度.

【典例2】(2023•全国,高三专题练习)已知抛物线E：无2=2处(0>0)的焦点为b(0,2).

⑴求?；

（2）斜率为2的直线过点尸，且与抛物线E交于A8两点，求线段A3的长.

【典例3】（2023春•新疆塔城,高二统考开学考试）已知抛物线C：V=2px过点A（-2,T）.

⑴求抛物线C的方程，并求其准线方程；

（2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于4B两点，求线段A8的长度.

【变式1］（2023春•四川雅安・高二雅安中学校考阶段练习）已知抛物线V=2px的准线的方程为x=-l,

过点（1,0）作倾斜角为?的直线1交该抛物线于两点3仇,必）.求：

（1）。的值；

（2）弦长

【变式2］（2023秋•湖南怀化•高二统考期末）己知抛物线丁=2力（0>0）的准线方程是x=T1是抛物线

焦点.

⑴求抛物线焦点坐标及其抛物线方程：

⑵已知直线/过点/，斜率为2,且与抛物线相交于A,3两点，求

【变式3］（2023秋•四川宜宾•高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）已知抛物线C的顶点在原点,

焦点坐标为尸（2,0）.

⑴求C的标准方程；

（2）若直线y=2x-4与C交于A、B两点,求线段AB的长.

题型07求抛物线中非焦点弦

22

【典例1】（2023•四川成都•成都七中校考模拟预测）已知椭圆G：2+/=1>6>0）与抛物线C2：V=4办

的图象在第一象限交于点P.若椭圆的右顶点为3,且「用=:。.

⑴求椭圆G的离心率.

（2）若椭圆。的焦距长为2,直线/过点B.设/与抛物线C?相交于不同的两点M、N,且AOMN的面积为24,

求线段|加用的长度.

【典例2】（2023•广西•统考模拟预测）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点/到准线的距离为2.

⑵若P为直线/：x=-2上的一动点，过P作抛物线C的切线以尸6A3为切点，直线A2与/交于点过

/作的垂线交/于点N,当|肱V|最小时.求|刈|.

【变式1］（2023春•内蒙古兴安盟•高二乌兰浩特市第四中学校考阶段练习）已知抛物线C的顶点在原点,

22

对称轴是坐标轴，它的准线过双曲线的左焦点.

⑴求抛物线C的方程;

(2)若过点P(3,l)且斜率为1的直线与抛物线C交于M,N两点，求|MN|.

【变式2](2023秋•湖北•高二统考期末)已知抛物线C：V=2px(p>0)上第一象限的一点P(l,y)到其焦

点的距离为2.

⑴求