人教版五年级下册数学思维训练讲义-第十一讲整除（含答案）

第一讲整除第一部分：趣味数学完全数完全数这天，聪聪和笨笨写完作业后，贾伯伯又开始给他们讲数学的故事。“今天我们讲的是‘完全数’……”“完全数？数还有不完全的？那不完全的数是不是就是一半的呢？”笨笨问。“哼，当然不是啦，哪有这么简单的！”不等贾伯伯开口，聪聪就抢先说。“哦，那你说呢，什么是完全数呢？”贾伯伯问聪聪。

“嗯…就是…就是…就是整个的数吧？”聪聪试探着说。

“当然也不是啦！”贾伯伯说。聪聪不好意思地低下了头。贾伯伯继续向他们讲着“完全数”的概念。

“什么是‘完全数’呢？就是说，如果一个自然数正好等于除去它本身以外所有的因数之和，这个自然数就叫‘完全数’。那，你们说，什么数符合这样的要求呢？”

聪聪和笨笨想了想，笨笨先迟疑地说：“6……是吧！”

贾伯伯笑着说：“你怎么知道是6呢？”

笨笨大着胆子说：“因为6除了它自己，还有1、2、3三个因数，而1+2+3，正好就是6，就像您刚才说的，三个因数的和正好等于它自己。”

贾伯伯赞许地说：“笨笨答对了！6就是最小的完全数。除了6以外，28也是完全数，你们看，28除了自己之外，还有1、2、4、7、14五个因数，1+2+4+7+14，不也是28了吗？”笨笨和聪聪互相看看，都觉得这个“完全数”挺有意思。聪聪问：“那还有多少这样的‘完全数’呢？”

贾伯伯说：“两千多年前，人们就发现了6和28这两个完全数；后来，又发现了496和8128这两个数，也是完全数。可是又过了一千多年，才又发现了第五个完全数，这个数就是33550326。”

笨笨说：“真不容易呀！”

贾伯伯说：“后来的三百多年，人们又找出了4个完全数，第九个完全数已经有37位了。后来有了电子计算机，人们在找完全数，就方便多了，到现在，总共找到了33个完全数，有的完全数已经有五百多位了呢！”

“那，还有更大的完全数吗？”聪聪问。

贾伯伯笑了：“完全数到底是有限的还是无限的，这个问题嘛，现在还没有解决，连数学家也不知道，再比如，已经发现的33个完全数都是偶数，有没有奇数的完全数？这个也还没有答案呢！”完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的因数）的和，恰好等于它本身。如果一个数恰好等于它的因数之和，则称该数为“完全数”。例如：第一个完全数是6，它有因数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。第二个完全数是28，它有因数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。第三个完全数是496，有因数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其余9个数相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。后面的完全数还有8128、33550336等等。第二部分奥数小练【例题1】能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。【思路导航】例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数。又因为64是4的倍数，所以1864能被4整除。但因为64不是25的倍数，所以1864不能被25整除。练习一：1.1752里有没有因数4？2.3525能被4（或25）整除吗？3.6728能被4（或25）整除吗？【例题2】能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。【思路导航】例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数。又因为375是125的倍数，所以29375能被125整除。但因为375不是8的倍数，所以29375不能被8整除。练习二：1.18520里有没有因数8？2.59786能被8（或125）整除吗？3.234780能被8（或125）整除吗？【例题3】判断47382能否被3或9整除？

【思路导航】能被3或9整除的数的特点是这个数各数位上的数字和是3或9的倍数。47382各个数位的数字相加和是24，24是3的倍数但不是9的倍数。

47382能被3整除，不能被9整除练习三：1.把516至少连续写几次，所组成的数能被9整除？2.四位数36AB能同时被2、3、4、5、9整除，则A=B=？

3.173□是一个四位数，在这个□中先后填入3个数，所得到的3个四位数依次能被9、11、6整除，先后填入的3个数分别是几？【例题4】能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。【思路导航】例如：判断123456789这九位数能否被11整除？这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20。因为25—20＝5，又因为5不是11的倍数，所以11不是123456789的因数。练习四：1.判断42559，7295871能否被11整除？

2.用1~7七个数字组成不重复数字且能被11整除的七位数，最大的七位数与最小七位的数差是多少？3.有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数。这三个数可能是多少？【例题5】能被7（或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（或13）整除。【思路导航】例如：判断1059282是否是7的倍数？把1059282分为1059和282两个数。因为1059-282＝777，又因为777能被7整除，所以1059282能被7整除。因此1059282是7的倍数。例如：判断3546725能否被13整除？把3546725分为3546和725两个数。因为3546-725=2821。再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又因为819能被13整除，所以2821能被13整除，进而3546725能被13整除。练习五：1.将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数，试问：这个数能否被3整除？2.九位数8765□4321能被21整除，□中应填几？3.证明：任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定能同时被7、11、13整除。第三部分：数学史话完全数的诞生公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。”有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，因为上帝创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数。圣·奥古斯丁说：6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实上，因为这个数是一个完全数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了。

在中国文化里：有六谷、六畜、战国时期的六国、秦始皇以六为国数、六常（仁、义、礼、智、信、孝）、天上四方有二十八宿等等，6和28，在中国历史长河中，之所以熠熠生辉，是因为它是一个完全数。难怪生有的学者说，中国发现完全数比西方还早呢。

完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找。它很久以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻这一类数字。接下去的两个完数看来是公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员尼克马修斯发现的，他在其《数论》一书中有一段话如下：也许是这样，正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；是以盈数和亏数非常之多，杂乱无章，它们的发现也毫无系统。但是完全数则易于计数，而且又顺理成章：因为在个位数里只有一个6；十位数里也只有一个28；第三个在百位数的深处，是496；第四个却在千位数的尾巴颈部上，是8128。它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且永远是偶数。但在茫茫数海中，第五个完全数要大得多，居然藏在千万位数的深处！它是33550336，它的寻求之路也更加扑朔迷离，直到十五世纪才由一位无名氏给出。这一寻找完全数的努力从来没有停止。

电子计算机问世后，人们借助这一有力的工具继续探索。笛卡尔曾公开预言：“能找出完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事。”时至今日，人们一直没有发现有奇完全数的存在。于是是否存在奇完全数成为数论中的一大难题。只知道即便有，这个数也是非常之大，并且需要满足一系列苛刻的条件。

参考答案：练习一1752=1700＋52，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数。又因为52是4的倍数，所以1752是4的倍数。2.3525=3500＋25，因为100是4与25的倍数，所以3500是4与25的倍数。又因为25是25的倍数，所以3525能被25整除。但因为25不是4的倍数，所以3525不能被4整除。3.6728=6700＋28，因为100是4与25的倍数，所以6700是4与25的倍数。又因为28是4的倍数，所以6728能被4整除。但因为28不是25的倍数，所以6728不能被25整除。练习二1.18520＝18000＋520，因为1000是8与125的倍数，所以18000是8与125的倍数。又因为520不是8的倍数，所以18520里没有因数8。2.59786＝59000＋786，因为1000是8与125的倍数，所以59000是8与125的倍数。又因为786不是125的倍数，所以59786不能被125整除。又因为786不是8的倍数，所以59786不能被8整除。3。234780能被8（或125）整除吗？234780＝234000＋780，因为1000是8与125的倍数，所以234000是8与125的倍数。又因为780不是125的倍数，所以234780不能被125整除。又因为780不是8的倍数，所以234780不能被8整除。练习三1.能被9整除的数的特点是各数位的数字和能被9整除，5+1+6=12，至少再连续写三次，得到516516516各数字的和为36，才能被9整除。2.由能被2和5整除可判断B=0。能被3和9整除可得A可能是0、9，由能被4整除可得A只能为0，所以A=0，B=0。

3.能被9整除，□中应填7，能被11整除，□中应填8，能被6整除，□中应填4。练习四1.42559奇数位的数字和为4+5+9=18，偶数位的数字和为2+5=7，18-7=11是11的倍数，所以42559能被11整除；7295871奇数位的数字和为7+9+8+1=25，偶数位的数字和为2+5+7=14，25-14=11，是11的倍数，所以7295871也能被11整除。2.根据能被11整除的数的特征，最大的七位数应为7645231，最小的七位数为1235476，二者的差为7645231-1235476=640975511整除。3.三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99。所以有：

当和为33时,三个数是10,11,12；

当和为