中考数学重难题型专项训练：二次函数性质综合（原卷版+解析）

专题17二次函数性质综合

1.（2022•新疆）已知抛物线y=（x-2y+l,下列结论错误的是（）

A.抛物线开口向上B.抛物线的对称轴为直线x=2

C.抛物线的顶点坐标为（2,1）D.当x<2时，y随x的增大而增大

2.（2022•陕西）己知二次函数y=x2~2x~3的自变量xi,x2,X3对应的函数值分别为y”y2,

y3.当T〈xK0,l〈xz<2,X3>3时，y1,y2,ys三者之间的大小关系是（）

A.%<%<力B.必<X<%C.%<%<必D.3VM

【答案】B

2

3.（2022•浙江宁波）点yj,B（m,y2）都在二次函数y=（x-1）+n的图象上.若

yi<y2,则m的取值范围为（

3

A.m>2B.m>—C.m<lD.—<m<2

2

4.（2022•湖南株洲）已知二次函数y二改之+施一c（〃wO）,其中〃>0、c>0,则该函数的

5.（2022•四川成都）如图，二次函数y=o?+bx+c的图像与x轴相交于A（T,0）,3两点,

对称轴是直线x=l,下列说法正确的是（）

A.a>0B.当x>-l时，>的值随x值的增大而增大

C.点B的坐标为（4,0）D.4A+2/?+C>0

6.（2022•湖北随州）如图，已知开口向下的抛物线>=办2+法+。与x轴交于点（-1,0）对

称轴为直线x=l.则下列结论：®abc>0；②2a+b=0；③函数y+6x+c的最大值

为Ta；④若关于x的方数依2+法+0=4+1无实数根，贝!|-3<a<0.正确的有

)

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.（2022•天津）已知抛物线y=G?+6x+c（a,b,c是常数，0<a<c）经过点（L。），有

下列结论：①2a+6<0；②当x>l时，y随x的增大而增大；

③关于x的方程依2+法+（6+。）=0有两个不相等的实数根.其中，正确结论的个数是

（）

A.0B.1C.2D.3

8.（2022•山东滨州）如图，抛物线>=加+bx+c与x轴相交于点A（-2,0）,3（6,0）,与y

轴相交于点C,小红同学得出了以下结论：①②4。+》=0；③当>>。时，

-2<x<6；@a+b+c<0.其中正确的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

9.（2022•四川南充）已知点”（百,%）,刈々,%）在抛物线+上，当

X1+X2>4且占<X2时，都有y|<必，则m的取值范围为（）

A.0<m<2B.—2<m<0C.m>2D.m<—2

10.（2021•四川凉山彝族自治州•中考真题）二次函数丁=G2+"+（;（。70）的图象如图

所示，则下列结论中不正确的是（）

x=-l

A.abc>0B.函数的最大值为。一/?+c

C.当一3张!k1时，y.0D.4a—2b+c<0

11.（2021•四川眉山市•中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=4x+5与丁轴

交于点C,则该抛物线关于点。成中心对称的抛物线的表达式为（）

A.y=-x2-4x+5B.y=x2+4x+5

C.y=­x~+4x—5D.y=­x2—4x—5

12.（2021•江苏苏州市•中考真题）已知抛物线丁=必+日—左2的对称轴在y轴右侧，现

将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过

坐标原点，则上的值是（）

A.一5或2B.-5C.2D.-2

13..（2021•天津中考真题）已知抛物线丁=。必+加；+。"c是常数，a/0）经过

点（—1,-1）,（0,1）,当x=—2时，与其对应的函数值>>1.有下列结论：①abc>0；②关

于x的方程O+人x+c-3=0有两个不等的实数根；③a+/?+c>7.其中，正确结论的

个数是（）

A.0B.1C.2D.3

14.（2021•四川遂宁市•中考真题）己知二次函数）；=⑪2+乐+（?（（3H0）的图象如图所

示，有下列5个结论:①aZ?c〉O；②<4ac；③2c<35；④a+2b>%

⑤若方程I依2+bx+c|=l有四个根，则这四个根的和为2,其中正确的结论有（

C.4个D.5个

15.（2021•天津中考真题）已知抛物线、=。/+加;+。（a,6,c是常数，。/0）经过点

（-1,-1）,（0,1）,当彳=-2时，与其对应的函数值y>i.有下列结论：①。历>0；②关于x的

方程加+陵+c—3=0有两个不等的实数根；③a+6+c>7.其中，正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

16.（2021•陕西中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应

值：

X.・・-2013・・・

y.・・6-4-6-4・・・

下列各选项中，正确的是

A.这个函数的图象开口向下

B.这个函数的图象与x轴无交点

C.这个函数的最小值小于-6

D.当x>l时，y的值随x值的增大而增大

17.（2020•株洲）二次函数y=ax，bx+c,若ab<0,a-b。>。，点A（xi,yi）,B（x2,y2）

在该二次函数的图象上，其中xi<x2,xi+x2=0,则（）

A.yi=-y2B.yi>y2

C.yi<y2D.yi>y?的大小无法确定

18.（2020•襄阳）二次函数丫=a*知3*+（3的图象如图所示，下列结论：

①ac<0；②3a+c=0；③4ac-b2c0；④当x>-l时，y随x的增大而减小.

其中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

19.（2020•鄂州）如图,抛物线y=ax?+bx+c（aWO）与x轴交于点A（-1,0）和B,与y

轴交于点C.下列结论：①abc<0,②2a+b<0,③4a-2b+c>0,④3a+c>0,其中正确

的结论个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

20.（2020•天津）已知抛物线y=ax?+bx+c（a,b,c是常数，a#0,c>l）经过点（2,0）,

其对称轴是直线x=有下列结论：

①abc〉O；

②关于x的方程ax2+bx+c=a有两个不等的实数根；

③a</

其中，正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

21.（2020•齐齐哈尔）如图，抛物线y=ax?+bx+c（a=0）与x轴交于点（4,0）,其对称轴

为直线x=l,结合图象给出下列结论：

①acV0；

②4a-2b+c>0；

③当x>2时，y随x的增大而增大；

④关于x的一元二次方程ax?+bx+c=O有两个不相等的实数根.

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

22.（2020•滨州）对称轴为直线x=l的抛物线y=ax?+bx+c（a、b、c为常数,且aWO）如

图所示，小明同学得出了以下结论：①abc<0,②k>2>4ac,③4a+2b+c>0,④3a+c>0,⑤

a+bWm（am+b）（m为任意实数），⑥当x<-1时，y随x的增大而增大.其中结论正确的个

数为（）

A.3B.4C.5D.6

23.（2020•南充）关于二次函数y=ax?-4ax-5（aWO）的三个结论：①对任意实数m,都

有xi=2+m与xz=2-m对应的函数值相等；②若3WxW4,对应的y的整数值有4个，则-:

<aW-1或lWa<-；③若抛物线与x轴交于不同两点A,B,且ABW6,则a<-三或a》l.其

34

中正确的结论是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

24.（2020•宁波）如图，二次函数y=ax?+bx+c（a>0）的图象与x轴交于A,B两点，与y

轴正半轴交于点C,它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是（）

A.abc<0

B.4ac-b2>0

C.c-a>0

D.当*=-胡-2（n为实数）时，y》c

25.（2022•四川遂宁）抛物线y=ax:+bx+c（a,b,c为常数）的部分图象如图所示，设m=a-b+c,

则m的取值范围是.

26.（2021•四川成都市•中考真题）在平面直角坐标系中，若抛物线>=尤2+2尢+左与

x轴只有一个交点，则上=.

27.（2021•山东泰安市•中考真题）如图是抛物线丁=。必+加:+。的部分图象，图象过点

（3,0）,对称轴为直线x=l,有下列四个结论：①aZ?c>0；②a—8+c=O；③y的最大

值为3；④方程依2+/+C+1=0有实数根.其中正确的为（将所有正确结论的

序号都填入）.

28.（2021•安徽）设抛物线丁=/+（。+1）尤+。，其中a为实数.

（1）若抛物线经过点（-1,机），则机=；

（2）将抛物线，=必+他+1）》+。向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值

是.

29.（2021•湖北武汉市•中考真题）已知抛物线y=。必+0x+c（a,b,c是常数），

a+b+c=O,下列四个结论：

①若抛物线经过点（-3,0）,则A=2a；

②若匕=c,则方程ex?+bx+a=0一定有根光=—2；

③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；

④点4（%,%）,3（尤2,%）在抛物线上，若。<。<。，则当玉<X2<1时，%>%.

其中正确的是（填写序号）.

30.（2020•南京）下列关于二次函数y=-（x-m）Wl（m为常数）的结论：①该函数的

图象与函数y=-X。的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0,1）；③当x>0时,

y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y=x，l的图象上.其中所有正确结论

的序号是—.

31.（2020•黑龙江大庆?中考真题）己知关于左的一元二次方程炉―2%一。=0,有下列结

论：

①当a>—1时，方程有两个不相等的实根；

②当a>0时，方程不可能有两个异号的实根；

③当a>—1时，方程的两个实根不可能都小于1；

④当a>3时，方程的两个实根一个大于3,另一个小于3.

以上4个结论中，正确的个数为

32.（2020•四川雅安？中考真题）从―,，-1,1,2,5中任取一数作为〃，使抛物线

2

y=ax?+6x+c的开口向上的概率为.

33.（2020•宁夏中考真题）若二次函数丁=-f+2%+上的图象与x轴有两个交点，则k

的取值范围是.

34.（2020•内蒙古中考真题）在平面直角坐标系中，已知和5（5,加）是抛物线

y=三+法+1上的两点，将抛物线y+法+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，

使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为.

35.（2020•湖北荆门？中考真题）如图，抛物线丁=以2+桁+°（。/0）与*轴交于点八、8,

顶点为C,对称轴为直线x=l,给出下列结论：①而c<0；②若点C的坐标为（1,2）,则

△ABC的面积可以等于2；③/（七,％）,是抛物线上两点（王<电），若

士+々〉2,则％<为；④若抛物线经过点（3,-1），则方程6a2+桁+°+1=0的两根为—1,

3其中正确结论的序号为.

36.（2020•湖北武汉？中考真题）抛物线y=ax?+6x+c（a,b,c为常数，a<0）经

过A（2,0）,8（—4,0）两点，下列四个结论：

①一元二次方程依2+法+0=0的根为％]=2,x2=-4；

②若点。（一5,%）,。（过％）在该抛物线上，则以<%；

③对于任意实数总有a/+历匕；

④对于。的每一个确定值，若一元二次方程以2+bx+c=p（。为常数，P>0）的根为

整数，则P的值只有两个.

其中正确的结论是（填写序号）.

37.（2022•浙江嘉兴）已知抛物线Li：y=a（x+l）2—4（aWO）经过点A（l,0）.

⑴求抛物线L的函数表达式.

（2）将抛物线L向上平移m（m>0）个单位得到抛物线L2.若抛物线L2的顶点关于坐标原点

0的对称点在抛物线L上，求m的值.

（3）把抛物线L向右平移n（n>0）个单位得到抛物线L”若点B（l,yj,C（3,%）在抛物

线Ls上，且yi>yz,求n的取值范围.

38.（2022•浙江杭州）设二次函数%=2/+法+。（b,c是常数）的图像与x轴交于A,B

两点.

⑴若A,B两点的坐标分别为（1,0）,（2,0）,求函数％的表达式及其图像的对称轴.

⑵若函数％的表达式可以写成％=2（X-/I）2-2（h是常数）的形式，求6+c的最小值.

⑶设一次函数为（m是常数）.若函数外的表达式还可以写成％=2（x-〃z）（x-m-2）

的形式，当函数>=的图像经过点（5,0）时，求毛-%的值.

39.（2022•浙江绍兴）已知函数y=-/+6x+c（b,c为常数）的图象经过点（0,-3）,

（-6,-3）.⑴求b,c的值.（2）当-4WxW0时，求y的最大值.

(3)当mWxWO时，若y的最大值与最小值之和为2,求m的值.

40.(2022•云南)已知抛物线y=-f-瓜+c经过点(0,2),且与x轴交于A、B两点.设

k是抛物线>一氐+c与x轴交点的横坐标；M是抛物线y=---氐+c的点，常数

m>O,S为aABM的面积.已知使S=m成立的点M恰好有三个,设T为这三个点的纵坐标的和.

/______

⑴求c的值；(2)直接写出T的值；(3)求的值.

^+^6+2V+4^2+16

41.(2022•浙江舟山)已知抛物线右：y=a(x+t)i-4("0)经过点「(1,0).

(1)求抛物乙的函数表达式.

（2）将抛物线右向上平移m（加>0）个单位得到抛物线右.若抛物线4的顶点关于坐标原点

0的对称点在抛物线乙上，求m的值.

（3）把抛物线4向右平移n（n>0）个单位得到抛物线已知点尸（8-仃）,Qd，）都

在抛物线右上，若当f>6时，都有s>r,求n的取值范围.

42.（2021•四川乐山市•中考真题）已知关于》的一元二次方程f+x—7%=0.

（2）二次函数yuf+x—相的部分图象如图所示，求一元二次方程f+x—%=0的解.

43.（2021•浙江宁波市•中考真题）如图，二次函数y=（尤——（a为常数）的图

象的对称轴为直线x=2.

(1)求a的值.

(2)向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达

式.

44.(2021•浙江嘉兴市•中考真题)已知二次函数y=—必+6X—5.

(1)求二次函数图象的顶点坐标；

(2)当时，函数的最大值和最小值分别为多少？

(3)当+3时，函数的最大值为m，最小值为"，m-n=3求/的值.

专题17二次函数性质综合

1.（2022•新疆）已知抛物线y=（x-2『+1,下列结论错误的是（）

A.抛物线开口向上B.抛物线的对称轴为直线x=2

C.抛物线的顶点坐标为（2,1）D.当尤<2时，y随x的增大而增大

【答案】D

【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得

解.

【详解】解：抛物线y=（x-2）2+l中，a>0,抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合

题意；

由解析式得，对称轴为直线x=2,因此B选项正确，不符合题意；

由解析式得，当尤=2时，y取最小值，最小值为1,所以抛物线的顶点坐标为（2』），因此C

选项正确，不符合题意；

因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=2,因此当x<2时，y随x的增大而减小，因此D

选项错误，符合题意；故选D.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在

y=4（X-/7）~+左中，对称轴为尤=/7,顶点坐标为（九左）.

2.（2022•陕西）已知二次函数y=x2_2xT的自变量xi,x2,X3对应的函数值分别为y“y2,

y3.当-L〈xK0,1<X2<2,X3>3时，yi,y2,丫3三者之间的大小关系是（）

A.%<%<%B.%<%<%C.%D.y2<y3<

【答案】B

【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x=l,抛物线与x轴的交点坐标，画出草图，利用数

形结合，即可求解.

【详解】解：y=x2与xT=（x-l）2-4,.•.对称轴为直线x=l,

令y=0,贝!I（xT）2-4=0,解得xi=T,x2=3,

.•.抛物线与x轴的交点坐标为（-1,0）,（3,0）,

二次函数y=x2-2x^的图象如图：

由图象知%<%<为.故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析

式.利用数形结合解题是关键.

3.(2022•浙江宁波)点A(m-Lyj,B(m,y2)都在二次函数y=(x-1)的图象上.若

yi<y2,则m的取值范围为()

33

A.m>2B.m>—C.m<lD.-<m<2

22

【答案】B

【分析】根据y】Vy2列出关于m的不等式即可解得答案.

【详解】解：•.,点A(m-1,yi),B(m,y2)都在二次函数y=(x-l)之+口的图象上，

222

/.yi=(m-1-1)+n=(m-2)+n,y2=(m-1)+n,

•:yiVy2,(m-2)2+n<(m-1)2+n,

(m-2)2-(m-l)2V0,

3

即-2m+3V0,.\m>—,故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不

等式.

4.(2022•湖南株洲|)已知二次函数丁=办2+区一0(〃。0),其中人>0、c>0,则该函数的

图象可能为()

【分析】利用排除法，由-c<0得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选

项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴x=?>0,得出“<0,抛物线开口向下，排除

B选项，即可得出C为正确答案.

【详解】解：对于二次函数>=仆2+及一。（。力0）,

令x=0,贝Ijy=—J.•.抛物线与y轴的交点坐标为（O,-c）

：c>0,..抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，

,可以排除A选项和D选项；

B选项和C选项中，抛物线的对称轴x=?>0,

•/6>0,..抛物线开口向下，可以排除B选项，

【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是

解题的关键.

5.（2022•四川成都）如图，二次函数y=o?+bx+c的图像与x轴相交于A（T,0）,8两点，

对称轴是直线x=l,下列说法正确的是（）

A.a>0B.当尤>-1时，>的值随x值的增大而增大

C.点3的坐标为（4,0）D.4a+2b+c>0

【答案】D

【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可.

【详解】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即"<0,故该选项不符合题意；

B、根据图像开口向下，对称轴为x=l,当x>l,，随龙的增大而减小；当无<1,>随龙的

增大而增大，故当时，y随x的增大而增大；当x>i,y随x的增大而减小，故该

选项不符合题意；

C、根据二次函数y=&+bx+c的图像与X轴相交于A（T0）,B两点，对称轴是直线x=l,

可得对称轴尤解得4=3,即3（3,0）,故该选项不符合题意；

D、根据3(3,0)可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0,故该选项符合题意；故选：D.

【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及

抛物线与x轴交点A(TO)得到8(3,。)是解决问题的关键.

6.(2022•湖北随州)如图，已知开口向下的抛物线y=渡+6x+c与x轴交于点(-1,0)对

称轴为直线x=l.则下列结论：①a6c>0；②2a+Z?=0；③函数y=办?+法+。的最大值

为Ta；④若关于x的方数依2+法+0=4+1无实数根，则-g<a<0.正确的有

()

C.3个D.4个

【答案】C

b

【分析】由图象可知，图像开口向下，a<0,对称轴为x=l,故-二=1,故b>0,且Z?=-2a,

2a

则2。+/?=0图象与y轴的交点为正半轴，则c>0,由此可知abcVO,故①错误，由图象

可知当x=l时，函数取最大值，将x=l,代入>=4/+云+*中得：y=a+b+c,计算出

函数图象与x轴的另一交点为(3,0)设函数解析式为：y=d(x-巧)，将交点

坐标代入得化简得：y=ax2-2ax-3a,将x=l,代入可得：y=a-2a-3a=-4a,故函数

的最大值为一4a,、ox?+〃x+c=a+i变形为：依?+打+0_々_]=0要使方程无实数根，贝ij

4〃(c—〃—1)<0,将c=—3a,b=-2a,代入得:20a2+4a<0,因为aVO,贝lj20，+4>0,

贝综上所述］<。<0,结合以上结论可判断正确的项.

h

【详解】解：由图象可知，图像开口向下，a<0,对称轴为x=l,故-二=1,故b>0,且6=-2a,

则2a+b=0故②正确，

:图象与y轴的交点为正半轴，；.c>0,则abc<0,故①错误，

由图象可知当x=l时，函数取最大值，将x=l,代入>=加+版+°,中得：y=a+b+c,

由图象可知函数与x轴交点为(-1,0),对称轴为将x=l,故函数图象与x轴的另一交点为

(3,0),

设函数解析式为：/=a(x-xj(x-4)，

将交点坐标代入得：y=a（x+l）（x-3）,故化简得：y=ax2-2ax-3a,

将x=l,代入可得：y=a-2a-3a=-4a,故函数的最大值为-4a,故③正确，

ox?+力％+°=々+1变形为：加+Z?X+C-Q-1=0要使方程无实数根，则匕2-4〃（c-a-l）<0,

将c=-3a,6=—2。，代入得：20a2+4a<0,因为a<0,贝lj20a+4>。，贝普>一（，综上所

述故④正确，则②③④正确，故选C.

【点睛】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及

交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键.

7.（2022•天津）已知抛物线>=以2+"+。（a,b,c是常数，Ovavc）经过点（1,0）,有

下列结论：①2a+〃v0；②当x>l时，y随x的增大而增大；

③关于x的方程依2+"+3+c）=0有两个不相等的实数根.其中，正确结论的个数是

（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【详解】由题意可知：〃+b+c=O,〃=一（。+。），b+c=-a,

0<6Z<c,:.a+c>2a,即〃=一（。+。）<一2。，得出〃+2av0,故①正确；

b

,/Z?+2（2<0,，对称轴％=---->1,

2a

〃>0,时，y随X的增大而减小，时，）随兄的增大而增大，故②不正

确；

,/b1-4a（b+c）=b?_4〃x（—a）=b2+4a2>0,

・二关于x的方程o?+云+（b+c）=。有两个不相等的实数根，故③正确.故选：C.

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌

握二次函数的性质并能应用求解.

8.（2022•山东滨州）如图，抛物线丁=以2+陵+0与*轴相交于点？1（-2,0）,3（6,0）,与y

轴相交于点C,小红同学得出了以下结论：①方2—4碇>0；②4〃+》=。；③当>>0时，

-2<x<6；@a+b+c<0.其中正确的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】根据二次函数的图像与性质，逐一判断即可.

【详解】解：•••抛物线二江+法+c与x轴交于点A（-2,0）、B（6,0）,

...抛物线对应的一元二次方程以2+法+0=0有两个不相等的实数根，

即△=b1-4ac>0，故①正确；

对称轴为*=-£=好，整理得4a+b=0,故②正确；

2a2

由图像可知，当y>0时，即图像在x轴上方时，x<—2或x>6,故③错误，

由图像可知，当x=l时，y=a+b+c<0,故④正确.

正确的有①②④，故选：B.

【点睛】本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键.

9.（2022•四川南充）已知点”&,%），双（马,力）在抛物线>=皿2_2根2》+〃（机力0）上，当

玉+尤2>4且不<三时，都有必<必，则111的取值范围为（）

A.0<m<2B.-2<m<0C.m>2D.m<-2

【答案】A

_?2

【分析】根据题意可得，抛物线的对称轴为X=-上w上=7〃，然后分四种情况进行讨论分析，

2m

最后进行综合即可得出结果.

【详解】解：根据题意可得，抛物线的对称轴为X=-K=7",

2m

①当0<01〈再<%时，％<%恒成立；

②当无1<%<m<。时，恒不成立；

③当。<占<相</时，使芯+%>4，必<必恒成立，

X+八c

..m<-----，..m<2,0<m<2,

2

④当花<初<々<。时，％〈必恒不成立；

综上可得：0<加V2,故选：A.

【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解

题的关键.

10.（2021•四川凉山彝族自治州•中考真题）二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）的图象如图

所示，则下列结论中不正确的是（）

x=-l

A.abc>0B.函数的最大值为〃-Z?+c

C.当—3领jc1时，y.oD.4a-2b+c<0

【答案】D

【分析】

根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c的符

号，利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-3,0),从而分别判

断各选项.

【详解】

解：•.•抛物线开口向下，

:抛物线的对称轴为直线X=-l,

b

---=—1,即b—2a,则b<0,

2a

•..抛物线与y轴交于正半轴，

/.c>0,

则abc>0,故A正确；

当x=T时，y取最大值为a-b+c,故B正确；

由于开口向上，对称轴为直线x=-l,

则点(1,0)关于直线x=-l对称的点为(-3,0),

即抛物线与x轴交于(1,0),(-3,0),

...当—3WXW1时，y>0,故C正确；

由图像可知：当x=-2时，y>0,

即y=4a—2Z?+c>0,故D错误；

故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax、bx+c(a#0),二次项系数a决定

抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b

和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线

与y轴交于（0,c）.

11.（2021•四川眉山市•中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=4x+5与丁轴

交于点C,则该抛物线关于点。成中心对称的抛物线的表达式为（）

A.y=­x~一4x+5B.y=+4x+5

C.y=­x2+4x—5D.y=­—4x—5

【答案】A

【分析】

先求出C点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y）,求出它关于点C对称的点的坐标，

代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式.

【详解】

解：当x=0时，y=5,

AC（0,5）；

设新抛物线上的点的坐标为（x,y）,

:原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，

由2x0—x=—x,2x5-y=10-y；

•••对应的原抛物线上点的坐标为（-x,10-y）；

代入原抛物线解析式可得：10—y=（—尤）2—4-（—x）+5,

...新抛物线的解析式为：y=-x2-4x+5；

故选：A.

【点睛】

本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的

解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应

点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形

结合的思想方法等.

12.（2021•江苏苏州市•中考真题）已知抛物线丁=必+日—左2的对称轴在了轴右侧，现

将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过

坐标原点，则上的值是（）

A.-5或2B.-5C.2D.-2

【答案】B

【分析】

根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可.

【详解】

解：函数y=f+日—左2向右平移3个单位，得：y=（x—3）2+Mx—3）—公；

再向上平移1个单位，得：y=（x-3）2+k（x-3）-k2+l,

:得到的抛物线正好经过坐标原点

0=（0—3广+左（0—3）—左2+i即左2+3左一I。=o

解得：氏=—5或左=2

1/抛物线y=x2+kx-k2的对称轴在丁轴右侧

k

x=--->0

2

k<0

：.k=-5

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.

13..（2021•天津中考真题）已知抛物线丁=。必+。%+。（”,仇°是常数，awO）经过

点（—1,—1）,（0/），当％=—2时，与其对应的函数值>>1.有下列结论：①abc>0；②关

于x的方程a/+bx+c-3=。有两个不等的实数根；③a+A+c>7.其中，正确结论的

个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】

根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可

【详解】

•..抛物线y=ad+bx+c（a,dc是常数，aw0）经过点（―1,—1）,（0/），当x=—2时，

与其对应的函数值y>l.

c=l>0,a-b+c=T,4a-2b+c>l,

a-b--2,2a_b>0,

2a-a-2^>0,

.,.a>2>0,

b=a+2>0,

abc>0,

ax2+bx+c-3=0,

△=b1-4〃（。一3）=。2+8Q>0,

ax2+Zzx+c—3=0有两个不等的实数根；

Vb=a+2,a>2,c=l,

a+b+c=a+a+2+l=2a+3,

Va>2,

.\2a>4,

2a+3>4+3>7,

故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次

函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键.

14.（2021•四川遂宁市•中考真题）已知二次函数丁=办2+历:+。（0片0）的图象如图所

示，有下列5个结论：①。历>0；②/<4ac；③2c<38；④。+25>%（am+6）（m/1）；

⑤若方程■'H+dn有四个根，则这四个根的和为2,其中正确的结论有（）

根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y轴的交点得到a,b,c的取值，于是可对

b

①进行判断；根据抛物线与X轴的交点的个数可对②进行判断；根据对称轴可得-一=1,

2a

则。=—!），根据x=—l可得a—b+c<0,代入变形可对③进行判断；当％=1时，

2

y=a+Z?+c的值最大，即当％=加“九/1）时，即a+/7+c〉a»?+/W7+C，则可对④进行

判断；由于方程ax，bx+c=l有2个根，方程ax?+bx+c=T有2个根，则利用根与系数的关系

可对⑤进行判断.

【详解】

解：①•••抛物线开口方向向下，

Aa<0,

•.•抛物线与y轴交于正半轴，

.\c>0,

:对称轴在y轴右侧，

.,.b>0,

.\abc<0,①错误；

②•••抛物线与x轴有两个交点

Z?2-4ac>0

••./>4ac，故②错误；

③•.•抛物线的对称轴为直线x=l,

2a

1

・・a=—b7

2

由图象得，当尤=—1时，y=a-b+c<09

：.--b-b+c<Q

2

：・2c<3b,故③正确；

④当x=l时，y=〃+人+。的值最大，

.••当％=加(加wl)时，a+b+c>am1+bm+c，

/.a+b>m(am+b)(mwl),

Vb>0,

a+2b>m{am+b)(m^l),故④正确；

⑤•.•方程|ax，bx+c|二l有四个根，

工方程ax2+bx+c=l有2个根,方程ax2+bx+c=-l有2个根，

1。

•■•所有根之和为2X(--)=2X—=4,所以⑤错误.

aa

正确的结论是③④，

故选：A

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax?+bx+c(a#0),二次项系数a

决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时(即ab>0),对称

轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y

轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac>0

时，抛物线与X轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与X轴有1个交点；△=b2-4acV0

时，抛物线与x轴没有交点.

15.（2021•天津中考真题）已知抛物线y=Q%2+"+C是常数，awO）经过点

（-1,-1）,（0,1）,当x=-2时，与其对应的函数值有下列结论：①abc>0；②关于x的

方程以2+乐+°_3=0有两个不等的实数根；③a+"c>7.其中，正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】

根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可

【详解】

,抛物线y=以2+"+。是常数，4。0）经过点（一1,一1）,（0,1）,当％=-2时，与其对

应的函数值y>i.

c=l>0,a-b+c=-1,4a-2b+c>l,

a-b--2,2a-b>0,

2a—a-2>0,

.\a>2>0,

b=a+2>0,

abc>0,

,**ax2+bx+c-3=0,

△=fe2-4a（c-3）=b2+8。>0,

***ax2+ZZX+C_3=0有两个不等的实数根；

b=a+2,a>2,c=l,

a+b+c-a+a+2+l-2a+3,

Va>2,

.'.2a>4,

2a+3>4+3>7,

故选D.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次

函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键.

16.（2021•陕西中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应

值：

・・・・・・

X-2013

y.・・6-4-6-4・・・

下列各选项中，正确的是

A.这个函数的图象开口向下

B.这个函数的图象与x轴无交点

C.这个函数的最小值小于-6

D.当x>l时，y的值随x值的增大而增大

【答案】C

【分析】

利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即

可判断.

【详解】

解：设二次函数的解析式为y=ax2+6x+c,

4〃一2b+c=6a=l

依题意得：c=-4,解得：虫二-3,

a