2024高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算学案文含解析新人教A版

第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算必备学问预案自诊学问梳理1.集合的含义与表示(1)集合元素的三个特征:、、.

(2)元素与集合的关系有或两种,用符号或表示.

(3)集合的表示方法:、、.

(4)常见数集的记法.集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号

2.集合间的基本关系关系自然语言符号表示Venn图子集对于两个集合A,B,假如集合A中随意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集

真子集假如集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集

集合相等假如集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等

3.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集Venn图符号语言A∪B=

A∩B=

∁UA=

1.并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.2.交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.3.补集的性质:A∩(∁UA)=⌀;A∪(∁UA)=U;∁U(∁UA)=A;∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).4.若集合A中含有n个元素,则它的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2.5.如图所示,用集合A,B表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A∩B,A∩(∁UB),B∩(∁UA),∁U(A∪B).6.card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).考点自诊1.推断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)集合{x2+x,0}中的实数x可取随意值.()(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.()(3)对随意集合A,B,肯定有A∩B⫋A∪B.()(4)若A∩B=A∩C,则B=C.()(5)直线y=x+3与y=-2x+6的交点组成的集合是{1,4}.()2.(2024全国3,文1)已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x|3<x<15},则A∩B中元素的个数为()A.2 B.3C.4 D.53.(2024全国1,文1)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B=()A.{-4,1} B.{1,5} C.{3,5} D.{1,3}4.(2024湖南郴州二模,文1)已知集合A={x|x(x-2)<0},B={y|y=x-1},则A∩B=(A.[1,2) B.(0,2) C.[0,2) D.[0,+∞)5.(2024江苏南京六校5月联考,1)已知集合A={x|x2-2x<0},B={x|x<1},则A∪B=.

关键实力学案突破考点集合的基本概念【例1】(1)已知集合A={x∈Z|-x2+x+2>0},则集合A的真子集个数为()A.3 B.4 C.7 D.8(2)(2024山东潍坊临朐二模,13)已知集合A={a,b,2},B={2,b2,2a},且A∩B=A∪B,则a=.

思索求集合中元素的个数或求集合中某些元素的值应留意什么?解题心得与集合中的元素有关问题的求解策略:(1)确定集合中的代表元素是什么,即集合是数集、点集,还是其他类型的集合.(2)看这些元素满意什么限制条件.(3)依据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要留意检验集合是否满意元素的互异性.对点训练1(1)(2024河北唐山一模,理1)已知集合A={-1,0,1,2},B={y|y=2x},M=A∩B,则集合M的子集个数是()A.2 B.3 C.4 D.8(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为.

考点集合间的基本关系【例2】(1)(2024浙江镇海中学摸底,1)设集合A={y|y=x2-1},B={x|y=x2-1A.A=B B.A⊆BC.B⊆A D.A∩B={x|x≥1}(2)(2024河北石家庄二中模拟,理2)设集合P={x||x|>3},Q={x|x2>4},则下列结论正确的是()A.Q⊆P B.P⊆Q C.P=Q D.P∪Q=R思索判定集合间的基本关系有哪些方法?解决集合间基本关系问题的常用技巧有哪些?解题心得1.判定集合间的基本关系的方法有两种:一是化简集合,从表达式中找寻集合间的关系;二是用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中找寻集合间的关系.2.解决集合间基本关系问题的常用技巧有:(1)若给定的集合是不等式的解集,则结合数轴求解;(2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求解;(3)若给定的集合是抽象集合,则用Venn图求解.对点训练2(1)已知集合A=xx-2x≤0,x∈N,B={x|x≤2,x∈Z},则满意条件A⊆C,且C⊆BA.1 B.2 C.4 D.8(2)集合M=xx=n2+1,n∈Z,N=yy=m+12,m∈Z,则两集合M,NA.M∩N=⌀ B.M=NC.M⊆N D.N⊆M考点集合的运算(多考向探究)考向1利用集合运算的定义进行运算【例3】(1)(2024新高考全国1,1)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=()A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4}(2)(2024全国3,理1)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为()A.2 B.3 C.4 D.6(3)(2024全国2,理1)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则∁U(A∪B)=()A.{-2,3} B.{-2,2,3}C.{-2,-1,0,3} D.{-2,-1,0,2,3}思索利用集合运算的定义进行运算的一般思路和求解的原则是什么?解题心得1.求解思路:一般是先化简集合,再由交集、并集、补集的定义求解.2.求解原则:一般是先算括号里面的,再按运算依次求解.对点训练3(1)(2024江西名校大联考,理1)已知集合A={x|x2-4x>0},B={x|x2-4≤0},则A∩B=()A.[-2,0] B.(-∞,0) C.[-2,0) D.[-4,4](2)(2024全国1,文2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩(∁UA)=()A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7}(3)(2024山东潍坊一模,1)设集合A={2,4},B={x∈N|x-3≤0},则A∪B=()A.{1,2,3,4} B.{0,1,2,3,4}C.{2} D.{x|x≤4}考向2定义新集合运算法则进行集合运算【例4】设P,Q是两个非空集合,定义集合间的一种运算“☉”:P☉Q={x|x∈P∪Q,且x∉P∩Q}.假如P={y|y=4-x2},Q={y|y=4x,x>0},则P☉Q=A.[0,1]∪(4,+∞) B.[0,1]∪(2,+∞)C.[1,4] D.(4,+∞)思索求解集合新定义运算的关键是什么?解题心得求解集合新定义运算的关键是细致分析新定义运算法则的特点,把新定义运算法则所叙述的问题的本质弄清晰,并能够应用到详细的解题过程之中.对点训练4定义A*B={x|x=x1+2x2,x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={1,2},则A*B=;(A∩(A*B))∪B=.

考点求集合中参数的值或取值范围【例5】(1)(2024湖南湘潭三模,理1)已知集合A={x|ax=x2},B={0,1,2},若A⊆B,则实数a的值为()A.1或2 B.0或1C.0或2 D.0或1或2(2)(2024全国1,理2)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=()A.-4 B.-2 C.2 D.4思索如何求集合表达式中参数的值或取值范围?解题心得一般来讲,若集合中的元素是离散的,则用Venn图表示,依据Venn图得到关于参数的一个或多个方程,求出参数后要验证是否与集合元素的互异性冲突;若集合中的元素是连续的,则用数轴表示,依据数轴得到关于参数的不等式,解之得到参数的取值范围,此时要留意端点的取舍.对点训练5(1)已知集合A={x|x2-3x+2≥0},B={x|x+1≥a},若A∪B=R,则实数a的取值范围是()A.[2,+∞) B.(-∞,2]C.[1,+∞) D.(-∞,1](2)已知集合A={x|x<-3,或x>7},B={x|x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是.

变式发散1将本题(2)中的B改为B={x|m+1≤x≤2m-1},其余条件不变,该如何求解?变式发散2将本题(2)中的A改为A={x|-3≤x≤7},B改为B={x|m+1≤x≤2m-1},其余条件不变,又该如何求解?由于图形简明、直观,因此许多数学问题的求解往往借助于图形来分析,下面例析运用集合中Venn图的三个阶梯:识图——用图——构图.阶梯一识图:用集合的交、并、补运算表示给出的Venn图【例1】(2024山东泰安一模,1)已知全集U=R,集合M={x|-3<x<1},N={x||x|≤1},则阴影部分表示的集合是()A.[-1,1] B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪(-1,+∞) D.(-3,-1)答案D解析由图可知,阴影部分表示的集合为M∩(∁UN).由U=R,N={x||x|≤1},可得∁UN={x|x<-1,或x>1},又M={x|-3<x<1},所以M∩(∁UN)={x|-3<x<-1}.故选D.对点训练1如图,I是全集,M,P,S是I的3个子集,则阴影部分所表示的集合是()A.(M∩P)∩SB.(M∩P)∪SC.(M∩P)∩(∁IS)D.(M∩P)∪(∁IS)阶梯二用图:借助Venn图求集合或集合的交、并、补【例2】设全集U={x|0<x<10,x∈N*},若A∩B={3},A∩(∁UB)={1,5,7},(∁UA)∩(∁UB)={9},则A=,B=.

答案{1,3,5,7}{2,3,4,6,8}解析由题知U={1,2,3,…,9},依据题意,画出Venn图如右图所示,由Venn图易得A={1,3,5,7},B={2,3,4,6,8}.对点训练2已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N∩(∁IM)=⌀,则M∪N=.

阶梯三构图:构造Venn图解某些应用题【例3】(2024新高考全国1,5)某中学的学生主动参与体育熬炼,其中有96%的学生喜爱足球或游泳,60%的学生喜爱足球,82%的学生喜爱游泳,则该中学既喜爱足球又喜爱游泳的学生数占该校学生总数的比例是()A.62% B.56% C.46% D.42%答案C解析设既喜爱足球又喜爱游泳的学生比例数为x.由Venn图可知,82%-x+60%=96%,解得x=46%,故选C.对点训练3向100名学生调查对A,B两件事的看法,得到如下结果:赞成A的人数是全体的35,其余不赞成;赞成B的人数比赞成A的人数多3人,其余不赞成.另外,对A,B都不赞成的人数比对A,B都赞成的学生人数的13多1人,则对A,B都赞成的学生人数为,对A,B都不赞成的学生人数为解答集合问题时的五点留意事项(1)留意集合中元素的性质——互异性的应用,解答时要留意检验.(2)留意描述法给出的集合的代表元素的特征.如{y|y=2x},{x|y=2x},{(x,y)|y=2x}表示不同的集合.(3)留意⌀的特别性.在利用A⊆B解题时,应对A是否为⌀进行探讨.(4)留意数形结合思想的应用.在进行集合运算时,要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.(5)留意补集思想的应用.在解决A∩B≠⌀时,可以利用补集思想,先探讨A∩B=⌀的状况,再取补集.第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算必备学问·预案自诊学问梳理1.(1)确定性互异性无序性(2)属于不属于∈∉(3)列举法描述法Venn图法(4)NN*(或N+)ZQR2.A⊆B(或B⊇A)A⫋B(或B⫌A)A=B3.{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且x∉A}考点自诊1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2.B依据交集的定义,A∩B={5,7,11}.故选B.3.D由不等式x2-3x-4<0,解得-1<x<4,故A∩B={1,3}.4.B由题得,A={x|x(x-2)<0}={x|0<x<2},B={y|y=x-1}={y|y故A∩B=(0,2).故选B.5.(-∞,2)∵集合A={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},且B={x|x<1},∴A∪B={x|x<2}.关键实力·学案突破例1(1)A(2)0或14(1)因为A={x∈Z|-x2+x+2>0}={x∈Z|-1<x<2}={0,1},所以集合A的真子集个数为22-1=3.故选A(2)因为A∩B=A∪B,所以A=B,则a=b2,b=2a或b=b2,对点训练1(1)C(2)-32(1)因为B={y|y=2x}={y|y>0},A={-1,0,1,2},所以M=A∩B={1,2},因此,集合M的子集个数是22=4.故选C(2)由题意得m+2=3,或2m2+m=3,解得m=1或m=-32.当m=1时,m+2=3,且2m2+m=3,依据集合中元素的互异性可知不满意题意;当m=-32时,m+2=12,而2m2+m=3,故例2(1)D(2)B(1)∵A={y|y=x2-1}={y|y≥0},B={x|y=x2-1}={x|x≥1,或x≤-1},∴A∩B={(2)由题得,集合P={x||x|>3}={x|x<-3,或x>3},Q={x|x2>4}={x|x<-2,或x>2},所以P⊆Q,故选B.对点训练2(1)D(2)D(1)由x-2x≤0,得0<x≤2,故A={1,2};由x≤2,得0≤x≤4,故B={0,1,2,3,4}.满意条件A⊆C,且C⊆B的集合C的个数为23=8,(2)∵M=xx=n+22,n∈Z,N=yy=2m+12,m∈∴N⊆M,故选D.例3(1)C(2)C(3)A(1)(数形结合)由数轴可知所以A∪B={x|1≤x<4},故选C.(2)满意x,y∈N*,y≥x,且x+y=8的元素(x,y)有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4个,故A∩B中元素的个数为4.(3)∵A∪B={-1,0,1,2},∴∁U(A∪B)={-2,3}.故选A.对点训练3(1)C(2)C(3)B(1)由题得A={x|x2-4x>0}={x|x<0或x>4},B={x|x2-4≤0}={x|-2≤x≤2},则A∩B={x|-2≤x<0},故选C.(2)由已知得∁UA={1,6,7},所以B∩(∁UA)={6,7}.故选C.(3)因为A={2,4},B={x∈N|x-3≤0}={0,1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3,4}.例4B∵P=[0,2],Q=(1,+∞),∴P∪Q=[0,+∞),P∩Q=(1,2],因此P☉Q=[0,1]∪(2,+∞).对点训练4{3,4,5,6,7}{1,2,3}∵A={1,2,3},B={1,2},∴A*B={x|x=x1+2x2,x1∈A,x2∈B}={3,4,5,6,7};(A∩(A*B))∪B=({1,2,3}∩{3,4,5,6,7})∪{1,2}={3}∪{1,2}={1,2,3}.例5(1)D(2)B(1