人教版四年级下册数学思维训练讲义-第八讲巧妙求和（含答案）

第八讲巧妙求和第一部分：趣味数学高斯与等差数列一位教师布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，一位小男孩即刻把写着答案的小石板交了上去。1+2+3+4+……+98+99+100=?老师起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的笞案属于那个男孩时，才大吃一惊。而更使人吃惊的是男孩的算法……老师发现：第一个数加最后一个数是101,第二个数加倒数第二个数的和也是101，……共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等差数列的方法，高斯的才华使老师一—彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教这位男孩的了。此男孩叫高斯，是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。（一）数列的基本知识：(1)1、2、3、4、5、6……(2)2、4、6、8、10、12……(3)5、10、15、20、25、30……像这样按照一定规律排列成的一列数我们称它为数列，数列中的每一个数称为一项；第1项称为首项；最后1项称为末项；在第几个位置上的数就叫第几项；有多少项称为项数；等差数列的基本知识(1)1、2、3、4、5、6……（公差=1）(2)2、4、6、8、10、12……（公差=2）(3)5、10、15、20、25、30……（公差=5）通过观察，我们可以发现上面的每一个数列中，从第一项开始，后项与前项的差都是相等的，具有这样特征的数列称为等差数列，这个差称为这个数列的公差。等差数列的相关公式（1）通项公式：某一项=首项+(项数-1)×公差（2）项数公式：项数=(末项一首项)÷公差+1（3）求和公式：总和=(首项+末项)×项数÷2在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。 第二部分奥数小练【例题1】下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。①6，10，14，18，22，…，98；②1，2，1，2，3，4，5，6；【思路导航】①是，公差d=4.②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.练习1：下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。①1，2，4，8，16，32，64；②9，8，7，6，5，4，3，2；③3，3，3，3，3，3，3，3；④1，0，1，0，l，0，1，0；【例题2】求等差数列3，5，7，…的第10项，第100项。【思路导航】我们观察这个等差数列，已知：首项=3,公差=2，所以由通项公式，得到第10项：第几项=首项+(项数-1）×公差第10项=3+(10-1)×2=21第几项=首项+(项数-1）×公差第100项=3+(100-1)×2=201练习2：数列2、5、8、11、14……求它的第10项是多少?它的第98项是多少?5、8、11、14、17、20、……这个数列有多少项？它的第201项是多少？【例题3】等差数列3，5，7，……求出前100项的和。【思路导航】前100项的和：总和=(首项+末项)×项数÷2前100项的和=3+5+7+……201=(3+201)×100÷2=10200练习3：等差数列，1+4+7+…+100=（

）2.等差数列，求和：2＋6＋10＋14＋……＋122＋126＝3.等差数列，求和：3＋6＋9＋12＋15＋18＋21＋24＋27＋30＝【例题4】等差数列3+5+7+9+...+101，有多少项？【思路导航】已知首项=3，末项=101，公差=5-3=2，根据项数公式：项数=(末项一首项)÷公差+1（101-3）÷2+1=50(项)练习4：1.已知等差数列2,5,8,11,14……，求47是其中的第几项?1.数列1,5,9,13,17，……，201，问：101是这个数列的第几项？这个数列一共有几项？第三部分：数学史话数学家的故事数学家的故事高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795～1798年在格丁根大学学习1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了常人难以比较的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊。而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，……共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了。参考答案：练习1：①不是，因为4-2≠2-1.②是，公差d=l.③是，公差d=0④不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项。练习2：1.第10项：2+3×(10-1)=29第98项：2+3×(98-1)=2932.它是一个无限数列，所以项数有无限多项，求某一项=首项+公差×（项数-1），所以第201项=5+3×（201-1）=605.练习3：1.分析：项数：（100-1）÷3+1=34和：（1+100）×34÷2=17172.21123.分析：提公因数，数列中所有数字都是3的倍数和＝3×1＋3×2＋3×3＋3×4＋3×5＋3×6＋3×7＋3×8＋3×9＋3×10＝3×（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10