中考数学难点特训（四）选填压轴50道（原卷版+解析）

难点特训（四）选填压轴50道

1.如图，点E是正方形4BCD外一点，连接AE、鹿和DE,过点A作AE垂线交DE于

点、P.若AE=AP=2,PB=6.下列结论：①AAPD当AAEB；②EBLED；③点8到

直线AE的距高为2近；④S正方称BCD=32+4房.则正确结论的个数是（）

C.3D.4

2.如图，正方形ABC。中，E是BC延长线上一点，在上取一点尸，使点2关于直

线EF的对称点G落在A。上，连接EG交CO于点H,连接交£尸于点连接

CM.则下列结论，其中正确的是（）

①/1=/2；

②/3=/4；

③GD=0CM；

④若AG=1,GD=2,则

A.①②③④B.①②C.③④D.①②④

3.如图，分别以用AACB的直角边AC和斜边A3为边向外作正方形ACFG和正方形

ABDE,连接CE、BG、GE.给出下列结论：

①CE=BG；

②EC工BG

③FG2+BF2=2BD2+BC~

④3c2+GE?=2AC2+2Afi2其中正确的是（）

A.②③④B.①②③C.①②④D,①②③④

4.如图，已知AC=BC,ZACB=90°,NAZ）C=45°,AD±BD,BD=2,CD=3也,

贝UAB长为（）

A.3^/2B.2^/17C.V22D.734

5.已知如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线,

AG0DB,交CB的延长线于G,连接GF,若ADEIBD.下列结论：①DEI3BF；②四边形

BEDF是菱形；③FG回AB；④SABFG='S平行四边形皿⑺•其中正确的是()

C.①③D.①②④

6.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,5),点8的坐标为(-2,0),C(a”)为平面直

角坐标系内一点，ZABC=90°,BA=BC,则必的值为()

A.14B.-6C.-6或14D.-6或一14

7.如图，口ABCD的对角线交于点AE平分NBA。交BC于点E,且/AOC=60。,

AB=^BC,连接OE,下歹!J结论：®ZCAD=30°；®S^ABCD=AB>AC；®OB=AB；®OE=

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.如图，菱形ABCD中，/54。=60。，AC与8。交于点。，E为CO延长线上的一点，

且CD=DE,连接BE分别交AC,于点尸、G,连接OG,则下列结论正确的是()

@OG=^AB-②与△EGD全等的三角形共有2个；③S瞰形ODEG=S壁彩ABOG；④

由点A、B、D、E构成的四边形是菱形;

9.如图所示，正方形ABC。的面积为12,AABE是等边三角形，点E在正方形A8C£>

内，对角线AC上有一点P,使尸D+PE的和最小，则这个最小值为（）.

A.2B.273C.4D.4夜

10.如图，在菱形A3CD中，ZD=135°,AD=3应,CE=2,点P是线段AC上一动点,

点F是线段A3上一动点，则PE+PR的最小值（）

A.2&B.3C.2A/5D.M

11.如图，在RdA3C中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,分另U以A3,AC,BC为边向△ABC

外作正方形4BE。，正方形ACH/,正方形BCGF.直线ED,印交于点J,过点F作

KFIIHI,交DE于点K,过点G作GA/〃。E,与HI,KF分别交于点M,L.则四边形

KLMJ的面积为（）

L

A.90B.100C.110D.120

12.如图，矩形ABC。的周长为1,连接矩形ABC。四条边中点得到四边形A//。。/,

再连接四边形A//CQ四条边中点得到四边形A232c26,如此继续下去…，则四边形

A/o8/oC/o0/o的周长为（）

A.（1）5B.（1）10C.（-）5D.（-）10

2244

13.已知三角形的边长分别是5、7、8,则这个三角形的面积是（）

A.9B.C.10D.10月

14.如图，正方形ABCO中，P为8上一点，线段AP的垂直平分线MN交3。于N,

加为垂足，交正方形的两边于E、F,连接PN,则下列结论：①ZAPN=45。；②

PC=^2BN;③NDNF=NDAP；@MN=MF+NE,其中正确的是（）

C.②③④D.①②③④

15.如图，ZBAD=ZCAE=9Q°,AB=AD,AE=AC,尸是CB延长线上一点，AFLCF,

垂足为尸.下列结论：①NACP=45。；②四边形ABC。的面积等于g4?；@CE^2AF；

④S&BCD=S4ABF+S4ADE；其中正确的是（）

A.①②B.②③C.①②③D.①②③④

16.如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABC。所在平面上平移，在平

移过程中，始终保持跖〃线段8H的中点为M,AF的中点为N,则线段MN的长

为（）

A.VioB.@C.#D.-y[5

23

17.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,E为BC的中点，将沿着4E对折

后得到AAGE,延长AG交8于点孔连接CG并延长交AD于点H,连接EF,若

ZAEF=90°,则下列说法：@AB+CF=AF；②四边形AECH是平行四边形；③

AG:GF=9:4,其中正确的是（）

A.①B,①②C.②③D.①②③

18.如图，在AABC中，NA=60。，3。为AC边上的高，E为3C边的中点，点厂在45

边上，NEDF=60°,若AF=2,8尸=弓，则8C边的长为（）

A.—B.-73C.-y/13D.-713

3333

19.如图，在正方形ABC。的对角线AC上取一点E,使得NCDE=15。，连接BE并延

长8E至使CT=C8,8f'与CD相交于点H,若AB=&,则下列结论：①/CBE

=15。；②4£=括+1；③S4DEC=^^~；④CE+DE=EF.正确的是（）

2

A.①②④B.②③④C.①③④D.①②③④

20.如图，在矩形ABCD中，。为AC的中点，所过。点且EFLAC分别交DC于歹交

AB于E,点G是AE的中点，且NAOG=30。，OE=1,则下列结论：@DC=3OG；②

OG=〈8C；③四边形AECF为菱形；④S^AOE=1S四边形.其中正确的个数为（）

2o

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

21.己知加、〃是两个连续自然数（加＜力，且,设p=dq+n+[q-in,则下列

对P的表述中正确的是（）

A.总是偶数B.总是奇数

C.总是无理数D.有时是有理数，有时是无理数

22.如图，在边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A,C为圆心，根为半径作

弧，两弧交于点D,连接BD,CD.若BD的长为2百，贝UCD的最大值为（）

A.2B.2A/7C.屈D.7A/2

23.如图，菱形A3C。的周长为24,ZABD^3Q°,。是BC的中点，则PC+尸。的最

A.6B.3百C.375D.6班

24.如图，°ABCD+,对角线AC、相交于点。，AE平分/胡。，分别交BC、BD

于点£、P,连接。£,ZADC=60°,BC=2AB=4,则下列结论：①AD=4OE；②BD

=2"；③30。＜/8。£＜45。；④SAAOP=B.其中正确的个数是（）

3

D.1

第H卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

二、填空题

25.如图，四边形ABC。中，NA=90。，AB=2百，A£>=2,点N分别为线段8C,

A8上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E,尸分别为DM,MN的中点，则

£产长度的最大值为_.

26.如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、E、O在同一直线/上，且EF=2夜,

AB=6,给出下列结论：①NCOD=45°,②AE=8,③△口?厂的面积以。。F=6,④

CF=BD=2拒，其中正确的是

27.如图，在边长为2的菱形ABCD中，NA=60。，M是AD边的中点，N是边上

一动点，将AAAW沿所在的直线翻折得到AA'MN,连接4C,则4C长度的最小

值是.

28.如图，分别以R/AABC的直角边AC,斜边AB为边向外作等边"C£）和"BE,F

为AB的中点，连接。F、ERZACB=90°,/ABC=30。，则以下4个结论：©ACLDF；

②四边形。尸为平行四边形；中正确

BC③DA+DF=BE；@SAACD：S^BCDE^l：7,

的是.

29.如图，在长方形A3CD中，AB=4cm,BC=8cm,E、尸分别是A3、BC的中

30.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美"四边形ABCD,

对角线AC、8。交于点。.若AD=2,BC=4,则人笈+⑺、.

31.如图，矩形ABCD的对角线AC,3D交于点O,A3=6,BC=8,过点。作OE1AC,

交AD于点E,过点后作印,应），垂足为尸.则OE+EF的值为一

32.如图，在AABC中，ZC=90°,CA=CB,E,尸分别为CA,C8上的点，CE=CF,

M,N分别为ARBE的中点，若AE=1,则MN=

33.如图，正方形ABCD中，E为CO上一动点（不含C、。），连接AE交3。于下,

过/作FH_LAE交BC于过反作HG1.BD于G,连接AH,EH.下列结论：①

AF=FH;②/HAE=45°；③FH平分NGHC；④BD=2FG,正确的是_（填序号）.

34.如图，正方形ABC。的边长为6,点P为BC边上一动点，以尸为直角顶点，AP为

直角边作等腰R3APE,M为边AE的中点，当点尸从点2运动到点C,则点M运动的

路径长为.

35.如图，在平面直角坐标系中，点《的坐标为」石,次,将线段。片绕点。按顺时

针方向旋转45。，再将其长度伸长为。片的2倍，得到线段。£；又将线段绕。点按

顺时针方向旋转45。，长度伸长为。巴的2倍，得到线段。鸟；如此下去，得到线段。舄,

0P5,K,。勺5为正整数），则点鸟＞”的坐标是.

36.如图，RsABC中，ZBAC=90°,AB=AC,D、E为8C上两点，若NZME=45。,

BD

ZADE=60°,则一的值_______.

37.如图，在矩形ABCO中，AB=4,AO=6,点E是边8C的中点，连接AE,若将△ABE

38.如图，在矩形ABCO中，AB=2,AD=4,DEADC,点尸在£>E上，则AP+P8

的最小值是.

39.已知，如图：一张矩形纸片ABC。，AB=6,AD=8,E为AD边上一动点，将矩

形沿3E折叠，要使点A落在8C上，则折痕8E的长度是;若点A落在AC上，

则折痕BE与AC的位置关系是.若翻折后A点的对应点是A点,连接DA',

则在点E运动的过程中，D4'的最小值是.

40.如图，把一个矩形ABC。剪成①②③④四个部分能够重新拼成一个正方形，已知

DF=1,CD=2,则AD的长为.

41.如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上,连接AE、AF、EF,

ZEAF=45°,BE=3,CF=4,则正方形的边长为

42.我们把联结四边形对边中点的线段称为“中对线”.凸四边形的对角线

AC=BD=12,且这两条对角线的夹角为60。，那么该四边形较长的“中对线”的长度为

43.小兵在学习了勾股定理的赵爽弦图后，尝试用小正方形做类似的图形,经过尝试后，

得到如图：长方形ABC。内部嵌入了6个全等的正方形，其中点M,N,P,Q分别在

长方形的边48,BC,CD和4。上，若AB=23,BC=32,则小正方形的边长为.

44.如图，△ABC中，点E在边AC上，EB=EA,ZA=2ZCBE,CD垂直于BE的延

长线于点D,BD=9,AC=11.5,则边的长为.

45.如图，正方形A3CD,E是对角线3。上一动点，DFVBD,且DF=BE,连接CE,

CF,EF,若AB=2,则E尸长度的最小值为.

AD

BC

46.如图，在平面直角坐标系中，点A(-2,2),见2,1),点P(x,O)是x轴上的一个动点.

(2)结合图形，判断式子"(x++4+«2一x)2+1的最小值是—.

47.已知4,C两点坐标分别为(-3,0)和(2,2),平行四边形ABC。的一个内角为45。,

点8在x轴上，则点。的坐标为.

48.如图，在矩形A02C中，点A的坐标是(-2,1),点C的纵坐标是4,点B的横

坐标为1,则矩形AOBC的面积为一.

49.如图，在Rt~4BC中，ABAC=90°,ZACB=30°,AB=4,点E为BC上任意一

50.如图，AABC中，AB=AC,AD=2,BD-DC=2上,则AC=

难点特训（四）选填压轴50道

1.如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE、BE和QE,过点A作AE垂线交DE于点

P.^AE=AP=2,PB^6.下列结论：①△APD也△?!£»；②EBLED；③点B到直线AE

的距高为2疗；④S正方”6=32+4后.则正确结论的个数是（）

【分析】①易知AE=AP,AB=AD,所以只需证明/胡2=/以。即可用SAS说明

②易知NAE2=NAPD=135°,则/BEP=N4EB-NA£P=135°-45°=90°,所以EB_L£D；

③在RtABEP中利用勾股定理求出BE值为2币,根据垂线段最短可知B到直线AE的距离

小于2万；则③错误；

④要求正方形的面积，则需知道正方形一条边的平方值即可，所以在AAEB中，ZAEB=135°,

AE=2,BE=2币,过点A作AH,BE交BE延长线于X点，在RtA中利用勾股定理

AB2=B/Y2+A//2即可.

【详解】：四边形A2C。是正方形，

：.AD=AB,ZDAB=90°.

：.ZDAP+ZBAP=9O°.

又/EA8+/BAP=90。，

：.ZEAB=ZDAP.

又AE^AP,

：.AAPD^AAEB（SAS）.

所以①正确；

\'AE=AP,Z£AP=90°,

NAPE=NAEP=45°,

ZAPD=180°-45°=135°.

△APDmAAEB,

：.ZAEB=ZAPD=135°,

：.ZBEP=135°-45°=90°,

即班_LED,②正确；

在等腰RtAAEP中,利用勾股定理可得EP=y/AE2+AP2=272，

在RtABEP中，利用勾股定理可得BE=4BP2—EP2=2币■

点到直线AE的距离小于BE,所以点B到直线AE的距离为2不是错误的,

所以③错误；

在AAEB中，ZAEB=135°,AE=2,BE=2币,

如图所示，过点A作交2E延长线于X点.

B

万

在等腰R3AHE中，可得AH=HE=^AE=拒.

所以BH=6+2小.

在RtAAHB中利用勾股定理可得AB2=BH2+AH2,

即4笈=（应+2或）2+（后）』32+4亚，

所以S正方形ABCD=32+4-\/14.

所以④正确.

所以只有①和②、④的结论正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决复杂几何图形时要

会分离图形，分离出对解决问题有价值的图形单独解决.

2.如图，正方形ABC。中，E是延长线上一点，在AB上取一点R使点2关于直线

的对称点G落在上，连接EG交CD于点X,连接应/交跖于点连接CM.则

下列结论，其中正确的是（）

①/1=/2；

②/3=/4；

③GD=&CM；

④若AG=1,GD=2,则

A.①②③④B.①②C.③④D.①②④

【答案】A

【分析】①正确.如图1中，过点B作BKXGH于K.想办法证明RtABHK^RtABHC(HL)

可得结论.

②正确.分别证明NGBH=45。，/4=45。即可解决问题.

③正确.如图2中，过点M作MWLAD于W,交BC于T.首先证明MG=MD,再证明

△BTM咨△MWG(AAS),推出MT=WG可得结论.

④正确.求出BT=2,TM=1,利用勾股定理即可判断.

图2

VB,G关于EF对称，

；.EB=EG,

.-.ZEBG=ZEGB,

:四边形ABCD是正方形，

；.AB=BC,ZA=ZABC=ZBCD=90°,AD//BC,

.•.ZAGB=ZEBG,

；./AGB=/BGK,

：NA=NBKG=90°,BG=BG,

.•.△BAG^ABKG(AAS),

；.BK=BA=BC,ZABG=ZKBG,

；/BKH=/BCH=90°,BH=BH,

RtABHK^RtABHC(HL),

.•.Z1=Z2,ZHBK=ZHBC,故①正确，

NGBH=/GBK+NHBK=；NABC=45。，

过点M作MQ_LGH于Q,MP_LCD于P,MR_LBC于R.

图1

VZ1=Z2,

・・・MQ=MP,

・.・NMEQ=NMER,

・・・MQ=MR,

.'.MP=MR,

・・・N4=NMCP=gNBCD=45。,

・・・NGBH=N4,故②正确，

如图2中，过点M作MW_LAD于W,交BC于T.

VB,G关于EF对称，

・・・BM=MG,

VCB=CD,N4=NMCD,CM=CM,

.,.△MCB^AMCD(SAS),

.\BM=DM,

・・・MG=MD,

VMWXDG,

・・・WG=WD,

VZBTM=ZMWG=ZBMG=90°,

ZBMT+ZGMW=90°,

VZGMW+ZMGW=90°,

・・・NBMT=NMGW,

VMB=MG,

.,.△BTM^AMWG(AAS),

・・・MT=WG,

VMC=V2TM,DG=2WG,

・・.DG=^CM,故③正确，

VAG=1,DG=2,

・・・AD=AB=TM=3,EM=WD=TM=1,BT=AW=2,

BM=^BT2+MT2=V22+l2=y/5，故④正确，

故选：A.

【点睛】本题考查正方形的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，等腰直

角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问

题，属于中考选择题中的压轴题.

3.如图，分别以的直角边AC和斜边A3为边向外作正方形ACPG和正方形

连接CE、BG、GE.给出下列结论：

①CE=BG；

②ECLBG

③FG1+BF-=2BD-+BC2

④3c2+GE?=2AC2+2AB2其中正确的是()

A.②③④B.①②③C.①②④D,①②③④

【答案】C

【分析】利用SAS证明△即可判断①；

证明N2NM=/MAE=90。，即可判断②；

假设③成立，利用勾股定理对等式变形证得AC=BC,而AC与3C不一定相等，即可判断

③；

利用勾股定理证得BC2+EG2=BE2+CG2,从而证得结论④成立.

【详解】解：二•四边形ACFG和四边形超DE都是正方形，

：.AC=AG,AB=AE,

:ZCAG=ZBAE=90°,

：.ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即ZGAB=ZCAE,

在△AGB和△ACE中，

AG=AC

■：-NGAB=NCAE,

AB=AE

：.△AGBgAACE(SAS),

：.GB=CE,故①正确；

设54、CE相交于点M,

G

'：AAGB^AACE,

：.ZGBA=ZCEA,

又；NBMN=NEMA,

：.ZBNM=ZMAE=90°,

：.EC±BG,故②正确；

设正方形ACFG和正方形ABDE的边长分别为。和氏

:△ACB为直角三角形，且为斜边，

AB2-AC2=b2-a2=BC2,

假设FG2+BF2=2BD2+BC2成立，

则有a2+(a+3C)2=2〃+3C2,

整理得：2a-BC=2(b2-a1),即a.8C=8C2,

a=BC,即AC-BC,

•••AC与BC不一定相等，

假设不成立，故③不正确；

连接CG,BE,设2G、CE相交于N,

G

,/ECVBG,

：.BC2+EG2=BN2+NC2+EN2+NG2=BN2+EN2+NC2+NG2=BE2+CGr,

1/四边形ACFG和四边形ABDE都是正方形，

BE2=2AB2，CG2=2AC2,

BC2+EG2=2AB2+2AC2,故④正确；

综上，①②④正确，

故选：C.

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂

直的定义、勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键.

4.如图，已知AC=BC,ZACB=90°,ZADC=45°,ADLBD,BD=2,CD=3后,则

AB长为（）

A.372B.2717C.V22D.后

【答案】B

【分析】过C作CMLAO于M,CN_LBO交延长线于N,设AC=BC=x,贝ijAB=0x,求出

MC=MD=CN=DN=3,SAABC+SABDC=SAACD+SAABD,证得AO="+g,在RtAABD

22222

中，AB=AD+BD,列得（0x）2=（1x+|）2+2,求出x即可.

【详解】解：过C作CMLAZ）于M,CN，2£）交延长线于N,

设AC=8C=x,则48=旧，

VZADC=45°,ADLBD,

：.ZCDN=ZADC=45°,

：.MC=MD=CN=DN=3,

"：SAABC+SABDC=SAACD+SAABD,

—尤?—x2x3=—x3ADH—x2AzD

2222

解得4。=2尤2+^，

在ABD中，AB2=AD2+BD2,

：.（V2x）2=（|x2+|）2+22,

解得尸阴（负值舍去），

••A.B=x=2J17,

故选：B.

B

【点睛】此题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确引出辅助线及掌握勾股定理是

解题的关键.

5.已知如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AGI3DB,

交CB的延长线于G,连接GF,若ADI3BD.下列结论：①DEI3BF；②四边形BEDF是菱形;

③FG回AB；④SABFG=；S平行四边形其中正确的是（）

A.①②③④B.①②C.①③D.①②④

【答案】D

【详解】解：①•••在平行四边形ABCD中，E、尸分别为边A2、的中点，

，四边形DEBF为平行四边形，J.DE//BF

故①正确；

②由①知四边形OEBP为平行四边形，

•：AD±BDE为边AB的中点，

：.DE=BE=AE,

二四边形8即尸是菱形

故②正确；

@'：AG//DBAD//BGADLBD,

...AGBO为矩形，

：.AD=BG=BC,要使FGJ_A8,

贝ljBF=BC=BG,不能证明BF=BC,

即尸GLA2不恒成立，

故③不正确；

④由③知BC=BG,

•.•尸为CD中点,

**•SAFCG=-^S平行四边形ABCD,

・・SABFG--S平行四边形MCD，

故④正确.

故选择D.

6.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,5),点5的坐标为(-2,0),。3力为平面直角坐

标系内一点，ZABC=90°,BA=BC,则而的值为()

A.14B.-6C.-6或14D.-6或—14

【答案】D

【分析】分当点C在入轴上方和点C在入轴下方两种情况，画出图形求解即可.

【详解】解：当点。在x轴上方时，如图1所示，作轴，

TA点的坐标为(0,5),5的坐标为(-2,0),

：.OA=5,03=2,

•/ZABC=90°,

：.ZABO+ZCBD=90°,

,：ZABO+ZBAO=90°,

:・/BAO=/CBD,

和"CD中，

/BAO=NCBD

<NAOB=/BDC,

AB=BC

：.AABO^ABCD(AAS),

：.BD=OA=5fCD=OB=2,

・・・C点坐标为(-7,2),

6ZZ?=-7X2=-14；

当点C在x轴下方时，如图2所示，作CE_Lx轴，

与(1)证明方法一样可证得(AAS),

：.BE=OA=4,CE=OB=3,

：.OE=5-2=3,

・・・C点坐标为(3,-2),

.•・〃A=3x(-2)=-6.

故选：D.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、

“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等.也考查了分类讨论的思想、坐标与图形性质等

知识.

7.如图，口ABC。的对角线AC、8。交于点O,AE平分NBA。交8C于点E,且/AZ)C=60。，

AB=^-BC,连接0E,下歹ij结论：®ZCAD=30°；®S^ABCD=AB-AC；③OB=AB；®OE=-

24

BC,成立的个数有()

【答案】C

【分析】由四边形ABC。是平行四边形，得至Ij/ABC=NADC=6O。，ZBAD=120°,根据AE

平分NBA。，得到NB4E=/EAO=60。推出△ABE是等边三角形，由于A8=g8C,得至UAE=

yBC,得到△ABC是直角三角形，于是得到NC4D=30。，故①正确；由于ACLAB,得到

S^ABCD=AB>AC,故②正确，根据A2=gBC,OB=^BD,>BD>BC,得至IjABCOB,故

③错误；根据三角形的中位线定理得到。斤;A8,于是得至>JOE=!BC,故④正确.

24

【详解】解：・・•四边形ABCO是平行四边形，

ZABC=ZADC=60°fZBA£)=120°,

TAE平分NBA。，

・•・ZBAE=ZEAD=60°

・・・△ABE是等边三角形，

:.AE=AB=BE9

'：AB=^BC,

：.AE=^BC,

：.ZBAC=90°,

：.ZCAD=30°,故①正确；

•：AC±AB,

：.S^ABCD=AB-AC,故②正确，

'：AB=^BC,OB=』BD,>BD>BC,

：.AB<OB,故③错误；

;CE=BE,CO=OA,

：.OE=^AB,

：.OE=-BC,故④正确.

4

故选c.

【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性

质.注意证得△ABE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键.

8.如图，菱形ABC。中，ZBAD^60°,AC与2。交于点O,E为延长线上的一点，且

CD=DE,连接BE分别交AC,AD于点RG,连接。G,则下列结论正确的是（）

@OG=^AB；②与AEG。全等的三角形共有2个；③S四边形0DEG=S四边形ABOG；④由点

A、B、。、E构成的四边形是菱形；

A.①③④B.①④C.①②③D.②③④

【答案】A

【分析】①由A4s证明AABG之△£>EG,得出AG=DG,证出0G是△ACD的中位线，得出

OG=^CD=^AB,①正确；

②先证四边形ABDE是平行四边形，再证△ABD、是等边三角形，得

因此0D=AG,则四边形ABDE是菱形，④正确；

③由菱形的性质得AAgG/z^BOG=Z^DEG,再由SAS证明△BGA之△C。。，得

△A0B乌ACOB丝△C0Dm/XAOD^△BG4丝/\BGD丝/\EGD,则②不正确；

由中线的性质和菱形的性质可得SABOG=SA£)OG,SAABG=SXDGE,可得四边形ODEG

与四边形OBAG面积相等，得出③正确.

【详解】•••四边形ABCD是菱形，

.".AB=BC=CD=DA,AB//CD,OA=OC,OB=OD,AC±BD,

:.NBAG=NEDG,"BO咨ABCO咨ACDO咨LAOD(SSS),

'：CD=DE,

C.AB^DE,

在AABG和ADEG中，

ZBAG=ZEDG

<ZAGB=ZDGE,

AB=DE

：.AABG^ADEG(A4S),

：.AG=DG,

，OG是AACr)的中位线，

：.OG=^CD=^AB,故①正确；

连接A£,

'：AB//CE,AB=DE,

四边形ABDE是平行四边形，

'：ZBCD=ZBAD=60°,

.♦.△ABD、ABC。是等边三角形，

：.AB=BD=AD,ZODC=60°,

：.OD^AG,四边形ABDE是菱形，故④正确；

C.ADLBE,

由菱形的性质得：4BGA乌ABGD沿AEGD(SSS),

在"GA和AC。。中，

AG=DO

<ZBAG=ZCDO,

AB=DC

:.ABGA<ACOD(SAS),

AAOB沿ACOB咨ACOD学AAOD”ABGAmLBGDqAEGD,故②不正确；

；OB=OD,

:.SABOG=SADOG,

..•四边形A8DE是菱形，

:.SAABG=SADGE,

四边形ODEG与四边形054G面积相等，故③正确；

故选：A.

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性

质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的

判定与性质是解题的关键.

9.如图所示，正方形的面积为12,AABE是等边三角形，点E在正方形A3C。内,

对角线AC上有一点P,使尸D+PE的和最小，则这个最小值为().

C.4D.4A/2

【答案】B

【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD,与AC的交点即为尸点.此时PD+PE=BE

最小，而2E是等边△ABE的边，BE=AB,由正方形ABC。的面积为12,可求出A2的长，

从而得出结果.

【详解】解：连接8。，与AC交于点孔

:点B与。关于AC对称,

：.PD=PB,

：.PD+PE=PB+PE=BE最小.

1/正方形ABCD的面积为12,

:.AB=2W.

又「△ABE是等边三角形，

:.BE=AB=26.

故所求最小值为2抬.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了轴对称-最短路线问题，难点主要是确定点P的位置.注意充分运

用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分.再根据对称性确定点尸的位置即可.

10.如图，在菱形A3CD中，ZD=135°,A£>=3jI,CE=2,点尸是线段AC上一动点，点/

是线段A3上一动点，则PE+尸尸的最小值（）

A.2应B.3C.2A/5D.回

【答案】D

【分析】先作点E关于AC的对称点点G,再连接BG,过点B作BHLCD于H,运用勾股

定理求得BH和GH的长，最后在R3BHG中，运用勾股定理求得BG的长，即为PE+PF

的最小值.

【详解】解：作点E关于AC的对称点点G,连接PG、PE,则PE=PG,CE=CG=2,

连接BG,过点B作BHJ_CD于H,贝!1/BCH=/CBH=45。，

BC=AD=3"

.\RtABHC中，BH=CH=BC-sinZBCH=BC-sinZ45°=372x=3

2

；.HG=HC-GC=3-2=1,

.••RtABHG中，BG=VBH2+HG2=V32+l2=Vi0，

:当点F与点B重合时，PE+PF=PG+PB=BG（最短），

.,.PE+PF的最小值是加.

故选：D.

【点睛】本题以最短距离问题为背景，主要考查了菱形的性质与轴对称的性质，凡是涉及最

短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，一般情况要作点关于某直线的对称点.注意：

如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

11.如图，在必AABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,分别以AB,AC,BC为边向AABC

外作正方形ABED,正方形ACHI,正方形BCGF.直线ED,HI交于点J,过点尸作KFIIHI,

交。E于点K,过点G作GM//DE,与HI,KF分别交于点M,L.则四边形KLMJ的面积

为（）

A.90B.100C.110D.120

【答案】C

【分析】先由勾股定理得出BC=5,在由正方形的性质推出四边形KLMJ,DG7A都是矩

形，再由矩形的性质得出"=A/=4,〃=ZM=3,延长AC至。，贝UCOLML,可证

AABC=AOCG（A4S）,继而得出四边形COMH是矩形，可得CO=HM=3,同理可得，

四边形EKQ8是矩形，KE=QB=4,即可求解四边形KLM7的面积.

【详解】

在RfAABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4

由勾股定理可得BC=5

四边形ABED,ACHI,BCGF都是正方形

「•四边形的四个角都是90。，四条边平行且相等

•・,KF〃HI,GM〃DE

：.ZJKL=ZKJM=90°

二•四边形KLMJ,DGIA都是矩形

.\ED=DA=AB=39AI=AC=IH=4.BC=BF=CG=5

.\DJ=AI=4,JI=DA=3

延长AC至O,贝iJCO_LML

・.•ZACB+AGCO=90°=ZACB+ZABC

.\ZABC=ZGCO

・・・ABAC=NCOG,BC=CG

AABC=AOCG(AAS)

,\AB=OC=3

,\ZCOG=90°

・.•ZJML=9U。

「•四边形COM”是矩形

:.CO=HM=3

同理可得，四边形EKQ5是矩形

.\KE=QB=4

四边形KLM7的面积

=H/JM=(K£+££>+")•(〃+田+HM)=(4+3+4)x(3+4+3)=110

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质、矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性

质等，熟练运用知识点是解题的关键.

12.如图，矩形A3C。的周长为1,连接矩形A3CD四条边中点得到四边形A//GQ,再

连接四边形4为。2四条边中点得到四边形A282c2。2,如此继续下去…，则四边形

A/oBoCioDo的周长为()

A.(；)5B.(1)10C.(-)5D.(-)10

2244

【答案】A

【分析】根据矩形ABC。的周长，四边形A222c2”的周长、四边形的周长，找到

规律即可解题.

【详解】解：顺次连接四边形四边的中点得到四边形A282c2。2,

连接AC,BD交于点O,

1/四边形AiBiCiD］是矩形ABCD的中点四边形，

助的中点4在AC上，A/Q的中点。2在2。上,

:.A2D2=^AD,

同理A2&=gAB,B2c2=^BC,C2D2=^CD,

四边形A2B2C2D2的周长为四边形ABC。周长的一半，即为矩形ABCD周长的：，

同理：四边形A4B4C4D4的周长为四边形A2B2C2D2周长的一半，即为矩形ABCD周长的(g)2,

/.四边形A/oB/oGoDo周长为矩形A8CO周长的(1)5,

故选：A.

【点睛】本题考查了中点四边形以及矩形的性质，找到连接矩形、菱形中点所得的中点四边

形的周长为原四边形周长的一半是解题的关键.

13.已知三角形的边长分别是5、7、8,则这个三角形的面积是()

A.9B.9拒C.10D.10A/3

【答案】D

【分析】画出三角形的边长分别是钻=8、AC=5、3c=7,作COLAB于。，先由勾股定理

计算出C。的长度，再根据面积公式计算即可.

【详解】如图：AB=8、AC=5、8c=7,作于。，

由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=BC2-BD2,

即52—452=72一(8一A。)?，

解得：AD=1,

/.人血?的面积」ABxCO」x8x»追=10技

222

故选：D

【点睛】此题考查了勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

14.如图，正方形ABCD中，尸为8上一点，线段AP的垂直平分线MN交3。于N,M为

垂足，交正方形的两边于E、F,连接PN,则下列结论：①NAPN=45。；®PC=-J1BN;

③NDNF=NDAP；@MN=MF+NE,其中正确的是()

【答案】B

【分析】①过N作ST〃BC,贝USTYAS,先证明△2SN是等腰直角三角形，得出&1=7N,

再由川V=PN,,证明RSASN丝RtANZP,得出NSAN=NTNP,证出N/WP=90°,即可得

出NA/W=45°；

®PC=PT+TC=SN+SB,ABSN是等腰直角三角形，SB=SN,即可得出PC=J^BN;

③假设NDNF=NZMP成立，证明得出DP=DF,可判断③不一定成立；

④过P作AO的平行线交MN于K,证出M/=A/K,NE=NK,即可得出结论.

【详解】解：①正确；过N作ST〃3c分别交A3、。。于S、T,则STLAB,

:四边形ABCD是正方形，

/.AB=BC=ST,ZBAD=90°,ZABD=45°,

&BSN是等腰直角三角形,

：