新高考数学二轮复习：立体几何常见压轴小题全归纳（练习）（解析版）

专题14立体几何常见压轴小题全归纳

目录

01球与截面面积问题1

02体积、面积、周长'角度、距离定值问题.............................................5

03体积、面积、周长、距离最值与范围问题............................................15

04立体几何中的交线问题...........................................................23

05空间线段以及线段之和最值问题....................................................26

06空间角问题.....................................................................31

07轨迹问题.......................................................................39

08以立体几何为载体的情境题.......................................................45

09翻折问题.......................................................................47

一题蛰01球与截面面积问题

1（2023•浙江宁波・统考一模）已知二面角尸一孙C的大小为丁球。与直线®目切，且平面

PAB、平面ABC截球0的两个截面圆的半径分别为1、则球0半径的最大可能值为（）

A.72B.2-x/2C.3D.回

【答案】D

【解析】设点。在平面X4B、平面ABC内的射影点分别为M、N,

设球。切A3于点E,连接建、NE、MN,如下图所示：

因为OM_L平面ABu平面R4B,则AB_LOAf,

由球的几何性质可知，OELAB,

因为0暇口。£=0,OM、OEu平面OME,则平面OME,

同理可知，平面ONE,

因为过点E作直线AB的垂面，有且只有一个，所以，平面。口、平面ONE重合,

因为OM_L平面BIB,MEu平面E4S,则OM_LME,同理可知，ONA.NE,

所以，0、M、E、N四点共圆，

由已知条件可知，ME=1,NE=&

因为平面OME,NE、MEu平面OME,则ABLKE,AB±NE,

所以，二面角尸-AB-C的平面角为/MEN或其补角.

3jr

①当NMEN=一时，

4

由余弦定理可得MN?=ME2+NE2-2ME-NECOS现=1+2—2xlx0x|--

易知，0E为△初VE外接圆的一条弦，

MN—下

所以，球。半径0E的最大值即为AMA石外接圆的直径，即为sinNMEN=^5

jr

②当NMEN=一时,

由余弦定理可得皿2=朋/+律2-2ME-A®cos-=l+2-2xlx^x—=1

42

故肱V=l,

易知，0E为AMNE外接圆的一条弦，

MN=1=一

所以，球。半径0E的最大值即为AMNE外接圆的直径，即为sinNMEN变~.

小

综上所述，球。的半径的最大可能值为风.

故选：D.

2.（2023•海南海口•海南中学校考二模）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一

个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，。2,a为圆柱上下底面

的圆心，。为球心，所为底面圆的一条直径，若球的半径〃=2,则平面0万月截球所得的截面面积最

13-14c16

A.2兀B.——71C.---71D.——71

555

【答案】D

【解析】由球的半径为人可知圆柱的底面半径为小圆柱的高为2r,过。作。GLOO］于G,如图所示:

2百

丁

设平面D所截得球的截面圆的半径为6,

当所在底面圆周上运动时,

0到平面DEF的距离4<OG,

所以片=F-#=4一力>4-1=y

所以平面截得球的截面面积最小值为g兀，

故D正确；

故选：D.

3.（2023•四川内江•四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球。是正三棱锥A-BCD（底面是正三

角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC=B=点£是线段8c的中点，过点E

作球。的截面，则所得截面面积的最小值是（）

,3兀2兀0兀一兀

A.—B.——C.-D.-

4324

【答案】A

【解析】如图：

是A在底面的射影，由正弦定理得，△BCD的外接圆半径r=W—x^=l.

sin60°2

由勾股定理得棱锥的高|AQ|=A/2^T=1设球。的半径为R,

则尺2=（1_尺）2+1,解得R=1,

所以|00j=0,即Q与。重合，

所以当过点E作球。的截面垂直于0E时，截面面积最小，

此时截面半径为怜E|=且，截面面积为手.

1124

故选：A.

4.（2023•江西•高三校联考阶段练习）在正方体ABCD-A耳C.中，AB=2,M,N分别为AD,8C的中

点，该正方体的外接球为球0,则平面截球。得到的截面圆的面积为（）

A.&B.乂c.3D•也

5555

【答案】D

【解析】如图，连接4%,由题意易知MNIIA与，

MN=AiBl,故四边形A百为平行四边形.

设耳CcBG=〃，取用G的中点K,连接NK,

在Rt△gKN中，B\N=&B、K=1,NK=2,

故点K到BXN的距离为平，故点H到B\N的距离为手，

因此圆心。到平面A政V的距离为手.由题易知球0的半径R=6,

故平面&MN截球。得到的截面圆的半径r=,故截面圆的面积S=兀产=£7r.

题型02体积、面积、周长、角度、距离定值问题

5.（多选题）（2021•新高考I）在正三棱柱ABC-A4G中，AB=A4,=1,点尸满足丽=彳就+〃西,

其中Xe[O,1],〃e[0,1],贝U()

A.当4=1时，△9P的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥P-A3C的体积为定值

C.当彳=；时，有且仅有一个点尸，使得

D.当〃=:时，有且仅有一个点P,使得43,平面做尸

【答案】BD

【解析】对于A,当4=1时，BP=BC+/2BBi,即而=〃瓯，所以在//西,

故点P在线段CQ上，此时△AB.P的周长为AB.+B.P+AP,

当点P为CQ的中点时，△48尸的周长为百+a,

当点尸在点G处时，的周长为2鱼+1,

故周长不为定值，故选项A错误；

对于3,当〃=1时，BP=XBC+BB,,即瓦A=2芯，所以瓦A//而,

故点p在线段用G上，

因为4G//平面ABC,

所以直线耳G上的点到平面ABC的距离相等，

又△ABC的面积为定值，

所以三棱锥尸-48c的体积为定值，故选项3正确；

对于C,当2时，取线段3C,4G的中点分别为“，陷，连结

因为而=3前+〃瓯，即称=〃瓯，所以用//国，

则点尸在线段上，

当点P在加1处时，\M{±BJCJ,±BtB,

又用。1「|45=4，所以4必■平面BBGC,

又浏么u平面3瓦£(7,所以即4尸,台2，

同理，当点P在M处，A.PLBP,故选项C错误；

对于。，当〃=：时，取CG的中点2，3片的中点。，

因为丽=4阮+L西，^DP=ABC,所以力P//限，

则点P在线的。2上，

当点P在点2处时，取AC的中点E,连结4片，BE,

因为BE_L平面ACGA，又ARu平面AC£A，所以

在正方形ACGA中，AD.LA^E,

又BEP|AE=E,BE,AEu平面ABE,

故AR_L平面A3E，又ABu平面&BE,所以48_1_四，

在正方体形ABBiA中，A8_L做，

又做=A,ADX,AB{u平面ABQi,所以_L平面AB{D{,

因为过定点A与定直线AtB垂直的平面有且只有一个，

故有且仅有一个点尸，使得A3,平面物P，故选项。正确.

故选：BD.

6.（2023•全国•高三专题练习）正三棱柱ABC-A耳G的各条棱的长度均相等，。为的中点，M,

N分别是线段B瓦和线段CG上的动点（含端点），且满足BM=GN,当〃，N运动时，下列结论正确的

是（）

A.在ADMN内总存在与平面ASC平行的线段

B.平面。脑V_L平面2CGB]

C.三棱锥A-DMN的体积为定值

D.ADAW可能为直角三角形

【答案】ABC

【解析】取MN、BC的中点0、E,连接。。、0E、AE.

对于A选项，•.・3//CC]且阴=CG，BM=CtN,

:.BM+CN=ClN+CN=CCi=AAl,且BMMCNU队,

易知四边形BCW为梯形或平行四边形，

因为。、E分别为MN、BC的中点，所以，OE//BM//CN,则。初/AD,

BM+CN

S.OE==-CCt=-AA，

QO为A4的中点，=4t=OE,

所以，四边形AOOE为平行四边形，，。。〃/归，

平面ABC,AEu平面ABC,平面ABC,A选项正确；

对于B选项，•.•△ABC为等边三角形，E为BC的中点，则AEL8C,

•.•3与，平面ABC,4£匚平面前。，，4£，叫，

QBCIBBt=B,.^.AE，平面3CG片，•.•。。〃AE,.^.OD，平面8CC4，

•••ODu平面DMN,因此，平面。MN_L平面BCC4,B选项正确；

对于C选项，因为AADM的面积为定值，

C£//44],CC1<z平面A^u平面所以，CC1〃平面的用8,

因为NeCC”所以，点N到平面的8出的距离为定值，进而可知，三棱锥A-DMN的体积为定值，C选

项正确；

对于D选项，•.•OD，平面84clC,肱7(=平面88℃,，00，血乂,

:。为MN的中点，则ZW=OV,

若ADMN为直角三角形，贝IUZMW为等腰直角三角形，则OD=OM=ON=g"N,

设正三棱柱ABC-A4G的棱长为2,则OD=AE=2sin60。=6，则跖V=275,

因为MNWBG=26,故MN片2出,所以，ADMN不可能为直角三角形，D选项错误.

故选：ABC.

7.（2023•湖南•邵阳市第二中学模拟预测）如图，在棱长为1的正方体A8C。-ABCR中，p为线段

上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（）

B.三棱锥尸-ABD的体积为定值

c.过点尸平行于平面4BD的平面被正方体ABCO-A与GR截得的多边形的面积为6

D.直线PA与平面48。所成角的正弦值的范围为乎］

【答案】ABD

【解析】对于A选项，三棱锥A-8DG外接球即为正方体"8-A8CQ的外接球，

正方体ABCD-ABC2的外接球直径为2R=代，

故三棱锥A-瓦妈外接球的表面积为4万4=3%，A对；

对于B选项，因为2片//。2且故四边形班刀刀为平行四边形，

所以，B.DJ/BD,Q瓦2（Z平面AfO,加匚平面^^九二用/^/平面人田。，

VPeBR,所以点尸到平面A.BD的距离等于点Dt到平面A.BD的距离，

S^DDi•叩=~，Vp—&BD=V^—ABD==B对；

对于c选项，•••A4〃CD且A4=cr>,则四边形aqc。为平行四边形,

所以，ADUB\C,

•••BCO平面48。，AOu平面所以，21C〃平面A|B。，

又因为4R〃平面ABO,与Cc耳。=与，所以，平面BCR〃平面ABO,

所以，过点?平行于平面48。的平面被正方体ABCD-A与GD截得的多边形为AB。。，

易知ABCR是边长为应的等边三角形，该三角形的面积为序义（应了=¥，c错；

设点P到平面\BD的距离为h,由VP_ABD=%咏=:知，

C1

3V3x-rz

点P到平面ABD的距离为h=飞7处=Y=',

^/\A}BD75J

~2

当点?在线段用4上运动时，因为A耳=42,若尸为8也的中点时，p\1B.D,,

（尸4焉=:加=冬

当点P为线段的端点时，（出）1^=1,即#4尸441,

设直线尸4与平面4瓦）所成角为凡sin0=3eg,半，D正确.

尸433

8.（2023•广东实验中学高一期中）已知正四面体ABC。的棱长为3,其外接球的球心为。.点E满足

AE=2AB（0</I<1）,过点E作平面。平行于AC和BZ）,设a分别与该正四面体的棱3C、CD、D4相交

于点尸、G、H,贝I］（）

A.四边形及G”的周长为定值6

B.当4=g时，四边形EFGH为正方形

C.当/l=g时，a截球。所得截面的周长为反

D.32e(0,1),使得四边形EFGH为等腰梯形

【答案】ABC

【解析】对于A选项，因为AC//平面EfGH,ACu平面ABC,平面ABCCl平面EPGW,

:.EF//AC,同理可得GH〃AC,所以，EF//GH,同理E"〃/G,

所以，四边形EFG”为平行四边形，则砂=G",EH=FG,

因为即//AC,则叫考=1"同理由=第=彳，

所以，EF+EH=30—4)+34=3,因此，四边形E9G”的周长为定值6,A对;

对于B选项，取线段8。的中点连接AM、CM,

因为AB=A£>,以为80的中点，所以，AMrBD,同理BCCM,

因为AMcCM=Af,所以，8£>_1平面4。0,：4(7<=平面4。0,.・.4。_1_8,

当;1=工时，贝IIEFMLACULBDME",

222

因为EFIIAC,EHHBD,AC±BD,EFYEH,

所以，四边形瓦GH为正方形，B对；

对于C选项，将正四面体ABCD补成正方体APBQ-NCm,

则正方体APBQ-NCTD的棱长为"=走48=逑，

22

该正方体的体对角线为AT=6Ap=建，

2

所以，线段4T的中点。为正四面体ABCD的外接球球心，则球。的半径为R=亚，

4

因为PB//DN且PB=DN,则四边形尸班W为平行四边形，所以，BD//PN,

因为瓦7/AC,EF(z平面APCN,ACu平面APCN,.,.即〃平面APGV,

因为EHHBD,驰EHIIPN,因为N平面APCN,尸Nu平面”CN,.^.£H〃平面APCN,

因为历口即=石，所以，平面瓦GH〃平面APCN,

设平面ERS”分别交棱CT、PB、AQ、DN于点、I、J、K、L,连接〃、JK、KL、LI,

因为平面EFGH〃平面"CN,平面平面瓦6"=店，平面平面APCV=AP,

JK//AP,

同理忆〃CN,因为APHCN,;.JKHIL,同理〃〃LK,

所以四边形〃W为平行四边形，

,AKAE11

•:JKIIAP,AP//QB,则JK〃Q5,则3=-=彳，,AK==注，

AQAB332

因为点。到平面APCN的距离为：AQ=孚，

易知平面IJKL与平面APCW之间的距离为AK上,

2

所以，球心。到平面EFG"的距离为"=逑-1=走，

424

所以，球。被平面EFG”所截的圆的半径为r=犷方=巫，

2

因此，当2=g时，a截球。所得截面的周长为2万厂=而%，C对；

对于D选项，由A选项可知，四边形EFG"必为平行四边形，D错.

故选：ABC.

9.（2023•江苏苏州•模拟预测）在棱长为1的正方体中，点P满足

DP=2DD1+juDA,2e[0,l],we[0,1],则（）

A.当2=〃时，BP±AQ

B.当〃=g时，三棱锥G-尸瓦C的体积为定值

C.当彳+〃=1时，PC+PB的最小值为+6

D.当分+〃2=1时，存在唯一的点尸，使得点尸到AB的距离等于到DR的距离

【答案】ABD

【解析】当彳=〃时，P的轨迹为线段连接AC80,贝UACL8D,

又GC-L平面ABCD，GC_LB。，ClCr>AC=C,

：.BD±平面ACG,BD1AC],

同理可得AG_L£>4,。4cBO=。，

故AG，平面3Pu平面BOA，所以8PLAC，故A正确;

AB

当〃=；时，点尸的轨迹为线段斯（瓦厂为AD，4R的中点），直线EF〃平面3CG瓦，故三棱锥

G-PB{C的体积VC「PB、C=匕＞一GM为定值，故B正确；

当2+〃=1时，尸点轨迹为线段RA,将三角形C2A旋转至平面。ABC1内，可知CP+P32CB,由余弦

定理可得C2=Jl+2+2xlx0x#二后，故C错误；

当公+〃2=1时，p点轨迹为以。为为圆心，1为半径的四分之一圆弧RA,

由点尸到AB的距离等于到DDX的距离，即点尸到点A的距离等于到DDl的距离,

则P点轨迹为以A为焦点，以。2为准线的抛物线上，

故存在唯一的点P,使得点P到AB的距离等于到DA的距离，故D正确.

故选：ABD.

一题型03体积、面积、周长、距离最值与范围问题

10.（2022•乙卷）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该四

棱锥的体积最大时，其高为（）

A.1B.1C.3D.史

3232

【答案】C

【解析】对于圆内接四边形，如图所示，

当且仅当AC,班＞为圆的直径，且AC_L3D时，等号成立，此时四边形ABCD为正方形,

二.当该四棱锥的体积最大时，底面一定为正方形，设底面边长为0,底面所在圆的半径为r,

贝ljr=，

2

该四棱锥的高/?=

该四棱锥的体积丫=』/

3V23V44

当且仅当《=1-4，即时，等号成立,

423

,该四棱锥的体积最大时，其高人=

11.（2022•新高考I）已知正四棱锥的侧棱长为上其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36%，且

3麴/3框,则该正四棱锥体积的取值范围是（）

Q1B.3，当C苧争

A.[18,—]D.[18,27]

444

【答案】C

【解析】如图所示，正四棱锥P-ABCD各顶点都在同一球面上，连接AC与BD交于点E,连接PE,则球

心O在直线PE1上，连接Q4,

设正四棱锥的底面边长为a,高为〃,

在RtAPAE中，P^=AE2+PE2,即尸=(苧了+后=(/+/,

♦.♦球。的体积为36万，.•.球O的半径尺=3,

在RtAOAE中，=OE2+AE2,BP7?2=(/z-3)2+(^)2,

-a2+川—6/z=0,—a2+/=6h,

22

/.l2=6h,又・・・3领J3』，/.

22

117

该正四棱锥体积V(h)=-a2h=-(12〃-2/)〃=一§/十助？，

V'(h)=-2h2+8/?=2/7(4-h),

3o

.•.当，无＜4时，V”7）＞0,V（/z）单调递增；当4＜心=时，r（/z）＜0,丫⑶单调递减,

22

,且巴以,

44

即该正四棱锥体积的取值范围是，y],

12.（2023•四川省内江市第六中学高二期中）已知四面体ABCD的所有棱长均为形,",N分别为棱

ARBC的中点，尸为棱AB上异于A,8的动点.有下列结论:

①线段的长度为1;②点C到面MFN的距离范围为

③ARWN周长的最小值为亚+1；④的余弦值的取值范围为0,

其中正确结论的个数为（

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】，•・四面体ABCD所有棱长均为血，，四面体ABC。为正四面体;

对于①，作OD_L平面ABC,垂足为0,

2

,四面体ABC。为正四面体，为AABC的中心，.〔OeAN且4?=§AN；

取AO中点G,连接MG,则MG//DO,MG=LDO且MGL平面A3C；

2

=GN=-AN=—,:.MG=-D0=-x

3322

#=匕①正确;

平面ABC,GNu平面ABC,:.MG±GN,:.MN=

2

对于②，在A3上取点T,使得=则。T//3C,;.ANJ.OT,

则以。为坐标原点，讨，两，砺正方向为x,y,z轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

、

zz/沏<

至

在

至

<且

fr

则AooBNDaC

6-263

UL

\L,\L\L\

设尸(x,y,z),AF=2AB(O<Z<1),

..AF=[x,y+JiA群宙W，o],.“=旦,y=旦一亚z=0,

I3J122J2，23

,•“¥人曰”孚4,•,荷=1[4生-孚0/

设平面ACVF的法向量元=（々,瓦。）,

MN'n=^-b-^-c=O

33A/3-A/3A

令b=l,解得：c=6，a=--------------

]VF.n=—2tz+f—2-—^=02

222

‘昱旦1宝

i+4->i:S〈d〈昱,即点C到平面的距离的取值范围为0,坐，②正确;

22

对于③，将等边三角形45c与ABD沿AB展开，可得展开图如下图所示,

贝UMR+NF2KV（当且仅当歹为A8中点时取等号），

•••四边形AC3。为菱形，M,N於别为AD,BC中点、，：.MN=6,

:.MF+NF>y/2,

则在四面体A8CD中，AfMN周长的最小值为0+1，③正确；

对于④，设。为A8中点，若点/在线段8。上，设BF上一x,则4尸=变+x,其中OVx（变,

222

\2

在中,NF2=BF2+BN2-2BF-BNcos—=--一x+--

AB/W312J2

在AAMF中，同理可得：MF2=x2+-X+-,

22

MF+NF2-MN22尤2

，cos/MFN=

2MF-NF

当x=0时，cosZWW-0；

1cosZMFN=一]

当0<x（注时，—>2,1111

2x匕/5三+1

；

-4----尤r4H--2----尤-27+1>3,0<cosZMFN<—3

cosZMFN的取值范围为

同理可得：当尸在线段AQ上时，cos/MFN的取值范围为

综上所述：/MFN的余弦值的取值范围为0,,④正确.

故选：D.

13.（2023•全国•高三专题练习）已知棱长为2的正方体48a>-A4G2,棱。A中点为M,动点P、

Q、R分别满足：点尸到异面直线8C、G2的距离相等，点。使得异面直线4。、BC所成角正弦值为定

值等,点R使得NAR8=午.当动点尸、。两点恰好在正方体侧面CDAG内时，则多面体RMPGQ体积

最小值为（）

「V2

D,显

26

【答案】A

【解析】由题意M，P^£,。都在平面DDCC内，其中M，G为定点.

点P到异面直线BC、GA的距离相等,

在正方体中，平面。RCC,故连接PC,有PC所以PC为点P到直线BC的距离.

所以在平面DD£C上，点P满足到点C的距离等于到直线GA的距离.

所以动点p的轨迹是为以C为焦点，以GA为准线的抛物线在正方体侧面CDAG内的部分.

由A2//BC,所以异面直线4。、8c所成角为NQAA（或其补角）

在正方体中,AQ1平面DDGC,又DtQ<=平面DD£C,所以A,D,1D,Q

所以sinNQAQ=%J=粤,又HM=2

所以cos/QAA=,则tanNQAR==4

所以|QR|=A，即动点。的轨迹是为以2为圆心，5为半径的!圆.

在四边形“尸GQ中，SMPGQ=Sg。+Swcy,又|=Jl+2,=6

A

在平面。。C|C内，取CG的中点。，连接M0,以CG为X轴，为y轴

则直线MG的方程为：x+1=-l,即2x+y+2=0,D,(-l,-2)

|-2-2+2|_2____J_

则点Q到直线MG的距离的最值为:

71+2f「飞忑飞

1L11

所以\«c12的最小值为5X行X方=5.

动点尸的轨迹方程为：y2=4x(y<0),设

2]3

所以点尸到直线MG的距离,号+'+2，(y+i)+，3

(当y=T时取得等号)

d=^^=忑E

1l33

所以S/C,M面积最小值SA„cj=5xgx丽=[

所以四边形MPCQ面积SMPCiQ=SMCiQ+SMC1P>|

点R满足NAR3=午，又|4邳=2血.

、冗TT

所以点R在以4B为弦的劣弧上，由/4版=彳，则圆心角为其半径为2,圆心到48的距离为友.

所以圆弧上的点到AB的距离的最大值为2-夜.

当劣弧所在的平面垂直于平面。2GC时，圆弧上的点到平面DQGC的距离最小值为亚

所以动点R到面。2GC距离最小值为0，

所以多面体RMPC.Q体积最小值为\级&=述

3412

故选：A

■k题型04立体几何中的交线问题

14.（2023•四川成都•高三校联考期末）在正方体ABCD-44G。中，E为线段AD的中点，设平面

ABC1与平面CGE的交线为加，则直线机与AC所成角的余弦值为（）

«1R币「Mn2>/5

A.D.C.L.）.

2255

【答案】B

【解析】设正方体ABCD-A4G2的棱长为2,

以点A为坐标原点，AB,AD,AA所在直线分别为x、y、z轴建系，如图所示：

则A(0,0,2)、8(2,0,0)、G(2,2,2)、C(2,2,0)、£(0,1,0).

设平面ABG的法向量为I=a,x,Z|),

瓯=(-2,0,2),Bq=(0,2,2),

4"B\=一2%+2Z]=0

由<______，

勺•BCX=2M+24=0

取％=1可得%=(1,-1,1)；

设平面CCi石的法向量为E=（X2，%，Z2）,

反=(2,1,0),不=(0,0,2),

-——►►

n2-EC=2X+%=0

由<—►----2

n2-CCX-lz2=0

取马=1可得%=(1,—2,。)，

设直线机的方向向量为机=(x,y,z),

•・•直线加U平面,直线机U平面。。也，

j.mX-Yty,m_L几2，

，—.

m-n^=x-y+z=0

••,——.’

m-n2=x-2y=0

取x=2可得加=,

已知AC=（2,2,0）,设直线形与AC所成角为。,

\m-AC\__6

|m|-|Ac|-76x2^2

即直线机与AC所成角的余弦值为由,

2

故选：B.

15.（2023•河北保定•高三统考期末）己知三棱锥ABC的所有棱长均为2,以BD为直径的球面与

△ABC的交线为L则交线L的长度为（)

A2后口4岳2n兀4指兀

A.-----------o.-----------Vx.-----LJ.-----

9999

【答案】A

【解析】取8。的中点为。，所以。为球心，过。作£＞尸1平面A3C于点厂,

即B为AABC的中心，延长8户交所以所交AC于点E,则E为AC的中点，

所以B尸===3若，DF=（BD-BF?=4/也］二巫

333丫（3）3

取跳■的中点a,连接。a,•.•。。//。/，则。。1，平面ABC,

因为BEu平面ABC,即OO|_L2E,且。6\=：。尸=/，

F°i=次岑0F=J。。：+FO：==1，

所以F为以8。为直径的球面上一点，

分别取ABIC的中点M,N,连接OM,ON,

且OM=ON=；OC=1,所以M,N也为以8。为直径的球面上一点，

则"MN为等边三角形，ABMN的外接圆即为四边形BMFN的外接圆，

BO,为外接圆的半径，所以NMO\N=2ZMBN=120°,

所以以为直径的球面与AABC的交线L长为肱V外接圆周长的;，

所以乙=」x2・无=独上

339

故选：A.

16.（2023•安徽•统考一模）安徽徽州古城与四川阖中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四

大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体ABC。-4耳60.已知该正方体中，点

E,尸分别是棱AVCG的中点，过A，E,F三点的平面与平面A5CD的交线为/,则直线/与直线所成角

为（）

【答案】A

如图所示，在平面A41A。中，连接与ZM交于H,则H4=AD,

在平面CCQQ中，连接2尸与DC交于G,则GC=CD,

则GH为平面，E尸与平面A5C。的交线/,且G〃〃AC,

而在等边△4CQ中AC与AR所成的角为三，

故/与直线A2所成角,

故选：A

一题型05空间线段以及线段之和最值问题

17.（2023•河北•高一校联考期末）已知四棱锥P-ASCD的底面ABCD是边长为2的正方形，底

面ABCD,PA=4A/2，则四棱锥P-ABCD外接球表面积为；若点。是线段AC上的动点，贝。

+同的最小值为.

【答案】40兀2y/13

【解析】如图，

p

设尸c中点为。，

由PA_L底面ABCD,4。,3。,。。＜=底面488,所以PA_LAC,PA_LBC,PA_LCD,

又3cl.AB,ABC\PA=A,AS,PAU平面R45,所以8C1平面BIB,

又PBu平面E4B,所以BC_LP3,同理可得CDJ_PD,

因为PA=40，AC=20，所以尸C==j32+8=2而，

所以在RtAPAC,RtAPBC,RtAPCZ)中，

OP=OC=OD=OB=OA=y/10,

所以。为四棱锥P-ABCD外接球的球心，幅为该球半径，

所以其表面积为4兀(J16)=40兀；

将△R4C绕AC翻折到与△ZMC所在面重合，此时产运动到P，处，连接P3,交AC于点。，如图,

此时归。|+|2目斗尸0+|08|最小，因为/PNC=90。，44c=45。,

所以/B4尸'=135°,又AB=2,AP'=A尸=40，

所以2尸'=+1APf-2143卜|AP[cos135。=+32—2x2x40x=2^/13.

所以|尸。|+|第的最小值为2&L

故答案为：40n；2岳

18.（2023•浙江绍兴•高一统考期末）直三棱柱ABC-ABC中，/B=gAB=BB】=BC=1,P、Q

分别为线段A。、A4的动点，则△B/Q周长的最小值是.

[答案]4+2夜/也夜+4

将面A8G、面AAG沿着AC1延展为一个平面,

将面AA4、面A4G沿着A4延展为一个平面，连接3耳'，

此时，线段8耳'的长即为△用户。周长的最小值，

则做=*2+83；=&71=应,AB：=AB1=6,

由于AB】=AC=,BjC,=CQ,AC]=ACX,则△AB]G也△ACC1，

延展后，则四边形MG用为矩形，

因为A4J=A4'，A4J_L44'，则△4414,为等腰直角三角形，所以，441AB；=：,

TTTTiTT

延展后，则/耳A8；=/月A4,+幺AB；=万+^=了，

由余弦定理可得BB；=JAB^+AB/2-2AB,■AB[cosy=2+2-2x（何乂一去="+20.

故答案为：“+2及.

19.（2023•广西玉林•统考二模）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖膈.如图，在

鳖席B4BC中，PA_L平面ABC,ABd,BC,A2=3,BC=45,B4=4,D,E分别为棱PC,PB上一点，

则AE+DE的最小值为.

R

D

6回+8«

【答案】

15

【解析】因为PA，平面4?C,3Cu平面ABC,所以R4_L3