人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：1 1 2 空间向量的数量积运算

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE11.1.2空间向量的数量积运算学习目标1.了解空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离．导语在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义．一、空间向量的夹角知识梳理定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉范围0≤〈a，b〉≤π向量垂直如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b例1(1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b⇏〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件．(2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量eq\o(AC,\s\up6(→))分别与向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，eq\o(B′A′,\s\up6(→))，eq\o(AD′,\s\up6(→))，eq\o(CD′,\s\up6(→))，eq\o(B′D′,\s\up6(→))的夹角．解连接BD(图略)，则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，所以〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(A′B′,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝45°，〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(B′A′,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝135°，〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD′,\s\up6(→))〉＝∠D′AC＝60°，〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CD′,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CD′,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°，〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(B′D′,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝90°.反思感悟(1)只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为π.(2)对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉．跟踪训练1在正四面体ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))的夹角等于()A．30°B．60°C．150°D．120°〖答案〗D〖解析〗〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°.二、空间向量的数量积运算知识梳理1．(1)空间向量的数量积已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0.(2)运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c2.向量的投影(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)．(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．注意点：(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定．①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．例2如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))；(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))；(4)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→)).解(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(BA,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1·cos60°＝eq\f(1,4)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,4).(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(BD,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1·cos0°＝eq\f(1,2)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2).(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(DC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1·cos120°＝－eq\f(1,4)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4).(4)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)〖eq\o(BD,\s\up6(→))·(－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·(－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))〗＝eq\f(1,4)〖－eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))〗＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)))＝－eq\f(1,8).反思感悟由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．跟踪训练2已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．〖答案〗－13〖解析〗∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(32＋12＋42,2)＝－13.三、利用空间向量数量积的性质求模长问题类比平面向量数量积的性质，给出空间向量数量积的性质．〖提示〗(1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0；(2)a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)；(3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)；(4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)．例3如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长．解∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝120°.∵eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，且eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2|eq\o(CA,\s\up6(→))||eq\o(BD,\s\up6(→))|cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝62＋42＋82＋2×6×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝68，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝2eq\r(17)，故CD的长为2eq\r(17).反思感悟用数量积求两点间距离的步骤(1)将两点间的连线用向量表示；(2)用其他向量表示此向量；(3)用公式a·a＝|a|2，求|a|.跟踪训练3已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为()A．6B.eq\r(6)C．3D.eq\r(3)〖答案〗B〖解析〗设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，因此a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).由eq\o(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，得|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC1,\s\up6(→))2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.所以|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6).1．知识清单：(1)空间向量的夹角、投影．(2)空间向量数量积、性质及运算律．2．方法归纳：化归转化．3．常见误区：(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定．(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0．1．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(A1C1,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(C1A1,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(C1B,\s\up6(→)) D.eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(AD1,\s\up6(→))〖答案〗AD2．已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，则cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(1,2)D．0〖答案〗D〖解析〗eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OC,\s\up6(→))|cos∠AOC－|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|cos∠AOB＝eq\f(1,2)|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OC,\s\up6(→))|－eq\f(1,2)|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|＝0，所以eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).所以cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝0.3．若a，b为空间夹角是60°的两个单位向量，则|a－b|＝________.〖答案〗1〖解析〗|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝1.∴|a－b|＝1.4．如图，