浙教版七年级数学上册同步讲义：图形的位似（学生版+解析）

第24课图形的位似

号目标导航

学习目标

1.了解位似图形的概念.

2.了解位似图形的性质和以坐标原点为位似中心的图形位似的性质.

3.能利用位似将一个图形放大或缩小.

噩知识精讲

知识点01位似图形的概念

如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位

似图形，这个点叫做位似中心.这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。

知识点02位似图形的性质

1.性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.

2.当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为(x,y),位似图形与原图形的位似比为左，则位

似图形上的对应点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)

能力拓展

考点01位似图形的概念

【典例1】如图四个图中，△ABC均与AA'B'C相似，且对应点交于一点，则△ABC与△4'B'C成

位似图形的有()

c

，c夕，c577

[-二F4津

BC'?CBB

图1图2图3图4

A.1个B.2个C.3个D.4个

【即学即练1】下列图形中，不是位似图形的是（）

AE

八、、

\

A.ABB.C.\D.\

考点02位似图形的性质

【典例2】如图，△ABC与是位似图形，点。是位似中心,若。4：00=1：3,且△A5C的面积为

2,则△DEF的面积为（）

A.6B.9C.18D.27

【即学即练2】如图，四边形ABC。与四边形E打汨位似,其位似中心为点0,且口生=3,则四■=（）

EA4AD

C

A5D5「4n9

95

fii分层提分

题组A基础过关练

1.下列图形中位似中心在图形上的是（

D.

2.如图，△ABC外任取一点0,连接AO、BO、CO,并取它们的中点。、E、F,得△QEE.下列说法正确

的个数是()

①△ABC与ADEF是位似图形；②△ABC与ADEF是相似图形；

③△ABC与周长之比为2：1；④△A8C与△OEF的面积之比为9：1.

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，在直角坐标系中，△ABC与△ABC是位似图形，则位似中心为()

A.点MB.点NC.点OD.点P

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，△A3C与△OOE是位似图形,则它们的位似中心的坐标是(

5.如图，在直角坐标系中，AABC的各顶点坐标为A(-1,1),B(2,3),C(0,3).现以坐标原点

为位似中心，作AA'B'C,使AA'B'C与△ABC的位似比为2.则点A的对应点A'的坐标

6.如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△&'B'C是以点O为位似中心的位似图

形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.

(1)画出位似中心点。；

(2)直接写出△ABC与△?!'B'C的位似比；

(3)以位似中心。为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出B'C'关于

点。中心对称的△&〃B"C",并直接写出△?!"B"C"各顶点的坐标.

题组B能力提升练

8.在平面直角坐标系中，已知点E(-6,2),F(-2,-2),以原点。为位似中心，位似比为1,把4

2

ER9缩小，则点尸的对应点尸的坐标是()

A.(-1,-1)B.(1,1)C.(-4,-4)或(4,4)D.(-1,-1)或(1,1)

9.如图，已知△ABC,任取一点。，连结A。、BO、CO,并取它们的中点。、E、F,得ADEF,则下列说

法错误的是()

A.△ABC与△£)£1厂是位似图形B./XABC与△。所是相似图形

C.ZXABC与的面积之比为4：1D.ZkABC与的周长之比为4：1

10.如图，在平面直角坐标系中有一个△A2。，其中点A,B的坐标分别为(-4,2),(-2,4).

(1)以坐标原点。为位似中心，作出△AOB的一个位似△4081,并把△A3。的边长缩小到原来的

2

(2)点C(-2.4,3.6)是边A8上一点，根据你所画图形写出它对应点的坐标.

11.如图，在9X9网格中，每个小方格的边长看作单位1,每个小方格的顶点叫作格点，△ABC的顶点都在

格点上.

(1)请在网格中画出AABC的一个位似图形△481C,使两个图形以点C为位似中心，且所画图形与△

ABC的相似比为2：1；

(2)将△ALBIC绕着点C顺时针旋转90°得△A2B2C,画出图形，并在如图所示的坐标系中分别写出△

12.如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图.

(1)在图1中以。为位似中心，作△A2C的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的1.

2

(2)在图2中画口A8EF,使得它与△ABC的面积相等，且E,尸在格点上.

题组C培优拔尖练

13.在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

14.如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图.

（1）在图1中以点8为位似中心，作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的

2

（2）在图2中画格点线段跖（端点在格点上），把AABC的面积分为1：2两部分，其中点E,E均落

在△ABC的边上且不与点A,B,C重合.

图1图2

15.如图，△A8C中，A,8两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1,0）.以点C为位似中心，在x

轴的下方作△ABC的位似图形B'C,并把△ABC放大到原来的2倍.设点8的对应点3'的横坐

标是a,则点B的横坐标是.

16.如图，在平面直角坐标系中，以尸（0,-1）为位似中心，在y轴右侧作△A8P放大2倍后的位似图形

△QCP,若点8的坐标为（-2,-4）,则点B的对应点C的坐标为（）

A.（4,5）B.（4,6）C.（2,4）D.（2,6）

17.如图，已知平行四边形A8CZ）的面积为24,以8为位似中心，作平行四边形ABCD的位似图形平行四边

形E8尸G,位似图形与原图形的位似比为2,连接AG、DG.则△ADG的面积为4.

3

18.在如图所示的直角坐标系中A(-2,3),B(-5,1).

(1)作出图形ABCD关于x轴对称的图形AIBICLDI；

(2)求出图形481cl。的面积；

(3)以图中以-1,1)为位似中心,将图形ABC。放大2倍,并在点E的右侧作出放大后的图形A2B2C2D2,

并写出点C2的坐标.

第24课图形的位似

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学习目标

1.了解位似图形的概念.

2.了解位似图形的性质和以坐标原点为位似中心的图形位似的性质.

3.能利用位似将一个图形放大或缩小.

即:知识精讲

知识点01位似图形的概念

如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的

两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似

比。

知识点02位似图形的性质

1.性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.

2.当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（x,y）,位似图形与原图形的位

似比为左，则位似图形上的对应点的坐标为（4％或（-左

能力拓展

考点01~~位似图形的概念

【典例1】如图四个图中，△ABC均与B'C相似，且对应点交于一点，则△ABC与

△A'B'C成位似图形的有（）

【思路点拨】根据位似图形的概念判断即可.

【解析】解：图1、图3、图4是位似图形，

图2的对应边不平行，不是位似图形，

故选：C.

【点睛】本题考查的是位似图形的概念，两个图形是相似形、对应点的连线都经过同一

点、对应边平行，则两个图形是位似图形.

【即学即练1】下列图形中，不是位似图形的是（）

下列图形中，不是位似图形的是（）

点拨】根据位似图形的概念判断即可.

【解析】解：A、ZiACB与△尸CE是位似图形，不符合题意；

B、△ABC与是位似图形，不符合题意；

C、ZXABC与△EDE是位似图形，不符合题意；

£）、△ACB与△ECO不是位似图形，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点

的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形.

考点02位似图形的性质

【典例2】如图，△ABC与△£>£1/是位似图形，点。是位似中心，若。4：0£>=1：3,且

△ABC的面积为2,则△DEF的面积为（）

A.6B.9C.18D.27

【思路点拨】根据位似图形的概念得到AB//DE,证明△OABSAODE,根据相似三角

形的性质得到空=空=工，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.

DE0D3

【解析】解：：AABC与ADEF是位似图形，

/./\ABC^/\DEF,AB//DE,

:.△OABS^ODE,

•••A——B_OA_1,

DE0D3

•SAABC_（1、2_1

^ADEF39

「△ABC的面积为2,

.♦.△DE尸的面积为18,

故选：C.

【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似

比的平方是解题的关键.

【即学即练2】如图，四边形ABC。与四边形位似，其位似中心为点0,且堕=9,

EA4

则理■=()

A.2B.$C.AD..5.

9455

【思路点拨】根据位似图形的概念得到EH//AD,证明△OEHS^OA。，根据相似三角

形的性质计算即可.

【解析】解：：四边形ABCD与四边形EFGH位似，

.,.EH//AD,

：.AOEH^/\OAD,

•••EH一_O—E_5,

AD0A9

故选：A.

【点睛】本题考查的是位似变换、掌握位似图形是相似形是解题的关键.

M分层提分

题组A基础过关练

1.下列图形中位似中心在图形上的是(

【思路点拨】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心位置即可.

【解析】解：4,位似中点在图形内部，不合题意；

B、口山，位似中点在图形上，符合题意；

C、，位似中点在图形外部，不合题意；

。、修I'1M7,位似中点在图形外部，不合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键.

2.如图，△ABC外任取一点O,连接AO、BO、CO,并取它们的中点£>、E、F,得ADEF.下

列说法正确的个数是（）

①AABC与LDEF是位似图形；②△ABC与△QEF是相似图形；

③△ABC与△£>£1月周长之比为2：1；④△ABC与△。斯的面积之比为9：1.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【思路点拨】根据位似的定义，以及相似的性质：周长的比等于相似比，面积的比等于

相似比的平方，即可作出判断.

【解析】解：根据位似的定义可得：△ABC与是位似图形，也是相似图形，位似

比是2：1,则周长的比是2：1,因而面积的比是4：1,故①②③正确，④错误.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了位似的定义，位似是特殊的相似，以及相似三角形的性质.

3.如图，在直角坐标系中，△ABC与△A8C是位似图形，则位似中心为（）

A.点MB.点NC.点。D.点尸

【思路点拨】连接82,，交A4'于点尸，根据位似中心的概念解答即可.

【解析】解：连接B8',交A4'于点尸，

则点尸为位似中心，

故选：D.

【点睛】本题考查的是位似变换，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一

点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△OOE是位似图形，则它们的位似中心的坐

【思路点拨】连接。8、0A并延长交于点P,根据位似中心的概念得到点P为位似中心,

根据平面直角坐标系解答即可.

【解析】解：连接08、OA并延长交于点尸，

则点尸为位似中心，

由平面直角坐标系可知，点P的坐标为(4,2),

【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的对应顶点的连线相交于一点是解题的

关键.

5.如图，在直角坐标系中，ZVIBC的各顶点坐标为A(-1,1),B(2,3),C(0,3).现

以坐标原点为位似中心，作△?!'B'C,使aA'B'C与△ABC的位似比为2.则

3

点A的对应点A'的坐标为(-2,2)或(Z,-—).

3—33—3-

【思路点拨】位似是特殊的相似，若两个图形aABC和△?!'B'C以原点为位似中心,

相似比是上△A2C上一点的坐标是(x,y),则在△?1'B'C中，它的对应点的坐标

是(kx,ky)或(-fee,-ky).

【解析】解：；在aA'B'C中，它的对应点的坐标是(kx,Q0或(-履，-外)

；.A的坐标为：(-2,工)或(上，--).

3333

故答案为：(-2,2)或(2,-2).

3333

【点睛】此题主要考查了位似变换，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的

两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键.

6.如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，AABC与故B'C是以点O为位似

中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.

(1)画出位似中心点0；

(2)直接写出△ABC与B'C的位似比；

(3)以位似中心。为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△

A'B'C关于点。中心对称的△&〃2〃C",并直接写出△4〃2"C"各顶点的坐标.

(3),连接3'。并延长，使。8"=0B',延长A'。并延长，使0A"=04',C

'0并延长，使OC"=0C,连接A"B",A"C",B"C",则△?!"B"C"为所

求，从网格中即可得出△&〃B"C"各顶点的坐标.

【解析】解：(1)图中点。为所求；

(2)△ABC与AA'B'C的位似比等于2：1；

(3)AA"B"C"为所求；

A"(6,0)；B"(3,-2)；C"(4,-4).

【点睛】此题考查了作图-位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②

分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位

似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.

7.画出线段A3的位似图形.要求：以。为位似中心，各边缩小为原来的」.

2

【思路点拨】连接。4,作出的中点A',同法得到夕，A'B'就是所求的位似图

形.

【解析】解：

A'B'就是所求的线段.

【点睛】考查位似图形的画法；用到的知识点为：三角形的中位线等于第三边的一半.

题组B能力提升练

8.在平面直角坐标系中，已知点£(-6,2),F(-2,-2),以原点。为位似中心，位

似比为」，把缩小，则点尸的对应点尸的坐标是()

2

A.(-1,-1)B.(1,1)

C.(-4,-4)或(4,4)D.(-1,-1)或(1,1)

【思路点拨】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为左,

那么位似图形对应点的坐标的比等于人或-%进行计算即可.

【解析】解：.••点/(-2,-2),以。为位似中心，相似比为1,

2

二点尸的对应点P的坐标为：(-2XA,-2X1)^(-2X(-1),-2X(-1)),

2222

即(-1,-1)或(1,1),

故选：D.

【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似

中心，相似比为上那么位似图形对应点的坐标的比等于左或-左.

9.如图，已知△ABC,任取一点0,连结A。、BO、CO,并取它们的中点D、E、F,得4

DEF,则下列说法错误的是()

A.△ABC与△。斯是位似图形B.△ABC与△OEF是相似图形

C./XABC与△£)£尸的面积之比为4：1D./XABC与的周长之比为4：1

【思路点拨】根据位似图形的性质，得出△ABC与△。瓦'是位似图形进而根据位似图形

一定是相似图形得出；与△。所是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根

据面积比等于相似比的平方，即可得出答案.

【解析】解：根据位似性质得出：A.△ABC与是位似图形，则A选项正确，不

合题意；

B.△ABC与△。所是相似图形，则2选项正确，不合题意；

:将aABC的三边缩小的原来的1,

2

.二△ABC与△£>£1厂的周长比为2：1,故。选项错误，符合题意；

根据面积比等于相似比的平方，

...△ABC与△DEF的面积比为4：1,则C选项正确，不合题意.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键.

10.如图，在平面直角坐标系中有一个△ABO,其中点A,8的坐标分别为(-4,2),(-

2,4).

(1)以坐标原点0为位似中心，作出△AOB的一个位似△4081,并把△AB。的边长

缩小到原来的」.

2

(2)点C(-2.4,3.6)是边上一点，根据你所画图形写出它对应点的坐标.

【思路点拨】(1)根据位似图形的性质，分在同侧和异侧两种情形;

(2)利用位似图形的性质即可解答.

【解析】解(1)如图所示，△4081即为所求；

【点睛】本题主要考查了作图-位似变换，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键，注

意两种情形.

11.如图，在9X9网格中，每个小方格的边长看作单位1,每个小方格的顶点叫作格点，△

ABC的顶点都在格点上.

(1)请在网格中画出△ABC的一个位似图形△A181C,使两个图形以点C为位似中心，

且所画图形与△ABC的相似比为2：1；

(2)将△4B1C绕着点C顺时针旋转90°得△A2B2C,画出图形，并在如图所示的坐标

系中分别写出282c三个顶点的坐标.

【思路点拨】(1)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案;

(2)直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案.

【解析】解：(1)如图所示；

(2)如图所示：282c的三个顶点的坐标分别为：A2(7,-1),劭(7,5),C(3,

【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置解题关键.

12.如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图.

(1)在图1中以。为位似中心，作AABC的位似图形，并把AABC的边长缩小到原来

的工

2

(2)在图2中画口ABEF,使得它与△ABC的面积相等，且E,尸在格点上.

【思路点拨】(1)连接。4、OB、0C,分别取它们的中点即可；

(2)取的中点£,把A8平移使2点落在E点，则A点的对应点为尸点.

【解析】解：(1)如图1,XNB'C为所作；

(2)如图2,平行四边形ABE尸为所作.

【点睛】本题考查了作图-位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代

表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连

接上述各点，得到放大或缩小的图形.也考查了平行四边形的性质

题组C培优拔尖练

13.在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的个数为（）

@O0△△

A.1个B.2个C.3个D.4个

【思路点拨】根据位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连

线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似

中心.

【解析】解：如图，根据位似图形的定义可知第1、2、4个图形是位似图形，而第3个

图形对应点的连线不能交于一点，故位似图形有3个.

故选：C.

【点睛】本题考查了位似图形的定义，解题的关键是牢记位似图形的性质：位似图形一

定相似，对应点的连线交于一点，对应边互相平行.

14.如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图.

（1）在图1中以点B为位似中心，作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原

来的L

2

（2）在图2中画格点线段跖（端点在格点上），把△ABC的面积分为1：2两部分，其

中点E,尸均落在AABC的边上且不与点A,B,C重合.

图1图2

【思路点拨】（1）分别取AB、BC的中点即可;

（2）根据△ABC的面积为_1X6X4=12,则线段跖将△ABC面积分成4和8两部分,

2

构造面积为4的三角形即可.

【解析】解：（1）如图所示：

图1

（2）;△ABC的面积为1X6X4=12,

2

线段EF将AABC面积分成4和8两部分,

如图所示：

【点睛】本题主要了作图-位似变换：先确定位似中心，再根据位似比，分别确定关键

点的对应点，即可得到放大或缩小的图形，也考查了图形面积的计算.

15.如图，AABC中，A,8两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1,0）.以点C为

位似中心，在x轴的下方作△A8C的位似图形AA'B'C,并把△ABC放大到原来的2

倍.设点2的对应点B的横坐标是。，则点B的横坐标是-2（a+3）

一2

【思路点拨】设点8的横坐标为无，然后表示出BC、B'C的横坐标的距离，再根据位

似比列式计算即可得解.

【解析】解：设点8的横坐标为x,

则8、C间的横坐标的长度为-1-尤，B'、C间的横坐