高考数学专项复习训练：常用逻辑用语（4种必考题型）

第04讲常用逻辑用语

9

01学习目标

课程标准学习目标

1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件

1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素的意义.（重点、难点）

养.2.会求（判断）某些问题成立的充分条件、必要条件、

2.借助充要条件的应用，培养数学运算素充要条件.（重点）

养.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要

条件的证明.（难点）

03知识清单

知识点01.命题

1.定义：能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）.判断为真的命题叫做真命题，判

断为假的命题叫做假命题.例如，“10是2的倍数”是真命题，“11是偶数”是假命题.

说明：①命题必定由条件与结论两部分组成；

②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）；

【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段.

③真命题的确定：直接法和反证法.

说明：反证法既是一种重要的数学思想，也是命题证明的一种方法，后面会有赘述.

2.推出关系：如果命题“若a,则夕”是真命题，那么就称a推出夕，记作an/7（或夕ua）.

因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且夕ny,则&=/.它是逻辑推理

的基础.

【即学即练1】（2022秋•上海静安•高一上海市回民中学校考期中）命题"如果X2-X-2X0,那么是一

命题（填"真"或"假"）.

【答案】真

【分析】解不等式即可求解.

【详解】由x2-X-2x0得（了+1）（工-2）x。解得》片—1且xH2,

所以命题"如果f-x-2x0,那么xw2"是真命题，

故答案为:真.

知识点02.充分条件，必要条件、充要条件

【定义】1.对于两个陈述句a与夕，如果an尸，就称a是夕的充分条件，亦称夕是a的必要条件.

2、充要条件：如果既有“p=q”，又有“qnp”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件夕是p成立的

充要条件，记作“poq”.p与q互为充要条件.

【理解】该定义中，"充分”二字说明"a成立时，夕一定成立“；而"必要”二字说明"夕不成立时，a一定不

成立【举例】a=小明是上海人，夕=小明是中国人.

【解题方法点拨】

充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不

可.证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生

答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.

判断充要条件的方法是：

①若pnq为真命题且q=p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；

②若pnq为假命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；

③若pnq为真命题且qnp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；

④若pnq为假命题且qnp为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件.

⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q

的关系.

【即学即练2】（2024春•黄浦区校级期末）设aeR,则。>1是L<1的条件.

【分析】根据由a>l,一定能得到4<1.但当!<1.不能推出a>l（如a=T时），从而得到结论.

aa

【解答】解：由a>l,一定能得到！<1,

a

但当时，不能推出4>1（如4=一1时），

a

故是」<1的充分不必要条件，

a

故答案为：充分不必要.

【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是

一种简单有效的方法.

知识点03.反证法

要判断一个命题“若a,则夕”是假命题，只要存在一个满足条件a但不满足结论夕的对象就行；但是

要判断命题“若a,则夕”是真命题，就需要证明所有满足a的对象都满足结论夕，但有时直接验证这一点

并不是一件容易的事.我们可以首先假设结论夕不成立（夕为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知

条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明"夕为假''是不可能发生的，即结论仅是正确的，这样的证

明方法叫反证法.

【解题思路点拨】

用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，

尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用.使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出

矛盾，这个矛盾可以是与己知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.

1.证明思路：肯定条件，否定结论一推出矛盾一推翻假设，肯定结论

2.反证法的一般步骤：

（1）分清命题的条件和结论；

（2）作出与命题结论相矛盾的假设；

（3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；

（4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真.

【即学即练3】（2022秋•普陀区校级期末）设”€Z.用反证法证明：若/是奇数，则〃是奇数.

【解答】证明：假设〃不是奇数，则〃是偶数，设〃=2%,髭Z,

则"3=8/，

因为依Z,则Nez,

所以8〃是偶数，即/为偶数，这与已知“3为奇数矛盾，

所以假设不成立，即〃是奇数.

知识点04.从集合角度看充分、必要条件

充分、必要条件与对应集合之间的关系

设4={x|p（x）},B={x|q（x）}.

(1)若p是g的充分条件，则AU8；

(2)若p是q的充分不必要条件，则AuB；

(3)若p是g的必要不充分条件，则BuA；

(4)若p是q的充要条件，则A=B.

(5)若A不是B的子集且B不是A的子集，则p是q的既不充分也不必要条件.

要点归纳：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也

不必要条件.判断方法通常按以下，步骤进行：

①确定哪是条件，哪是结论；

②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，

④最后判断条件是结论的什么条件.

【即学即练4］已知条件a:0<x<4和条件尸：0<尤<。，若。是夕的充分不必要条件，则实数。的取

值范围是.

【答案】«>4

【详解】因为条件a:0<x<4和条件〃：0<x<。，若。是£的充分不必要条件，

所以(0,4)是(0,a)的真子集，

因此只需a>4.

故答案为：a>4.

【点睛】结论点睛：由命题的充分条件和必要条件求参数时，-一般可根据如下规则求解：

(1)若/，是q的必要不充分条件，则q对应集合是对应集合的真子集；

(2)〃是q的充分不必要条件，则〃对应集合是g对应集合的真子集；

(3)〃是夕的充分必要条件，则“对应集合与g对应集合相等；

(4)。是g的既不充分乂不必要条件，q对的集合与“对应集合互不包含.

04题型精讲

题型01充分条件、必要条件及充要条件的判断

【解题策略】

判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法

(1)定义法：直接判断“若p,则以及“若q,则p”的真假.

(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.

(3)等价法：即利用pog与的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价

法.

(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由Pl="2=i=P",可得P1=P"：充要条件也有传递性.

【例111(1)指出下列哪些命题中。是4的充分条件？

①在△ABC中，p：ZB>ZC,qtAOAB-,

②已知x,yGR,p：x—\,q：(x—l)(x—2)=0；

③已知xGR,p：x>\,q：x>2.

解①在△ABC中，由大角对大边知，ZB>ZC=>AOAB,所以p是q的充分条件.

②由x=l=(x-l)(x-2)=0,故p是q的充分条件.

③方法一由x>l#x>2,所以0不是q的充分条件.

方法二设集合A={x|x>l},B={x\x>2],

所以3UA,所以p不是q的充分条件.

(2)指出下列哪些命题中q是p的必要条件？

①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；

②p：AUB,q：ADB=A；

③p：a>b,<7：ac>bc.

解①因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件.

②因为p=q,

所以q是p的必要条件.

③因为p#q,

所以q不是p的必要条件.

【例12】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条

件”“既不充分也不必要条件”回答).

(l)p：x=1,q：x—1=\jx-\；

(2)p：—1WXW5,q：x2一1且xW5；

(3)p：x+2Wy,q：(x+Z/Wy2；

(4)p：a是自然数；q-.a是正数.

解(1)方法一当x=l时，x—成立；

当x—l=Mx—1时,x=l或x=2.

:.p是q的充分不必要条件.

方法二A={xlx=l}={l},

B={x|x—l=V^i}={l，2},可知AB,

•,-p是q的充分不必要条件.

(2)；-lWxW5Ox2-l且xW5,

•••p是q的充要条件.

(3)由q：(x+2)2^/,

得x+2Wy且x+2W—y,又p：x+2Wy,

故p是q的必要不充分条件.

(4)0是自然数，但0不是正数，故p#q；又/是正数，但/不是自然数，故q#p.故p是q的既不充分也不必

要条件.

【变式11】(2022秋•普陀区校级期末)设p：x<5,q-.x<6,那么p是q成立的()条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要.

【分析】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解.

【解答】解：x<5能推出x<6,充分性成立，

x<6不能推出x<5,必要性不成立，

故p是q成立的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题.

【变式12】已知。力为非零实数，贝是"!〈>成立的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】D

【分析】举反例结合充分必要条件的定义分析即可.

【详解】显然。>0>6时不能推出Lv}‘反之,<()<?时也不能推出。>人，

aDab

则"a>b"是"』<£"成立的既非充分乂非必要条件.

ab

故选：D

【变式13】指出下列命题中，?是g的什么条件？

⑴p：x2=2x+1,q-.x=-\!2x+1；

(2)p：a2+b2=0,<7：a+/?=0；

(3)p：(x-l)2+(>>-2)2=0,q：(x-l)(>-2)=0.

【解析】解(l)：f=2x+x—y]2x+1=>X2—2X+1,；.p是g的必要条件.

(2),：a2+b2=O^a=b=O=i>a+b=O,a+b=O^cr+b^O,；.p是q的充分条件.

(3)：(x—iy+(y—2)2=0=X=1且y=2=(x—l)(y—2)=0,

而(x—1)。-2)=0#(x—l)2+(y—2)2=0,；.p是q的充分条件.

【变式14】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要

条件”“既不充分也不必要条件”回答).

(Dp：三角形为等腰三角形，g三角形存在两角相等；

（2）p：。。内两条弦相等，q：。。内两条弦所对的圆周角相等；

（3）p：AAB=0,q：A与8之一为空集；

（4）p：a能被6整除,q：a能被3整除;

【解析】解（1）充要条件；（2）必要不充分条件；（3）必要不充分条件；（4）充分不必要条件.

题型02充分条件与必要条件的应用

【解题策略】

充分条件与必要条件的应用技巧

（1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.

（2）求解步骤：先把p,q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式

（组）进行求解.

【例2】已知集合尸={x[-2a<4},Q={x|3，”-2WxW5/“+2,〃?GR}.若P的充分条件为。，求实数，〃的

取值范围.

【解析】解由已知，P的充分条件为。，则。是P的子集.

当3"i—2>5〃i+2,即m<-2时，Q=0,满足题意，

[3w一2>一2,2

当3,"—2<5根+2,即机与一2时，由题意得彳解得0<，"<不

[5m+2<4,5

综上，山的取值范围是，”<一2或

【变式21】（2023秋•上海徐汇•高一上海市西南位育中学校考期末）若a:lWx<3,p.x>m,已知a是夕的

充分条件，则实数旭的取值范围是.

【答案】m£i

【分析】依题意可得a推得出夕，即可求出参数的取值范围.

【详解】解：因为a:14x43,xNm且a是夕的充分条件，

即a推得出夕,所以力£1.

故答案为：“£1

【变式22]集合A={x|—B={x|—aa—Xa}.若“a=l”是“ACBW0”的充分条件，则实数b

的取值范围是（）

A.[b\~2^b<0}B.{b\Q<b^2]

C.{h\~2<b<2}D.{例-2Wb<2}

【答案】C

【解析】A={x|—1<X<1},

B={x\—a<x-b<a}—{x\b-a<x<b+a].

因为“a=l”是“AC8K0”的充分条件，

所以-1WZ>—1<1或一l<b+lWl,EP—2<b<2.

【变式23］已知P={x|a-4<r<a+4},。={尤|1a<3},“xCP”是“xGQ”的必要条件，则实数a的取值

范围是.

【答案】一lWaW5

【解析】因为“xeP”是“xe。”的必要条件，

所以QUP,

所叱［a+—44<21,,

、।所以一1<。<5.

—1,

【变式24］已知p：xv—2或x>10,q：x<l+a或x>l—4(a<0).若p是4的必要条件，则实数。的取值范

围为.

【答案】9}

【解析】是q的必要条件，.・.q=p,

1+aW—2,

1—。210,解得9.

4<0,

题型03充要条件的证明

【解题策略】

充要条件证明的两个思路

(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p=q是证明充分性，推证

q=p是证明必要性.

(2)集合思想：记p:A={x|p(x)},q-.8={x|q(x)},若A=B,则p与g互为充要条件.

【例3】求证：一元二次方程以2+fer+c=0(a,b,c是常数且aWO)有一正实根和一负实根的充要条件是

ac<0.

【解析】证明必要性：由于方程加+/zr+c=O(aN())有一正实根和一负实根，

c

4ac>0,且xi%2=-<0,/.ac<0.

充分性：由ac<0可推出J=b2—4ac>0及式的=5<0,

方程加+陵+仃=。^/。)有一正一负两实根.

综上，一元二次方程af+bx+cnOg,b,。是常数且。#0)有一正实根和一负实根的充要条件是。c<0.

【变式31】求证：一次函数y=fcx+双攵W0)的图象过原点的充要条件是6=0.

【解析】证明(1)充分性：如果6=0,那么y=心;，

当x=0时，y=0,函数图象过原点.

(2)必要性：因为y=fcr+/;(&WO)的图象过原点，

所以当x=0时，y—0,得0=k0+匕，所以Z?=0.

综上，一次函数)，=Ax+b(Z¥O)的图象过原点的充要条件是6=0.

【变式32](2021秋•金山区校级月考)设〃6Z,求证：“〃是偶数”是“(〃+1)2是奇数”的充要条件.

【解答】证明：若“6Z,〃是偶数，则〃+1是奇数，(〃+1)2是奇数，是充分条件，

若〃CZ,(〃+1)2是奇数，则什|是奇数，则〃是偶数，是必要条件，

故：“〃是偶数”是“(”+1)2是奇数”的充要条件.

【变式33】求证：关于x的方程以2+反+。=0有一•个根为1的充要条件是a+6+c=0.

【解析】证明充分性：因为〃+8+，=(),

所以c=—a—b,代入方程a/+人x+c=0,

得a—"6=0,即(x—l)(ar+a+6)=0.

所以方程以2+bx+c=0有一个根为I.

必要性：因为方程加+法+。=0有一个根为1,

所以x=l满足方程加+匕x+c=0,

所以aX1+c=0,即a+Z?+c=0.

故关于x的方程af+bx+cuO有一个根为1的充要条件是a+6+c=0.

【变式34】求证：关于x的方程加+2%+1=0只有一个负实数根的充要条件是a=l或。W0.

【解析】证明(1)充分性：当a=l时，方程加+2%+1=0的实根是为=冷=一1,只有一个负实数根；

当a=0时，方程a^+Zx+BO只有一个负实根是x=一£；

当a<0时，方程ax2+2x+l=o的判别式/=4-4“>0,

且为及=5<0,方程两根一正一负.

所以当a=l或aWO时，关于x的方程ar2+2r+l=0只有一个负实数根.

(2)必要性：若方程加+2%+1=0只有一个负实数根，则

①当4=0时，X——^,符合题意.

②当aWO时，方程。^+2》+1=0有实根，/=4-4“乞0,解得aWl；

当a=l时，方程的解为-1,符合题意；

当且aWO时，方程有两个不相等的实数根制，必，若方程只有一个负实数根，

则XiX2=(<0,即a<0.

所以当关于x的方程以2+2》+1=0只有一个负实数根时，。=1或aWO.

综上，关于x的方程以2+级+1=0只有一个负实数根的充要条件是a=l或“W0.

题型04充分不必要、必要不充分、充要条件的应用

【解题策略】

充要条件证明的两个思路

(1)直接法：证明〃是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p=4是证明充分性，推证

q=>p是证明必要性.

(2)集合思想：记〃：A={x|p(x)},q:8={x[q(x)},若A=B,则p与q互为充要条件.

【例4】已知〃：一2«10,/L若〃是q的必要不充分条件，求实数机的取值范

围.

【解析】解p：-2W无W10,q：1—1+m(〃2>0).

因为p是4的必要不充分条件，

所以4是p的充分不必要条件，

即{x|l—aWxWl+加}{R—2WxW10},

1—m2—2,1~in>一2,

故有<成《

[1+加<10〔1+mWlO,

解得加W3.又,?2>0,

所以实数m的取值范围为{"?|0vmW3}.

【变式41】(2022秋,上海静安•高一上海市回民中学校考期中)若〃lKx<4〃是。<〃?〃的充分非必要条件，

则实数用的取值范围是.

【答案】[4,依)

【分析】根据题意得到l〈x<4与的包含关系，从而得到答案.

【详解】根据题意可知IWxv4nxem，但/<机工分<工<4,故1Wx<4是1<机的真子集，

故机之4,

故答案为：[4,+co)

【变式42】对于集合4,B及元素x,若AGB,则是x£AU3的条件.

【答案】充要

【解析】由xWB,显然可得xWAUB；

反之，由AGB,则AUB=8,

所以由xWAUB可得

故工£8是工£408的充要条件.

【变式43】已知"p：x>〃z+3或XV/'是"q：-4<式<1"成立的必要不充分条件，则实数机的取值范围是

【答案】mW—7或根21

【解析】因为p是夕成立的必要不充分条件，

所以m+3<—4或机21,故加<—7或m21.

【变式44]设集合A={x[—l<xv3},B={x|l-m<x<m+1,m>0},命题p：x^A,命题q：x^B.

(1)若P是4的充要条件，求正实数〃2的取值范围；

（2）若p是q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围.

【解析】解（1）由条件4={x|-la<3},p是4的充要条件,

）2>0,

得A=&即<1—/w=-1,解得加=2,

”+1=3,

所以正实数机的取值范围是{2}.

（2）由〃是夕的充分不必要条件，得AB,

m>0,m>0,

所以<1—mW—1,或<1—w<—1,解得m>2,

ni+l>3m+123,

综上，正实数机的取值范围是根>2.

05强化训练

一.选择题

1.（2023秋•徐汇区期末）若0<6<1,贝IJ“。>少”是“a>b”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据0</*1推知匕与/的大小关系，由此可推“a>〃”是“a>b”的关系.

【解答】解：根据0<力<1推知“凡由此可推是"a>b”的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题考查充分必要条件的判断，考查基本的推理能力，属于基础题.

2.（2023秋•松江区期末）已知a：整数”能被2整除，八整数"能被6整除，则a是夕的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.

【解答】解：整数〃能被2整除，若〃=2,则不能被6整除，则a推不出?，

整数“能被6整除，一定有整数〃能被2整除，力能推出a,

则a是力的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题考查充分必要条件的定义，属于基础题.

3.（2023秋•浦东新区校级期中）4、b、、的、瓦、j均为非零实数，不等式“r+Ax+q<0和

%/+如+。2<0的解集分别为集合M和N,那么''幺=幺=旦”是“用=N”（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【分析】根据不等式的基本性质，我们可以判断“刍='=土"n"M=N”的真假；根据不等式解

a2b2C2

集可能为空集，可判断""=N"n"幺=4=2”的真假，进而得到答案.

a2b2c2

【解答】解：若“幺=2=土<0"时，贝IJ不等式qf+伪x+£<0等价于4*2+h、+。2>0,则“"wN”；

a2h2c2

即“幺=旦=土”是"M=N"的不充分条件；

%b2c2

但当"M=N=0”时，如：/+》+1<0和/+》+2<0,“幺=冬=工”不成立，

%b2c2

即，，幺=6=土”是"M=N"的不必要条件

a2b2c2

故"幺='=±"是“M=N”的既不充分又不必要条件

a2b2c2

故选：D.

【点评】本题考查的知识点是充要条件，其中判断出“幺=幺=2"n"M=N"与M=N''n

a2b2C2

“幺=2=2”的真假，是解答本题的关键.

%b2c2

4.（2023秋•浦东新区校级期末）已知。，h,CGR,则“。>6”是“ad〉梦”的（）条件.

A.充要B.充分非必要

C.必要非充分D.既非充分也非必要

【分析】结合不等式的性质检验充分必要性即可判断.

【解答］解：若a>b,当c=0时，ac2>bc2不成立，即充分性不成立，

当成立时，c2>0,则a一定成立，

所以“a>b”是“acn的必要不充分条件.

故选：C.

【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题.

5.（2023秋•浦东新区校级期末）［2<x+）'<4是］皿<3的（）

［0〈孙<3［0<y<1

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既非充分也非必奖条件

【分析】借助充分条件与必要条件的性质计算即可得.

【解答】解：当瞑二丁时，可取2、一符合题意，但此时不能得到足工充分性不成立,

,（2<x<3..口J2cx+丫<44一、,

当《时，有2vx+yv4,0（孙<3,即<,成乂，必要性成立，

[0<y<l[0<孙<3

“、卜12cx+y<4=[2<x<3、，八△八

综上所述，L■-是《，的必要非充分条件.

[0（孙<3[0<y<l

故选：B.

【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题.

6.（2023秋•黄浦区校级期末）已知“，/,是非零常数，则“。>6”是“1<L”的（）

ab

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【分析】由“a>b”不能推出“工<!”成立，且由也推不出“a>b”成立，进而判断“a>b"

abab

是“_[<[”的什么条件.（

ab

【解答】解：因为可得U<o,

abab

当a>6,即。—"0,当必>0时，J<0成立，所以“a>八'不是“l<1”的充分条件：

abab

当ab>0时，因为*<0,所以a>6,所以““>人’不是的必要条件；

abab

所以"a>b"是“』<!”的既非充分也非必要条件，

ab

故选：D.

【点评】本题考查不等式性质的应用及充分条件必要条件的判断方法，属于基础题.

7.（2023秋•浦东新区校级期末）已知a,b都是自然数，则6是偶数”是“。，6都是偶数”的（

）条件.

A.充分而不必要B.必要而不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【分析】根据已知条件，依次讨论充分性，必要性，即可求解.

【解答】解：令a=l,b=3,满足a+6是偶数，但a,6都不是偶数，故充分性不成立，

a,匕都是偶数，

则a+b是偶数，故必要性成立，

故“a+A是偶数”是“a,匕都是偶数”的必要不充分条件.

故选：B.

【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的定义，属于基础题.

8.（2023秋•普陀区校级期末）设“eZ,"“2是偶数”是“”是偶数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据充要条件的判断即可选出答案.

【解答】解：〃2是偶数等价于正是偶数，故为充要条件，

故选：C.

【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

9.（2023秋•浦东新区校级期末）若a,beR,则“@>1"是"2>1”的（）

b

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据既不充分也不必要条件的定义求解即可.

【解答】解：£>1等价于£一1>0,化简得b（a—b）>0,即。>。>0或a<bv0,

又2"一〃>1等价于。一6>0,即a>。，

则”>1”是"的既不充分也不必要条件.

b

故选：D.

【点评】本题考查既不充分也不必要条件的应用，属于基础题.

10.（2023秋•闵行区校级月考）设xeR,则“x>1”是“V>x”的（）

A.既不充分也不必要条件B.充要条件

C.充分不必要条件D.必要不充分条件

【分析】先求出一元二次不等式的解集，再利用集合的包含关系判断即可.

【解答】解：•jx2>x,j.x<0或x>l,

（1,+oo）U（-co,O）kJ（l,+oo）,

“X>1”是“X?>X”的充分不必要条件，

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

II.（2023秋•杨浦区校级期末）已知a>0,h>0,则“2023a+2024。+——+—!—=4”是

2023a2024/?

“（2023a+2024颂-----+------）=4”的（）

2023a2024b

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合基本不等式分析判断即可.

【解答】解：因为2023。+」一..2J2023。•——=2,当且仅当。=」一时取等号,

2023aV2023a2023

2024b+—..2J2024Z?-=2,当且仅当人=—^时取等号,

2024Z?V2024b2024

所以2023a+2024b+——4-=----4---时----,-必有

2023a2024b2023

所以(2023a+20246)(—1—+―'—)=4成立,

2023a2024/?

所以由2023。+2024。+'一+—―=4,可推出(2023。+2024匕)(」一+二一)=4,

2023a2024b2023a2024b

m因不为(小2八02一3a+20248)(---1--+---1---)、=2c+-2-0-23-〃-+-2-0-2-4-匕

2023a2024b2024b2023a

c_2023」2024〃/

..2+2J------------=4,

V2024b2023a

当且仅当空迎=建丝，即2023a=20248时取等号,

2024b2023a

所以当(2023a+20246)(」一+'一)=4时,必有2023a=2024ft成立，

2023a2024b

1

此时a，b一不一定成立,

20232024

所以由(2023a+20246)(—!—+—!—)=4推不出2023a+2024b+—!—+—-—=4

2023a2024b2023a2024b

1=4”是“（2023“+2024b）（」一+」一）=4”的充分非必要条件.

所以“2023a+2024b+-----H-------------

2023a2024b2023a2024b

故选：A.

【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是中档题.

二.填空题

12.（2023秋•奉贤区期末）a：四边形是正方形，/3四边形ABCD的四个角都是直角，则a是尸

的条件.

【分析】根据充分不必要条件的定义判断即可.

【解答】解：四边形是正方形，则四边形488的四个角都是直角，即a=£,

若四边形ABCD的四个角都是直角，这个四边形可能是长方形，不一定是正方形,

即月推不出a,则a是用的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要.

【点评】本题考查充分不必要条件的定义，属于基础题.

13.（2022秋•青浦区校级期末）已知。、b&R,用反证法证明命题：“若/+〃=0,则。、分全为零”时

的假设是.

【分析】把要证结论否定即可.

【解答】解：用反证法证明命题：若a,beR,且片+匕2=0,则。，8全为0时，

要做的假设是证明结论的反面，即a,〃不全为0.

故答案为：a,b不全为0.

【点评】本题考查反证法的定义，属于基础题.

14.(2023秋•静安区校级期末)“|x|+|2x—l|=|3x-1|”是“X,0”的条件.

【分析】求出|x|+|2x-lR3x-l|的解集，并判断％,0与此解集的推出关系得出结论.

【解答】解：当乂」时，方程为化为x+2x—l=3x—1,此时成立；

2

当时，方程为化为x-(2x-1)=3x-1,解得x=L舍去；

322

当0<x<g时，方程为化为x—(2x—1)=—(3x—1),此时x=0舍去；

当用,0时，方程为化为-x-(2x-l)=-(3x-l),此时成立；

故|》|+|28-1|=|3工-1|的解集为》€(70,0］|<>|^，+8)，

由友,0可推得xe(-8,0］U［；，+°°)，反之不成立，

故“|x|+|2x—lR3x—l|”是"％,0”的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分.

【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题.

15.(2023秋•浦东新区校级期末)若不等式|x+a|,,3成立的一个充分不必要条件是2效k3,则实数。的取

值范围为.

【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可.

【解答】解：由|x+a|效$=-3-。/3-a,

因为不等式|x+a|”3成立的一个充分不必要条件是2强k3,

所以有［:一，等号不同时成立，解得-5轰上0.

故答案为：［-5,0］

【点评】本题考查充分必要条件的应用，属于基础题.

16.(2023秋•闵行区校级期中)若“存在,4］使得2x+a+L.O”是假命题，则实数a的取值范围

是.

【分析】任意xeU，4］使得2x+a+l<0”是真命题，结合一次函数的性质即可求解.

【解答】解：因为存在xw［l,4］使得2x+a+L.O”是假命题，

所以任意X€[l，4]使得2x+a+l<0”是真命题，

根据一次函数的性质可知，当x=4时，8+。+1<0,即"一9.

故答案为：（YO,-9）.

【点评】本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题.

17.“一元二次方程f-奴+1=0有两个正实数根”的一个充分条件可以为；一个必要条件可以

为.

【答案】〃〉3（答案不唯一）。>一1（答案不唯一）

【解析】因为一元二次方程％2—以+1=0有两个正实数根，

'/=〃一420,

所以，，解得

X1十元2=〃>0，

故一元二次方程/一如+1=0有两个正实数根的一个充分条件可以为”>3；

一元二次方程/一分+1=0有两个正实数根的一个必要条件可以为。>一1.

三.解答题

18.（2023秋•闵行区期中）已知集合4={x|啜k3},集合B={x|1-〃?}.

（1）当〃z=—1时，求A|j8；

（2）若“xeA"是的充分非必要条件，求实数，”取值范围组成的集合.

【分析】（1）先算出8={x|-2<x<2},再根据并集的运算法则算出答案；

（2）根据题意，可得A是B的真子集，从而建立关于“的不等式组，算出实数，〃的取值集合.

【解答】解：（1）当/=—1时，集合B={x|-2<x<2},

结合A={x|掇止3},可知A|j8={x|-2<x,3}=（-2,3]；

（2）若“xeA”是“xwB”的充分非必要条件，则A是5的真子集.

2m<\-m

可得-2/n<l,解得加<-2,实数m的取值集合是（re,-2）.

1-/w>3

【点评】本题主要考查集合的并集运算、充分必要条件的概念、不等式的解法等知识，考查了计算能力、

逻辑推理能力，属于基础题.

19.（2023秋•杨浦区校级期末）已知集合A=[-2,10],B={x||x-m|„2）.

（1）若A「p=0,求实数机的取值范围；

（2）若“xwA”是“XGB”的必要非充分条件，求实数，”的取值范围.

【分析】（1）先求出集合3,再利用A0|B=0列出不等式，求出”的取值范围即可；

（2）由“xeA”是的必要非充分条件可得8。A,进而列出不等式，求出机的取值范围即可.

【解答】解：（1）集合4=[一2,10],B={x||­|融}={x|m-2A?%+2},

•.•七B=0,

.•.加+2<—2或加一2>10,

解得wi<T或，w>12,

即实数机的取值范围(ro,-4)U(12,+oo)；

(2)“xeA"是的必要非充分条件，

:.B\jA,

•.•集合A=[-2,10],8={x|m-2领km+2},

fm-2-2

(等号不能同时取到)，

[m+2,,10

解得崂加8,

即实数，"的取值范围为[0,8].

【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

20.(2023秋•长宁区校级期中)已知集合知={幻〃一掇*2a+3],N={x|V-2x-&,0},全集U=R.

(1)当。=2时，求；

(2)若是xeN的充分非必要条件，求实数〃的取值范围.

【分析】(1)解不等式确定N,利用并集运算得到答案.

(2)确定MUN,再考虑〃=0和两种情况，计算得到答案.

【解答】解：(1)a=2,则M={x|啜k7},N={x\x2-2x-&]={x]-2A?4),

则M(jN={x|-2皴k7}.

(2)xeM是xeN的充分非必要条件，则M。N,M是N的真子集，

当〃=0时，a-l>2a+3,解得a<-4；

当〃*0时，a-L,2a+3且120+3，，4,等号不能同时成立，解得一1强打1.

综上所述：ae(-co,-4)|^J[-l,i].

【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于

基础题.

21.(2022秋•黄浦区校级月考)“关于x的方程a/+bx+c=0(aW0)有实数根”是“ac<0”的什么条件？

请证明你的结论.

【解答】解：关于龙的方程苏+云+《=0(a¥0)有实数根是敬<0必要不充分条件.

证明：①证充分性不成立，

当a=l,h=-4,c=3时，此时方程一+历^七=。〜/-4x+3=0,方程的实数根为1或3,

但此时“c=3>0,.•.充分性不成立，

②证必要性成立，

当ac<0时，则△=b~-4“c>0恒成立，

二方程以2+以+c=0(〃W0)有实数根，...必要性成立.

综上，关于x的方程(«^0)有实数根是讹<0必要不充分条件.

22.(2023秋•浦东新区校级月考)已知帆>0,p:(x+l)(x-5)„0,q:l-M1+m.

(1)若〃=?5,p,q有且只有一个为真命题，求实数x的取值范围；

(2)若〃是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

【分析】(1)根据题意，分析命题〃、q为真时x的取值范围，由复合命题的真假可得/八q一真一假，由

此分情况讨论，求出x的取值范围，即可得答案；

(2)根据p是q的充分条件，得到关于加的不等式组，解可得答案.

【解答】解：(1)对于p:(x+l)(x—5),,0,解可得—啜山5,

若m=5,则〃：-4«!k6,

若加=5,p,q有且只有一个为真命题，则〃真q假或〃假夕真，

-掇k5

若。真4假，即/\<，无解，

若0假q真，即「(二或*5,解可得-4,,x<_i或5<%,6,

领k6

综合可得：Y,x<-l或5<%,6,

即x的取值范围为［T,-1)U(5,6］；

(2)若p是q的充分条件，则有］一:’一1,解可得加..4,