《不等式与不等式组》解答题重点题型分类（原卷版+解析）

专题10《不等式与不等式组》解答题重点题型分类

专题简介：本份资料专攻《不等式与不等式组》中“求一元一次不等式组中待定字母的值的情况”、“利

用一元一次不等式(组)解决实际问题”、“方程组与不等式组相结合解决实际问题”、“利用不等式计

算获利问题”、“运用一元一次不等式组进行方案设计”解答题重点题型；适用于老师给学生作复习培训

时使用或者考前刷题时使用。

考点1:求一元一次不等式组中待定字母的值的情况

方法点拨：

不等式组(a>b)解集在数轴上的情况不等式组的解集口诀

H—

①一x>a

x>a同大取大

^x>h

-x<a

-------4------->x<b同小取小

②4.x<bbci

~x<a

③4-----41-----b<x<a大小交叉中间找

ba

・x>a

④V------44------->无解(空集)大小分离无处找

.x<hba

1.已知关于X的不等式组。c,

13x-2m<-1

(1)如果不等式组的解集为6Vx<7,求机的值；

(2)如果不等式组无解，求〃，的取值范围；

2.对于任意实数a,b,定义一种新运算：a#b=a-36+7,等式右边是通常的加减运算.例如：3#5=3-3x5+7.

(1)求5#x>0解集；

(2)若3根<2#x<7有解，求尤的取值范围；

(3)在(2)的条件下，若x的解集中恰有3个整数解，求相的取值范围.

3.已知不等式g(x-m)>2-相.

⑴若其解集为x>3,求加的值；

(2)若满足x>3的每一个数都能使已知不等式成立，求加的取值范围.

［尤+aN0

4.若不等式组，、-有3个整数解，则a的取值范围是多少.

2x+l5x-31

------------------<I

5.不等式组36的解集是关于x的一元一次不等式依>-l解集的一部分，求。的取值范围.

|2%-1|<5

6.已知关于x的不等式4（x+2）-2>5+3a的解都能使不等式'3>2成立'求。的取值范

围.

4（2元-1）+2>Tx,

7.已知关于x的不等式组《6x-ar

x<--------+1.

7

（1）若该不等式组有且只有三个整数解，求。的取值范围;

（2）若不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在x25的范围内，求。的取值范围.

8.若一个不等式（组）A有解且解集为。<*<仇。<3，则称字为A的解集中点值，若A的解集中点值是

不等式（组）2的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）8对于不等式（组）A中点包含.

2%-3>5

（1）已知关于x的不等式组A：,以及不等式3：-l<x<5,请判断不等式8对于不等式组A

6-x>0

是否中点包含，并写出判断过程;

f2%+7>2m+1（x>rn—4

（2）已知关于x的不等式组C：。》八1和不等式，口,，若。对于不等式组。中点包

px-16<9m-lpx-13<5m

含，求机的取值范围.

[x>2n[x—n<5

（3）关于X的不等式组E：。（"〈机）和不等式组小。,若不等式组尸对于不等式组£

[x<2m[2x-m>3n

中点包含，且所有符合要求的整数加之和为9,求w的取值范围.

考点2：利用一元一次不等式（组）解决实际问题

方法点拨：列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似，即：（1）审：认真审题，

找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“不

小于”等含义；（2）设：设出适当的未知数；（3）歹!J：根据题中的不等关系，列出不等式;

（4）解：解出所列的不等式的解集；（5）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。

1.在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，求机的取值范围.

2.众志成城抗疫情，全国人民在行动.某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B

地，支援当地抗击疫情.每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物

资.已知这两种货车的运费如下表：

目的地车型A地（元/辆）8地（元/辆）

大货车9001000

小货车500700

现安排上述装好物资的20辆货车中的10辆前往A地，其余前往8地，设前往A地的大货车有x辆，这20

辆货车的总运费为y元.

（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？

（2）求y与x的函数解析式，并直接写出尤的取值范围；

（3）若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值.

3.已知某校六年级学生超过130人，而不足150人，将他们按每组12人分组，多3人，将他们按每组8

人分组，也多3人，该校六年级学生有多少人？

4.如图，要设计一幅宽20cm,长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2:1.如

果要使彩条所占面积是图案面积的1鸟9，应如何设计彩条的宽度？

5.某地为促进淡水养殖业的发展，决定对淡水鱼的养殖提供政府补贴，以使淡水鱼的价格控制在6~12元/kg

之间.据市场调查，如果淡水鱼的市场价格为。元/kg,政府补贴为t元/kg,那么要使每日市场的淡水鱼

供应量与需求量正好相等，，与。应满足关系式100（。+—8）=270-3〃.为使市场价格不高于10元/kg,政

府补贴至少应为多少？

6.某长方体形状的容器长5cm.宽3cm,高10cm.容器内原有水的高度为3cm,现准备向它继续注水.用

V（单位：cn?）表示新注入水的体积，写出y的取值范围.

7.某校计划安排七年级全体师生参观红旗渠风景区，现有36座和48座两种客车（不包括驾驶员座位）供

选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用48座客车，则能比租36座的客车少租1辆,

且有1辆车没有坐满，但超过了30人，该校七年级共有师生多少人？

8.如图，是△ABC的高，BE平分NA8C交AC于点E.点尸为射线C8上的动点，连接EF

(1)若/EBC=30°,Z1：N2=l：2,ZFEC=60°.求证：EF//AD；

(2)设/PEC=x。，Z2=60°,当△EFC为钝角三角形时，试求出x的取值范围.

考点3：方程组与不等式组相结合解决实际问题

方法点拨：列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似，即：(1)审：认真审题，

找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼，如‘'大于"、“小于”、“不大于”、“不

小于”等含义；(2)设：设出适当的未知数；(3)歹!J：根据题中的不等关系，列出不等式;

(4)解：解出所列的不等式的解集；(5)答：写出答案，并检验答案是否符合题意。

(x+y=2k+3

i.已知：方程组。》]的解中，尤是非负数，y是正数.求整数化的值.

[2x-y=-3K-l

2.阅读下列材料：

解答“已知x-y=2,且x>l,y<0,试确定x+y的取值范围“有如下解法，

解：Vx-y=2,又•.”>1,.*.^+2>1,即y>T.

又yVO,・・・-lVy〈0…①

同理，得：l〈xV2…②

由①+②，得-1+1Vy+%V0+2,・\x+y的取值范围是0<x+yV2.

请按照上述方法，完成下列问题：

I2x+y=l

已知关于尤、y的方程组1”的解都为非负数.

[x-y=5-3a

(1)求a的取值范围.

(2)已知2a-6=7,求a+b的取值范围.

(3)己知a-若?且云1,求a+b的取值范围(用含的代数式表示).

3.(1)阅读下面问题的解答过程并补充完整.

问题：实数无，y满足x—y=2,x+y=a,且彳>1,y<0,求。的取值范围.

4+2〃+21

x=------>I

x—y—2227

解：列关于％,y的方程组，解得<又因为X>1y<0,所以,解得______

x+y=aa—2a-2八

y=

2

(2)已知X—y=4,且犬>3,yvl,求x+y的取值范围；

2

(3)若。，b满足34+5|4=7,S=2a-3\b\f求S的取值范围.

4.某地区为筹备一项庆典，计划搭配A,B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种

造型需甲种花卉50盆，乙种花卉30盆；搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉60盆，且搭配一

个A种造型的花卉成本是270元，搭配一个B种造型的花卉成本是360元.

(1)试求甲、乙两种花卉每盆各多少元？

(2)若利用现有的2295盆甲种花卉和2190盆乙种花卉进行搭配，则有哪几种搭配方案？

5.为更好地推进我市生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，

通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，购买2个A型垃圾箱比购买3个

B型垃圾箱少用160元.

(1)求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？

(2)该小区物业计划用不多于2100元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，则该小区最多可以购

买B型垃圾箱多少个.

6.请阅读求绝对值不等式国<3和国>3的解集过程.

对于绝对值不等式国<3,从图1的数轴上看：大于-3而小于3的绝对值是是小于3的，所以国<3的解集

为一3v尤v3；

对于绝对值不等式W>3,从图2的数轴上看：小于-3而大于3的绝对值是是大于3的，所以W>3的解集

为九<一3或x>3.

I2%—"V=-5

已知关于X、y的二元一次方程组rC的解满足|x+y|<3,其中机是负整数，求加的值.

[x+4y=-7m+2

7.阅读下列材料：

解答“已知x-y=2,且x>l,y<0,试确定x+y的取值范围”有如下解法：

解：'：x-y=2,：.x=y+2.

又；x>1,y+2>1.y>—1.

又：”()，.-.-l<y<0....©

同理，可得：1<%<2.…②

①+②,得-1+1<x+y<0+2.即0Vx+y<2,

x+y的取值范围是。<x+y<2.

请按照上述方法，完成下列问题：

(1)已知x-y=4,且x>3,y<l,求尤+y的取值范围；

（2）已知。一6=根，且关于％、y的方程组尸;。中彳<“y>Q-①求。的取值范围；②求的

取值范围（结果用含加的式子表示）.

8.为开展“校园读书活动”，雅礼中学读书会计划采购数学文化和文学名著两类书籍共100本.经了解，购

买20本数学文化和50本文学名著共需1700元，30本数学文化比30本文学名著贵450元.（注：所采

购的同类书籍价格都一样）

（1）求每本数学文化和文学名著的价格；

（2）若校园读书会要求购买数学文化本数不少于文学名著，且总费用不超过2780元，请求出所有符合条

件的购书方案.

考点4：利用不等式计算获利问题

方法点拨：（1）了解售价、进价、利润、利润率的关系：利润=销售额一成本；销售额=售

价义数量；利润=成本X利润率成本；（2）根据题中关键句子及字眼找不等关系：“大于”

“小于”等字眼找不等关系；通过分析解题过程，思考和总结解题的步骤；（3）掌握利用

一元一次不等式解决实际问题的步骤。

1.某商店需要购进甲、乙两种商品共180件其进价和售价如表：（注：获利=售价进价）

（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？

（2）若商店计划投入资金少于5040元，且销售完这批商品后获利多于1312元，请问有哪几种购货方案？

并直接写出其中获利最大的购货方案.

2.随着越来越多年轻家长对低幼阶段孩子英语口语的重视，某APP顺势推出了“北美外教在线授课”系列课

程，提供“A课程”、“2课程”两种不同课程供家长选择.已知购买“A课程”3课时与“3课程”5课时共需付款

410元，购买“A课程”5课时与“8课程”3课时共需付款470元.

（1）请问购买“A课程”1课时多少元？购买“2课程”1课时多少元？

（2）根据市场调研，APP销售“A课程”1课时获利25元，销售“8课程”1课时获利20元，临近春节，小融

计划用不低于3000元且不超过3600元的压岁钱购买两种课程共60课时，请问购买“A课程”多少课时才使

得APP的获利最高？

3.某杨梅经销商以每千克40元的价格分三批向果农购进杨梅，均分拣成“特优”和“普通”两类销售，分拣和

包装费用为每千克6元.每批杨梅中最差的10%不能销售，为损耗，其余杨梅均能售完.“特优”杨梅售价

是每千克110元，“普通”杨梅售价为每千克30元.

（1）该经销商购进的第一批杨梅为500千克，分拣出“特优”杨梅150千克，则他获得的利润是元；

（2）该经销商购进的第二批杨梅为800千克，获利4800元，求其中售出“特优”和“普通”杨梅各多少千克?

（3）该经销商希望自己第三批杨梅的销售的利润率不少于35%,他收购杨梅时要确保能分拣出“特优”杨梅

占收购总量的百分比至少要达到多少（精确到1%）?（利润=销售收入-总成本，利润率=利润+总成本

xlOO%）

4.夏季到了，靓点女装店老板到厂家进购A、8两种型号的裙装，若购A种型号裙装10件，8种型号裙装

12件，需要3000元；若购进A种型号裙装15件，5种型号裙装8件，恰好也需要3000元.

（1）求A、8两种型号的裙装每件分别为多少元？

（2）若销售一件A型裙装可获利40元，销售一件8型裙装可获利60元，老板打算购进这两款裙装共30

件，而用于购进这两款女装的钱只有3980元，要使这批裙装全部售出后总的获利不低于1400元，问有几

种进货方案？

（3）如何进货可以获得最大利润？最大利润是多少？

5.某商场准备购进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服3件，8种型号衣服5件，共需700

元；购进A种型号衣服6件，8种型号衣服4件，共需920元；商场对A型号衣服定价为120元，8型号衣

服定价为90元，商场一次性购进A、8两种型号的衣服共100件，要使在这次销售中获利不少于1250元，

且A型号衣服不多于27件.

（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？

（2）求出商场此次购进A、8型号衣服的方案有哪些？

6.“壮丽70载，奋进新时代”.值伟大祖国70华诞之际，某网店特别推出甲、乙两种纪念文化衫，已知甲

种纪念文化衫的售价比乙种纪念文化衫多15元，广益中学陈老师从该网店购买了2件甲种纪念文化衫和3

件乙种纪念文化衫，共花费255元.

（1）该网店甲、乙两种纪念文化衫每件的售价各是多少元？

（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种纪念文化衫共200件，且甲种纪念文

化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的1,已知甲种纪念文化衫每件的进价为50元，乙种纪念文化衫每件

的进价为40元.

①若设购进甲种纪念文化衫机件，则该网店有哪几种进货方案？

②若所购进纪念文化衫均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种纪念文化衫进货量优（件）之

间的函数关系式，并说明当初为何值时所获利润最大？最大利润是多少？

考点5：运用一元一次不等式组进行方案设计

方法点拨：解答这类问题的关键是先根据题意列出不等式（组）,

再根据问题的实际意义得出不等式（组）的特殊解来确

定方案.其主要类型有：通信计费方案、商品购买方

案、车辆调配方案等.

1.某文具店购进A、8两种文具进行销售.若每个A种文具的进价比每个8种文具的进价少2元，且用900

元正好可以购进50个A种文具和50个5种文具，

（1）求每个A种文具和8种文具的进价分别为多少元？

（2）若该文具店购进A种文具的数量比购进3种文具的数量的3倍还少5个，购进两种文具的总数量不超

过95个，每个A种文具的销售价格为12元，每个8种文具的销售价格为15元，则将购进的A、8两种文

具全部售出后，可使总利润超过371元，通过计算求出该文具店购进A、3两种文具有哪几种方案？

2.一中双语举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生，已知购买2个甲种

文具，1个乙种文具共需要花费35元，购买1个甲种文具，3个乙种文具共需要花费30元.

（1）求购买一个甲种文具，一个乙种文具各需多少钱？

（2）若学校计划购买这两种文具共12。个，投入资金不少于955元，又不多于1000元，问有多少种购买

方案？

3.某市救灾物资储备仓库共存储了A,B,C三类救灾物资，下面的统计图是三类物资存储量的不完整统计

图.

（1）求A类物资的存储量，并将两个统计表补充完整；

（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将A、8两类物资全部运往某灾区.已知甲种货车最多可

装A类物资10吨和B类物资40吨，乙种货车最多可装A、B类物资各20吨，则物资储备仓库安排甲、乙

两种货车有几种方案？请你帮助设计出来.

4.“绿水青山就是金山银山”.为保护生态环境，A、3两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每

村参加清理人数及总开支如下表：

村庄清理养鱼网箱人数/人清理捕鱼网箱人数/人总支出/元

A15957000

B101668000

(1)若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元？

(2)在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备协调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱.要

使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？

5.某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共30辆调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品补充当

地市场.已知一辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品5吨；一辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨.

(1)符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来；

(2)若一辆大型车的运费是900元，一辆中型车的运费为600元，试说明⑴中哪种运输方案费用最低？最

低费用是多少元？

买一些笔记本和文具盒做奖品.已知笔记本单价是9元，文具盒的单价是4元，若购买两种奖品的数量总

共30个，购买费用不低于140元，且不高于150元.求学校有哪几种购买方案？

7.某汽车专卖店销售42两种型号的新能源汽车，上周售出1辆A型车和2辆2型车，销售额为70万元;

本周已售出3辆A型车和1辆8型车，销售额为80万元.

(1)每辆A型车和8型车的售价各为多少万元？

(2)甲公司拟向该店购买48两种型号的新能源汽车共7辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于150

万元，则有哪几种购车方案？

8.为缓解并最终解决能源的供需矛盾，改善日益严峻的环境状况，我国大力提倡发展新能源.新能源汽车

市场发展迅猛，国家不仅在购买新能源车方面有补贴，而且还有免缴购置税等利好政策.某汽车租赁公司

准备购买A、B两种型号的新能源汽车10辆.新能源汽车厂商提供了如下两种购买方案：

汽车数量(单位：辆)

总费用

方案

(单位：万元)

AB

第一种购买方案64170

第二种购买方案82160

(1)A、8两种型号的新能源汽车每辆的价格各是多少万元？

(2)为了支持新能源汽车产业的发展，国家对新能源汽车发放一定的补贴.已知国家对A、8两种型号的新

能源汽车补贴资金分别为每辆3万元和4万元.通过测算，该汽车租赁公司在此次购车过程中，可以获得

国家补贴资金不少于34万元，公司需要支付资金不超过145万元，请你通过计算求出有几种购买方案.

专题10《不等式与不等式组》解答题重点题型分类

专题简介：本份资料专攻《不等式与不等式组》中“求一元一次不等式组中待定字母的值的

情况”、“利用一元一次不等式(组)解决实际问题”、“方程组与不等式组相结合解决实

际问题”、“利用不等式计算获利问题”、“运用一元一次不等式组进行方案设计”解答题

重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。

考点1:求一元一次不等式组中待定字母的值的情况

方法点拨：

不等式组(a>b)解集在数轴上的情况不等式组的解集口诀

x>a

①4-4—『x>a同大取大

.x>b

"x<a

②4—*——>x<b同小取小

、x<bba

^x<a

③4」1»b<%<a大小交叉中间找

ba

-x>a

④・------*4------->无解(空集)大小分离无处找

.x<bba

2x—m>l

1.已知关于X的不等式组

3x—2m<—1

(1)如果不等式组的解集为6<x<7,求加的值;

(2)如果不等式组无解，求的取值范围;

【答案】(1)11；(2)m<5

-I-19m—1

【分析】(1)解两个不等式得出X>亍且x<\—,根据不等式组的解集为6<x<7得

m+\

------=6

/2,,解之可得答案;

2^=7

3

(2)根据不等式组无解，利用“大大小小找不到”可得等…苧，解之可得答案.

m+1

【详解】解：(1)由2x-"z>l,得：x>一

2m—1

解不等式3x-2m<—l,得：尤<^—

・•・不等式组的解集为6Vx<7,

m+1

------=o

,2

J2m-1，

-----二7

[3

解得加=11；

（2）•・・不等式组无解，

.m+12m-1

"2"■3，

解得犯,5.

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找;

大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

2.对于任意实数a,b,定义一种新运算：a#b=a-3b+l,等式右边是通常的加减运算.例

如：3#5=3-3x5+7.

（1）求5#x>0解集；

（2）若3机<2#x<7有解，求x的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若x的解集中恰有3个整数解，求机的取值范围.

2

【答案】（1）x<4；（2）-<x<3-m；（3）-l<m<0

【分析】（1）根据新定义得出关于尤的不等式，解之即可；

（2）根据新定义列出关于x的不等式组，再分别求解即可得出其解集；

（3）由不等式组整数解的个数得出关于力的不等式组，再进一步求解即可.

【详解】解：（1）由题意得5-3x+7>0,

解得x<4；

（2）由题意,得：

[2-3x+7>3根②

2

解不等式①，得：x>-,

解不等式②，得：x<3-m,

则不等式组的解集为（<尤<3-加；

（3）•・,该不等式组有3个整数解，

/.3<3-m<4,

解得-iSmVO.

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同

大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

3.已知不等式>2-根.

⑴若其解集为x>3,求加的值；

（2）若满足x>3的每一个数都能使已知不等式成立，求机的取值范围.

【答案】（1）〃工=1.5；（2）m>1.5

【分析】（1）根据已知等式求出机的范围即可；

（2）根据题意确定出川的范围即可.

【详解】解：（1）不等式整理得:*一加>6—3a，

解得:x>6-2m,

由不等式的解集为x>3,

得至1]6-2m=3,

解得:〃?=1.5;

（2）由满足尤>3的每一个数都能使已知不等式成立，

得到6-2m<3,

解得/nN1.5

【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键.

4.若不等式组f〈.X+c<2>0c有3个整数解，则。的取值范围是多少.

[l-2x>x-2

【答案】2<a<3

【分析】先求出不等式组解集，然后再根据已知不等式组有3个整数解，列出不等式组确定

。的取值范围即可.

fx+a>0①

【详解】解：,、。的

[l-2x>x-2②

解不等式①得：

解不等式②尤<1,

..•不等式组的解集为-gx<l,

:不等式组恰有3个整数解，

-3<-a<-2,

解得：2Wa<3.

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式（组），不等式组的整数解等知识点，能根据不

等式组的解集得出关于a的不等式组是解答本题的关键.

2无+15x—3.

------------------<1

5.不等式组36的解集是关于x的一元一次不等式依>-1解集的一部分，求。

」21区5

的取值范围.

【答案】<a<1

2x+l5x-31

------------------<I

【分析】先求出不等式组36的解集为T<xW3,然后分别讨论当。>0时，

|2x-l|<5

2x+l5x-31

------------------<I

当"<o时，当。=0时，不等式以>-1的解集，然后根据不等式组36的解集

心小5

是关于x的一元一次不等式依>-1解集的一部分进行求解即可.

2x+l5x-31G

------------------<I①

【详解】解：36

|2龙小5②

解不等式①得：x>-\,

解不等式②得：-2<x<3,

二不等式的解集为-l<x43,

*.*ax>-1,

・••当a>0时，x>—

a

2x+l5x—3]

------------------<I

・・•不等式组36的解集是关于工的一元一次不等式以>-l解集的一部分，

、|21区5

0<tz<1；

同理当avO时，x<~—,

a

2x+l5x—31

------------------<I

•・•不等式组36的解集是关于尤的一元一次不等式以>T解集的一部分,

心小5

----VQV0;

3

当。=0时，0>-1恒成立，即关于工的一元一次不等式以>-1的解集为一切实数，

2x+l5x-3q

------------------<I

•••此时也满足不等式组36的解集是关于了的一元一次不等式以>-1解集的

|2x-l|<5

一部分，

•••综上所述，——<a<1,

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟

练掌握解不等式的方法.

6.已知关于x的不等式4（x+2）-2>5+3。的解都能使不等式加；）%>成立,

求a的取值范围.

【答案】g

【分析】先求出不等式4（x+2）-2>5+3a的解集，再根据不等式（力：]）尤>.用「

32

表示出x的取值范围，最后解不等式组即可求出〃的取值范围.

3/7-1

【详解】解：解不等式4（元+2）—2>5+3，得：龙〉中，

.（3〃+l）x〃（2元+3）

•〉,

32

解得：X小

3a~]9a

"4"T

解得：

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，正确理解不等式的解集是解此题的关键.

4（2x-l）+2>7x,

7.已知关于x的不等式组6x-a

x<--------+1.

I7

（1）若该不等式组有且只有三个整数解，求a的取值范围；

（2）若不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在x25的范围内，求。的取值范围.

【答案】（1）l<a<2；⑵2<a<5

【分析】（1）先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有三个整数解求出整数解，

得出关于。的不等式组，从而求解；

（2）结合不等式组有解及它的解集中的任何一个值均不在x25的范围内，得出关于。的不

等式组，从而求解.

【详解】解：（1）解不等式4（2x—l）+2>7x,得x>2.

解不等式工<包f+1,得x<7—a,

该不等式组有且只有三个整数解，

.•.这三个整数解为3,4,5.

5<7-a<6.

1<a<2.

（2）,・,该不等式组有解，由（1）知7-。>2.

该不等式组的解集为2Vx<7-a.

又它的解集中的任何一个值均不在x25的范围内,

・・7—a«5.

j7—〃>2

解不等式组，得符合题意的a的取值范围为2Wa<5.

[7-a<5

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组和不等式的整数解，根据题意列出不等式，熟知

“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

8.若一个不等式（组）A有解且解集为a<x<仇。<切，则称一为A的解集中点值，若A

的解集中点值是不等式（组）8的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）8对于

不等式（组）A中点包含.

2x-3>5

（1）已知关于X的不等式组462。,以及不等式"一13请判断不等式2

对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程;

2x+7>2m+1x>m—4

（2）已知关于x的不等式组C：和不等式。:,若。对于不

3x—16<9m—13x—13<5m

等式组c中点包含，求机的取值范围.

\x>2n\x—n<5

（3）关于龙的不等式组E：c（〃<根）和不等式组足仁，，若不等式组产

x<2m\2x-m>3n

对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数加之和为9,求”的取值范围.

【答案】（1）不等式8对于不等式组A是中点包含，见解析；（2）-3<16；（3）1<«<2

【分析】（1）先解不等式组4再按照要求求中点，再判断中点是否在2不等式中即可.

（2）先解不等式组C、D,再根据C组的中点在。不等式组中建立不等式，再解出m取值

范围.

（3）先解不等式组E、F,再根据E组的中点在尸不等式组中建立不等式，再解出机取值

范围，再根据符合要求的整数加之和为9,缩小机取值范围从而确定n取值范围.

⑵:一3>5

【详解】（1）解不等式组A：4八得4Vx<6,

，中点值为x=5

又：x=5在不等式B：-1<XV5范围内，

•••不等式B对于不等式组A是中点包含

（2）解不等式C得：〃?-3<x<3〃?+5

m-3+3/n+5〜，

...不等式组C中点为:----------------=2/n+l

2

5m+13

解不等式。得：机-4<x（土—

*.*2m-1位于m-4和------之间

3

m-4<2m-1<---------

3

解得：—3<相<16

（3）解不等式组E得：2n<x<2m,则中点值为几十机

解不等式组产得：也土‘4<5+"

2

..3n+m

・--------<n+m<5+n

2

.Jm<5

\n<m

•••所有符合要求的整数机之和为9

可取4,3,2

/.\<n<2

【点睛】本题考查新定义概念的运用与求解，实际还是在考查不等式组的解法和不等式的性

质，掌握好不等式组的解法和不等式性质是本题解题关键.

考点2：利用一元一次不等式（组）解决实际问题

方法点拨：列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似，即：（1）审:

认真审题，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小

于”、“不大于”、“不小于”等含义；（2）设：设出适当的未知数；（3）

列：根据题中的不等关系，列出不等式；（4）解：解出所列的不等式的解集；

（5）答：写出答案，并检验答案是否符合题意。

1.在平面直角坐标系中，已知点尸仁根在第二象限，求机的取值范围.

【答案】-3<m<2

【分析】根据第二象限点的符号特征（-,+）,可列出关于m的不等式组，求解即可.

2m-4<0①

【详解】解：根据题意，列不等式组13S，

122

解不等式①，得，〃<2,

解不等式②，得机>-3,

：.m的取值范围是-3<m<2.

【点睛】本题考查了象限点及一元一次不等式组，由象限点的符号列出不等式组是解题的关

键.

2.众志成城抗疫情，全国人民在行动.某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物

资到A地和B地，支援当地抗击疫情.每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资,

这20辆货车恰好装完这批物资.已知这两种货车的运费如下表：

目的地车型A地(元/辆)3地(元/辆)

大货车9001000

小货车500700

现安排上述装好物资的20辆货车中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货

车有无辆，这20辆货车的总运费为y元.

(1)这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？

(2)求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；

(3)若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值.

【答案】(1)大货车、小货车各有12与8辆

(2)j=100%+15600(2<x<10,x为整数)

(3)y的最小值16400元

【分析】(1)设大货车、小货车各有冽与"辆，根据题意列二元一次方程组，解方程组求

解即可;

(2)根据题意列出一次函数解析式，根据题意写出不等式组的解集，即可求得x的取值范

围;

(3)根据一次函数的性质求得最小值即可

(1)设大货车、小货车各有机与“辆,

15机+10〃=260

由题意可知:

m+n=20

〃?=12

解得:

w=8

答：大货车、小货车各有12与8辆

(2)设到A地的大货车有x辆，

则到A地的小货车有(10-x)辆,

到8地的大货车有(12-x)辆，

到8地的小货车有(x-2)辆，

/.j=900x+500(10-x)+1000(12-x)+700(x-2)

=100x+15600,

10-%>0

依题意,

x-2>0

.'-2<x<10

其中2W烂10,x为整数.

(3)运往A地的物资共有［15尤+10(10-x)］吨,

15x+10(10-尤)>140,

解得：x>8,

•••8<r<10,尤为整数，

•.•^=100>0,.•.当x=8时，y有最小值，此时y=100x8+15600=16400元，

答：总运费最小值为16400元.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用是解

题的关键.

3.已知某校六年级学生超过130人，而不足150人，将他们按每组12人分组，多3人，将

他们按每组8人分组，也多3人，该校六年级学生有多少人?

【答案】147

【分析】由12和8的最小公倍数为24,可设该校六年级学生有（24x+3）人，根据“该校六

年级学生超过130人，而不足150人”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得

出x的取值范围，结合x为正整数即可确定x的值，再将其代入（24x+3）中即可得出结论.

【详解】W：V12和8的最小公倍数为24,

设该校六年级学生有（24x+3）人.

24x+3>130

依题意，得:

24x+3<150

一71

解得：5—<x<6—.

24o

又为正整数，

；.24x+3=147(人).

答：该校六年级学生有147人.

【点睛】本题考查了一元一次不等式组.解题的关键在于通过确定两数的最小公倍数得到数

量关