四边形-2024年中考数学考试易错题

专题07四边形

多边形及其内角和专题

易错点：

1.理解多边形的定义：多边形是由多条直线段顺次首尾连接围成的平面图形，容易混

淆多边形和圆形、椭圆形等其他形状。

2.多边形内角和的计算：多边形内角和的计算公式为（n2）X180°,其中n为多边形的

边数。学生容易在计算过程中出错，如将边数误认为是顶点数，或者忘记了减2的步骤。

3.多边形的分类：多边形根据边数的不同可以分为三角形、四边形、五边形等，每种

多边形的性质和特点都有所不同。学生容易在分类时混淆，或者忽视了多边形边数的限

制。

4.特殊多边形的处理：对于一些特殊的多边形，如正多边形（各边相等，各内角也相

等）、等腰多边形（至少有两边相等）等，学生在处理时容易忽视其特殊性，导致计算

错误。

5.多边形与其他图形的结合：多边形常常与其他图形（如圆、三角形等）结合出现，

这时需要综合考虑多个图形的性质。学生容易在解题时忽视这一点，导致解题方向错误。

易错点1：多边形截角

例：将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和

是（）

A.360°B.540°C.360°或540°D.360°或540°或

720°

【答案】D

【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据

〃边形内角和公式（〃-2）180。得出多边形的内角和，即可解题.

【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是4或5或6,

其中四边形内角和为360。，五边形内角和为（5-2卜180。=540。，六边形内角和为

（6-2）x180°=720°,

•••得到的多边形的内角和是360。或540°或720°，

故选：D.

3

变式1:如图，点A是反比例函数>在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数

尤

4

>=—在第一象限内图象上一点，直线与y轴交于点C,且/C=3C,轴于

尤

点。，BE_Lx轴于点£,连接DC,EC,则的面积是（）

A.3B.3.5C.4D.4.5

【答案】B

【分析】本题考查了反比例函数的综合运用，平行线等分线段定理，梯形的中位线性质，

先根据已知条件推导出CO为梯形/8EZ）的中位线，得到CO=g（/D+3E）,再根据反

比例函数解析式设8,，：；把C。、OE用含0的代数式表示出来，代入三

角形面积公式即可求解，利用梯形的中位线的性质和反比例函数解析式用含。的代数式

表示出CO、是解题的关键.

【详解】解：：4DU轴，8EL轴，

，AD//CO//BE,

■：AC=BC,

：.DOEO,

，CO为梯形ABED的中位线,

CO=^（AD+BE）,

设/-〃,一],贝iJB[a,—4

aa

（）34

/.CO=^AD+BE=^—+—-—,DE=a—（_Q）=2a,

aa

117

,,SADCE=­xDExCO=—x2。x—=3.5,

222a

故选：B.

变式2：如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别

满足下列条件：（画出图形，把截去的部分打上阴影）

①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180。.

②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等.

③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了1801

【分析】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；

②过一个顶点和相邻边上的点作出直线即可求解；

③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；

（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况

进行讨论.

【详解】（1）如图所示：

（2）设新多边形的边数为〃，

贝2）/80。=2520。，

解得〃=16,

①若截去一个角后边数增加1,则原多边形边数为15,

②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16,

③若截去一个角后边数减少1,则原多边形边数为17,

故原多边形的边数可以为15,16或17.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解.

易错点2：多边形对角线规律

例：某多边形由一个顶点引出的对角线可以将该多边形分成10个三角形，则这个多边

形的边数是（）

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【分析】

此题考查了多边形对角线条数，〃边形从一个顶点出发可以引出（〃-3）条对角线，把多

边形分成（〃-2）个三角形，据此作答即可.

【详解】解：设这个多边形的边数是小则〃-2=10,解得”=12,

即这个多边形的边数是12,

故选：B.

3

变式1:如图，点A是反比例函数>在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数

尤

4

>=—在第一象限内图象上一点，直线与y轴交于点C,且/C=3C,轴于

尤

点。，BE_Lx轴于点£,连接DC,EC,则的面积是（）

A.3B.3.5C.4D.4.5

【答案】B

【分析】本题考查了反比例函数的综合运用，平行线等分线段定理，梯形的中位线性质，

先根据已知条件推导出CO为梯形/8EZ）的中位线，得到CO=g（/D+3E）,再根据反

比例函数解析式设8,，：；把C。、OE用含0的代数式表示出来，代入三

角形面积公式即可求解，利用梯形的中位线的性质和反比例函数解析式用含。的代数式

表示出CO、是解题的关键.

【详解】解：：4DU轴，8EL轴，

AD//CO//BE,

・・・AC=BC,

：.DO=EO,

：.CO为梯形ABED的中位线,

/.CO=^AD+BE）,

设则8

；（）：

C0=AD+8E=——,DE=a—（一〃）—2a,

2aV7

117

・V=—xDExCO=—x2Qx——=3.5,

,,3DCE222a

故选：B.

图3

(1)如图1,经过四边形的一个顶点可以作.条对角线，它把四边形分成

个三角形;

(2)如图2,经过五边形的一个顶点可以作条对角线，它把五边形分成

个三角形;

(3)探索归纳：对于“边形(〃>3),过一个顶点可以作条对角线，它把"边形

分成个三角形；(用含〃的式子表示)

(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数

为.

【答案】⑴12

(2)23

⑶（"3）（«-2）

（4）103

【分析】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割等规律探究.

(1)根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；

(2)根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；

(3)根据(1)(2)中的结论，可找到规律即可得到结论；

(4)将100代入(3)的结论中即可得到答案.

【详解】(1)如图1：

经过1个顶点做1条对角线，它把四边形分为2个三角形,

故答案为：1,2

经过五边形一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；

故答案为：2,3.

(3)•.•经过四边形的一个顶点可以作4-3=1条对角线，它把四边形分成4-2=2个三

角形；

经过五边形的一个顶点可以作5-3=2条对角线，它把五边形分成5-2=3个三角形；

经过六边形的一个顶点可以作6-3=3条对角线，它把六边形分成6-2=4个三角形；

经过七边形的一个顶点可以作7-3=4条对角线，它把七边形分成7-2=5个三角形；

•••经过〃边形的一个顶点可以作(〃-3)条对角线，它把〃边形分成(〃-2)个三角形;

故答案为：(«-3),(«-2).

(4)•.,过多边形的一个顶点可以作100条对角线，

根据(3)中结论可得，"—3=100,

〃=103,

故答案为：103.

易错点3：平面镶嵌

例：用下面图形不能实现平面镶嵌的是（）

A.等边三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形

【答案】C

【分析】本题考查了平面镶嵌、正多边形的内角和，先求出各个正多边形每个内角的度

数，再结合平面图形镶嵌的条件即可得，熟练掌握平面镶嵌的条件是解题的关键.

【详解】A、等边三角形的每个内角的度数为180。-360。+3=60。，且360。+60。=6是

整数，则等边三角形能实施平面镶嵌，此项不符题意；

B、正方形的每个内角的度数为180。-360。+4=90。，且360。+90。=4是整数，正方形能

实施平面镶嵌，此项不符题意；

C、正五边形的每个内角的度数为180。-360。+5=108。，且360。+108。=/，不是整数，

正五边形不能实施平面镶嵌，此项符合题意；

D、正六边形的每个内角的度数为180。-360。+6=120。，且360。十120。=3是整数，正

六边形能实施平面镶嵌，则此项不符题意；

故选：C.

变式1：如图，用正多边形镶嵌地面，则图中a的大小为度.

【答案】150

【分析】进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360。，据此求出a

即可.

【详解】解：•••正方形的内角为90。，正六边形的内角为120。,

90°+120°+a=360°,

解得a=150。.

故答案为：150.

【点睛】本题考查了平面镶嵌，解题的关键是求正多边形一个内角度数，可先求出这个

外角度数，让180。减去即可.一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360。；

两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在

一起恰好组成一个周角.

变式2：在生活中经常看到一些拼合图案如图所示，它们或是用单独的正方形或是用多

种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙.从数学角度看，这些

工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边

形覆盖平面(或平面镶嵌)的问题.

(1)如果限用一种正多边形来覆盖平面的一部分，正六边形是否能镶嵌成一个平面图形?

请说明理由；

(2)同时用正方形和正八边形是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由；

(3)请你探索，是否存在同时用三种不同的正多边形组合(至少包含一个正五边形)镶嵌

成的平面图形，写出验证过程.

【答案】(1)正六边形能镶嵌成一个平面图形，理由见解析

(2)同时用正方形和正八边形能镶嵌成一个平面图形，理由见解析

(3)存在同时用三种不同的正多边形组合(至少包含一个正五边形)镶嵌成的平面图形，

验证见解析

【分析】本题主要考查了正多边形的内角和，正多边形的外角和问题，熟练掌握正多边

形的内角和为(〃-2)x180。是解此题的关键.

(1)先求出正六边形的内角和，再求出每一个内角的度数，用360。除以内角的度数，

看是否能够除尽，由此即可得出答案；

(2)正方形的每个内角为90。，求出正八边形的每一个内角为135。，再结合

135。乂2+90。=360。，即可得出答案；

(3)求出正方形的每个内角为90。，正五边形的每一个内角为108。，正二十变形的每

一个内角为162。，由162。+108。+90。=360。，即可得出答案.

【详解】(1)解：正六边形能镶嵌成一个平面图形，

理由如下：

・•,正六边形的内角和为：(6-2*180。=720。，

，正六边形的每一个内角为：720°+6=120°,

•.•360°+120。=3，

•••正六边形能镶嵌成一个平面图形；

（2）解：同时用正方形和正八边形能镶嵌成一个平面图形,

理由如下：

・•,正八边形的内角和为：（8-2）x1800=1080°,

，正八边形的每一个内角为：1080°+8=135°,

■.•135°x2+90o=360°,

，同时用1块正方形和2块正八边形能镶嵌成一个平面图形；

（3）解：存在同时用三种不同的正多边形组合（至少包含一个正五边形）镶嵌成的平面

图形，

理由如下：

正方形的每个内角为90。，

・•,正五边形的内角和为：（5-2*180。=540。，

，正五边形的每一个内角为：540°-?5=108°,

•••正二十边形的内角和为：（20-2*180。=3240°,

，正二十边形的每一个内角为：3240^20=162°,

■.■1620+1080+90°=3600,

・•・存在同时用三种不同的正多边形组合（至少包含一个正五边形）镶嵌成的平面图形，此

时该平面图形由1块正二十边形、1块正五边形、1块正方形构成.

平行四边形专题

易错点：

1.性质与判定的混淆：平行四边形的性质和判定条件容易混淆。例如，知道一个四边形

是平行四边形，并不意味着它的对角线一定相等或互相平分。同样，即使一个四边形的

对角线相等或互相平分，也并不意味着它一定是平行四边形。

2.面积计算错误：平行四边形的面积计算公式为底乘以高，但有时候可能会错误地将对

角线长度或邻边长度作为底或高来计算面积。

3.特殊平行四边形的识别：对于矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形，需要明确它们

的性质，例如矩形的对边相等且邻边垂直，菱形的四边相等，正方形的四边相等且邻边

垂直等。错误地识别这些特殊平行四边形可能导致解题错误。

4.对称性的理解：平行四边形是中心对称图形，这意味着通过其对称中心的任何直线都

会将其分成面积相等的两部分。同时，对角线也会将四边形分成面积相等的四部分。对

这些对称性的理解不足可能导致解题错误。

5.全等和相似三角形的误用：在平行四边形中，虽然可以利用全等三角形和相似三角形

的性质解题，但这并不意味着所有的三角形都是全等或相似的。错误地应用这些性质可

能导致解题错误。

6.矩形和正方形的折叠问题：在解决矩形和正方形的折叠问题时，需要理解折叠后的图

形及其性质。例如，折叠后的图形可能仍然是矩形或正方形，也可能变成其他类型的四

边形。对这些变化的理解不足可能导致解题错误。

易错点1：已知三点组成平行四边形

例：以点。、A、B、。为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系xOy中，其中点。

为坐标原点.若点。的坐标是（1,3）,点/的坐标是（5,0）,则点2的坐标是（）

A.（6,3）或（4,一3）B.（6,3）或（一4,3）

C.（6,3）或（一3,4）或（3,-4）D.（6,3）或（T3）或（4,一3）

【答案】D

【分析】先根据题意画出图形，然后分NC为边和对角线两种情况，分别根据平行四边

形的判定和平移的性质即可解答.

【详解】解：如图：当NC为对角线时，点用的坐标为。+5,3）,即（6,3）；

当/C为边时，点层的坐标为0-5,3）,即（-4,3）；点区的坐标为（0+4,0-3）,即（4,-3）.

故选D.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想

是解答本题的关键.

变式1:平面直角坐标系中，/（TO）,8（3,0）,C（0,2）,。为平面内一点•若A、B、

C、。四点恰好构成一个平行四边形，则平面内符合条件的点。的坐标为

【答案】（2,-2）或（4,2）或（-4,2）

【分析】分三种情形画出图形即可解决问题.

【详解】解：如图，

当AD〃BC,/C〃&）时，。点的坐标为（2,-2）；

当AB"CD,/C〃台。时，。点的坐标为（4,2）；

当AB"CD,3c时，。点的坐标为（一4,2）；

综上所述，满足条件的点。的坐标为（2,-2）或（4,2）或（-4,2）,

故答案为：（2,-2）或（4,2）或（-4,2）.

【点睛】本题考查平行四边形的判定、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用

分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.

变式2：如图，在平面直角坐标系中，直线了=-尤+8分别交x轴，y轴于点/、B,直

线交直线N5于点C,交x轴于点。，点。的坐标为（1,0）,点C的横坐标为4.

（1）求直线。的函数解析式；

⑵在坐标平面内是否存在这样的点R使以4C、。、/为顶点的四边形是平行四边形?

若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

44

【答案】⑴y=y

（2）存在，点F的坐标为（-3,4）或（11,4）或（5,-4）

【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点C的坐标，根据点C,D的

坐标，利用待定系数法即可求出直线的函数解析式；

（2）存在，设点尸的坐标为（如〃），分为对角线，NC为对角线及/。为对角线三

种情况考虑，利用平行四边形的性质（对角线互相平分），即可得出关于“,"的二元

一次方程组，解之即可得出点b的坐标.

【详解】（1）（1）当x=4时，y=-lx4+8=4,

...点。的坐标为（4,4）；

设直线CD的函数解析式为了=履+。（左/0）,

将点C（4,4）,。（1,0）代入厂去+6,

得：[U左k++6b==04'

所以3

4

y=——

[3

44

则直线的函数解析式：y=-x--

（2）解：存在，设点F的坐标为例，〃），

当歹=0时，一%+8=0,

解得：x=8,

...点N的坐标为（8,0）.

若使以/、C、D、尸为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况讨论：

V四边形/巾。为平行四边形,

m+8=4+1

〃+0=4+0

m=-3

解得

n=4

所以耳的坐标为(-3,4)；

②当/C为对角线时，记为点F2,

V四边形/巴CO为平行四边形,

［加+1=4+8

［几+0=4+0

m=11

解得:

〃=4

点心的坐标为(11,4)；

③当AD为对角线时，记为点工,

•.•四边形/CD层为平行四边形,

Jm+4=1+8

［几+4=0+0

m=5

解得:

n=-4

点马的坐标为(5,-4)；

综上所述，存在点尸，使以/、C、D、尸为顶点的四边形为平行四边形，点尸的坐标为

(-3,4)或(11,4)或(5,-4).

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及

平行四边形的性质，解题的关键是：(1)利用一次函数图象上点的坐标特征，找出点C,

/的坐标；根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；(2)分为对角线,

/C为对角线及/。为对角线这三种情况，求出点F的坐标.

易错点2：平行四边形的性质与判定

例：如图，平行四边形48CD中以点8为圆心，适当长为半径作弧，交84BC于F,G,

分别以点RG为圆心大于gbG长为半作弧，两弧交于点X,作BH交AD于点,E,连

接CE,若/6=10,DE=6,CE=8,则BE的长为（

A.2741B.40A/2C.475D.875

【答案】D

【分析】本题考查基本作图作角平分线，掌握平行四边形的性质和判定，勾股定理，勾

股定理的逆定理等知识是解题的关键.

如图，过点A作47/EC交于J.证明四边形A/CE是平行四边形，再利用勾股定理

的逆定理证明乙40=90。，推出N8CE=90。，利用勾股定理求出5E即可.

【详解】解：如图，过点A作交于J.

•••四边形/BCD是平行四边形，

.-.AD//BC,

ZAEB=ZEBC,

•;AJ〃EC,AE//JC,

••・四边形/JCE是平行四边形，

AJ=EC,

•;BE平分NABC,

/ABE=NEBC,

/ABE=ZAEB,

/.AB=AE=\Q,AJ=EC=S,AE=JC=10,

•••DE=6,

AD=BC=16,

:.BJ=BC-JC=16-10=6f

AB2=BJ2+AJ2,

：./AJB=90°,

AJ〃EC,

/BCE=NBJA=90°,

/.BE=^BC2+EC2=V162+82=875，

故选：D.

变式1：如图，若四边形为矩形，AB=643,ZDCA=30°,DE,AC于点、E,

8r2/C于点R连接BE,DF,则四边形。£8尸的面积为

【答案】18月

【分析】根据矩形的性质，解直角三角形得出EF=AF-AE=9-3=6,BF=DE=36,

证明四边形DE2F为平行四边形，得出SKmBF=BFxEF=3百x6=186.

【详解】解：在矩形/BCD中，ZADC=9Q°,ZDCA=3Q°,CD=AB=643,AB//CD,

'：DEIAC,

：.ZDEC=90°,

ii/T

£>E=-£>C=-X6A/3=3>/3,C£=CDxcos30。=6氐组=9,

222

："DC=90。，CD=6y/3,ZDCA=3Q°,

mDC6G0

.AC=---------=-L=12

・・cos30°V3,

T

・・・AE=AC-CE=12-9=3f

・・•AB//CD,

：.ZBAC=ZDCA=30°,

：.AFIAC,

：.ZAFC=90°,

***AF=ABxcos30°=6^/3x=9,BF=大AB=二乂=3也,

222

***EF=AF—AE=9—3=6,BF=DE=3-\/3,

'：DEIAC,BF1AC,

：.DE//BF,

・・・四边形。匹方为平行四边形，

*,*$四边形mN=BFxEF=3A/3X6=186.

故答案为：184.

【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形，平行四边形的判定和性质，直角三角

形的性质，题目的综合性较强，是一道不错的中考题.

变式2：已知，如图，YABCD.

（1）Y/BCD的对角线相交于点O,直线E尸过点O,分别交于点

E,F.求证：AE=CF；

⑵将YABCD（纸片）沿直线防折叠，点A落在点4处，点B落在点耳处，设FB&CD

于点G,4月分别交。于点H,M.

①求证：ME=FG；

②连接MG,求证：MG//EF.

【答案】（1）证明见解析

⑵①证明见解析；②证明见解析

【分析】（1）由平行四边形性质，结合三角形全等的判定与性质即可得证；

（2）①由（1）中结论ME=FG,结合折叠性质，利用三角形全等的判定与性质即可

得证；②过点G作GK〃EN,交EF于点、K,如图所示，由等腰三角形的判定与性质、

平行四边形的判定与性质即可得证.

【详解】（1）证明：•.•在Y/BCD中，AD//BC,AO=OC,

：.ZDAC=NBCA,

又：NAOE=NCOF,

在△/£?£和ACO厂中,

/DAC=/BCA

AO=OC

AAOE=ACOF

：.(ASA),

・•・AE=CF；

(2)解：①由(1)得4E=CF,

由折叠得/£=4EN4=N4,ZAEF=/A#,ZBFE=ZB.FE,

ZAEF=ZEFC,

：./BFE=/DEF,

:・NDEF=NEFB、,ZA'EF=/B'FE,

：./A、ED=/CFG,

.・.△4EA&△。尸G,

：.EM=FG；

②过点G作GK〃瓦彳，交EF于点K,如图所示：

•・•ZMEF=/GFE,

ZGFK=ZGKF,

：.GK=GF,

•:GF=ME,

：.GK=ME,

・・・四边形£KGW是平行四边形,

・•・MG//EF.

【点睛】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性

质、折叠性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形与三角形全等的

判定与性质是解决问题的关键.

易错点3：三角形的中位线

例：如图，矩形N3C。和矩形CE尸G,N3=1,8C=2,CE=4,点尸在边GF上，且

PF=CQ,连结NC和尸。，点N是/C的中点，”是尸。的中点，则九W的长为（）

BCQE

Aa<「历17

A.3Bn.6C.------nD.

22

【答案】C

【分析】连接CF,交PQ于点K,利用全等三角形的判定与性质，得到PK=QK,则

M,K两点重合，CM=FM,连接/尸，延长4D交E厂于点“，利用矩形的判定与性

质可得四边形CE/位和四边形Z）〃FG为矩形，可求得线段/〃，切，利用勾股定理求得

AF,利用三角形的中位线定理即可得出结论.

【详解】

解：连接CF,交P。于点K,

•.•四边形CE/G为矩形，

FG//CE,

ZFPQ=ZCQP,ZPFC=ZFCQ,

在APFK和AQCK中，

ZFPQ=ZCQF,PF=CQ,ZPFC=ZQCF,

/.△尸相绦QCK（ASA）,

FK=CK,PK=QK,

即点K为尸。的中点，

:点M为尸。的中点，

：.M,K两点重合.

CM=FM.

连接N尸，延长交E尸于点X,

矩形ABCD和矩形CEFG,

：./B=ZBAD=ZE=ZGDH=ZCDH=ZG=ZEFG=90°,

四边形CEHD和四边形DHFG为矩形，

/.AB=CD=HE=1,DH=CE=4,AD=BC=2,

.・.AH=AD+DH=2+4=6,FH=FE-HE=2-1=\,

•**AF=yjAH2+FH2=A/62+12=A/37.

,.・CM=FM,CN=AN,

・・・〃N为VC4厂的中位线,

・A八T1pA?5y

••MN=—A7fFz=------•

22

故选：c.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理,

直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，恰当的构造辅助线是解题的关键.

变式1：如图，Y/BCD中，AB=3,BC=4,BE平分/4BC,交4D于点£,C尸平

济NBCD,交/。于点R交BE于点。，点G,//分别是。尸和0E的中点，则的

长为.

【答案】1

【分析】根据平行四边形的性质可得出48=CD=3,BC=AD=4,AD〃BC,结合

平行线的性质和角平分线的定义可证乙48£=乙4仍，NDCF=/DFC,得出

AB=AE=3,DC=DF=3,从而可求出EF=2,最后根据三角形中位线定理求解即

可.

【详解】解：Y/BCD中，AB=3,BC=4,

：.AB=CD=3,BC=AD=4,ADBC,

：.ZAEB=ZCBE,ZDFC=NBCF.

平分//BC,CF平分NBCD,

：.NABE=ZCBE,NBCF=ZDCF,

：.NABE=ZAEB,NDCF=ZDFC,

：.AB=AE=3,DC=DF=3.

,：AE+DF^AD+EF,即3+3=4+EF

/.EF=2.

:点G,“分别是。尸和OE的中点，

是AOEF的中位线，

GH=-EF=l.

2

故答案为：1.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的

判定和性质，三角形中位线定理等知识.证明出48=4E=3,DC=DF=3,并掌握三

角形中位线定理是解题关键.

变式2：【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.

如果在图①中，取NC的中点尸，假设3尸与交于G',如图②，那么我们同理有

G'DG'F1所以有华=写j即两图中的点G与G,是重合的.

AD一BF-3

于是，我们有以下结论:

三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的

长是对应中线长的.

【结论应用】

如图③所示，在中，已知点。，E,尸分别是8C,AD,CE的中点，DE、3尸相

较于点。，且以加=12,则四边形8c户的面积值为

AA

【答案】教材呈现：见解析；结论概括：I；结论应用：2

【分析】本题考查了相似三角形判定及性质，三角形中位线定理，关键是根据三角形的

重心性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的;解答.

教材呈现：连接如图①，先利用三角形中位线的性质得到庞〃/C,DE=\AC,

则证明ADEGSANCG,利用相似三角形的性质得黑=器=会4,然后利用比例的

CCrACrAC2

性质得到结论;

结论概括：根据第=当]_GD整=；,则噜=平=即两图中的点G与

GEAD3~ADBF3ADAD3

G'是重合的，即可归纳出结论;

结论应用：根据三角形中线的性质得LBD=S-c»=:LBC=6，S&BDE=：S"=3,

S/\CDE=5sAz4cz)=3,则$△BEC=S^BDE+S丛CDE=6,SXBEF=~£^AEC=3,由题意知。为三角形

的重心，则。尸=；8尸，可得黑的=；S△诙=1,进而根据四边形O0CF的面积为

SMDE-SMOF，即可求解.

【详解】解：教材呈现：连接。E,如图①,

；D、E分别为BC、A4的中点,

，DE1为的中位线,

/.DE//AC,DE=-AC,

2

小DEGs^ACG,

.EG_DGDE

，9~CG~^G~^C~2

EGGD_\

CG+EG~AG+GD~^2+\

即笠二必」

CEAD3

结论概括：由上可知，IfG'DG'F1GDG'Dj,即两图中的

则niI——二——

~ADBF3ADAD

点G与G，是重合的.

则三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线

的长是对应中线长的;,

故答案为：—

结论应用：:ZNBC=12,。为8c的中点,

**,SMBD=S“CD=3S“BC=6，

为的中点,

,,SgDE=3SAABD=3,S/\CDE=^ACD=3,则S4EC=^ABDE+^ACDE=6,

为8C的中点，尸为CE的中点,

:"即=。==3,。为三角形的重心,

则0尸=；B/，

,•S^EOF=]SABEF=1，

则四边形ODCF的面积为S“DE—Sg°F=3—l=2,

故答案为：2.

特殊平行四边形专题

易错点：

1.概念理解：对于特殊平行四边形的定义和性质，学生可能会存在理解上的困难。例

如，对于矩形、菱形和正方形的定义和性质，学生需要清楚地区分它们之间的不同和联

系。

2.性质应用：在应用特殊平行四边形的性质时，学生可能会忽视一些重要的条件，导

致结论错误。例如，在证明两个四边形是矩形时，学生需要证明其对角线相等且互相平

分，或者证明其所有角都是直角。

3.判定方法：在判定一个四边形是否是特殊平行四边形时，学生可能会混淆不同的判

定方法。例如，对于矩形，学生需要清楚其判定方法包括有一个角是直角的平行四边形

是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形等。

4.图形识别：在识别特殊平行四边形时，学生可能会受到图形的干扰，导致判断错误。

例如，对于一个看起来接近正方形的四边形，学生需要仔细判断其是否满足正方形的所

有条件，包括四个角都是直角、四条边都相等等。

5.计算错误：在进行特殊平行四边形的计算时，学生可能会因为计算错误而导致结果

错误。例如，在计算特殊平行四边形的面积时，学生需要正确应用公式，并注意单位换

算等问题。

三^^009

易错点1:矩形的折叠

例：如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，/（4,0）,5（4,2）,C（0,2）,将

沿直线0B折叠，使得点A落在点D处,0D与BC交于点E,则点D的纵坐标是（）

【分析】根据矩形的性质结合折叠的性质可得出ZEOB=ZEBO,进而可得出OE=BE,

设点E的坐标为（由2）,则0E=8E=4-m,CE=m,利用勾股定理即可求出俏值，再

根据点E的坐标，过点。作。FLC8轴于点R利用8。废=）醋以）DE=^BEDF,

可以求出。产的长，进而可以解决问题.

【详解】解：•“（44）,8（4,2）,C（0,2）,0（0,0）,

.••四边形CM8C为矩形，

BC〃0A,

ZEB0=ZAOB.

ZEOB=ZAOB,

/.ZEOB=ZEBO,

/.0E=BE.

设点£的坐标为（m,2）,贝UOE=3E=4-"7,CE=m,

在RtaOCE中，0C=2,CE=m,0E=4-m,

（4-m）2=22+m2,

3

:.m=—

29

.,.点E的坐标为(|，2；

:.OE=BE=4-m=-,

2

53

:.DE=OD-OE=OA-OE=4-,

22

\S.DEB='酉部。DE='醋SEDF,

3HB22

35

:.2x-=-DF

22f

,DF=-,

5

.\DF+(9C=-+2=—,

55

则点。的纵坐标为g.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、图形的折叠、等腰三角形的判定和性质、

勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质、图形的折叠的性质、等腰三角形的判定和性质、

勾股定理是解题的关键.

变式1：如图，在长方形/BCD中，AB=5,AD=6,点E为边AD上的一个动点，把

△4BE沿BE折叠,若点/的对应点/刚好落在边/£）的垂直平分线上，则ZE的长

为

【分析】根据矩形的性质及垂直平分线的性质得BN=3,再由折叠的性质，得到A'B=5,

根据勾股定理可求得/'N=4,因此©M=l,设AE=AE'=x,在■中，由勾股

定理列方程并求解，即得答案.

【详解】四边形/BCD为矩形，

N4=NABC=90°

•••MN是边AD的垂直平分线，

MN_LAD,AM=BM=—48=3

2

四边形为矩形，

BN=AM=3,MN=AB=5,

根据折叠的性质，可知=A'B=AB=5,

在RLA'BN中，A'N^A'B2-BN2=752-32=4，

A'M=5-4=1,

设/E=NE'=x,贝!]ME=3-x,

在Rtd'EM中，(3-x)2+12=x2,

解得T，

AE的长为g.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，图形折叠

的性质等知识，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题关键.

变式2：如图，矩形48co中，AB=8,BC=\2,E,尸分别为BC上两个动点，连

接E尸，将矩形沿E尸折叠，点A,3的对应点分别为“，G.

图1图2

⑴如图1,当点G落在DC边上时，连接3G.

①求会的值；

DKJ

②若点G为。。的中点，求C尸的长.

CF1

(2)如图2,若E为/。的中点，——'=—,求sin/GBC的值.

BF2

【答案】⑴①②T

⑵洋

【分析】(1)①过点A作/M〃斯，交BC于点交8G于点N,证明四边形4EFM

为平行四边形，可得AM=EF,然后求出ABAM=ZCBG,证明^BAMsKBG,利

用相似三角形的性质解答即可；

②设CF=x,贝1]8/=12-无，利用轴对称的性质求出GF=12-无，再在RMG户C中利用

勾股定理解答即可；

(2)过点尸作尸K_LN。于点K,证明四边形KECD为矩形，利用勾股定理求出EF,

可得sin/EFK=业，再利用直角三角形的性质和轴对称的性质证明/G3C=/EFK即

17

可.

【详解】(1)解：①过点A作/M〃防，交3c于点交BG于点、N,如图，

四边形48CD为矩形，

，AD//EF,

•­,AM//EF,

.I四边形AE/W为平行四边形,

AM=EF,

•.•将矩形沿E尸折叠，点A,B的对应点分别为H,G,

厂垂直平分5G,

AM上BG,

ZBAM+ZABG=90°.

\-ZABG+ZCBG=90°9

:./BAM=/CBG.

•・•/ABM=/BCG=9伊,

:ABAMsKBG,

.4》_48_8_2

,BG~BC~n~3'

.EF_2

••茄一§；

②设CF=x,则8尸=12—x.

,•,点8,G关于川对称，

.•.所垂直平分BG,

:.BF=GF=n-x.

•・,点G为。。的中点，

/.CG=-CD,

2

AB=CD=8,

/.CG=4.

在Rt^GFC中，

\-CF2+CG2=FG2,

.*.X2+42=(12-X)2,

解得：X=y.

.•・C户的长为g;

(2)过点尸作尸K_LN。于点K,如图,

为/。的中点,

:.DE=-AD=6.

2

CF1

，^F~29

:.FC=-BC=4.

3

四边形力BCD为矩形，

:.ZD=ZC=90°,

•・•FKLAD,

二•四边形AFC。为矩形，

:.ZKFC=90°,DK=FC=4,FK=CD=8.

:.EK=DE-DK=2.

：.EF=NEK、FK2=2后.

FK2叵

...sinZEFK=——

EF2M—17

•//KFC=90。，

:.ZBFK=90°,

ZEFK+ZBFE=90°,

•：EFLBG,

ZBFE+ZGBC=90°,

/GBC=/EFK,

而

sinZGBC=sin/EFK=-—.

17

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三

角形的性质，折叠的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关

键.

易错点2：矩形的性质与判定

例：如图，在正方形中，E为对角线ZC上与4,C不重合的一个动点，过点E

作与点方，EG工BC于点、G,连接FG,若NAED=a,贝()

A.Q—90。B.180。-〃C.Q—45。D.2a—90。

【答案】C

【分析】延长GE交4。于点首先证明出四边形qGE是矩形，得到厂G=B£,

/FEG=90。，然后证明出尸E,是等腰直角三角形，得到4H=EH,然后证

明出Rt△尸£G丝Rt△丽(HL),得至“NEFG=NHEQ,然后利用角度的等量代换求解即

可.

【详解】如图所示，延长GE交4。于点”,

•・•四边形是正方形，力。是对角线

：.BE=DE,ZABC=90°

■:EF1AB,EG-LBC

・••四边形/BGE是矩形

:・FG=BE,ZFEG=90°

：.FG=DE,AB〃GH

：.EH±AD

・・•四边形4BCD是正方形，/C是对角线

・•・NFAE=NHAE=45。

：./HEA=/FEA=45。

•**/\AFE,^AHE是等腰直角三角形

・•・AH=EH

ZFAH=ZAFE=ZAHE=90°

...四边形AFEH是正方形

:.FE=HE

：.在RtAFEG和Rt^EHD中

{EF=HE

[FG=DE

：.Rt(HL)

ZEFG=ZHED

'：ZAED=ZAEH+ZHED=a

：.450+ZEFG=a

：.NEFG=a—45°.

故选：C.

【点睛】此题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判

定，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线，证明出

Rt^FEG^Rt^EHD(HL).

变式1：如图1是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型(如图2),过该造型的上

ARQ

下左侧五点作矩形/3CD,使得。=三，点N为尸。的中点，并且在矩形内右上角部分

留出正方形作为印章区域(EX〃/O,//G〃Cr>),形成一幅装饰画，则矩形

48co的周长为_cm.若点M,N,£在同一直线上，且点〃到4D的距离与到的

【分析】

本题考查正方形的性质及矩形的性质，能由图1求出各图形的边长是解题的关键.根据

台灯”的造型及图1,可求出的长，进而可求出矩形的周长；延长经过点E并

与/。相交于点心连接可得出四边形是平行四边形，求出DZ长即可解决

问题.

【详解】解：由图1可知，

七巧板中的等腰直角三角形最大的直角边长为6,然后3亚，最小的直角边长为3,

正方形和平行四边形的短边长都是3.

过点N作40和8C的垂线，垂足分别为J,K,则N/=3+3+3=9,

又；儿W=3亚，且ANMC是等腰直角三角形，

：.NK=3,故加=9+3=12.

文:ZA=/B=ABKJ=90°,

二四边形是矩形，

AB=JK=12.

□AB3

又..夫=丁

BC=20,

故矩形ABCD的周长为2x(12+20)=64.

延长经过点E与/。交于点3连接

•••ZNMC=45°,且,

ZALM=45°.

又•.,点H到的距离与到C。的距离相等，

点〃在NADC的角平分线上，则ZADH=1x90°=45°.

2

AZADH=NALE,

LE//DH,

又•:LD//EH,

，四边形£瓦力是平行四边形.

又；AJ=6+1.5=T.5,JL=JN=9,

4=7.5+9=16.5.

DZ=20-16.5=3.5.则E〃="=3.5,

•••四边形E/G〃是正方形，

印章区域的面积为=12.25cm2.

故答案为：64,12.25.

变式2：如图1,在矩形4BCD中，BE是的角平分线，/E=3,点尸为对角线8D

上的一个动点，连接/尸，线段AP与线段BE相交于点足

图1图2

(1)当AP_L8。时，求证：AABESAPBF；

⑵在(1)的基础上，EF=^->BP=—.求/P的长；

55

(3)如图2,若/。=8,48=6,过点尸作尸尸，尸。与直线3C相交于点。，试判

断点P在线段8。上运动的过程中，笥的值是否发生变化？若有变化，请求出其变化

范围；若无变化，请求出这个定值.

【答案】(1)见解析

/24

⑵彳

4

(3)不变，定值§

【分析】(1)根据矩形性质和角平分线的定义证得N