2024-2025学年湖北省武汉市某中学高二（上）8月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省武汉市汉阳一中、江夏一中高二(上)8月月考

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.在空间直角坐标系中，五=(1,2,1)为直线/的一个方向向量，元=(2』,4)为平面a的一个法向量，且

ll/a,贝ijt=()

A.3B.-3C.1D.-1

2.已知直线a,b与平面a,£,y,能使a_L£的充分条件是()

A.a//a,b〃B，albB.aly,S_Ly

C.a/la,al/?D.aC\^=a,alb,be/?

3.已知事件4B互斥,它们都不发生的概率为:，且P(2)=2P(B),则P(3)=()

1462

A-3B9C9D3

4.已知甲袋中有4个白球、x个红球，乙袋中有2个白球、4个红球，各个球的大小与质地相同.现从甲、乙

两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不

相同的概率相等，贝卜=()

A.2B.4C.6或2D.8或4

5.水平放置的AABC,用斜二测画法作出的直观图是如图所示的AAB'C',其中

=OE=2,O'C=则△力BC绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的

表面积为()

A.8V-37TB.16-\/~371

C.(8<3+3)兀D.(16/3+12);r

6.已知矩形ABCD中，2B=1,BC是边BC的中点.4E和8。交于点M,将AABE沿4E折起，在翻折

过程中当4B与MD垂直时，异面直线B4和CD所成角的余弦值为()

7.已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足福•而=-40,4B是正方体的一条棱,

则祠•四的最小值为()

A.16(72-4)B.16(2-72)C.16(4-/2)D.16(/2-2)

8.在四棱锥P—A8CD中，力。=2,AB=BC=CD=1,AD//BC,5.PA=PC,PB=PD,则直线PA与

平面PBD所成角的正弦值的最大值为()

142

A-3B-5C3D1

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.设4,B为古典概率模型中的两个随机事件，以下命题正确的为()

A.若P(a)=g,P(B)=p则当且仅当PQ4+B)=泄，4、B是互斥事件

B.若P(4)=,P(B)=I，则4+B是必然事件

C.若。(4)=pP(B)=贝UPQ4+B)=(时4B是独立事件

D.若p")=9,P(B)=p且P(ZB)=J,则力，B是独立事件

10.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50〜350KW-八之间，进行适

当分组后(每组为左闭右开区间)，画出频率分布直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左到右

依次为既(=1,2,…,6),则()

A.x的值为0.0044

B.这100户居民该月用电量的中位数为175

C.用电量落在区间[150,350)内的户数为75

D.这100户居民该月的平均用电量为£L(50i+25应

11.已知正方体力BCD-的棱长为1,点P满足/=4瓦+〃西，其中26[0,1],“6[0,1],点

E、F分别是DA、久久的中点，下列选项不正确的是()

A.当2=1时，AABiP的面积为定值

B.当/L+〃=g时，三棱锥P-GEF的体积为定值

C.存在0<4<2<1使得&D与平面48P所成的角为45°

D.当〃=手寸，存在点P,使得4/1平面力

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.一组数据：1,2,3,4,5,5,5,6,6,7,8,9,9,10的众数为a,第三四分位数为6,则a+b=

13.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10后，每球交换发球权，先多得2分的一方获

胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为全乙发球时乙得分的概

率为全各球的结果相互独立.在某局打成10：10后，甲先发球，则甲以13：11获胜的概率为.

14.已知三棱锥S-4BC中，顶点S在底面的射影恰好是AABC内切圆的圆心，底面△ABC的最短边长为6.若

三个侧面面积分别为3后,4，万,5，西，4729,5，函，则顶点S到底面4BC的距离为；三棱锥

S-2BC的外接球的表面积为_____.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为

P乙每轮猜对的概率为|.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求：

4J

(1)甲在两轮活动中恰好猜对一个成语的概率；

(2)“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.

16.(本小题12分)

O

如图，AEL^^ABCD,CF//AE,AD〃BC,ADLAB,AB=AD1,AE=BC=2,CF=].

(1)求证：BF〃平面ADE；

(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

(3)求二面角E-BD-F的正弦值.

B

17.(本小题12分)

某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100

份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：［40,50),［50,60),…，

［90,100］得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)求样本成绩的第80百分位数；

⑶已知落在［50,60)的平均成绩是51,方差是7,落在［60,70)的平均成绩为63,方差是4,求两组成绩的总

平均数和总方差.

18.(本小题12分)

如图，在四棱锥P—HBCD中，底面力BCD是边长为2的菱形，Z.BAD=60°,△24。是正三角形，E为线段

4。的中点.

⑴若PB中点为G,求证：EG〃平面PCD；

(2)若平面PAD1平面2BCD,点F为面PCD上的动点.

①当点F恰为PC中点时，求异面直线与所成角的余弦值;

②若点H是平面PBE内的动点，求DH+FH的最小值.

19.(本小题12分)

随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全.为提高中学生

的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规

定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会.已知甲每次解开密码的概率为

«(!<«<1),乙每次解开密码的概率为0Gws<1),每次是否解开密码也互不影响,设&=｛甲成功解密

一份文件｝,A2=｛甲成功解密两份文件｝,Bi=｛乙成功解密一份文件｝,B2=｛乙成功解密两份文件｝

(I)已知概率P(4)=|,

(i)求a,£的值.

(ii)求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率.

(II)若3+"=3,求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值.

参考答案

l.B

2.C

3.C

4.C

5.B

6.D

1.D

8.C

9.ACD

10.49

11.ACD

12.13

13-

J-6

14.51017T

15.1?：(1)根据题意，设4表示甲两轮猜对1个成语的事件，

甲每轮猜对的概率为则猜错的概率为1W，

min,”、31,133

则P(&)=4X4+4X4=8,

(2)设4,4分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，Bi，%分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事

件，

C,,、31,133..,3.9

P(4)=不义/4义4=/(nz42)=Q)7=77.

2112424

-

PBQ3-3-9--9-

设4="两3-轮活3-动，星队，猜对3个成语”,则2=U慰当,且4/2与4互斥，&与殳，4与8］分别

相互独立，

所以P(A)=P(&B2)+P(4B1)=P(4)PCB2)+P(4)P(B1)=§x?+^x^=^-

因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是

16.解：(1)因为CF//2E,CFC平面ADE,AEu平面ADE,

所以CF〃平面ADE,同理可知CB〃平面4DE,

因为CFn8C=C,所以平面BCF〃平面2DE,

因为BFu平面BCF,

所以8F〃平面4DE；

(2)建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,

得丽=(-1,1,0)>~BE=(-1,0,2).~BE=(-1,0,2),C£=(-1,-2,2),BF=(0,2,今

设n=(x,y,z),

为平面BDE的法向量，贝4记.丝=―尤+丫=°,

In-BE=—x+2z=0

不妨令z=l,则道=(2,2,1)，

设直线CE与平面BDE所成角为仇

所以sin。=|cos<CE,n>\=工迪=厂子了于汽=4

1，।\CE\\n\V1+4+4XV4+4+19

所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值为小

(3)设记=(a,6,c)为平面BD尸的法向量,

(—a+b=0

贝嘴票上即卜6+畀=0

不妨令c=7,可得访=(-4,-4,7),

2x44-2x4-71

所以cos<m,n>=

<9xV^l5'

所以二面角E-BD-F的正弦值为孚.

17.解：(1)•••每组小矩形的面积之和为1,

・•・(0.005+0.010+0.020+a+0,025+0,010)x10=1,

a=0.030.

(2)成绩落在［40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0,030)X10=0.65<0.8,

成绩落在［40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)X10=0.9>0.8,

.••第80百分位数落在［80,90)内,

设第80百分位数为小，贝！|0.65+(m-80)x0.025=0.8,

解得m=86,

即第80百分位数为86.

(3)由图可知,成绩在［50,60)的人数为100x0.1=10,

成绩在［60,70)的人数为100x0.2=20,

故两组成绩的总平均数为处需产=59,

总方差为五两［10X(51-59)2+10x7+20x(63-59)2+20x4］=37.

18.解：(1)证明：取PC中点Q,连接QD,

1

•••DE//BC,DE=^BC,DE//GQ,DE=GQ,

••・四边形EGQD为平行四边形，

EG//DQ,­：EGC平面PCD,DQu平面PCD,

EG〃平面PM

(2)①取CD的中点连接BM,FM,

p

1

•••F为PC中点，MF//PD,MF=^PD=1,

NBFM就是异面直线BF和PD所成的角或所成角的补角，

•.•平面PAD_L平面力BCD,

平面PADCl平面ABC。=AD,PE1AD,ADC^^ABCD,

PE_L平面ABC。，BEu平面ABC。，

PE1BE,•••菱形48CD的边长为2,ABAD=60°,

.•.△PAD与A4BD、△BCD是全等的正三角形，

M.E分别为CD、4D的中点，

PE=BE=BM=v"3.

.•.在Rt△PBE中，PB=y]PE2+BE2=

在RtAPBC中，PC=VPB2+BC2=/IO,

„„PC/10

BF=—=——,

@VAD1PE,AD1BE,PECBE=E,BEu平面PBE,

■­•AD1平面PBE,又•:E为线段AD的中点，

•••DH=AH,

DH+FHAH+FH,

.•.要使。"+FH最小只需4F最短即可，即为2点到面PCD的距离h,

在△P£)•,PC=/To.PD-PC=2,

SAPDC=IX6UXJ4-y=雪，

,..pcpc

在RtANFC中，cos乙FCN=答=；,

NC4

;^P-ACD=^A-PCD'

1£1厚

XX2X2X-XhX

-22-32

解得九