海南省海口市2025届高三年级上册摸底考试数学试题（含答案解析）

海南省海口市2025届高三上学期摸底考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若集合4={x[2<x<5},5={X|X2-4X+3<0},则Nf?八（）

A.{x|x>2}B.{x|l<x<5}

C.{x|2<x<3}D.{x|2<x<3}

2.已知向量@=（1,2）,B=（匕-1）,则“左=-；”是“色〃小的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知函数/■。）=尤-111苫，则/（X）的单调递减区间为（）

A.（-叫1）B.（0,1）

C.（1,+⑹D.（0,+司

4.已知adog。”，6=2%c=ln2,贝b,c的大小关系为（）

A.b>c>aB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

5.海口市作为首批“国际湿地城市”，有丰富的湿地资源和独特的生态环境，海口市某中学

一研究性学习小组计划利用5月1日至5月5日共5天假期实地考察美舍河湿地公园、五源

河湿地公园、三江红树林湿地公园、潭丰洋湿地公园和响水河湿地公园5个湿地公园，每天

考察1个，其中对美舍河湿地公园的考察安排在5月1日或5月2日，则不同的考察安排方

法有（）

A.24种B.48种C.98种D.120种

6.如图，在平面四边形48co中，4c与BD交于点O,且ZC/AD,04=1,

OB=OC=OD=2,剪去△口?£）,将△40©沿。/翻折，EOC沿。8翻折，使点C与点。

重合于点P,则翻折后的三棱锥尸-/O8外接球的表面积为（）

试卷第1页，共6页

A

A.5兀B.8兀C.9兀D.13兀

7.已知P是抛物线r=2x上的动点，则点尸到直线y=x+3的距离的最小值是（）

A.—B.272-1C.逑D.—

244

8.已知定义在卜3,3]上的函数/3=3-尸-2》+1,若/（/）+/（"7-2）«2,则加的取

值范围是（）

A.[-2,1]B.[-1,2]

C.D.[fl]

二、多选题

9.某校为了解学生的身体状况，随机抽取了50名学生测量体重，经统计，这些学生的体重

数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，

则（）

A.频率分布直方图中。的值为0.04

B.这50名学生体重的众数约为52.5

C.该校学生体重的上四分位数约为61.25

D.这50名学生中体重不低于65千克的人数约为10

试卷第2页，共6页

10.函数/（%）=为皿5+9）（4〉0,切＞0,0＜夕＜兀）的部分图象如图所示，则下列命题正确

的是（）

A.co=2

71

B.（p=—

3

C./（尤）关于x=T对称

D.将函数/⑺的图象向右平移二个单位长度得到函数〃（x）=2sin2x

11.在平面直角坐标系中，已知两定点8（。,0）,直线R4,尸8相交于点尸，且直

线尸4与直线P8的斜率之积为加，其中mwO,a＞0.下列选项正确的是（）

A.当加=-1时，动点P的轨迹为以原点为圆心，半径为。的圆，且除去（-。,0）,（。,0）

两点

B.当加＞0时，动点尸的轨迹为焦点在x轴上的双曲线，且除去（。,0）两点

C.当机＜0且加H-1时，动点尸的轨迹为焦点在X轴上的椭圆，且除去（-。,0）,（。,0）两

点

D.当m=2,0=百时，动点P的轨迹为曲线C,过点（3,0）且倾斜角为30。的直线与

曲线C交于M,N两点，贝=竽

三、填空题

O

12.已知2"=3,2"=—，贝l]a+b=

3---------

13.记A/BC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知c=l,且

。sin/=2b（sin5-sinCcos/）,则6=.

14.已知函数/（x）=e*（x+2）-ax,若存在唯一的负整数%,使得〃/）＜0,则实数。的

试卷第3页，共6页

取值范围是.

四、解答题

15.记其为数列｛%｝的前”项和，已知2s“=3%-1.

⑴求｛4｝的通项公式；

(2)设bn=a“+log3an,求数列｛4｝的前“项和1.

16.如图，在正四棱柱4BCD-44GA中，48=2,点E满足衣=2而，下是42的中点.

(1)证明：过月、E、尸三点的平面截正四棱柱所得的截面为梯形；

O

(2)若例=§,求二面角歹-巴£-3的正弦值.

17.制定适合自己的学习计划并在学习过程中根据自己的实际情况有效地安排和调整学习方

法是一种有效的学习策略.某教师为研究学生制定学习计划并坚持实施和数学成绩之间的关

系，得到如下数据：

成绩＞120分成绩4120分合计

制定学习计划并坚持实施14620

没有制定学习计划22830

合计163450

(1)依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为“制定学习计划并坚持实施”和“数学成绩

高于120分”有关联？

(2)若该校高三年级每月进行一次月考，该校学生小明在高三开学初认真制定了学习计划，

试卷第4页，共6页

其中一项要求自己每天要把错题至少重做一遍，做对为止.以下为小明坚持实施计划的月份

和他在学校数学月考成绩的校内名次数据：

月考时间ii月初12月初次年1月初次年2月初次年3月初

时间代码X12345

月考校内名次y881857729569475

5

参考数据：»>,%=9433,7=702.2.

1=1

（i）求月考校内名次>与时间代码x的线性回归方程y=bx+a；

（ii）该校老师给出了上一年该校学生高考（6月初考试）数学成绩在校内的名次和在全省

名次的部分数据：

校内名次W5100200300

全省名次〃202576662780

利用数据分析软件，根据以上数据得出了两个回归模型和决定系数火2：

模型①模型②

u=9.5w-449u=28e0016*

7?2-0.7927A2»0.9973

在以上两个模型中选择“较好”模型（说明理由），并结合问题（i）的回归方程，依据“较好”

模型预测小明如果能坚持实施学习计划，他在次年高考中数学成绩的全省名次（名次均保留

24320672

整数）.（参考数据：产々9.7,e«11.4,e-«2.0）

附…）人…其中几=a+b+c+d.

a0.050.010.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

（i）对于一组数据=1,2,3,…,〃），其回归直线=%+a的斜率和截距的最小二乘估

试卷第5页，共6页

£(为-亍)(％-5)-nxy

计分别为：b-----------T---------，a=y-bx.

可2夕-凉

z=l/=1

18.已知函数〃x)=x2Y2a+l)x+alnx(aeR).

(1)当。=1时，求函数>=〃x)在x=l处的切线方程；

(2)讨论/(x)的单调性;

⑶若g(x)=/(x)-x2-(a-l)lnx有两个不同的零点X],x2,求。的取值范围.

19.对于二次曲线一%2+〃必=1,我们有：若。(x')')是曲线「上的一点，则过点。与曲

22

线r相切的直线方程为%'x+〃y》=l.已知椭圆C|：会+方=1(。>6>0),a2=i3b2,动圆

2

C2：X+/=户(b<r<a),点、尸(%,%)是£与C2在第一象限的交点.

(1)求椭圆G的离心率e；

⑵过点尸作动圆G的切线/,/经过椭圆。的右焦点尸(c,0),求％与c满足的关系式

/(xo,c)=O；

(3)若6=1,直线42与G，4均相切，切点A在£上，切点B在C2上，求|48|的最大值.

试卷第6页，共6页

参考答案:

题号12345678910

答案DCBABCDDABCAC

题号11

答案ABD

1.D

【分析】根据一元二次不等式化简集合，即可根据交运算求解.

【详解】由于8=卜卜2-4X+340},故3={x$43},

故/口5={x[2<xW3},

故选：D

2.C

【分析】根据向量的共线的坐标关系，即可根据充要条件的定义判断.

【详解】由1=。,2),b=(k,-l),若九则”=一1,解得人=一；，

故“左=-g”是〃『，的充要条件，

故选：C

3.B

【分析】求导，根据导数为负即可求解.

【详解】/(x)=x-lnx的定义域为(0,+8),

_l£zl.

r(x)=1X=X

令/'(x)=U<°，解得0<x<l，

故f(x)的单调递减区间为(0,1)，

故选：B

4.A

【分析】判断凡Ac与0」的大小关系，然后计算即可.

【详解】由题可知4=1。8().23<1080.21=0,b=201>2°=1,lnl<ln2<lne=>0<c<l

故。<c<b

故选：A

答案第1页，共11页

5.B

【分析】先排特殊，再一般，最后按照计数原理计算即可.

【详解】先安排美舍河湿地公园的考察时间，方式有A；=2种；

再安排剩下四天的行程有A：=24,所以一共有2x24=48种安排方法.

故选：B

6.C

【分析】根据给定条件，可得。4。瓦。「两两垂直，再补形成长方体，借助长方体求出球的

表面积.

【详解】依题意，在三棱锥尸一/。8中，OPLOBQPLOAQALOB,

因此三棱锥P-/O8可以补形成以OP为共点三条棱的长方体，

该长方体的外接球即为三棱锥尸-403的外接球，设球半径为尺,

22222

则2R=^OA+OB+OP=42+2+2=3，

所以三棱锥尸-403外接球的表面积为4承2=兀（2尺）2=9兀.

【分析】设点尸的坐标为（2/,2/）,利用点到直线的距离公式结合二次函数的最值可求得点产

到直线y=丈+3的距离的最小值.

【详解】设点尸的坐标为Q匕2。,

则点尸到直线~+3=。的距离为八吐汨5后,

V2丁

当且仅当/时，d取最小值逑.

24

所以，点P到直线y=、+3的距离的最小值是一.

4

答案第2页，共11页

故选：D.

8.D

【分析】根据ga)=/(x)-i的奇偶性以及单调性，即可将问题转化为g(小)vg(2-优)，

即可求解.

【详解】iHg(^)=ex-e-x-2x,xe［-3,3］,贝lJg(-x)=eT-e*+2x=-g(x),

故g(x)为［T3］的奇函数，

又g<x)=e*+尸-2N2，&'尸-2=0，

因此g(x)为［-3,3］上的单调递增函数，

因为/(x)=g(x)+l,

由/'(/)+/(小_2)42可得8(加2)+8(加-2)+242,进而g(加)4g(2-加),

故一3V加2V2—机43，解得-1W加W1,

故选：D

9.ABC

【分析】利用频率之和为1可判断选项A,利用频率分布直方图中众数的计算方法求解众数,

即可判断选项B,由分位数的计算方法求解，即可判断选项C,利用频率即可计算个数求解

D.

【详解】由(0.01+0.07+0.06+4+0.02)x5=1,解得。=0.04,故选项A正确；

50名学生体重的众数约为笆产=52.5,故选项B正确；

因为体重不低于60千克的频率为0.3,而体重在［60,65)的频率为0.04x5=0.2,

所以计该校学生体重的75%分位数约为60+5*；=61.25,故选项C正确.

体重不低于65千克的频率为0.02x5=0.1,

所以这50名学生中体重不低于65千克的人数为01*50=5人，故选项D错误；

故选：ABC.

10.AC

【分析】根据。=冷?=上生可得。=2,代入最高点可得°=百，进而求出函数的

412646;6

表达式，即可判断AB,代入验证即可判断C,根据平移即可求解D.

答案第3页，共11页

T57rTT127r

【详解】由图象可知/=2,T=7?-7=7X—'解得7=兀，o=2，

41264①

TTyrjrjr

又/（一）=2,所以2sin（；+初=2,即1+9=不+2析，左eZ,

6332

结合0<9<兀，可知左=0,0=巴，得〃x）的表达式为〃x）=2sin（2x+巴），故A正确，B错

66

误，

对于C,由于/（多=2$双萼+今=2$也卜-2,即于X）的图象关于x==对称,故c正确；

33623

7T

对于D,函数“X）的图象向右平移二个单位长度可以得到函数

6

g（x）=2sin[2（x~~）+~i=^sin（2x-,故D错误.

ooo

故选：AC.

11.ABD

22

【分析】设点P（x，H，显然ywO,上x—j=l,然后根据不

x-ax+aama

同选项的情况判断即可.

22

【详解】设点尸（无，力，显然xw±。，yRO,上、上=机J=1

x-ax+aa"ma~

当机=-1时，得/+/=/且XK±0,yRO,所以有动点尸的轨迹为以原点为圆心，半径

为。的圆，且除去（-a,0）,（a,0）两点，故选项A正确；

22

当加〉0时，有x^^二加='一1,显然。2>0,加>0因为xw±q,>w0,所

x-ax+aama

以动点尸的轨迹为焦点在X轴上的双曲线，且除去（-。,0）,（〃,o）两点，故选项B正确；

22

当机<0且7MW-1时，显然XH±4,yRO,^+――-=J,得/>0,-加”2>0

a"—ma

当/a-"?/〉。，即一〈加<。时，得动点尸的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且除去（-。,0）,

（。,0）两点；当/〈一机/,即小<_1时，得动点尸的轨迹为焦点在》轴上的椭圆，且除去

（-«,0）,（。,0）两点，故选项C错误；

22

当机=2,“=百时，得动点尸的轨迹为曲线C的方程为土-匕=1,

36

过点（3,0）且倾斜角为30。的直线方程为y=£xY

设w（x”必），N（x2,y2）

答案第4页，共11页

联立方程二一匕=1,y=化简得：/+2x-9=0

3633

得A=4+4xgx9〉0

276

利用韦达定理可知再入2=....-5-^1+X2=-不

故选：ABD

12.3

【分析】利用指数的运算法则计算即可.

Q

【详施毕】由题可知2"人=2。X2匕=3、2=8=230。+6=3

3

故答案为：3

13.1

【分析】根据正余弦定理边角互化即可求解.

【详解】由asinA=2Z)(sin5-sinCcosA)以及正弦定理可得/=26伍—ccos力),

故。2=2/—2bccosZ=2/-(/+/—叫，gpb2=/,

故b=c=l.

故答案为：1.

14.

【分析】当x<0时，由/(x)<0可得出.<e'(x+2),令其中苫<0,利

用导数分析函数g(x)在(-8,0)上的单调性与极值，数形结合可得出实数。的取值范围.

【详解】当x<0时，由/(x)=e*(x+2)-办<0可得办>eX(x+2),则°<也出1,

X

人/、ex(x+2)..(x1+2x-2)ex

令g(x)=」——L,其中x<0,贝n陵0)=1-------1工_,

%x

当x<0时，令g'(x)=0,可得x=-l一行，列表如下:

X-1-73(-1-73,0)

答案第5页，共11页

g'(x)+0-

g(x)增极大值减

且-3<T-百<-2,g(-3)=5，g(-2)=0,g(_4)=J,如图所示:

要使得存在唯一的负整数%,使得/（尤。）<0,即a<g（x。），

只需g（-4）wq<g（_3）,即^

因此，实数。的取值范围是:，（?]

故答案为：

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化

为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明

常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.

15.（l）q,=3"T

【分析】⑴令〃=1,可求出q的值;令心2,由2S"=3a“-l可得2%=3%-1,两个

等式作差推导出数列｛%｝为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列｛%｝的通项

公式；

（2）求出数列也,｝的通项公式，利用分组求和法可求得（.

【详解】（1）解：因为J为数列｛%｝的前〃项和，且2邑=3%-1,

当〃=1时，则有2%=3%-1,解得％=1；

当〃22时，由2邑=3q,-1可得2S„_,=3^-1,

上述两个等式作差可得2%=3a„-3^,整理得见=3%-,

答案第6页，共11页

所以，数列｛6｝是以1为首项，以3为公比的等比数列，

因此，%=1X3"T=3"T.

（2）解：因为或=。“+1。83%=3'1+1。员31=31+（〃一1）,

所以，7；=（3°+0）+（31+1）+（32+2）+--+^++（2-1）]

=（3°+31+32+---+J-1）+[0+1+2+---4（M-1]

_1-3"（0+"-1）〃_3"+〃2-n—1

―1-3+2-2,

16.（1）证明见解析

⑵平

【分析】（1）以点A为坐标原点，万、而、力;的方向分别为无、＞、z轴的正方向建立

空间直角坐标系，设平面稣即交棱/。于点G（0,仇0）,利用面面平行的性质可得出EG〃男厂,

根据的//率求出b的值，可得出EGwB7,由此可证得结论成立；

（2）利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得二面角b-8e-8的正弦值.

【详解】（1）证明：在正四棱柱/BCD-中，以点A为坐标原点，分、粉、丸《的

方向

分别为x、V、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

设平面用好交棱/。于点G（0,6,0）,

设A4]=a,则耳（2,0,a）、尸

因为平面ABCDH平面44G2,平面B｝EFc平面ABCD=EG,

答案第7页，共11页

平面用EFc平面=4尸，所以，EG//B.F,

因为率=(-2,1,0),用=\口可，

因为EG//用尸，设防=2率，即1-g/,o]=X(-2,l,O),

^4

-22=——2—►2——>2

所以，3,解得4=:,所以，EG=-BXF,即EG〃鸟尸且EG=*2/,

A=b33③

因此，过耳、E、尸三点的平面截正四棱柱所得的截面为梯形.

(2)解：因为4<=g，则*2,0,0)、耳。,。，1]、叫，。，0；小1，|1，

^=(-2,1,0),西=吕0,|；

m-BxF=-2x+y=0

设平面与皿7的法向量为记=(%,y,z),贝!p——>28

rh'EBx=-x-\■—z=0

33

取x=4,贝|y=8,z=-l,所以，m=（4,8,-l）,

易知平面的一个法向量为元=(0,1,0),

8

所以,cosm,«=

9

；64_VF7

所以,sinm,n=—cos2m,n=

因此,二面角F-B.E-B的正弦值为上.

17.⑴依据小概率值c=0.001的独立性检验，能认为“制定学习计划并坚持实施”和“数学成

绩高于120分”有关联

⑵⑴j>=-H0x+1032.2,(ii)模型②较好，全省名次预测为319

【分析】(1)计算卡方，即可与临界值比较作答，

(2)根据最小二乘法即可求解回归方程，利用决定系数的大小比较即可选择模型②，代入

方程即可求解名次.

【详解】(1)零假设4：制定学习计划并坚持实施和数学成绩高于120分没有关联

依据小概率值a=0.001的独立性检验认为名不成立,

答案第8页，共11页

即认为“制定学习计划并坚持实施”和“数学成绩高于120分”有关联

(2)(i)x=1(l+2+3+4+5)=3,

y=1(881+857+729+569+475)=702.2,

n

Vx.y.—nxy

g必,9433-5x3x702.2-1100

•b=-..................=-----------------------------=410,

+2-21+4+9+16+25-5x910

>xi-nx

Z=1

a=y-bx=702.2+1lOx3=1032.2.

・•・回归直线方程为j>=T10x+1032.2,

模型②较好，由于模型②炉。0.9973与模型①之土0.7927相比较，模型②决定系数左大于

模型①，因此拟合效果更好，

由于回归直线方程为5>=T10X+1032.2,当六月初月考时，x=8,小明的月考校内名次预测

值为夕=710x8+1032.2^152,

故省内排名预测为。=28e°s52=28e2©2。319.

18.(1)〉=—2

(2)答案见解析

/11-e

(3)--<6Z<—

22e

【分析】(1)求导，即可求解，

(2)求导，对。进行讨论，即可根据导数的正负确定函数的单调性，

(3)将问题转化为20+1=叱，构造〃(x)=UX,即可利用导数确定函数的单调性求解.

XX

【详解】(1)当。=1时，〃x)=x2-3x+lnx,则r(x)=2x-3+J,

故/'⑴=2-3+l=0J(l)=l-3+0=-2,

故y=/(%)在%=1处的切线方程为y=-2

(2)r(x)=2x-(2«+l)+-=2/-(2"+1"+"=-I)(…),

111

当时，令—(久)>0，解得X〉。或0<%<5，令/'(%)<0，解得

故此时/(x)在H，g,+8)单调递增，在的单调递减，

当。=g时，八久)20在(。,+8)上恒成立，故此时/(x)在(0,+8)单调递增，

答案第9页，共11页

当0＜。＜5时，令f'(x)＞。,解得x〉］或0＜x＜。，令(久)＜0，解得a＜x＜］,

故此时〃x)在(0,。),［,+”|单调递增，在的单调递减，

当〃=0时，f(x)=x2-x,故/(x)在的单调递减，在&,+s］单调递增，

当。＜0时，令/'(%)＞0，解得x＞5，令f'(x)＜。,解得。＜尤＜5，

故此时/(X)在的单调递减，在&,+s］单调递增，

(3)g(x)-/(x)-x2-(Q-l)lnx=x2-(2tz+l)x+tzln^-x2—(a-l)lnx=—(2a+l)x+lnx,

令g(x)=-(2"+l)x+lnx=0,贝［J2〃+1=^^,

x

i己〃(x)=r，贝=

当x>e时，A,(x)=^^<0,当0<x<e时，/i'(x)=^^>0,

XX

故h(%)在(0,e)单调递增，在(e,+“)单调递减,

且7z(e)=1,当x〉l时九(%)＞0恒成立，

要使g(x)有两个零点，则2。+1=叱由两个交点,