高考数学一轮复习：平面向量专项训练

（4）平面向量

高考数学一轮复习一站式复习之阶段测试

1.已知向量。=（1,尤），〃=（-1,3）.若向量2a+）与向量力垂直，则尤的值为（）

A.-3B.04

__3_____.__►__►

2.点C在线段A3上，^.\AC\=-\CB\.^AB=ABC,则2=()

4

A.-

34

3.已知向量a,8不共线，设〃=4+⑸v-2a-b,若“〃v,则实数左的值为（）

AVB.-14D.1

4.如图所示，等腰梯形ABCD中，AB=5C=CD=3AO,点E为线段CD上靠近点C的三等

分点，点R为线段3c的中点，则而=（）

B.--AB+—AC

1818189

1―.5--

C.--AB+-ACD.——AB+-AC

18926

5.单位向量a,b,c满足。一2〃+2c=0，则cos〈a1—2c〉=()

R娓CA/6

D.--------c.—

A-T42■

6.已知须，衣,|南|=r,|六|=』.若点P是△ABC所在平面内一点，且

-=^+2AC（则丽.正的最大值为（）

\AB\|AC|

A.13B.5-2V2C.5-2V6D.10+2及

7.如图，在等边三角形ABC中，BD=3DC,向量瓶在向量而上的投影向量为（）

c

D

8--9——.

A.—ADB.—AZ>C.—AD

1313

8.如图，在△ABC中，。是线段BC上的一点，且配=4砺，过点。的直线分别交直线

AB,AC于点M,N,^AM=AAB,俞=〃正（％〉0,〃〉0）,则〃—工的最小值是（）

A

2君-4273+4CM-72A/3+2

2X.

-3--3~

9.（多选）已知向量。=（1,3）,分=（2%2-幻，其中xeR,则下列说法中正确的是（）

A.若a_LZ>,则％=6

B.若a与8的夹角为锐角，则x<6

C.若x=l,则a在8上的投影向量为8

2

D.若|a+万|=|。|+|切，则x=-

7

10.（多选）在△ABC中，NA=90。，AB=3,AC=4,点。为线段A3上靠近A点的三等

分点，E为。的中点，则下列结论正确的是（）

A.AE=-AB+-ACB.”与丽的夹角的余弦值为15

6217

C.AECD=--D.AAED的面积为2

2

11.已知向量a=（2,5）,5=（4,4）,若a〃力，则2=.

12.图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图，其阴离子排列如图2所示，图2中圆的

半径均为1,且相邻的圆都相切，A,B,C,。是其中四个圆的圆心，则荏•丽=

图1图2

13.平面向量〃=(1,2),b=(4,2),c=ma-hb(meR),且c与。的夹角等于c与力的夹角，则

m=.

14.在△ABC中，AB=2,AC=3,A=—,^AD=-AB+-AC,则通与通夹角的大小

355

为.

15.如图，在平行四边形ABCD中，已知〃是3c中点，小,⑷欣于石，AB=2AD,

cosZDAB=—,设AB=a,AD=b,以a,b为基底表示EC,则EC=.

8

M

E

AB

答案以及解析

1.答案：D

解析：•.・向量a=(l,x),万=(「1,3),二2«+1=(1,2%+3).又2«+办与向量1垂直,

4

.•.—l+3(2x+3)=0,解得x=——.故选D.

3

2.答案：D

解析：不妨设|而|=4a,贝1)|京|=2|而|=3a.因为点C在线段A3上，所以题=—-BC,所

44

7

以;1=—4.故选D.

4

3.答案：A

解析：由题意，可知”0.因为“〃V,所以存在实数2,使得"=%，即a+劭=〃2a-))，

]_22—Q

整理得(1—22)4+(左+4))=0,即(1—24)4=—(左+团》.又a与方不共线，所以I——,即

k+A=0

<2.故选A.

k=—

[2

4.答案：A

解析：FE=FC+CE=1BC+1CD=1(AC-AB)+|(C5+BA+AD)

=1(AC-AB)+|j^CB+5A-|cB^=1(AC-AB)+|(5A+|cB)

=-AC--AB+-AB--AC--AB=-—AB+—AC,故选A.

229931818

5.答案：B

解析：方法一：因为a-28+2c=0,所以。=28一2c,所以〃之=4〃+4c?-8〃c由a,b,c

773一一

是单位向量，a2=b2=c2=19故办・c=—.所以I方—2c『二〃2—4〃・c+4c2=1----F4=—,所

822

以防—2c|=^.因为—2c)=(25—2c>S—2c)=2"+4c2—6»c=6—幺=』，所以

244

a•S-2c)手.故选B.

cos〈a,〃-2c〉=

\a\\b-2c\

方法二：因为a-2)+2c=0,所以a=2〃-2c.因为a,b,c是单位向量，所以设a=(l,O),

方=(%,%),c=(x2,y2),则x；+y：=i,xl+y；=l,(1,0)=(2xl-2x2,2yx-2y2),解得

"-f%=%=土率.取〃=c=j—；,乎］，贝I5.2c=j［厂手］因

为"一2c)=(16%乎j=j\b-2c\=^,所以

3

cos(a,b-2c)="3—2c)==逅.故选B.

\a\\b-2c\,屈4

lx——

2

6.答案：B

解析：以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系,

则即0),cfo,-\?>O),可得理-=(1,0),=(0,2)-AP=(1,0)+(0,2)=(1,2),即

It)\AB\\AC\

尸(1,2),所以而=——2),PC=^-l,y-2j,所以

PB-PC=l-t+4--=5-(t+-)<5-242,当且仅当.=夜时等号成立.

tt

7.答案：D

解析：由题知。是3c的四等分点，设△ABC的边长为a,

____________________1__________1_________.1_____3____.

则莅=恁+①=恁+—屈=次+_(前一次)=_诟+?式,

4444

22

|AD|=.f-AB+iAcY=\^AB+LAC\-AB-AC=,L+^«cos-=

441Vl6168V8834

ABAD=AB］-AB+-AC］=-AB\-ABAC=-a2+-a2cos-=-6z2,

^44J444438

则向量通在向量而上的投影向量为

|戢|cos〈须，而〉•心=丝普・砺而=3而.故选D.

\AD\\AD\2r713Y13

---a

I4J

8.答案：A

解析：因为M,D,N二点共线，所以可设痴=f函，则诟-=前-而).又

__________、»,1____,___»1____3___►1____,

ADk=AB+BD=AB+-BC=AB+-(ACk-AB)=-AB+-AC,所以

4444

|AB+|AC-W=A2V-|AB-|AC.XAM=2AB,AN=juAC,所以

|AB+^-AC-2AB=^X/AC-|AB-|AC^,所以

14?所以

消去,得厂3

1411411

〃----=〃------1-----.因为2>0,//>0,得一=------>09得〃>一,所以

233//433〃4

〃+」±=毡凸，当且仅当〃=」-,即〃=无时，等号成立，所以〃—工的最

3〃3V3333〃32

小值为2逃一4.故选人.

3

9.答案：ACD

解析：若Q_L力，则。1=2%+3(2-％)=0,解得x=6,A正确；若。与力的夹角为锐角，则

27

a-b=2x+3(2-x)>0,解得％<6,当2—九二3x2%,即％时，。=工力，即〃与力的夹角

为0,B错误；若x=l,则5=(2,1),因为。在Z，方向上的投影数量为叱=亨=逐，且〃

16175

的单位向量为与=[挛,g],所以a在8上的投影向量为画=（2』）=。，C正确；若

\b\[55）网

|a+方|=|a|+防|,则a与8同向，此时x=—,D正确.故选ACD.

7

10.答案：AC

解析：在△ABC中，ZA=90°,AB=3,AC=4,故以点A为坐标原点，AB,AC所在直线

分别为龙，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则A(0,0),8(3,0),C(0,4),£>(1,0),E^1\^所以屏=AB=(3,0),

AC=(0,4),丽=(g,—2〉丽=(1,—4).对于A,

-AB+-AC=-(3,0)+-(0,4)=|-,2|=AE,故A正确；对于B,

6262\2)

运丽=9|-22=-多库|=卓」函=孚，灰与丽的夹角的余弦值

U

cos〈雇函=L4=—11,故B错误；对于C,AE-CD=-xl-2x4=-—,

V17V41717x^4122

---------X----------

22

故C正确；对于D,△AED的面积为SOE»=；X|赤冈人|=；*1*2=1,故D错误.故选AC.

1L答案：-

5

Q

解析：因为a〃A,所以2x4—52=0,解得;1=,

12.答案：26

解析：如图所示，以a,万为一组基，其中|a|=l,防|=1,且a,〃的夹角为60。.

由图易得荏=2a+4b,05=4a+2b,所以福•丽=(2a+4m•(4a+2»=81+8/+20a小

=8+8+20xlxlx--26.

2

13.答案：2

解析：由a=(1,2),b—(4,2),得c=7%a+Z>=(«7+4,2m+2),|a|=A/5,|b|=2\/5,

a-c=5m+8，b-c=Sm+20.

:c与a的夹角等于c与b的夹角，

ca_cb

|c||a|=|c||ft|

5m+88m+20

解得根=2.

14.答案:-

3

解析：ADA13=\-AB+-AC]AB=-ACAB+-AB2=-X3X2XCOS—+-X22=-,

{55J555