高三数学一轮复习：常用逻辑用语讲义

第一章集合与常用逻辑用语

第二节常用逻辑用语

【课标要求】常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流

的工具，是逻辑思维的基本语言。本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用

语表达数学对象、进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学

结论中的作用，提高交流的严谨性与准确性。

教学目标：1.理解必要条件、充分条件、充要条件的意义；

2.理解全称量词与存在量词的意义。

3.能正确对含一个量词的量词命题进行否定。

教学重点：1.必要条件、充分条件、充要条件的判断；

2.含量词命题真假的判断

教学难点：1.充要条件的证明；2.量词的理解及应用

教学过程：

一.知识梳理：(请同学们阅读教材，完成下列知识填空)

1.充分条件与必要条件

⑴充分条件与必要条件:一般地，“若P,则q为真命题，是指由P通过推理可

以得出q.即由P推出q,记pnq,则说的充分条件,的必

要条件

(2)充分条件、必要条件、充要条件的判断

定义法判断集合语言判断

P是q充分不必要条件且

pnq,A^B

q不能推出P

P是q必要不充分条件

P是q充要条件

A(B)

P是q既不充分也不必要

条件

注：把p研究的范围看成集合A,把q研究的范围看成集合B,记4=亚必&)},

B={x|g(x))

⑶充要条件的证明：

证明“P是q充要条件”，要分别从“p=q”和“q=p”两个方面证明，

即要分别证明充分性和必要性两个方面，由条件=结论是证明充分性，由结论n

条件是证明必要性.

2、全称量词与存在量词

⑴全称量词与全称量词命题

语言定义符号表示

全称量词短语中—在逻辑中称为全称量词

全称量词命含有全称量词的命题

题

全称量词命⑴判断全称量词命题是真命题，需要对每一个元素X,证明都成立；

题的判断⑵判断全称量词命题是假命题，举反例.

(2)存在量词与存在量词命题

语言定义符号表示

存在量词短语中______在逻辑中成为存在量词

存在量词命含有存在量词的命题

题

存在量词命⑴判断存在量词命题是真命题，举例说明；

题的判断⑵判断全称量词命题是假命题，需要对每一个元素X,证明都不成立；

(3)量词的否定

命题形式否定

存在量词命题

存在量词命题

全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全程量词

二.考点强化:

考点1:充分必要条件的判断

例1.(1)(2024年全国甲卷第9题)设向量a=(x+l,x),b=(x,2),贝!!()

A.x=3是a±b的必要条件B.x=3是a//b的必要条件

C.x=0是a，b的充分条件D.x=l+百是a〃b的充分条件

(2)(2021•全国甲卷)等比数列｛an｝的公比为q,前n项和为Sn.设甲：q>0,

乙:｛Sn｝是递增数列则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案：(1)B.(2)B

方法总结：充分条件、必要条件的两种判定方法

⑴定义法：根据pnq,qnp进行判断，适用于定义、定理判断性问题.

⑵集合法：根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉

及参数范围的推断问题.

跟踪练习1:

(1)写使得“2,>4”成立的一个充分条件是;

(2)若“六一mx+4〈0”是“六一4x+3〈0”的必要条件，则实数m的取值范围

为.

答案：(l)｛x1x〈0｝的子集均可；(2)m>5

考点2：充要条件的证明及应用

例2.(人教A版必修1教材P22例4)已知：。。的半径为r,圆心0到直线1

的距离为d.求证：d=r是直线1与。0辖相切的充要条件.

跟踪练习2：

(1)(人教A版必修1P23第5题)设a,b,cGR.证明：a?+b?+c?=ab+ac+bc的

充要条件是a=b=c.

(2)(人教A版必修1P23第6题改编)设a,b,c分别是4ABC的三条边，且a

WbWc.请利用边长a,b,c分别给出AABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充

要条件，并证明.

考点3：含量词命题真假的判断：

例3.(新课标2卷第2题)已知命题p:Vxe7?,|x+l|>l；命题q:2x>0,x3

贝I()

A.p和q都是真命题B.「p和q都是真命题

C.p和F都是真命题D.「p和F都是真命题

跟踪练习3：(1)判断下列命题真假

①VxeR,——<1；(2)3xeR,—<x+l

X+1X

(2)下列命题是真命题的是.(填序号)

①存在a©R,使函数丁=2工+入2T在R上为偶函数；

②任意x©R,函数y=sinx+cosx+后的值恒为正数；

③任意x©R,x4<x5；

④存在x©R,x2—2x+lW0

考点4：含一个量词命题的否定

例4.(1)已知命题p:VxeR,sinx<x,则()

1

A.~P:三％eR,sinx?1B.「P:VxeR,sin%1

C~^P:玉eR,sinx>1D.可：VxeR,sinx>1

(2)命题“存在XoeR,2'。<0"的否定是().(

XX

A.不存在x0eR,2°>0B.存在x0eR,20>0

C.对任意的<0D.对任意的为eR,2，。〉0

跟踪练习4：

写出下列命题的否定，并判断它们的真假。

(1)VaeR,一元二次方程/一a%—1=0有实根；

(2)+1eN.

考点5：量词在解题中的理解及应用

例5.已知/(%)=1112+1),g(x)=(夕-"，若对任意x£[0,3],存在xg[1,2],

使得f(xj2g(xz),求实数m的取值范围.

答案了+：

变式练习：(1)若将例5中“存在X2©[1,2]”改为“任意X2©[1,2]"，其他条

件不变，则实数m的取值范围是

（2）本例中,若将例5中“任意x«[0,3]”改为“存在xP[0,3]”，其他条件

不变，则实数m的取值范围是.

三.课堂小结：

（1）请画出本节知识结构图

（2）请梳理出本节课中自己易错点、疑难点。

四.课后练习：

1.设x©R,贝ij"x—g<g”是）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.设a,8均为单位向量，则“|a—3回=|3a+b|”是“小厂的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

、叵

3.命题2：cos^=2~）命题0tan8=1,则p是]的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（多选题）下列命题中的真命题是（）

A.存在xoGR,lgxo-1B.存在xoGR,sinxo—0

C.任意尤GR,x3>0D.任意xdR,2x>0

5.（多选题）命题“所有的矩形都是平行四边形”的否定正确的有（）

A,并非所有的矩形都是平行四边形B.存在一个矩形不是平行四边形

C.所有的矩形都不是平行四边形D.矩形不都是平行四边形

6.已知命题p：x2+2x—3>0；命题q：x>a,且q的一个充分不必要条件是

非P，则。的取值范围是

7.直线y=kx+l与圆炉+V=〉o）有公共点的充要条件是—

8.若“任意xej-工二],根Wtanx+2”为真命题，则实数机的最大值为

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9.已知/(%)=皿%-2*(％+根+3),g(x)=