（华师大版）2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷

2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷（考试时间：120分 试卷满分：120分测试范围：（华师版）难度系数：0.7一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目下列二次根式中，是最简二次根式的是（​

​

下列方程中，属于一元二次方程的是（A．𝑥−2𝑦= B．𝑥2+3=

C．𝑥2−2𝑦+4= D．𝑥2−2𝑥+1=3．若2𝑎3𝑏，则下列比列式正确的是（ A．𝑎=

B．

C．𝑏=

=

4．下列计算正确的是

= =C．(3−2)=

+1)=5．用配方法解方程𝑥2−2𝑥−5=0时，原方程应变形为（A．(𝑥+1)2= B．(𝑥−1)2= C．(𝑥+2)2= D．(𝑥−2)2=6x的一元二次方程𝑘𝑥2+4𝑥−2=0k的取值范围是（A．𝑘≥ B．𝑘>−2且𝑘≠ C．𝑘≥−2且𝑘≠ D．𝑘≤7．如图，已知∠12，那么添加下列一个条件后，不能判定𝐴𝐵𝐶𝐴𝐷𝐸的是（A．∠𝐶= B．∠𝐵=

持水平，并且边𝐷𝐸B在同一直线上．已知纸板的两条边𝐷𝐸0.4m，𝐸𝐹0.3m，测得边𝐷𝐹离地面的高度𝐴𝐶=1.5m,𝐶𝐷=20m，则树高𝐴𝐵为（） 纸边的宽度为𝑥cm（风景画四周的金色纸边宽度相同，则列出的方程为（）A．(50+𝑥)(80+𝑥)= B．(50−𝑥)(80−𝑥)=C．(50+2𝑥)(80+2𝑥)= D．(50−2𝑥)(80−2𝑥)= 于点𝐹，连接𝐷𝐸交于点𝐻，连接𝐴𝐻．以下结论：①𝐶𝐹𝐷𝐸；②𝐻𝐹2；③𝐴𝐷𝐴𝐻；④𝐺𝐻55中正确结论的个数为（ 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18若𝑥−3在实数范围内有意义，则实数𝑥的取值范围 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°,∠𝐵=30°，𝐶𝐷是高．若𝐴𝐷=2，则𝐵𝐷= 抽取的毛绒玩具数优等品的频数优等品的频率从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值 （精确到 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝐸∥𝐵𝐶，𝐷𝐹∥𝐴𝐶，𝐴𝐷=5，𝐵𝐷=10，𝐷𝐸=6，则𝐵𝐹= 如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷和正方形𝐵𝐸𝐹𝐺的边长分别为1和3，点C在边𝐵𝐺上，线段𝐷𝐹、𝐸𝐺交于点M，连接𝐷𝐸、𝐵𝑀，则𝐵𝑀= 三．解答题（本题共8小题，共7217（8(1)(−3)2−(−1)2−3−8−|1− (

+2)(18（8(1)𝑥2−6𝑥−7=(2)3𝑥2+1=19（8△𝐴𝐵𝐶x轴对称的Ox轴的上方画出△𝐴2𝐵2𝐶2，使△𝐴2𝐵2𝐶2与△𝐴𝐵𝐶△𝐴2𝐵2𝐶2△20（8𝐶𝐷⋅𝐵𝐷=𝐴𝐷⋅21（8分）关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(𝑘3)𝑥2𝑘13，求它的另一个根和𝑘22（10水平面上，𝐶𝐹与𝐴𝐵在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼𝐴𝐵的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为45°，然后沿坡面𝐶𝐹上行了205米（即𝐶𝐷=205米）到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为26.7°（参考数据：sin26.7°≈0.45，cos26.7°≈0.89， 26.7°≈CD的水平距离𝐶𝐸23（1058元的价格出售．经统计，4256件，64671元，月销售208400元？24（121ABCD中，EF⊥GH，EFAB、CDE、F，GHAD、BCG

𝐺𝐻

𝐴𝐷3ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DNM、N 上，求𝐷𝑁 3，平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐵2，𝐴𝐷6,∠𝐵𝐴𝐷60°，直线𝑙与平行四边形相交，将平行四边l折叠，当其中有一组对角顶点重合时，请直接写出折痕的长度．

2024-2025学年九年级数学上学期期中测试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。测试范围：（华师版）九年级上全册难度系数：0.7。一、选择题（10330分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）【答案】B开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐一判断即可．【详解】解：A、【答案】B开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐一判断即可．【详解】解：A、4=2不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、13是最简二次根式，故本选项符合题意；C、8=22，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、0.3=30，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；10故选：B．41380.3下列方程中，属于一元二次方程的是（）𝑥A．𝑥−2𝑦=1 B．𝑥2+3=2𝑥

C．𝑥2−2𝑦+4=0 D．𝑥2−2𝑥+1=0【答案】【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，即可求解．方程，即可求解．【详解】解：A、𝑥−2𝑦1，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；B、𝑥2+3=2，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；𝑥C、𝑥2−2𝑦+4=0，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；D、𝑥2−2𝑥10，是一元二次方程，故该选项符合题意；故选：D3．若2𝑎3𝑏，则下列比列式正确的是（）A．𝑎=𝑏

B．𝑎=2

C．𝑏=2

D．2=32 3 3 𝑏

𝑎 3

𝑎 𝑏【答案】【答案】C【分析】本题考查了比例的基本性质，如果𝑎:𝑏=𝑐:𝑑或𝑎=𝑐，那么𝑎𝑑=𝑏𝑐，即比例的内项之积与外项之𝑏 𝑑积相等；反之，如果𝑑=𝑐，那么𝑏=𝑐:𝑑或𝑎=𝑐（𝑑≠0．据此对各选项分析即可．𝑏 𝑑【详解】解：A．由2=3得3𝑎=2𝑏，故不符合题意；𝑎𝑏B．由3=𝑏得𝑎𝑏=6，故不符合题意；𝑎2C．由𝑏=2得2𝑎=3𝑏，符合题意；𝑎3D．由2=3得3𝑎=2𝑏，故不符合题意；𝑎 𝑏故选：C．4．下列计算正确的是（ ）(−2)210−1=10A． =2 B． (−2)210−1=10C．(3−2)2=1

22+1)2【答案】【答案】AA，BC，D．【详解】解：A．(−2)2=22=2，正确；B．10−1=101=11010，故不正确；C．(3−2)3−26+2=5−26，故不正确；2DD．(2+1)=2+22+13+22，故不正确；2A．5．用配方法解方程𝑥2−2𝑥−5=0时，原方程应变形为（）【答案】B【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．数式写成完全平方形式即可．【详解】解：∵𝑥2−2𝑥−5=0，∴𝑥2−2𝑥+1=5+1，∴(𝑥−1)2=6，故选：B．A．(𝑥【答案】B【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．数式写成完全平方形式即可．【详解】解：∵𝑥2−2𝑥−5=0，∴𝑥2−2𝑥+1=5+1，∴(𝑥−1)2=6，故选：B．6x的一元二次方程𝑘𝑥2+4𝑥−20k的取值范围是（）【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐0(𝑎0)，若Δ𝑏2−4𝑎𝑐0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ𝑏2−4𝑎𝑐0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐0(𝑎0)，若Δ𝑏2−4𝑎𝑐0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ𝑏2−4𝑎𝑐0，则方程有两个相等的实数根，若Δ=𝑏2−4𝑎𝑐<0，则方程没有实数根，若𝑥1，𝑥2是该方程的两个实数根，据此求解即可．【详解】解：∵x的一元二次方程𝑘𝑥2+4𝑥−2=0有实数根，∴Δ=42−4×(−2)⋅𝑘≥0，𝑘≠0∴𝑘2且𝑘0，故选：C．7．如图，已知∠1=∠2𝗈𝐴𝐵𝐶∽𝗈𝐴𝐷𝐸的是（）A．∠𝐶=∠𝐸 B．∠𝐵=∠𝐴𝐷𝐸 C．𝐴𝐵=𝐴𝐶

D．𝐴𝐵=𝐵𝐶𝐴𝐷 𝐴𝐸

𝐴𝐷 𝐷𝐸【答案】【答案】D先根据∠12求出∠𝐵𝐴𝐶𝐷𝐴𝐸，再根据相似三角形的判定方法解答．【详解】解：∵∠1∠2∴∠1+∠𝐷𝐴𝐶=∠2+∠𝐷𝐴𝐶∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸A、当∠𝐶=∠𝐸时，可通过“两角对应相等，两个三角形相似”𝗈𝐴𝐵𝐶∽𝗈𝐴𝐷𝐸，故不符合题意；B、当∠𝐵=∠𝐴𝐷𝐸时，可通过“两角对应相等，两个三角形相似”𝗈𝐴𝐵𝐶∽𝗈𝐴𝐷𝐸，故不符合题意；C、当𝐴𝐵=𝐴𝐶时，可通过“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可证𝗈𝐴𝐵𝐶∽𝗈𝐴𝐷𝐸，故不符𝐴𝐷 𝐴𝐸合题意；D、当𝐴𝐵=𝐵𝐶时，无法证明两个三角形相似，故符合题意；𝐴𝐷 𝐷𝐸故选：D．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板𝐷𝐸𝐹测量树的高度𝐴𝐵，他调整自己的位置，设法使斜边𝐷𝐹保B在同一直线上．已知纸板的两条边𝐷𝐸=0.4m，𝐸𝐹0.3m，测得边𝐷𝐹离地面的高度𝐴𝐶1.5m,𝐶𝐷=20m，则树高𝐴𝐵为（）【答案】A利用Rt𝗈𝐷𝐸𝐹和Rt𝗈𝐵𝐶𝐷【答案】A利用Rt𝗈𝐷𝐸𝐹和Rt𝗈𝐵𝐶𝐷相似求得𝐵𝐶的长后加上边𝐷𝐹到地面的高度𝐴𝐶，即可求得树高𝐴𝐵．【详解】解：∵∠𝐷𝐸𝐹𝐷𝐶𝐵90°，∠𝐷𝐷，∴𝗈𝐷𝐸𝐹∽𝗈𝐷𝐶𝐵，∴𝐷𝐸=𝐸𝐹，𝐷𝐶 𝐶𝐵∵𝐷𝐸=0.4m，𝐸𝐹=0.3m，𝐶𝐷=20m，∴∴0.4=0.320 𝐵𝐶，∴𝐶𝐵=15m，∴𝐴𝐵=𝐴𝐶+𝐵𝐶=1.5+15=16.5(m)．A．“指尖上的非遗一一麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长80cm，宽50cm的刺绣风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽度为cm（风景画四周的金色纸边宽度相同，则列出的方程为（）【答案】C【分析】本题考查用一元二次方程解决实际问题，正确列出方程是解题的关键．设金色纸边的宽度为𝑥𝑐𝑚，则挂图的长为(802𝑥)cm，宽就为(502𝑥)cm，根据题目条件列出方程．【详解】解：设金色纸边的宽度为𝑥cm，则挂图的长为(80【答案】C【分析】本题考查用一元二次方程解决实际问题，正确列出方程是解题的关键．设金色纸边的宽度为𝑥𝑐𝑚，则挂图的长为(802𝑥)cm，宽就为(502𝑥)cm，根据题目条件列出方程．【详解】解：设金色纸边的宽度为𝑥cm，则挂图的长为(802𝑥)cm，宽就为(50+2𝑥)cm，根据题意得(502𝑥)(802𝑥)5400．故选：C．𝐵𝐷交于点𝐺，连接𝐶𝐺并延长，交𝐴𝐵①𝐶𝐹𝐷𝐸；②𝐶𝐻1；③𝐴𝐷𝐴𝐻；④𝐺𝐻4

5．其𝐻𝐹 2 5中正确结论的个数为（）【答案】C𝗈𝐴𝐵𝐸≌𝗈𝐷𝐶𝐸𝗈𝐴𝐵𝐺≌𝗈【答案】C𝗈𝐴𝐵𝐸≌𝗈𝐷𝐶𝐸𝗈𝐴𝐵𝐺≌𝗈𝐶𝐵𝐺，根据全等三角形的性质证出∠𝐶𝐷𝐸∠𝐵𝐶𝐹，即可证出∠𝐶𝐻𝐸90°，从而判断①；根据勾股定理求出𝐷𝐸，利用面积求出𝐶𝐻，证出𝗈𝐻𝐶𝐸∽𝗈𝐵𝐶𝐹HF，从而判断②；过点𝐴作𝐴𝑀⊥𝐷𝐻于𝑀，证出𝐴𝑀垂直平分𝐷𝐻，即可判断③；证出𝗈𝐸𝐻𝐺𝗈𝐸𝑀𝐴，列出比例式即可判断④．正方形𝐴𝐵𝐶𝐷6，点𝐸是𝐵𝐶的中点，𝐵𝐷为正方形的对角线∴𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐵𝐶=𝐶𝐷=6，𝐵𝐸=𝐶𝐸=3，∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐴𝐵𝐸=90°，∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷=45°∴𝗈𝐴𝐵𝐸≌𝗈𝐷𝐶𝐸(SAS)∴∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐵𝐴𝐸，𝐷𝐸=𝐴𝐸在𝗈𝐴𝐵𝐺𝗈𝐶𝐵𝐺中𝐴𝐵=𝐶𝐵∵∠𝐴𝐵𝐺=∠𝐶𝐵𝐺𝐵𝐺=𝐵𝐺∴𝗈𝐴𝐵𝐺≌𝗈𝐶𝐵𝐺(SAS)∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐵𝐶𝐹∴∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐵𝐶𝐹∵∠𝐶𝐷𝐸＋∠𝐶𝐸𝐷=90°∴∠𝐵𝐶𝐹＋∠𝐶𝐸𝐷=90°∴∠𝐶𝐻𝐸=90°∴𝐶𝐹⊥𝐷𝐸故①正确；∵𝐶𝐷=6，𝐶𝐸=3根据勾股定理𝐷𝐸=𝐶𝐷2+𝐶𝐸2=35∵𝑆𝗈𝐷𝐶𝐸=1×𝐶𝐷×𝐶𝐸=1×𝐷𝐸×𝐶𝐻22∴𝐶𝐻=655∵∠𝐶𝐻𝐸=∠𝐶𝐵𝐹，∠𝐻𝐶𝐸=∠𝐵𝐶𝐹∴𝗈𝐻𝐶𝐸∽𝗈𝐵𝐶𝐹∴𝐶𝐻=𝐶𝐸𝐵𝐶 𝐶𝐹3×6∴𝐶𝐹=65=355∴𝐻𝐹=𝐶𝐹−𝐶𝐻=955∴𝐶𝐻∴𝐻𝐹

652= 2= 95 35故②不正确；如图，作𝐴𝑀𝐷𝐻于𝑀∵𝐷𝐶=6，𝐶𝐻=6555根据勾股定理可得𝐷𝐻=𝐷𝐶2−𝐶𝐻2=1255∵∠𝐶𝐷𝐻+∠𝐴𝐷𝑀=90°，∠𝐴𝐷𝑀+∠𝐷𝐴𝑀=90°∴∠𝐶𝐷𝐻=∠𝐷𝐴𝑀∵𝐶𝐷=𝐷𝐴，∠𝐷𝐻𝐶=∠𝐴𝑀𝐷=90°∴𝗈𝐷𝐻𝐶≌𝗈𝐴𝑀𝐷(AAS)∴𝐷𝑀=𝐶𝐻=65，𝐴𝑀=𝐷𝐻=1255 52∴𝐷𝑀=1𝐷𝐻，2∴𝐴𝑀垂直平分𝐷𝐻∴𝐴𝐷=𝐴𝐻故③正确；∵∵𝐷𝐸=35，𝐷𝐻=1255∴𝐸𝐻=𝐷𝐸−𝐷𝐻=35，𝑀𝐸=𝐻𝐸+𝑀𝐻=35+65=9555 5 5∵𝐴𝑀⊥𝐷𝐸，𝐶𝐹⊥𝐷𝐸∴𝐴𝑀∥𝐶𝐹∴𝗈𝐸𝐻𝐺∽𝗈𝐸𝑀𝐴∴𝐺𝐻=𝐻𝐸𝐴𝑀 𝑀𝐸𝐺𝐻 35即125=55955解得𝐺𝐻=455故④正确．故选：C．角形的判定及性质、勾股定理和垂直平分线的判定及性质．二．填空题（6318）【答案】𝑥3意义的条件是解题的关键．由二次根式有意义的条件可得一元一次不等式，解之，即可得解．【详解】解：由二次根式有意义的条件可得：𝑥−30【答案】𝑥3意义的条件是解题的关键．由二次根式有意义的条件可得一元一次不等式，解之，即可得解．【详解】解：由二次根式有意义的条件可得：𝑥−30，解得：𝑥3，故答案为：𝑥3．12．如图，在𝗈𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°,∠𝐵=30°，𝐶𝐷是高．若𝐴𝐷=2，则𝐵𝐷= ．【答案】【答案】6【分析】本题考查含30度角的直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可．【详解】解：∵𝐶𝐷𝐴𝐵，∴∠𝐴𝐷𝐶=∠90°=∠𝐴𝐶𝐵，∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵=90°−∠𝐴，∵∠𝐵=30°，∴∠𝐴𝐶𝐷=30°，∴𝐴𝐶=2𝐴𝐷=4，∴𝐴𝐵=2𝐴𝐶=8，∴𝐵𝐷=𝐴𝐵−𝐴𝐷=6．故答案为：6．扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行抽检的结果如下：抽取的毛绒玩具数𝑛2050100200500100015002000优等品的频数𝑚19479118446292113791846𝑚优等品的频率𝑛0.9500.9400.9100.9200.9240.9210.9190.923【答案】0.920.92附近，利用频率估计概率即可求解．【详解】解：从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是0.92【答案】0.920.92附近，利用频率估计概率即可求解．【详解】解：从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是0.92，故答案为：0.92．图，两块边长都为3cm的小正方形沿虚线剪开，拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 【答案】3【答案】32题．m，根据面积相等可得232𝑚2，即可求解．即2×32=𝑚2，解得𝑚=32．故答案为：32．15．如图，在𝗈𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝐸∥𝐵𝐶，𝐷𝐹∥𝐴𝐶，𝐴𝐷=5，𝐵𝐷=10，𝐷𝐸=6，则𝐵𝐹= ．【答案】12【答案】12𝗈𝐴𝐷𝐸∽𝗈𝐴𝐵𝐶𝗈𝐵𝐹𝐷∽𝗈𝐵𝐶𝐴，然后利用相似比即可求解．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．【详解】解：∵𝐴𝐷5，𝐵𝐷10，∴𝐴𝐵=15，∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，∴𝗈𝐴𝐷𝐸∽𝗈𝐴𝐵𝐶，∴𝐷𝐸=𝐴𝐷6=5，𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶 15∴𝐵𝐶=18，∵𝐷𝐹∥𝐴𝐶，∴𝗈𝐵𝐹𝐷∽𝗈𝐵𝐶𝐴，∴𝐵𝐹=𝐵𝐷 𝐵𝐹=10𝐵𝐶 𝐴𝐵，即18 15∴𝐵𝐹=12．，故答案为：12．和正方形𝐵𝐸𝐹𝐺的边长分别为1和3，点C在边𝐵𝐺上，线段𝐷𝐹、𝐸𝐺交于点M，连接𝐷𝐸、𝐵𝑀，则𝐵𝑀= ．【答案】5边上中线的性质是解本题的关键．连接𝐵𝐷，𝐵𝐹𝗈𝐵𝐷𝐹是直角三角形，再根据勾股定理进行计算，即可得到𝐷𝐹的长，依据直角三角形斜边上中线的性质即可得出𝐵𝑀的长．【详解】如图，连接𝐵𝐷，𝐵𝐹，则∠𝐷𝐵𝐹90°，∴𝗈𝐵𝐷𝐹是直角三角形，𝐵𝑀与𝐹𝑀关于𝐺𝐸对称，∴𝐵𝑀=𝐹𝑀，∴∠𝑀𝐵𝐹=∠𝑀𝐹𝐵，又∠𝑀𝐵𝐹∠𝑀𝐵𝐷∠𝑀𝐹𝐵∠𝑀𝐷𝐵，∴∠𝑀𝐷𝐵=∠𝑀𝐵𝐷，∴𝐷𝑀=𝐵𝑀，𝑀是𝐷𝐹的中点，21𝐷𝐹，2和正方形𝐵𝐸𝐹𝐺13，∴𝐵𝐷=2，𝐵𝐹=32，∴𝐷𝐹=𝐵𝐷2+𝐵𝐹2=2+18=25，∴𝐵𝑀=5，故答案为：5．三．解答题（872）17（8分）计算：(1)(−32−()2−38−1−2；3(2)(3−2)2−(3

+2)(3−2)．【答案】【答案】(1)5−2(2)3−3【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．先计算算术平方根、立方根和去绝对值，再计算乘方，最后计算加减法即可；先计算算术平方根，再利用平方差公式，最后计算加减法即可．(=3−1+2−2+1=5−2；（2）解：原式2−3−(3−4)=2−3+1=3−3．【答案】(1)𝑥1=7，𝑥2=−1；(2)𝑥=1，【答案】(1)𝑥1=7，𝑥2=−1；(2)𝑥=1，𝑥=1．132（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可；分解法及正确掌握一元二次方程的解法．（1）解：𝑥2−6𝑥−7=0(𝑥−7)(𝑥+1)=0，𝑥−7𝑥−70或𝑥1=0，∴𝑥1=7，𝑥2=−1；（2）解：3𝑥2+1=3𝑥2−4𝑥+1=0，(3𝑥−1)(𝑥−1=0，3𝑥−10或𝑥−10，∴𝑥=1，𝑥=1．13219（8分）1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知𝗈𝐵中𝐴()、𝐵(2,)、𝐶(4,5)．(1)𝗈𝐴𝐵𝐶x轴对称的𝗈𝐴1𝐵1𝐶1；(2)Ox轴的上方画出𝗈𝐴2𝐵2𝐶2，使𝗈𝐴2𝐵2𝐶2与𝗈𝐴𝐵𝐶𝗈𝐴2𝐵2𝐶2与【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析，𝐶2(8,10)【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析，𝐶2(8,10)键．（1）A、B、C关于𝑥轴对称点𝐴1、𝐵1、𝐶1，然后连接𝐴1𝐵1、𝐴1𝐶1、𝐵1𝐶1，如图所示，𝗈𝐴1𝐵1𝐶1就是所求三角形；（2）连接𝑂𝐴并延长至𝐴2，使𝐴𝐴2=𝑂𝐴；连接𝑂𝐵并延长至𝐵2，使𝐵𝐵2=𝑂𝐵；连接𝑂𝐶并延长至𝐶2，使𝐶𝐶2=𝑂𝐶；连接𝐴2𝐵2、𝐴2𝐶2、𝐵2𝐶2，如图所示，𝗈𝐴2𝐵2𝐶2就是所求三角形，再结合𝐶2的位置，可得其坐标．（2）𝗈𝐴2𝐵2𝐶2即为所求作的三角形；∵𝐴(−1,2)、𝐵(2,1)、𝐶(4,5)，𝗈𝐴2𝐵2𝐶2与𝗈𝐴𝐵𝐶2，∴𝐶2(8,10)．20（8分）如图，E𝐷上一点，若𝐷𝐶𝐵，𝐶𝐷𝐶，求证：(1)𝗈𝐴𝐵𝐷∽𝗈𝐶𝐴𝐸；【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．（1）根据∠𝐷𝐴𝐶=∠【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．（1）根据∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵，∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐴𝐸𝐶𝗈𝐴𝐵𝐷∽𝗈𝐶𝐴𝐸；（2）由𝗈𝐴𝐵𝐷∽𝗈𝐶𝐴𝐸，得到𝐴𝐷=𝐵𝐷，进而可证明出𝐶𝐷⋅𝐵𝐷=𝐴𝐷⋅𝐴𝐸．𝐶𝐸 𝐴𝐸（1）证明：∵𝐶𝐷𝐶𝐸，∴∠𝐶𝐷𝐴=∠𝐶𝐸𝐷，∴180°−∠𝐶𝐷𝐴=180°−∠𝐶𝐸𝐷，∴∠𝐵𝐷𝐴=∠𝐴𝐸𝐶，又又∵∠𝐷𝐴𝐶𝐵，∴𝗈𝐴𝐵𝐷∽𝗈𝐶𝐴𝐸；（2）证明：∵𝗈𝐴𝐵𝐷∽𝗈𝐶𝐴𝐸，∴𝐴𝐷=𝐵𝐷，𝐶𝐸 𝐴𝐸∵𝐶𝐷=𝐶𝐸，∴𝐴𝐷=𝐵𝐷，𝐶𝐷 𝐴𝐸∴𝐶𝐷⋅𝐵𝐷=𝐴𝐷⋅𝐴𝐸．21（8分）关于𝑥的一元二次方程𝑥2−(𝑘+3𝑥2𝑘1=0．求证：方程总有两个不相等的实数根；【答案】(1)见详解(2)𝑘1【答案】(1)见详解(2)𝑘11掌握判别式的意义是解题关键．（1）0，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；（2）将𝑥3k，得到原方程，再解方程即可．（1）证明：由已知𝑎1,𝑏𝑘3),𝑐2𝑘1，∴Δ=[−(𝑘+3)]2−4×1×(2𝑘+1)=𝑘2−2𝑘+5=(𝑘−1)2+4，∵(𝑘−1)2≥0，∴(𝑘−1)2+4>0，∴无论𝑘取何值方程总有两个不相等的实数根．（2）解：依题意得，32−3(𝑘+3)+2𝑘+1=0，解得𝑘1，则原方程为𝑥2−4𝑥+3=0，解得𝑥1=1,𝑥2=3，∴另一根为𝑥1．22（10分）如图，在河流的右岸边有一高楼𝐵，左岸边有一坡度𝑖1：2的山坡𝐶CB在同一𝐶𝐹与𝐴𝐵在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼𝐴𝐵CA的上行了205米（即𝐶𝐷205米）DDA的仰角为2°（参考数据：sin20.5，co20.9，a20.）CD的水平距离𝐶𝐸的长；【答案】(1)40米【答案】(1)40米楼𝐴𝐵80米【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，添加适当的辅助线是解题的关键．（1）根据题意可得𝐷𝐸𝐶𝐸，设𝐷𝐸𝑥米，则𝐶𝐸2𝑥米，然后利用勾股定理可求出𝑥20．据此即可求得𝐶𝐸的长；（2）D作𝐷𝐺⊥𝐴𝐵G，则𝐷𝐸=𝐺𝐵=20米，𝐷𝐺=𝐸𝐸，然后设𝐴𝐵=𝑦米，在Rt𝗈𝐴𝐵𝐶中，利用锐角是三角函数的定义求出𝐵𝐶的长，从而求出𝐵𝐸的长，再在Rt𝗈𝐴𝐷𝐺中，利用锐角三角函数的定y的方程，进行计算即可解答．（1）解：由题意得：𝐷𝐸𝐶𝐸，∵CF的坡度𝑖=1：2，∴𝐷𝐸=1，𝐶𝐸 2设𝐷𝐸𝑥米，则𝐶𝐸2𝑥米，∴𝐶𝐷𝐸2+𝐶2= 𝑥2+(2𝑥25𝑥（米，∵𝐶𝐷205米，∴∴5𝑥=205，∴𝑥=20，∴𝐸=2米，𝐶𝐸2𝑥4（米；∴𝐷𝐸𝐺𝐵20米，𝐷𝐺=𝐸𝐵，设𝐴𝐵𝑦米，∴𝐴𝐺𝐴𝐵−𝐵𝐺(𝑦−20)米，在Rt𝗈𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=45°，∴𝐵𝐶=𝐴𝐵tan45°=𝑦（米，∴𝐷𝐺𝐸𝐵𝐸𝐶𝐵𝐶(𝑦40)米，在Rt𝗈𝐴𝐷𝐺中，∠𝐴𝐷𝐺=26.7°，∴tan26.7°=𝐴𝐺=𝑦−20≈0.5，𝐷𝐺𝑦40解得：𝑦80，经检验：𝑦80是原方程的根，∴𝐴𝐵80米，80米．23（10分20233558元的价格出售．经统计，4256件，6400件．求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；1元，月销售208400元？【答案】【答案】(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%(2)508400元【分析】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键．设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，根据增长率问题的等量关系列方程求解即可；8400元列方程求解即可．【详解】（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，根据题意得：256(1+𝑥)2=400，解得：𝑥1=0.5=2%，𝑥2=5（不符合题意，舍去，答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；m元，则每件的利润为(58−35−𝑚)元，月销售量为(40020𝑚)件，根据题意得：(58−35−𝑚)(40020𝑚)=8400，整理得：𝑚2−3𝑚−40=0，解得：𝑚1=8，𝑚25（不符合题意，舍去58−850，答：当该吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．24（12分【探究证明】1ABCD中，EF⊥GH，EFAB、CDE、F，GHAD、BCG、H，求证：𝐸𝐹𝐴𝐷；𝐺𝐻 𝐴𝐵【模型应用】ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DNM、N分别在边BC 、 上，求BC 𝐴𝑀【变式拓展】l折叠，当其中有一组对角顶点重合时，请直接写出折痕的长度．【答案（1）见解析（2 4

3）221或239）（5 5 7作𝐴𝑃∥𝐸𝐹，交𝐶𝐷于𝑃，过点𝐵作𝐵𝑄∥𝐺𝐻，交𝐴𝐷于𝑄1，易证𝐴𝑃=𝐸𝐹，𝐺𝐻=𝐵𝑄𝗈𝑃𝐷𝐴∽𝗈𝑄𝐴