2024-2025学年新教材高中数学第10章概率专题训练含解析新人教A版必修第二册

PAGE专题强化训练(五)概率(建议用时：40分钟)一、选择题1．一个人打靶时连续射击两次，事务“至少有一次中靶”的互斥事务是()A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中靶D[射击两次的结果有：一次中靶；两次中靶；两次都不中靶，故至少一次中靶的互斥事务是两次都不中靶．]2．从某班学生中随意找出一人，假如该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身超群过175cm的概率为()A．0.2 B．0.3C．0.7 D．0.8B[因为必定事务发生的概率是1，所以该同学的身超群过175cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3，故选B．]3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35)，则从中随意取出2粒恰好是同一色的概率是()A．eq\f(1,7)B．eq\f(12,35)C．eq\f(17,35) D．1C[设“从中取出2粒都是黑子”为事务A，“从中取出2粒都是白子”为事务B，“随意取出2粒恰好是同一色”为事务C，则C＝A∪B，且事务A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即随意取出2粒恰好是同一色的概率为eq\f(17,35).]4．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次．若两人同时射击一个目标，则他们都中靶的概率是()A．eq\f(3,5)B．eq\f(3,4)C．eq\f(12,25)D．eq\f(14,25)D[由题意知甲中靶的概率为eq\f(4,5)，乙中靶的概率为eq\f(7,10)，两人打靶相互独立，同时中靶的概率为eq\f(4,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(14,25).]5．若某公司从五位高校毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()A．eq\f(2,3)B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(9,10)D[由题意知，从五位高校毕业生中录用三人，试验的样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，共10个样本点，其中“甲与乙均未被录用”包含的样本点有(丙，丁，戊)，共1个，故其对立事务“甲或乙被录用”包含的样本点有9个，所求概率P＝eq\f(9,10).]二、填空题6．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可看法，其余持反对看法，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对看法的有________人．6912[在随机抽取的50人中，持反对看法的频率为1－eq\f(14,50)＝eq\f(18,25)，则可估计该地区对“键盘侠”持反对看法的有9600×eq\f(18,25)＝6912(人)．]7．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．eq\f(1,3)[设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种，所以P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).]8．用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是________．eq\f(1,4)[由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2，若只用一种颜色有111；222.若用两种颜色有122；212；221；211；121；112.所以共8个样本点．又相邻两个矩形颜色各不相同的有2种，故所求概率为eq\f(1,4).]三、解答题9．对一批U盘进行抽检，结果如下表：抽出件数a50100200300400500次品件数b345589次品频率eq\f(b,a)(1)计算表中次品的频率；(2)从这批U盘中随意抽取一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够刚好更换，要销售2000个U盘，至少需进货多少个U盘？[解](1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02旁边摇摆，所以从这批U盘中随意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)设须要进货x个U盘，为保证其中有2000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2000，因为x是正整数，所以x≥2041，即至少需进货2041个U盘．10．某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成果进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成果的频率分布直方图．(注：分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中随意选取2人，求至少有一名男生的概率．[解](1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是eq\f(5,30＋45)＝eq\f(1,15)，所以样本中包含的男生人数为30×eq\f(1,15)＝2，女生人数为45×eq\f(1,15)＝3.设抽取的5人分别为A，B,C,D，E，其中A，B为男生，C,D，E为女生，从这5人中随意选取2人，试验的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)}，共10个样本点．事务“至少有一名男生”包含的样本点有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，共7个样本点，故至少有一名男生的概率为P＝eq\f(7,10)，即选取的2人中至少有一名男生的概率为eq\f(7,10).11．抛掷两枚质地匀称的硬币，A＝{第一枚为正面对上}，B＝{其次枚为正面对上}，则事务C＝{两枚向上的面为一正一反}的概率为()A．0.25 B．0.5C．0.75 D．0.375B[P(A)＝P(B)＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(A))＝P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2).则P(C)＝P(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝0.5，故选B．]12．连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量(m，n)与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是()A．eq\f(5,12)B．eq\f(7,12)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)A[∵向量(m，n)与向量(－1,1)的夹角θ＞90°，∴(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，∴m>n.样本点总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．∴P＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12)，故选A．]13．现有7名数理化成果优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成果优秀，B1，B2的物理成果优秀，C1，C2的化学成果优秀．从中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名，组成一个小组代表学校参与竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为________．eq\f(5,6)[从这7人中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名，试验的样本空间为Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)}，共12个样本点，设“A1和B1不全被选中”为事务N，则其对立事务eq\x\to(N)表示“A1和B1全被选中”，由于eq\x\to(N)＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P(eq\x\to(N))＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，由对立事务的概率计算公式得P(N)＝1－P(eq\x\to(N))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).]14．甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲：9,9,11,11，乙：X,8,9,10，其中有一个数据模糊，无法确认，以X表示．(1)假如X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)假如X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．[解](1)当X＝8时，乙组四名同学的植树棵数分别是8,8,9,10，故eq\o(x,\s\up7(－))＝eq\f(8＋8＋9＋10,4)＝eq\f(35,4)，s2＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(35,4)))eq\s\up12(2)×2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(35,4)))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(35,4)))eq\s\up12(2)))＝eq\f(11,16).(2)当X＝9时，记甲组四名同学分别为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学分别为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，试验的样本空间Ω＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)}，共16个样本点．设“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事务C，则事务C中包含的样本点有(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)，共4个．故P(C)＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).15．市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路状况如图所示．假设工作日不走其他道路，只在图示的道路中来回，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．假设李先生早上须要先开车送小孩去丙地上学，再返回经甲地赶去乙地上班．假设道路A，B，D上下班时间来回出现拥堵的概率都是eq\f(1,10)，道路C，E上下班时间来回出现拥堵的概率都是eq\f(1,5)，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到．(1)求李先生的小孩按时到校的概率；(2)李先生是否有七成把握能够按时上班？[解](1)因为道路D，E上班时间来回出现拥堵的概率分别是eq\f(1,10)和eq\f(1,5)，所以从甲到丙出现拥堵的概率是eq\f(1,2)×eq\f(1,10)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＝eq\f(3,20)，所以李先生的小孩能够按时到校的概率是1－eq\f(3,20)＝eq\f(17,20).(2)由(1)知，甲到丙没有出现拥堵的概率是eq\f(17