中考数学专项复习：反比例函数的图象及性质

题型二反比例函数的图象及性质

【要点提炼】

一、【反比例函数的概念】

一般地，函数y=«（k是常数，kWO）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成

X

了=丘-1的形式。自变量X的取值范围是XW0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

二、【反比例函数的图象】

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四

象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量xWO,函数yHO,所以，它的图象与x轴、y

轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

三、【反比例函数k的几何意义】

下列图形中反比例函数表达式为了=月，其中涉及两个反比例函数的，较大的k用左大表示，较

X

-§2

SAABO-S梯ZDCB

差量图形

J

I4\\"\\o

।\yT\\rlVV

―r0\T九

ID昌。1

5=k大-左小V"大-左小s=左大,小

3二

2

综合图形

IL：

C

r1fz尸7(x>0

~~QAX~0]AXOlc

s阴=S矩-闲s=3网s=k大-标

四、【反比例函数的性质】

反比例

函数

①x的取值范围是xWO,①x的取值范围是xWO,

y的取值范围是v丰。；y的取值范围是yWO；

性质②当k>o时，函数图象的两个分支分别②当k<0时，函数图象的两个分支分别

在第一、三象限。在每个象限内，y在第二、四象限。在每个象限内，y

随x的增大而减小。随x的增大而增大。

【专题训练】

一.选择题（共10小题）

1.（2020•兰州）已知点/（xi，/）,B（刈，"）在反比例函数〉=一1的图象上，若则

下列结论正确的是（）

A.xi〈X2<0B.X2<工1<0C.0<xi<%2D.OVx2Vxi

【解答】解：v-3<o,

...图象位于第二、四象限，在每一个象限内，夕随x的增大而增大，

XVyi<y2<0,

•••图象在第四象限，

.'.0<Xl<X2,

故选：C.

2.（2020•阜新）若/（2,4）与8（-2,a）都是反比例函数（U0）图象上的点，则a的值

是（）

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】B

【解析】解：・・・/（2,4）与5（-2,都是反比例函数歹二（（左W0）图象上的点，

：.k=2X4=-2a,

・・a=-4,

故选：B.

7

3.（2020•宁夏）如图，函数yi=x+l与函数”=亍的图象相交于点“（1，机），N（-2,〃）.若/

>"，则x的取值范围是（）

A.x<-2或0cx<1B.x<-2或x>l

C.-2<x<0或0<x<lD.-2<x<0或x>l

【答案】D

【解析】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象之上时,

所对应的无的取值范围为-2<x<0或x>l,

4.（2020•潍坊）如图，函数y=fcr+6"W0）与尸:（加W0）的图象相交于点/（-2,3）,B（1,

-6）两点，则不等式依的解集为（）

C.x>lD.x<-2或0<x<l

【答案】D

【解析】解：二,函数、=依+6（笈W0）与y=f（m40）的图象相交于点/（-2,3）,2（1,-6）

两点，

不等式/cx+b>?的解集为：X<-2或0<^<1,

故选：D.

5.（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数（x>0）与y=x-1的图象交于点P（d6）,

则代数式工-六的值为（）

ab

【答案】c

【解析】解：

法一：由题意得，

4ri+7i7rwi7

r解得，=或=|"口（舍去,，

1+V17V17-1

:.点P（-------，—~~）,

1+717,V17-1

即Bn：a=——，b=——，

.11221

"a~b~1+V17一417-114；

法二：由题意得，

4

函数歹=：（x>0）与y=x-1的图象交于点P（a,b）,

Aab=4,b=a-1,

.11b—a1

,abab4'

故选：C.

6.（2020•山西）已知点4（xi,yi）,B（X2,»2）,C（%3，>3）都在反比例函数y=]（左VO）的图象

上，且2Vo<%3，则>1，>2，V3的大小关系是（）

A.yi>y\>y?,B.y3>yi>y\C.y\>yi>y3D.y3>y\>yi

【答案】A

【解析】解：•••反比例函数y=[“<0）的图象分布在第二、四象限，

在每一象限y随X的增大而增大,

而Xl<X2<0<X3>

即y2>yi>y3-

故选：A.

417

7.（2020•滨州）如图，点/在双曲线上，点8在双曲线>=苓上，且48〃x轴，点C、。在x

轴上，若四边形/BCD为矩形，则它的面积为（）

【答案】C

【解析】解：延长A4交y轴于E,则BELy轴,

:点/在双曲线上，

二四边形AEOD的面积为4,

:点2在双曲线线尸?上，且/2〃x轴，

四边形BEOC的面积为12,

矩形/BCD的面积为12-4=8.

8.（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，矩形/BCD的对角线NC的中点与坐标原点重合，点

E是X轴上一点，连接4E.若/。平分NCME,反比例函数歹=乙（左>0,x>0）的图象经过ZE

上的两点4,F,且/尸=ERZUB51的面积为18,则人的值为（

A.6B.12C.18D.24

【答案】B

【解析】解：如图，连接2。，OF,过点/作NNLOE于N,过点尸作于".

：.MN=ME,

：.FM=^AN,

•：A,斤在反比例函数的图象上,

k

,•S^AON-S/\FOM~2，

11

:LON・AN=^・OM・FM,

22

1

：.ON=^OM,

：.ON=MN=EM,

:.ME=^OE,

・1

、•S丛FME=/^FOEf

9：AD平分NO4E,

：.ZOAD=ZEAD,

•四边形Z5CQ是矩形,

.OA=OD,

：.ZOAD=ZODA=NDAE,

：.AE//BD,

・•S”BE=S“OE，

**S/^AOE=18,

•；AF=EF,

.1_

••S/^EOF—~2^/\A0E-9，

.1_

=

••S^FME=^SAEOF3,

k

S^FOM=SAFOE-S^FME=9-3=6=讶,

.•#=12・

故选：B.

9.（2020•黔东南州）如图，点/是反比例函数（x>0）上的一点，过点/作轴，垂足

为点C,NC交反比例函数y=，的图象于点8,点尸是x轴上的动点，则△E18的面积为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【解析】解：如图，连接CM、OB、PC.

•my轴，

••S^APC=S^AOC=2x|6|=3,SABPC=SABOC=4x|2|=l,

=

•'•SAR4BSAAPC-S^BPC=2.

故选：A.

1;

10.（2020•黔西南州）如图，在菱形4BOC中，AB=2,ZA=60°,菱形的一个顶点C在反比例函

)

3

XD•产丁

【答案】B

【解析】解：：在菱形N2OC中，ZA=60°,菱形边长为2,

：.OC=2,ZCOB^60°,

过C作CE_LO8于E,

则NOCE=30°,

：.OE=1OC=1,CE=V3,

.,.点C的坐标为（-1,V3）,

k

・・•顶点。在反比例函数y-的图象上,

x

•*-y/3=-得k=-V3,

-i

即尸

二.填空题（共5小题）

11.（2020•大连）如图，在平面直角坐标系中，正方形/BCD的顶点/与D在函数尸芯G>°）的

图象上，轴，垂足为C,点5的坐标为（0,2）,则左的值为8.

【答案】8

【解析】解：连接2。，与/C交于点O

:四边形/BCD是正方形，/C_Lx轴，

：.BD所在对角线平行于x轴，

:B（0,2）,

：.O'C=2=B0'=A0'=D0',

，点/的坐标为（2,4）,

.,#=2X4=8,

故答案为：8.

12.（2020•宿迁）如图，点/在反比例函数y=（（x>0）的图象上，点8在x轴负半轴上，直线

24c1

交y轴于点C,若7?=不△/。8的面积为6,则左的值为6.

DCL

【答案】6

【解析】解：过点/作轴于。，则△/DCs2\jgoc,

"0C一BC-2’

/C1

V—=/\AOB的面积为6,

DCL

.1

•*^^AOC==2,

.1

,•S“co=qSAAOC=L

・••△AOD的面积=3,

根据反比例函数人的几何意义得，||fc|=3,

・・.|川=6,

••次>0,

:.k=6.

故答案为：6.

13.（2020•株洲）如图所示，在平面直角坐标系工。歹中，四边形O45C为矩形，点4、。分别在x

轴、»轴上，点3在函数（x>0,左为常数且左>2）的图象上，边与函数（x>0）

的图象交于点D,则阴影部分。£>8C的面积为….（结果用含后的式子表示）

【解析】解：•.•。是反比例函数月=家%>0）图象上一点

1

・•・根据反比例函数左的几何意义可知：△49。的面积为2=1.

:点2在函数为=5（x>0,左为常数且左>2）的图象上，四边形0/8C为矩形，

...根据反比例函数k的几何意义可知：矩形/3C。的面积为k.

：.阴影部分ODBC的面积=矩形ABCO的面积-△40D的面积=4-1.

故答案为：k-1.

14.（2020•辽阳）如图，在△48C中，点/在反比例函数（后>0,x>0）的图象上，

点B,。在x轴上，延长NC交y轴于点。，连接2D若△BCD的面积等于1,贝（U

的值为3.

【答案】3

【解析】解：作NEL8C于E,连接。/,

；4B=4C,

：.CE=BE,

：OC=

J.OC^^CE,

'JAE//OD,

：./\COD^/\CEA,

^CEA=(C—E)°2=4,

S〉COD”

,?丛BCD的面积等于1,OC=|O5,

.11

,•S/^COD=4s△3CZ)=4,

.1

«•SAc£^—4x^-=l,

1

・・・OC=^CE,

.11

,,S/^AOC=2s△CE4=2，

・

qL1=3?

••OAJOE=2+2

i

,•*SAAOE=/(k>0),

••左=3,

故答案为3.

15.（2020•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，矩形/5CQ的边45在y轴上，点C坐标为（2,

-2）,并且/。：50=1：2,点。在函数y=[G>0）的图象上，则后的值为2.

【答案】2

【解析】解：如图，：点C坐标为（2,-2）,

:.矩形O3CE的面积=2义2=4,

,：AO：BO=］：2,

矩形ZOED的面积=2,

:点。在函数（x>0）的图象上,

；.左=2,

三.解答题（共6小题）

16.（2020•济南）如图，矩形O42C的顶点/,。分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点2（2,2百）,

反比例函数>=［（x>0）的图象与3C,N3分别交于。，E,BD=^.

（1）求反比例函数关系式和点£的坐标；

（2）写出。£与NC的位置关系并说明理由；

（3）点尸在直线/C上，点G是坐标系内点，当四边形为菱形时，求出点G的坐标并判

断点G是否在反比例函数图象上.

【解析】解：⑴,:B（2,2V3）,则8c=2,

1

而BD=彳

1Q3L

；.CD=2一/=会故点〃2汽)，

将点。的坐标代入反比例函数表达式得：2店=年，解得左=3班,

2

故反比例函数表达式为了=学，

33V3

当x=2时，y—故点E(2,——

22

,「3厂-3V3-

(2)由(1)知，D(-,2百)，点E(2,丁)，点B(2,2v5),

则AD=4,2E=孚，

1V3

十斤BD21EBT1BD

故而=5=7而=砺=^=而'

C.DE//AC-,

(3)①当点尸在点C的下方时，

当点G在点b的右方时，如下图,

过点尸作轴于点X,

:四边形3CFG为菱形，则BC=CF=FG=5G=2,

在RtZXCMC中，OA=BC=2,OC=AB=2®

贝!]tanNOG4=故/0cL4=30°,

则尸〃=聂。=1,CH=CF-cosZOCA=2x^-=V3,

故点尸(1,V3),则点G(3,V3),

当x=3时，y=辞=百，故点G在反比例函数图象上;

②当点尸在点C的上方时，

同理可得，点G（1,3V3）,

同理可得，点G在反比例函数图象上；

综上，点G的坐标为（3,V3）或（1,3V3）都在反比例函数图象上.

17.（2020•盘锦）如图，/、3两点的坐标分别为（-2,0）,（0,3）,将线段48绕点8逆时针旋

转90°得到线段8C,过点。作垂足为D,反比例函数＞=］的图象经过点C.

（1）直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；

（2）点P在反比例函数y=5的图象上，当△PCD的面积为3时，求点尸的坐标.

【解析】解：（1）:将线段绕点8逆时针旋转90°得到线段8C,

:.AB=BC,ZABC=90°,

CDLOB,

:.NCDB=NAOB=NABC=90°,

：.ZABO+ZCBD=ZCBD+ZDCB=90°,

：.ZABO=ZDCB,

:.AABO沿4BCD（AAS）,

:・CD=OB=3,BD=OA=2,

：.OD=3-2=1,

・・・C点的坐标为（3,1）,

:・k=3X1=3,

反比例函数的解析式为：y=。；

JX

3

（2）设P（—，m）,

m

•Uy轴，CD=3,

1

由△尸的面积为3得：-CD-|m-1|=3,

1

x3|m-1|=3,

:・m-1=±2,

・・•冽=3或m=-1,

33

当加=3时，­=1,当冽=-1时，一=一3,

mm

18.(2020•恩施州)如图，在平面直角坐标系中，直线歹="-3〃(qWO)与x轴、＞轴分别相交于

4、5两点，与双曲线尸会(Q0)的一个交点为C,且5C二夕C.

(1)求点4的坐标；

(2)当S&4oc=3时，求。和左的值.

【解析】解：(1)由题意得：令y=ax-3a(aWO)中歹=0,

BPax-3a=0,解得x=3,

，点4的坐标为(3,0),

故答案为(3,0).

(2)过。点作y轴的垂线交歹轴于M点，作x轴的垂线交x轴于N点，如下图所示:

显然，CM//OA,

:・/BCM=/BAO,且N/5O=NC5。，

J△BCMs/\BAO,

BCCM幡1CM

—=---,即：-=---,

BAAO33

JCM=1,

又SNOC=»04,CN=3

1

即：5x3xCN=3,

：.CN=2,

・・・C点的坐标为(1,2),

故反比例函数的—1X2=2,

再将点C(1,2)代入一次函数y=Qx-3a(qWO)中，

即2=a-3a,解得a=-1,

・••当5^NOC=3时，a=-1,k=2.

19.(2020•广州)如图，平面直角坐标系xOy中，口CM5C的边。。在x轴上，对角线4C,OB交

于点函数夕=9(x>0)的图象经过点/(3,4)和点M.

(1)求人的值和点"的坐标；

(2)求口O/BC的周长.

【解析】解：(1):点/(3,4)在y=J上,

:.k=n,

'：四边形OABC是平行四边形，

：.AM=MC,

.,.点M的纵坐标为2,

:点加在>=¥的图象上，

：.M(6,2).

(2)'：AM=MC,A(3,4),M(6,2)

：.C(9,0),

：.OC=9,04=母+42=5,

二平行四边形CM2C的周长为2X(5+9)=28.

20.(2020•荆州)九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数

V=卷的图象与性质，其探究过程如下：

U)绘制函数图象，如图1.

列表：下表是x与y的几组对应值，其中m=1；

X.・・-3-2-1_11123•••

-22

y.・・212442m2…

33

描点：根据表中各组对应值G,y),在平面直角坐标系中描出了各点；

连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象.请你把图象补充完整；

(2)通过观察图1,写出该函数的两条性质；

①函数的图象关于了轴对称；

②当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小；

(3)①观察发现：如图2.若直线y=2交函数y=告的图象于4,8两点，连接过点8作

\x\

3c〃。/交X轴于C.则S四边形。/BC=4；

②探究思考：将①中“直线y=2”改为“直线y=a(a>0)”，其他条件不变，则S四边形OZBC=

4；

③类比猜想：若直线y=a(tz>0)交函数夕=备">0)的图象于/,3两点，连接04,过点2

作8C〃Q4交x轴于C,贝US,/戒2k.

图1图2

【