专题03平面向量的线性运算（考点清单知识导图+5个考点清单+3种题型解读）（学生版） 2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）

PAGE1专题03平面向量的线性运算（考点清单，知识导图+5个考点清单+3种题型解读）【清单01】实数与向量相乘设k是实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作.若，则；若，则；【清单02】运算律（1）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：；（2）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：；（3）实数与向量相乘的结合律：.【清单03】平行向量定理如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使.【清单04】单位向量长度为1的向量；设与非零向量方向相同的单位向量为，则：，.【清单05】向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算.已知是两个不平行的向量，向量可以用表示成（x，y是实数）的形式.那么：向量就是向量的合成（向量分解为两个向量）；向量是向量分别在方向上的分向量，或者是向量关于的分解式.【考点题型一】实数与向量相乘【例1】（23-24九年级上·上海长宁·期中）下列命题中，错误的是（

）A．如果或，那么B．如果、为实数，那么C．如果（为实数），那么D．如果或，那么【变式1-1】（23-24九年级上·上海崇明·期中）已知（其中k为实数）．下列说法中错误的是（

）A．若，那么 B．若，那么一定是非零向量C．若，那么与的方向相反 D．若是单位向量，那么的模是【变式1-2】（23-24九年级上·上海闵行·期中）已知是非零向量，如果与同方向的单位向量记作，那么下列式子中正确的是（

）A． B． C． D．【变式1-3】（22-23九年级上·上海徐汇·期中）计算：．【变式1-4】（2024·上海普陀·一模）化简：．【变式1-5】（23-24九年级上·上海杨浦·期中）已知向量与单位向量方向相反，且，那么．（用向量的式子表示）【变式1-6】（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知向量与是互不平行的非零向量，如果，那么向量与是否平行？答：．【变式1-7】（23-24九年级上·上海普陀·期中）如果向量与单位向量的方向相反，且长度为4，那么，（用表示）【变式1-8】（2024·上海杨浦·三模）已知在梯形中，，点、分别是边、的中点，，设，那么．（用含的式子表示）【变式1-9】（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在矩形中，于点，，且．(1)求的长；(2)如果，，试用、表示向量．【考点题型二】向量相关概念【例2】已知非零向量、和，下列条件中，不能判定的是（

）A．，B．，C．D．【变式2-1】下列说法中不正确的是（

）A．B．对于非零向量、、，，，则C．若，那么或D．若、均为单位向量，那么【变式2-2】已知在四边形中，记，，，．如果向量、、、都是单位向量，那么下列描述中，正确的是（

）A．向量与方向相同，且向量与方向相同B．向量与方向相同，且向量与方向相同C．向量与方向相反，且向量与方向相反D．向量与方向相反，且向量与方向相反【变式2-3】已知是一个单位向量，、是非零向量，那么下列等式正确的是（）A． B． C． D．【变式2-4】下列说法中正确的是（

）A．如果或，那么B．如果与均是单位向量，那么C．如果是单位向量，的长度为5，那么D．如果、为非零实数，为非零向量，那么．【变式2-5】已知、为非零向量，下列判断错误的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么或 D．如果为单位向量，且，那么【变式2-6】下列判断不正确的是（

）A．；B．如果向量与均为单位向量，那么或；C．如果，那么；D．对于非零向量，如果，那么．【变式2-7】向量和单位向量的方向相反，且，那么．（用表示）．【变式2-8】如图，在中，点E和点F分别在和上，，将沿直线翻折，点D落在边上的点G处，若则=（用表示）【考点题型三】向量的线性运算【例3】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如图，在中，点是边的中点，，，那么等于（

）A． B．C． D．【变式3-1】（24-25九年级上·上海·期中）在中，点D、E分别为上的点，且，，用向量表示向为（

）A． B． C． D．【变式3-2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知四边形是菱形，给出下列各式：①；②；③；④．其中正确的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式3-3】（20-21九年级上·上海虹口·阶段练习）已知：向量、、满足，试用、表示向量．【变式3-4】（2023·上海虹口·一模）如果向量、和满足，那么【变式3-5】（2023·上海奉贤·二模）如图，在平行四边形中，为对角线，E是边的中点，连接．如果设，，那么（含的式子表示）．【变式3-6】（2024九年级上·上海·专题练习）如图，在平行四边形中，点是边中点，点是边上的点，且设，，那么可用、表示为．【变式3-7】（24-25九年级上·上海·期中）等腰梯形中，，E、F分别是的中点，，设，则用向量表示可得=

【变式3-8】（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，点D、E分别是边上的点，，如果，那么．（用表示）【变式3-9】（23-24九年级下·上海黄浦·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点．为边上一点，且，设=，．作中垂线交于F，则【变式3-10】（23-24九年级下·上海闵行·阶段练习）如图，点E、F在对角线上，且，如果把图中线段都画成有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，与相等的向量是【变式3-11】（2023·上海·一模）如图，、分别是的两条中线，设，那么向量用向量，表示为．

【变式3-12】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知向量、，求作向量并求作向量在向量、向量方向上的分向量．【变式3-13】（23-24九年级上·上海·期中）如图，是平行四边形的边延长线上的一点，交于点．交于点，，设，．(1)用向量、分别表示下列向量：_____________，_____________，_____________．(2)在图中求作向量分别在、方向上的分向量．（不写作法，但要写出结论）【变式3-14】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，，对角线相交于点，设，．(1)试用，的式子表示向量；(2)在图中作出向量在方向上的分向量，并写出结论．【变式3-15】（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知，如图，点在平行四边形的边C