2023年高考数学一轮复习基本初等函数知识点与典型例题

基本初等函数

【整体感知】：

第1讲指数函数

【基础梳理】

1.根式

(1)根式的概念

假如一种数的n次方等于a(n>l且nGN*),那么这个数叫做a的n次方根.也就是，若xn=a,贝ijx叫做_a

的n次方根其中n>l且ndN*.式子叫做—根式—.这里n叫做一根指数—，a叫做—被开方数—.

(2)根式的性质

①当n为奇数时,正数的n次方根是一种正数，负数的n次方根是一种负数，这时，a的n次方根用符号_

表达.②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数,这时，正数的正的n次方根用符号—

表达.负的n次方根用符号_表达.正负两个n次方根可以合写为_(a>0).③.=—a—.

④当n为奇数时..=_a_;当n为偶数时，.=.

⑤负数没有偶次方根.

2.有理数指数幕

(1)幕的有关概念

①正整数指数累：(nGN*)；②零指数嘉：aO=_l_(a#0)；

③负整数指数哥：a-p=____(a=O,pGN*)；

④正分数指数幕：=(a>0,m>nGN*,且n〉l)；

⑤负分数指数幕：==(a〉O,m、nGN*,且n>l).

⑥0的正分数指数越等于_0—,0时负分数指数嘉—没故意义.

(2)有理数指数基的性质

①aras.ar+s(a>0,r、sGQ).②(ar)s.ars(a>0,r、seQ).③(ab)r.arbr(a>0,b〉O,rGQ).

3.指数函数的图象与性质

y=a(a>0且aWl)

图a>\0<a<l

象半XL

定义域R

值域(0,+8)

⑴过定点_(0,1)______

(2)当x>0时,_y>l_;(2)当x>0时,_0<y<l_____;

性质

x<0时,—0<y<l_x<0时,_y>l____

(3)在(-8,+8)上是一增函数_⑶在(-8,+8)上是一减函数_

【要点解读】

要点一指数运算

【例1】(1)(0.027)3+(―p-(2-)05;(2)——(石—1)°—79-475;

1259J5+2

j_4

211115o>3>33I-

(3)(2函加)(_6/犷)+(_3*胡);《)—°aly~---h-(2J--l)x诿.

4(7^+2y[ab+b^'

(5)若*+a5=>1),求^~~2+飞二——近的值.

x-2-Vx2-4x

【原则解析】根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数基的形式，然后运用分数指数幕的运算性质求

解，对化简求值的成果，一般用分数指数暴的形式保留。

【误区警示】一般的进行指数塞运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幕，化小数为分数运算，同

步兼顾运算的次序，否则轻易发生运算的错误。

175-9

【答案】⑴原式=(0.3)2+(一/

100

(2)M^=A/5-2-1-7(^-2)2=(A/5-2)-1-(75-2)=-1.

2j__211_5

(3)原式=[2x(-6)+(-3)]。寸57官+37=4ab°=4a.

1111_121121

2凉一凉，；川(2振一凉)(4揖+2凉川+庐)田

b\8a-b)xb)

(4)原式=-......~r+i—=---------------2------—~2----------*—~rx"

4a3+2a3b3+b3b34a3+2a3b3+b32a3-b3

ii_i_i

=田乂田乂田=6Y=b.

ii-iiii

(5)由x?=+〃2,=u~\--F2,x24x=x(x—4)=(a--F2)(〃H---2)

——(；)-2+(2》一(行—1)。;

【变式训练】⑴化简：(0.027)

4

〃3—8〃3匕--

(2)-----------+3

4犷+2而+滔

(3)已知，求的|值。

?7--9S-If)5

【.原则解析】(1)原式=(------)3-72+(—)2-1=--49+--l=-45.

1000933

111112J

33

⑵原式二户⑷)-(»)[a3-2b(a-a^y

ii2

a

(届)2+后《2勿)+(2⑹2(a2-a§)3

5

ii1aa6-2

=a3(a3-2&3)x-------x—=a3xaxa3=a2

-2b^

(3),/

又；，/•。

【技巧点拨】根式运算或根式与指数式混合运算时,将根式化为指数式计算较为以便，对于计算的成果，

不强求统一用什么形式来表达，假如有特殊规定，要根据规定写出成果.但成果不能同步具有根号和分数指

数，也不能既有分母又具有负指数.

要点二指数函数的概念与性质

【例2】已知函数f(x)=4x+m•2x+l有且仅有一种零点，求m的取值范围.

【例3】设函数=为奇函数.求：(1)实数a时值；(2)用定义法判断在其定义域上的单调性.

【原则解析】处理含指数式的多种问题，要纯熟运用指数运算法则及运算性质，更关键是纯熟运用指数的

性质，其中单调性是使用率比较高的知识。

【误区警示】证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。

【答案】(1)措施一依题意，函数的定义域为R,V是奇函数，

,2分.*.2(3-1)(2x+l)=0,，a=l.6分

措施.：f(x)是R上的奇函数，，f(0)=0,即.；.a=L.6分

(2)由⑴知设且£R,8分

在R上是增函数.【变式训练】设是定义在R上的函数.(1)也许是奇函数吗？(2)若

是偶函数，试研究其单调性.

【原则解析】⑴措施一假设是奇函数，由于定义域为R,；.=一…即整顿得即即+1=0,

显然无解.

/.不也许是奇函数.

措施二若是R上的奇函数，则f(0)=0,即/.不也许是奇函数.

(2)由于是偶函数，因此=，即

整顿得又•••对任意XGR都成立，.•.有得2=±1.

当a=l时，=，如下讨论其单调性，

任取士,4eR且％］<%,贝"(%)—/(x,)=el'+「百一e*—e-=©-e")(e、"-1)

e*•e2

其中e'e徇>0,e%—e为<0,当e^-l>0,于(％)<f(x2),f(x)为增函数，

此时需要，即增区间为［0,+8),反之(-8,0］为减区间.

当a=T时，同理可得在(-8,0］上是增函数，在［0,+8)上是减函数.

【技巧点拨】处理含指数式的多种问题，关键是纯熟运用指数的性质，其中单调性是使用率比较高的知

识。

要点三指数函数的图像与应用

［例4］若函数y=g(x)的图象与函数f(x.)=(x—l)2(x〈l)的图象有关直线y=x对称，则g(x)的体现式是

()

【命题立意】函数的图象常常和函数的性质联络在一起，把握函数图象之间的特点和联络。在解题的过程

中也常常需要结合指数函数的图象。

【原则解析】运用函数的图象有关直线y=x对称的实质是求函数的反函数

【误区警示】此题还要尤其注意反函数的定义域,不要忘掉书写，也不要出现体现错误的状况。

【答案】由于，，因此在xWl时，f(x)的反函数为(x》0),故答案为g(x)=l—(x>0)

【变式训练】下图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的)图象，则a、b、c、d与

1的J大小关系是()

(1)(2)(3)(4

型

A.a<b<l<c<dB.b<a<\<d<c

C.l<a〈b〈c〈dD.a<Z?<1<d<.c

【原则解析】可先分两类，即(3)(4)的底数一定不小于1,(1)(2)的底数不不小于1,然后再从

(3)(4)中比较c、d的大小，从(1)(2)中比较a、b的J大小.

【技巧点拨】x=l称为指数函数特性线。纯熟运用特性线比较底数大小带来.极大以便。

【答案】解法一：当指数函数底数不小于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴;

当底数不小于0不不小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴.得b<a<lVd<c.

解法二:令x=l,由图知cl>dl>al>bl,...bVaCKdCc.答案：B

【例5】已知函数y=(g)AU.(1)作出图象；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x取什么值

时函数有最值.

【原则解析】第⑴由/•(-尤)=-/(%)恒成立可解得a时值；第⑵问按定义法判断单调性的环节进行求解

即可.

【误区警示】在作函数图象时,首先要研究函数与某一基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完毕.

【答案】(1)由已知可得其图象由两部分构成:

一部分是亦由y=(g)£(x>0)向左平移1个单位得到y=(1)"+1(x>-1);

另一部分是由向左平移1个单位得到图象如图：

(2)由图象知函数在(-8,一口上是增函数，在(-1,+8)上是减函数.

(3)由图象知当x=-l时,函数有最大值1,无最小值.

【变式训练】若直线y=2a与函数y=|优-1](a>0,且aWl)的图象有两

个公共点,则a的取值范围是.

解析当a>l时，如图①，只有一种公共点，不符合题意.当0〈a〈l时，如图②，由图象知0〈2a〈l,

图①图②

【技巧点拨】在解题的过程中也常常需要结合指数函数的图象，数形结合.

第2讲对数函数

【基础梳理】

1.对数的概念

(1)对数的定.假如ax=N(a>0且a#l),那么数x叫做以a为底N的对数，记作_，其中_a—叫

做对数的底数,_N_.叫做真数.

(2)几种常见对数

对数形式特点记法

一般对数底数为a（a>0且aWl）一log.N一

常用对数底数为」0——IgN—

自然对数底数为_e_―InN—

2.对数的性质与运算法则

.(1)对数的性质

..=N;②=N(a>0且aW1).

(2)对数的重要公式

①换底公式」logbN=-lo^g」N(a,b均不小于零且不等于1)；

log)

②logab=—^—,推广log”6•log；,c•logfd=_logfld____.

log/,a

(3)对数的运算法则假如a>0且a=1,M>0,N>0,那么

①log。(MN)=logaM+\ogaN—;②log°N=\ogaM-\ogaN

性(1)定义域：(0,+8)

质(2)值域:R

(3)过点(1,0),即x=l时,y=0

(4)当x>l时,—y>0当0<x<l(4)当x>l时,一_y<0_当0<x<l

时.y<0_时,一y>0_

5)在(0,+8)上是增函数(4)在(0,+8)上是减函数

4.反函数

指数函数y=ax与对数函数互为反函数，它们的图象有关直线—y=x—对称.

【要点解读】

要点一对数运算

2

【例1】计算(1)(lg2)+lg2-lg50+lg25；(2)(log32+log92).(log43+log83)；

lg5」g8000+(lg26)2

lg6OO-|lgO.O36-|lgO.l

【原则解析】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算规定并不高，不过数式运算是

学习数学的基本功，通过这样的运算练习纯熟掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的多种技巧。

【误区警示】公式和法则运用不纯熟导致错误较多，要注意某些简朴的技巧和措施。

【答案】(1)原式=Qg2)2+(l+lg5)lg2+lg52=(lg2+lg5+l)lg2+21g5

=(l+l)lg2+21g5=2(lg2+lg5)=2;

31g251g3_5

21g361g2―W

(3)分子=lg5(3+31g2)+3(lg2)2=31g5+31g2(lg5+1g2)=3；

分母=(lg6+2)—lgJ工xL=lg6+2—lg£=4；.•.原式=2。

V1000101004

【变式训练】设、、为正数，且满足若，，求、、的值。

【原则解析】由得，.•.......①

2-

由log8(a+b-c)=§得a+b—c=83=4…②由①+②得b-a=2.........③

由①得，代入得，：，……④

由③、④解得，，从而。

【技巧点拨】对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再

来处理即可。

【答案】，，

要点二对数方程

【例2】方程log2(x-l)=2-log2(x+1)的解为o

【原则解析】有关含对数式等式的形式，解题思绪是转化为不含对数因式的一般等式或方程的形式，再来

求解。

【误区警示】变形不是等价变形，要注意严重解的合理性。

【答案】原方程变形为，即，得。且有。从而成果为。

【变式训练】方程lgx+lg(x+3)=1时解x=.

【原则解析】由lgx+lg(x+3)=1,得x(x+3)=10,x2+3x-10=0.

x=—5或x=2.x>0,x=2.

【技巧点拨】运用对数的运算法则进行化简和计算时，在去掉对数符号时，尤其要注意“真数必须不小于

零”这个条件。

【答案】2

要点三对.数函数的概念与性质

【例3】若函数的图象过两点(T,0)和(0,1),贝U()

A.a=2,b=2B.a=,b=2C.a=2,b=lD.a=,b=

【原则解析】运用函数和图象的性质解题。

【误区警示】没有讨论对数函数的底数a的范围。

【答案】依题意可知且，因此-l+b=l且a=b,解得a=b=2.选择A

【变式训练】已知函数y=log2x的反函数是y=f—l（x）,则函数y=f—l（1—x）欧I图象是（）

【原则解析】可以运用图象的特点和函数的性质，如图象上的特殊点，对应函数的坐标。此外也可以直接

求出，画出图象进行比较。

【技巧点拨】要对的识别函数图像，一是熟悉多种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性

质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性。

【答案】由y=logzx得广i（x）=2；因此y=-Yl—x）=2、选择CC

要点四指数函数、对数函数综合问题

【例4］已知是奇函数（其中，（1）求的值；（2）讨论的单调性；（3）求的反函数；（4）

当定义域区间为时，时值域为，求的值.

【原则解析】对于这几种问题都是比较常规的，如第一问，根据奇函数的性质得到等式即可解出m的值；

第二问可以运用导数求函数日勺单调性，也可以运用单调性的定义求解；第三问则是单纯的求函数的反函数,

不过尤其要注意反函数的定义域；第四问则要根据第二问的某些结论，结合着使用。

【误区警示】各个小题概括了指数、对数函数的多种常见日勺基本问题，纯熟掌握这些基本问题的解答程序

及措施是很重要的能力训练，要认真总结经验.

心,,、.,”、，1+mx,1-mx,l-m2x2八

【答案】（1）•••/（-%）+/（%）=log。------+log--------=log--~~—=0

-X-1flX-Lfl1-X

对定义域内的任意恒成立，，

当不是奇函数，，

（2）定义域为，求导得，

①当时，在上都是减函数;

②当时，上都是增函数；

(另解)设，任取，

,,结论同上；

(3),

x

n+i

,.1ay-1^0,:.yw0,.,./-1(x)=-----(x0,a>0且a丰1)

ax-1

(4)上为减函数，

命题等价于，即，解得.

【变式训练】在xOy平面上有一点列Pl(al,bl),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…，对每个自然数n点Pn位于函数

y=()x(0<a<l)的图象上，且点Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一种以Pn为顶点的等腰三角形。⑴求点Pn的纵

坐标bn的I体现式；(2)若对于每个自然数n,以bn,bn+l,bn+2为边长能构成一种三角形，求a的取值范围；

⑶设Cn=lg(bn)(nGN*),若a取(2)中确定0tl范围内的最小整数，问数列｛Cn｝前多少项日勺和最大？试阐明理

由。

【原则解析】(1)由题意知：an=n+,.,.bn=()。

⑵：函数y=()x(0<a〈10)递减，，对每个自然数n,有bn>bn+l>bn+2„则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成

一种三角形的充要条件是bn+2+bn+l〉bn,即()2+()-1>0,解得a〈一5(1+)或@〉5(—1)。/.5(

—1)<a<10o

(3)V5(-l)<a<10,.,.a=7.-.bn=()。数列｛bn｝是一种递减的正数数列，

对每个自然数n22,Bn=bnBn—1。于是当bn》l时,Bn<Bn—1,当bn<l时,BnWBn—1,因此数列｛Bn｝的

最大项改I项数n满足不等式bn》l且bn+l<l,由bn=()得：n^20o/.n=20o

【技巧点拨】本题题设从函数图像入手，体现数形结合的优越性，最终还是根据函数性质结合数列知识，以

及三角形的面积处理了实际问题。

【答案】77=20

第3讲募函数与二次函数

【基础梳理】

1.一次函数、二次函数的图象及性质

(1)一次函数y=kx+b,当k>0时，在实数集R上是增函数,当k<0时在实数集R上是减函数.b叫纵截距,

当b三时图象过原点，且此时函数是奇函数；当b#0时函数为非奇非偶函数.

(2)二次函数的解析式

①二次函数的I一般式为y=ax?+bx+c(a¥0).

②二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k(aW。，其中顶点为—(h,k).

③二次函数的两根式为y=a(x-xl)(x-x2)(aWO)_,其中xl,x2是方程ax2+bx+c=0的两根.(也就是

函数的零点)根据已知条件,选择恰当的形式,运用待定系数法可求解析式.

(3)二次函数图象和性质

①二次函数y=ax2+bx+.(a#0)的顶点坐标为.；对称轴方程为..纯熟通过配措施求顶点坐标及对称轴，并会

画示意图.②在对称轴的两侧单调性相反.③当b=0时为偶函数,当bWO时为非奇非偶函数.

2.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系

A=b2-4acA>0A=0△<0

J卜yv

y=ax2+bx+c的1图象\

x

(a>0)ViJ,

oXoXX

2

方程ax+bx+c=O改|解Xi,X2(X1<X2)Xo无解

ax2+bx+c>0的解集{x|x>X2或X<X1}{x|x£R且xWxo}R

ax2+bx+c<0Btl解集{xIX1<X<X2)00

3.幕函数

(1)募函数的定义：形如—y=x"—(GR)的函数称为易

函数，其中x是—自变量—,々为—常数

(2)塞函数的图象

(3)幕函数的性质

1联函数y=xy=x2y=x3y=%1

定义域RRR[0,+8){x|x£R且x#0}

值域R[0,+8)R[0,+8){y|yGR且y#0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

xe[0,xe(0,

单调性增+8)时，增增增+8)时,减

xd(-00,0]时,减XG(-8,0)时,减

(0,0),(1,1)(1,1)

定点

【要点解读】

要点一事函数的性质及其应用

［例1］比较下列各组数的大小：

(1)1.52,1.72(2)(—1.2)3,(—1.25)3

305

(3)5.25:5.26-1,5.26-2(4)O.5,3,log30.5.

【原则解析】运用募函数的单调性，注意合理选择模拟函数，使问题得到转化。

【误区警示】比较幕形式的两个数的大小，一般的思绪是：

(1)若能化为同指数，则用幕函数的单调性；

(2)若能化为同底数，则用指数函数的单调性；

(3)若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一种恰当时数作为桥梁来比较大小

【答案】(1)•••在上是增函数，，•••

(2)•/在上是增函数，，二

(3)在上是减函数，，,；

：是增函数，，二；综上，

(4)

【变式训练】将下列各组数用不不小于号从小到大排列：

222_3_330-10-5—--

⑴2.5«L4)«3尸⑵-63⑶/(”/,即尸

2223_3_3

【原则解析】⑴(-1.4)3<2.5i<(-3)3(2)6.250<0.5/<0.16々，

2-5--2--3--

⑶(5)2<(3>3<(3)3<(2)3<33°

【技巧点拨】比较几种数式的大小，是解题过程中常常碰到的知识考点，往往都要用到函数的单调性，我们

应当纯熟掌握规定的几种特殊暴函数的单调性、奇偶性及图像特性.

【例2】已知函数=(pez)在(0,+8)上是增函数，且在其定义域上是偶函数。

(1)求p时值，并写出对应的函数的解析式。(2)对于(1)中求得的函数，设函数g(x)=+(2q-l)+1,

问与否存在实数q(q<0),使得g(x)在区间上是减函数，且在区间(一4,0)上是增函数。若存在，祈求出来；

若不存在，请阐明理由。

【原则解析】•••嘉函数()的图象与轴、轴都无交点，；.，；.；

:,/.,又函数图象有关原点对称，

是奇数，，或.

【技巧点拨】累函数图象与轴、轴都无交点，则指数不不小于或等于零；图象有关原点对称，则函数为

奇函数.结合，便可逐渐确定时值.

要点二二次函数的解析式

【例3】已知二次函数为常数，且.满足条件：，且方程有等根.(1)求的解析式；(2)与否存在实

数、，使定义域和值域分别为［m,n］和［4m,4n］,假如存在，求出m、n时值；假如不存在，阐

明理由.

【原则解析】用待定系数法求f(x)解析式，在解题中要注意条件的运用，并运用对应的函数性质处理问题,

同步考察了数学分类讨论的思想。

【技巧点拨】二次函数在闭区间上的最值一般对对称轴与区间的位置关系进行讨论，是求值域的基本题型

之一。在已知最值成果的条件下，仍需讨论何时获得最小值，这个也是背面我们要讲到的内容。

【答案】设/'(x)=ax?+bx+c(a¥0)贝!J/(x)+g(x)=(a_］)x2+bx+c_3

由已知+为奇函数，则有/.=x2+bx+3

下面通过确定在［T,2］上何时取最小值来确定b,分类讨论。

(1),对称轴

当》2,bW-4时，在［-1,2］上为减函数

(f(x))mm=f(2)=2b+72b+7=l/.b=3(舍)

当(-1,2),-4〈b〈2时

(f(x))min=f(-1)=-^+3.*._9+3=1'b=±2V2(舍负)

当W-l,bN2时，£依)在［-1,2］上为增函数(f(x)min=f(l)=4-b

/.4-b=lb=3/.,或

要点三二次函数根的分布

【例4】已知a是实数，函数=2ax2+2x—3—a.假如函数丫=在区间［―1,1］上有零点，求a的取值范围.

【原则解析】研究二次函数在给定区间上的最值问题，要讨论对称轴与给定区间的关系.

【误区警示】在做题的过程中，一要注意计算的精确性，二要注意结合函数的图象，三要注意思维要全面,

进行分析时时侯对条件要合理的使用。

【答案】⑴当a=0时，=2x—3.

令2x-3=0,得x=生［-1,在［—1,1］上无零点，故aWO.

(2)当a>0时，=2ax2+2x—3—aaI对称轴为x=一

①当一W—1,即时，须使即・・・a的解集为。.

②当一1〈一<0,即a>时，须使即

解得a21,「.a的|取值范围是［1,+°°).

(3)当a<0时，

①当0〈W1,即aW时，须有,即

解得:aW或WaW5,又aW,「.a的I取值范围是.

②当，即-<a<0时，须有即・・・a的解集为。.

综上所述,a的取值范围是U［1,+8).

【变式训练】已知有关x的二次方程x2+2mx+2m+l=0.(l)若方程有两根，其中一根在区间(一1,0)内，另一

根在区间(1,2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围.

【原则解析】设出二次方程对应的函数，可画出对应的示意图，然后用函数性质加以限制.用二次函数的

性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题的难点。

【技巧点拨】解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.运用二次函数的图象和性

质，讨论一元二次方程实根的分布有如下的状况

设占,为方程f(x)=0(a>0州两个实根。

①若X]<m,x2>m,则o/(m)<0；

②当在区间(m,n)内有且只有一种实根，时,

o1(2)考虑端点，验证端点:

③当在区间(m,n)内有且只有两个实根时,

A>0

b

m<----<n

2a

f(m)>0

/(«)>0

于(m),于(n)<0

④若m<x,<n<p<x2<q时o