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文档简介
第04讲常用逻辑用语
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01学习目标
课程标准学习目标
1.结合具体实例,理解充分条件、必要条件、充要条件
1.通过充要条件的判断,提升逻辑推理素的意义.(重点、难点)
养.2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、
2.借助充要条件的应用,培养数学运算素充要条件.(重点)
养.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要
条件的证明.(难点)
03知识清单
知识点01.命题
1.定义:能判断真假的、不带有变元的陈述句,叫做命题(proposition).判断为真的命题叫做真命题,判
断为假的命题叫做假命题.例如,“10是2的倍数”是真命题,“11是偶数”是假命题.
说明:①命题必定由条件与结论两部分组成;
②假命题的确定:举反例(举出一个满足条件,不满足结论的例子,一个即可,一票否决);
【注意】构造反例有时候不容易,要充分注意命题的条件和结论,还要注意极端情况,或运用类比手段.
③真命题的确定:直接法和反证法.
说明:反证法既是一种重要的数学思想,也是命题证明的一种方法,后面会有赘述.
2.推出关系:如果命题“若a,则夕”是真命题,那么就称a推出夕,记作an/7(或夕ua).
因为子集关系满足传递性,所以推出关系也满足传递性:若且夕ny,则&=/.它是逻辑推理
的基础.
【即学即练1】(2022秋•上海静安•高一上海市回民中学校考期中)命题"如果X2-X-2X0,那么是一
命题(填"真"或"假").
【答案】真
【分析】解不等式即可求解.
【详解】由x2-X-2x0得(了+1)(工-2)x。解得》片—1且xH2,
所以命题"如果f-x-2x0,那么xw2"是真命题,
故答案为:真.
知识点02.充分条件,必要条件、充要条件
【定义】1.对于两个陈述句a与夕,如果an尸,就称a是夕的充分条件,亦称夕是a的必要条件.
2、充要条件:如果既有“p=q”,又有“qnp”,则称条件p是q成立的充要条件,或称条件夕是p成立的
充要条件,记作“poq”.p与q互为充要条件.
【理解】该定义中,"充分”二字说明"a成立时,夕一定成立“;而"必要”二字说明"夕不成立时,a一定不
成立【举例】a=小明是上海人,夕=小明是中国人.
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据;解题中必须涉及两个方面,充分条件与必要条件,缺一不
可.证明题目需要证明充分性与必要性,实际上,充分性理解为充分条件,必要性理解为必要条件,学生
答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.
判断充要条件的方法是:
①若pnq为真命题且q=p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;
②若pnq为假命题且qnp为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;
③若pnq为真命题且qnp为真命题,则命题p是命题q的充要条件;
④若pnq为假命题且qnp为假命题,则命题p是命题q的既不充分也不必要条件.
⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q
的关系.
【即学即练2】(2024春•黄浦区校级期末)设aeR,则。>1是L<1的条件.
【分析】根据由a>l,一定能得到4<1.但当!<1.不能推出a>l(如a=T时),从而得到结论.
aa
【解答】解:由a>l,一定能得到!<1,
a
但当时,不能推出4>1(如4=一1时),
a
故是」<1的充分不必要条件,
a
故答案为:充分不必要.
【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义,通过给变量取特殊值,举反例来说明某个命题不正确,是
一种简单有效的方法.
知识点03.反证法
要判断一个命题“若a,则夕”是假命题,只要存在一个满足条件a但不满足结论夕的对象就行;但是
要判断命题“若a,则夕”是真命题,就需要证明所有满足a的对象都满足结论夕,但有时直接验证这一点
并不是一件容易的事.我们可以首先假设结论夕不成立(夕为假),然后经过正确的逻辑推理得出的与已知
条件或(已学)定理等相矛盾的结论,从而说明"夕为假''是不可能发生的,即结论仅是正确的,这样的证
明方法叫反证法.
【解题思路点拨】
用反证法证题时,首先要搞清反证法证题的方法,其次注意反证法是在条件较少,不易入手时常用的方法,
尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用.使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出
矛盾,这个矛盾可以是与己知矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
1.证明思路:肯定条件,否定结论一推出矛盾一推翻假设,肯定结论
2.反证法的一般步骤:
(1)分清命题的条件和结论;
(2)作出与命题结论相矛盾的假设;
(3)由假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结果;
(4)断定产生矛盾的原因,在于开始所作的假设不真,于是原结论成立,从而间接地证明命题为真.
【即学即练3】(2022秋•普陀区校级期末)设”€Z.用反证法证明:若/是奇数,则〃是奇数.
【解答】证明:假设〃不是奇数,则〃是偶数,设〃=2%,髭Z,
则"3=8/,
因为依Z,则Nez,
所以8〃是偶数,即/为偶数,这与已知“3为奇数矛盾,
所以假设不成立,即〃是奇数.
知识点04.从集合角度看充分、必要条件
充分、必要条件与对应集合之间的关系
设4={x|p(x)},B={x|q(x)}.
(1)若p是g的充分条件,则AU8;
(2)若p是q的充分不必要条件,则AuB;
(3)若p是g的必要不充分条件,则BuA;
(4)若p是q的充要条件,则A=B.
(5)若A不是B的子集且B不是A的子集,则p是q的既不充分也不必要条件.
要点归纳:充要条件的判断通常有四种结论:充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也
不必要条件.判断方法通常按以下,步骤进行:
①确定哪是条件,哪是结论;
②尝试用条件推结论,③再尝试用结论推条件,
④最后判断条件是结论的什么条件.
【即学即练4]已知条件a:0<x<4和条件尸:0<尤<。,若。是夕的充分不必要条件,则实数。的取
值范围是.
【答案】«>4
【详解】因为条件a:0<x<4和条件〃:0<x<。,若。是£的充分不必要条件,
所以(0,4)是(0,a)的真子集,
因此只需a>4.
故答案为:a>4.
【点睛】结论点睛:由命题的充分条件和必要条件求参数时,-一般可根据如下规则求解:
(1)若/,是q的必要不充分条件,则q对应集合是对应集合的真子集;
(2)〃是q的充分不必要条件,则〃对应集合是g对应集合的真子集;
(3)〃是夕的充分必要条件,则“对应集合与g对应集合相等;
(4)。是g的既不充分乂不必要条件,q对的集合与“对应集合互不包含.
04题型精讲
题型01充分条件、必要条件及充要条件的判断
【解题策略】
判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法
(1)定义法:直接判断“若p,则以及“若q,则p”的真假.
(2)集合法:即利用集合的包含关系判断.
(3)等价法:即利用pog与的等价关系,一般地,对于条件和结论是否定形式的命题,一般运用等价
法.
(4)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由Pl="2=i=P",可得P1=P":充要条件也有传递性.
【例111(1)指出下列哪些命题中。是4的充分条件?
①在△ABC中,p:ZB>ZC,qtAOAB-,
②已知x,yGR,p:x—\,q:(x—l)(x—2)=0;
③已知xGR,p:x>\,q:x>2.
解①在△ABC中,由大角对大边知,ZB>ZC=>AOAB,所以p是q的充分条件.
②由x=l=(x-l)(x-2)=0,故p是q的充分条件.
③方法一由x>l#x>2,所以0不是q的充分条件.
方法二设集合A={x|x>l},B={x\x>2],
所以3UA,所以p不是q的充分条件.
(2)指出下列哪些命题中q是p的必要条件?
①p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等;
②p:AUB,q:ADB=A;
③p:a>b,<7:ac>bc.
解①因为矩形的对角线相等,所以q是p的必要条件.
②因为p=q,
所以q是p的必要条件.
③因为p#q,
所以q不是p的必要条件.
【例12】指出下列各组命题中,p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条
件”“既不充分也不必要条件”回答).
(l)p:x=1,q:x—1=\jx-\;
(2)p:—1WXW5,q:x2一1且xW5;
(3)p:x+2Wy,q:(x+Z/Wy2;
(4)p:a是自然数;q-.a是正数.
解(1)方法一当x=l时,x—成立;
当x—l=Mx—1时,x=l或x=2.
:.p是q的充分不必要条件.
方法二A={xlx=l}={l},
B={x|x—l=V^i}={l,2},可知AB,
•,-p是q的充分不必要条件.
(2);-lWxW5Ox2-l且xW5,
•••p是q的充要条件.
(3)由q:(x+2)2^/,
得x+2Wy且x+2W—y,又p:x+2Wy,
故p是q的必要不充分条件.
(4)0是自然数,但0不是正数,故p#q;又/是正数,但/不是自然数,故q#p.故p是q的既不充分也不必
要条件.
【变式11】(2022秋•普陀区校级期末)设p:x<5,q-.x<6,那么p是q成立的()条件.
A.充分不必要B.必要不充分
C.充要D.既不充分也不必要.
【分析】根据已知条件,结合充分条件、必要条件的定义,即可求解.
【解答】解:x<5能推出x<6,充分性成立,
x<6不能推出x<5,必要性不成立,
故p是q成立的充分不必要条件.
故选:A.
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义,属于基础题.
【变式12】已知。力为非零实数,贝是"!〈>成立的()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件
【答案】D
【分析】举反例结合充分必要条件的定义分析即可.
【详解】显然。>0>6时不能推出Lv}‘反之,<()<?时也不能推出。>人,
aDab
则"a>b"是"』<£"成立的既非充分乂非必要条件.
ab
故选:D
【变式13】指出下列命题中,?是g的什么条件?
⑴p:x2=2x+1,q-.x=-\!2x+1;
(2)p:a2+b2=0,<7:a+/?=0;
(3)p:(x-l)2+(>>-2)2=0,q:(x-l)(>-2)=0.
【解析】解(l):f=2x+x—y]2x+1=>X2—2X+1,;.p是g的必要条件.
(2),:a2+b2=O^a=b=O=i>a+b=O,a+b=O^cr+b^O,;.p是q的充分条件.
(3):(x—iy+(y—2)2=0=X=1且y=2=(x—l)(y—2)=0,
而(x—1)。-2)=0#(x—l)2+(y—2)2=0,;.p是q的充分条件.
【变式14】指出下列各组命题中,p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要
条件”“既不充分也不必要条件”回答).
(Dp:三角形为等腰三角形,g三角形存在两角相等;
(2)p:。。内两条弦相等,q:。。内两条弦所对的圆周角相等;
(3)p:AAB=0,q:A与8之一为空集;
(4)p:a能被6整除,q:a能被3整除;
【解析】解(1)充要条件;(2)必要不充分条件;(3)必要不充分条件;(4)充分不必要条件.
题型02充分条件与必要条件的应用
【解题策略】
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题.
(2)求解步骤:先把p,q等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式
(组)进行求解.
【例2】已知集合尸={x[-2a<4},Q={x|3,”-2WxW5/“+2,〃?GR}.若P的充分条件为。,求实数,〃的
取值范围.
【解析】解由已知,P的充分条件为。,则。是P的子集.
当3"i—2>5〃i+2,即m<-2时,Q=0,满足题意,
[3w一2>一2,2
当3,"—2<5根+2,即机与一2时,由题意得彳解得0<,"<不
[5m+2<4,5
综上,山的取值范围是,”<一2或
【变式21】(2023秋•上海徐汇•高一上海市西南位育中学校考期末)若a:lWx<3,p.x>m,已知a是夕的
充分条件,则实数旭的取值范围是.
【答案】m£i
【分析】依题意可得a推得出夕,即可求出参数的取值范围.
【详解】解:因为a:14x43,xNm且a是夕的充分条件,
即a推得出夕,所以力£1.
故答案为:“£1
【变式22]集合A={x|—B={x|—aa—Xa}.若“a=l”是“ACBW0”的充分条件,则实数b
的取值范围是()
A.[b\~2^b<0}B.{b\Q<b^2]
C.{h\~2<b<2}D.{例-2Wb<2}
【答案】C
【解析】A={x|—1<X<1},
B={x\—a<x-b<a}—{x\b-a<x<b+a].
因为“a=l”是“AC8K0”的充分条件,
所以-1WZ>—1<1或一l<b+lWl,EP—2<b<2.
【变式23]已知P={x|a-4<r<a+4},。={尤|1a<3},“xCP”是“xGQ”的必要条件,则实数a的取值
范围是.
【答案】一lWaW5
【解析】因为“xeP”是“xe。”的必要条件,
所以QUP,
所叱[a+—44<21,,
、।所以一1<。<5.
—1,
【变式24]已知p:xv—2或x>10,q:x<l+a或x>l—4(a<0).若p是4的必要条件,则实数。的取值范
围为.
【答案】9}
【解析】是q的必要条件,.・.q=p,
1+aW—2,
1—。210,解得9.
4<0,
题型03充要条件的证明
【解题策略】
充要条件证明的两个思路
(1)直接法:证明p是q的充要条件,首先要明确p是条件,q是结论;其次推证p=q是证明充分性,推证
q=p是证明必要性.
(2)集合思想:记p:A={x|p(x)},q-.8={x|q(x)},若A=B,则p与g互为充要条件.
【例3】求证:一元二次方程以2+fer+c=0(a,b,c是常数且aWO)有一正实根和一负实根的充要条件是
ac<0.
【解析】证明必要性:由于方程加+/zr+c=O(aN())有一正实根和一负实根,
c
4ac>0,且xi%2=-<0,/.ac<0.
充分性:由ac<0可推出J=b2—4ac>0及式的=5<0,
方程加+陵+仃=。^/。)有一正一负两实根.
综上,一元二次方程af+bx+cnOg,b,。是常数且。#0)有一正实根和一负实根的充要条件是。c<0.
【变式31】求证:一次函数y=fcx+双攵W0)的图象过原点的充要条件是6=0.
【解析】证明(1)充分性:如果6=0,那么y=心;,
当x=0时,y=0,函数图象过原点.
(2)必要性:因为y=fcr+/;(&WO)的图象过原点,
所以当x=0时,y—0,得0=k0+匕,所以Z?=0.
综上,一次函数),=Ax+b(Z¥O)的图象过原点的充要条件是6=0.
【变式32](2021秋•金山区校级月考)设〃6Z,求证:“〃是偶数”是“(〃+1)2是奇数”的充要条件.
【解答】证明:若“6Z,〃是偶数,则〃+1是奇数,(〃+1)2是奇数,是充分条件,
若〃CZ,(〃+1)2是奇数,则什|是奇数,则〃是偶数,是必要条件,
故:“〃是偶数”是“(”+1)2是奇数”的充要条件.
【变式33】求证:关于x的方程以2+反+。=0有一•个根为1的充要条件是a+6+c=0.
【解析】证明充分性:因为〃+8+,=(),
所以c=—a—b,代入方程a/+人x+c=0,
得a—"6=0,即(x—l)(ar+a+6)=0.
所以方程以2+bx+c=0有一个根为I.
必要性:因为方程加+法+。=0有一个根为1,
所以x=l满足方程加+匕x+c=0,
所以aX1+c=0,即a+Z?+c=0.
故关于x的方程af+bx+cuO有一个根为1的充要条件是a+6+c=0.
【变式34】求证:关于x的方程加+2%+1=0只有一个负实数根的充要条件是a=l或。W0.
【解析】证明(1)充分性:当a=l时,方程加+2%+1=0的实根是为=冷=一1,只有一个负实数根;
当a=0时,方程a^+Zx+BO只有一个负实根是x=一£;
当a<0时,方程ax2+2x+l=o的判别式/=4-4“>0,
且为及=5<0,方程两根一正一负.
所以当a=l或aWO时,关于x的方程ar2+2r+l=0只有一个负实数根.
(2)必要性:若方程加+2%+1=0只有一个负实数根,则
①当4=0时,X——^,符合题意.
②当aWO时,方程。^+2》+1=0有实根,/=4-4“乞0,解得aWl;
当a=l时,方程的解为-1,符合题意;
当且aWO时,方程有两个不相等的实数根制,必,若方程只有一个负实数根,
则XiX2=(<0,即a<0.
所以当关于x的方程以2+2》+1=0只有一个负实数根时,。=1或aWO.
综上,关于x的方程以2+级+1=0只有一个负实数根的充要条件是a=l或“W0.
题型04充分不必要、必要不充分、充要条件的应用
【解题策略】
充要条件证明的两个思路
(1)直接法:证明〃是q的充要条件,首先要明确p是条件,q是结论;其次推证p=4是证明充分性,推证
q=>p是证明必要性.
(2)集合思想:记〃:A={x|p(x)},q:8={x[q(x)},若A=B,则p与q互为充要条件.
【例4】已知〃:一2«10,/L若〃是q的必要不充分条件,求实数机的取值范
围.
【解析】解p:-2W无W10,q:1—1+m(〃2>0).
因为p是4的必要不充分条件,
所以4是p的充分不必要条件,
即{x|l—aWxWl+加}{R—2WxW10},
1—m2—2,1~in>一2,
故有<成《
[1+加<10〔1+mWlO,
解得加W3.又,?2>0,
所以实数m的取值范围为{"?|0vmW3}.
【变式41】(2022秋,上海静安•高一上海市回民中学校考期中)若〃lKx<4〃是。<〃?〃的充分非必要条件,
则实数用的取值范围是.
【答案】[4,依)
【分析】根据题意得到l〈x<4与的包含关系,从而得到答案.
【详解】根据题意可知IWxv4nxem,但/<机工分<工<4,故1Wx<4是1<机的真子集,
故机之4,
故答案为:[4,+co)
【变式42】对于集合4,B及元素x,若AGB,则是x£AU3的条件.
【答案】充要
【解析】由xWB,显然可得xWAUB;
反之,由AGB,则AUB=8,
所以由xWAUB可得
故工£8是工£408的充要条件.
【变式43】已知"p:x>〃z+3或XV/'是"q:-4<式<1"成立的必要不充分条件,则实数机的取值范围是
【答案】mW—7或根21
【解析】因为p是夕成立的必要不充分条件,
所以m+3<—4或机21,故加<—7或m21.
【变式44]设集合A={x[—l<xv3},B={x|l-m<x<m+1,m>0},命题p:x^A,命题q:x^B.
(1)若P是4的充要条件,求正实数〃2的取值范围;
(2)若p是q的充分不必要条件,求正实数m的取值范围.
【解析】解(1)由条件4={x|-la<3},p是4的充要条件,
)2>0,
得A=&即<1—/w=-1,解得加=2,
”+1=3,
所以正实数机的取值范围是{2}.
(2)由〃是夕的充分不必要条件,得AB,
m>0,m>0,
所以<1—mW—1,或<1—w<—1,解得m>2,
ni+l>3m+123,
综上,正实数机的取值范围是根>2.
05强化训练
一.选择题
1.(2023秋•徐汇区期末)若0<6<1,贝IJ“。>少”是“a>b”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【分析】根据0</*1推知匕与/的大小关系,由此可推“a>〃”是“a>b”的关系.
【解答】解:根据0<力<1推知“凡由此可推是"a>b”的必要不充分条件.
故选:B.
【点评】本题考查充分必要条件的判断,考查基本的推理能力,属于基础题.
2.(2023秋•松江区期末)已知a:整数”能被2整除,八整数"能被6整除,则a是夕的()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.
【解答】解:整数〃能被2整除,若〃=2,则不能被6整除,则a推不出?,
整数“能被6整除,一定有整数〃能被2整除,力能推出a,
则a是力的必要不充分条件.
故选:B.
【点评】本题考查充分必要条件的定义,属于基础题.
3.(2023秋•浦东新区校级期中)4、b、、的、瓦、j均为非零实数,不等式“r+Ax+q<0和
%/+如+。2<0的解集分别为集合M和N,那么''幺=幺=旦”是“用=N”()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
【分析】根据不等式的基本性质,我们可以判断“刍='=土"n"M=N”的真假;根据不等式解
a2b2C2
集可能为空集,可判断""=N"n"幺=4=2”的真假,进而得到答案.
a2b2c2
【解答】解:若“幺=2=土<0"时,贝IJ不等式qf+伪x+£<0等价于4*2+h、+。2>0,则“"wN”;
a2h2c2
即“幺=旦=土”是"M=N"的不充分条件;
%b2c2
但当"M=N=0”时,如:/+》+1<0和/+》+2<0,“幺=冬=工”不成立,
%b2c2
即,,幺=6=土”是"M=N"的不必要条件
a2b2c2
故"幺='=±"是“M=N”的既不充分又不必要条件
a2b2c2
故选:D.
【点评】本题考查的知识点是充要条件,其中判断出“幺=幺=2"n"M=N"与M=N''n
a2b2C2
“幺=2=2”的真假,是解答本题的关键.
%b2c2
4.(2023秋•浦东新区校级期末)已知。,h,CGR,则“。>6”是“ad〉梦”的()条件.
A.充要B.充分非必要
C.必要非充分D.既非充分也非必要
【分析】结合不等式的性质检验充分必要性即可判断.
【解答]解:若a>b,当c=0时,ac2>bc2不成立,即充分性不成立,
当成立时,c2>0,则a一定成立,
所以“a>b”是“acn的必要不充分条件.
故选:C.
【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断,属于基础题.
5.(2023秋•浦东新区校级期末)[2<x+)'<4是]皿<3的()
[0〈孙<3[0<y<1
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充分必要条件D.既非充分也非必奖条件
【分析】借助充分条件与必要条件的性质计算即可得.
【解答】解:当瞑二丁时,可取2、一符合题意,但此时不能得到足工充分性不成立,
,(2<x<3..口J2cx+丫<44一、,
当《时,有2vx+yv4,0(孙<3,即<,成乂,必要性成立,
[0<y<l[0<孙<3
“、卜12cx+y<4=[2<x<3、,八△八
综上所述,L■-是《,的必要非充分条件.
[0(孙<3[0<y<l
故选:B.
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义,属于基础题.
6.(2023秋•黄浦区校级期末)已知“,/,是非零常数,则“。>6”是“1<L”的()
ab
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分也非必要条件
【分析】由“a>b”不能推出“工<!”成立,且由也推不出“a>b”成立,进而判断“a>b"
abab
是“_[<[”的什么条件.(
ab
【解答】解:因为可得U<o,
abab
当a>6,即。—"0,当必>0时,J<0成立,所以“a>八'不是“l<1”的充分条件:
abab
当ab>0时,因为*<0,所以a>6,所以““>人’不是的必要条件;
abab
所以"a>b"是“』<!”的既非充分也非必要条件,
ab
故选:D.
【点评】本题考查不等式性质的应用及充分条件必要条件的判断方法,属于基础题.
7.(2023秋•浦东新区校级期末)已知a,b都是自然数,则6是偶数”是“。,6都是偶数”的(
)条件.
A.充分而不必要B.必要而不充分
C.充要D.既不充分也不必要
【分析】根据已知条件,依次讨论充分性,必要性,即可求解.
【解答】解:令a=l,b=3,满足a+6是偶数,但a,6都不是偶数,故充分性不成立,
a,匕都是偶数,
则a+b是偶数,故必要性成立,
故“a+A是偶数”是“a,匕都是偶数”的必要不充分条件.
故选:B.
【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的定义,属于基础题.
8.(2023秋•普陀区校级期末)设“eZ,"“2是偶数”是“”是偶数”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【分析】根据充要条件的判断即可选出答案.
【解答】解:〃2是偶数等价于正是偶数,故为充要条件,
故选:C.
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义,属于基础题.
9.(2023秋•浦东新区校级期末)若a,beR,则“@>1"是"2>1”的()
b
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【分析】根据既不充分也不必要条件的定义求解即可.
【解答】解:£>1等价于£一1>0,化简得b(a—b)>0,即。>。>0或a<bv0,
又2"一〃>1等价于。一6>0,即a>。,
则”>1”是"的既不充分也不必要条件.
b
故选:D.
【点评】本题考查既不充分也不必要条件的应用,属于基础题.
10.(2023秋•闵行区校级月考)设xeR,则“x>1”是“V>x”的()
A.既不充分也不必要条件B.充要条件
C.充分不必要条件D.必要不充分条件
【分析】先求出一元二次不等式的解集,再利用集合的包含关系判断即可.
【解答】解:•jx2>x,j.x<0或x>l,
(1,+oo)U(-co,O)kJ(l,+oo),
“X>1”是“X?>X”的充分不必要条件,
故选:C.
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法,充要条件的判定,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
II.(2023秋•杨浦区校级期末)已知a>0,h>0,则“2023a+2024。+——+—!—=4”是
2023a2024/?
“(2023a+2024颂-----+------)=4”的()
2023a2024b
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合基本不等式分析判断即可.
【解答】解:因为2023。+」一..2J2023。•——=2,当且仅当。=」一时取等号,
2023aV2023a2023
2024b+—..2J2024Z?-=2,当且仅当人=—^时取等号,
2024Z?V2024b2024
所以2023a+2024b+——4-=----4---时----,-必有
2023a2024b2023
所以(2023a+20246)(—1—+―'—)=4成立,
2023a2024/?
所以由2023。+2024。+'一+—―=4,可推出(2023。+2024匕)(」一+二一)=4,
2023a2024b2023a2024b
m因不为(小2八02一3a+20248)(---1--+---1---)、=2c+-2-0-23-〃-+-2-0-2-4-匕
2023a2024b2024b2023a
c_2023」2024〃/
..2+2J------------=4,
V2024b2023a
当且仅当空迎=建丝,即2023a=20248时取等号,
2024b2023a
所以当(2023a+20246)(」一+'一)=4时,必有2023a=2024ft成立,
2023a2024b
1
此时a,b一不一定成立,
20232024
所以由(2023a+20246)(—!—+—!—)=4推不出2023a+2024b+—!—+—-—=4
2023a2024b2023a2024b
1=4”是“(2023“+2024b)(」一+」一)=4”的充分非必要条件.
所以“2023a+2024b+-----H-------------
2023a2024b2023a2024b
故选:A.
【点评】本题考查了充分必要条件,考查不等式问题,是中档题.
二.填空题
12.(2023秋•奉贤区期末)a:四边形是正方形,/3四边形ABCD的四个角都是直角,则a是尸
的条件.
【分析】根据充分不必要条件的定义判断即可.
【解答】解:四边形是正方形,则四边形488的四个角都是直角,即a=£,
若四边形ABCD的四个角都是直角,这个四边形可能是长方形,不一定是正方形,
即月推不出a,则a是用的充分不必要条件.
故答案为:充分不必要.
【点评】本题考查充分不必要条件的定义,属于基础题.
13.(2022秋•青浦区校级期末)已知。、b&R,用反证法证明命题:“若/+〃=0,则。、分全为零”时
的假设是.
【分析】把要证结论否定即可.
【解答】解:用反证法证明命题:若a,beR,且片+匕2=0,则。,8全为0时,
要做的假设是证明结论的反面,即a,〃不全为0.
故答案为:a,b不全为0.
【点评】本题考查反证法的定义,属于基础题.
14.(2023秋•静安区校级期末)“|x|+|2x—l|=|3x-1|”是“X,0”的条件.
【分析】求出|x|+|2x-lR3x-l|的解集,并判断%,0与此解集的推出关系得出结论.
【解答】解:当乂」时,方程为化为x+2x—l=3x—1,此时成立;
2
当时,方程为化为x-(2x-1)=3x-1,解得x=L舍去;
322
当0<x<g时,方程为化为x—(2x—1)=—(3x—1),此时x=0舍去;
当用,0时,方程为化为-x-(2x-l)=-(3x-l),此时成立;
故|》|+|28-1|=|3工-1|的解集为》€(70,0]|<>|^,+8),
由友,0可推得xe(-8,0]U[;,+°°),反之不成立,
故“|x|+|2x—lR3x—l|”是"%,0”的必要不充分条件.
故答案为:必要不充分.
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义,属于基础题.
15.(2023秋•浦东新区校级期末)若不等式|x+a|,,3成立的一个充分不必要条件是2效k3,则实数。的取
值范围为.
【分析】根据绝对值不等式的解法,结合充分不必要条件的性质进行求解即可.
【解答】解:由|x+a|效$=-3-。/3-a,
因为不等式|x+a|”3成立的一个充分不必要条件是2强k3,
所以有[:一,等号不同时成立,解得-5轰上0.
故答案为:[-5,0]
【点评】本题考查充分必要条件的应用,属于基础题.
16.(2023秋•闵行区校级期中)若“存在,4]使得2x+a+L.O”是假命题,则实数a的取值范围
是.
【分析】任意xeU,4]使得2x+a+l<0”是真命题,结合一次函数的性质即可求解.
【解答】解:因为存在xw[l,4]使得2x+a+L.O”是假命题,
所以任意X€[l,4]使得2x+a+l<0”是真命题,
根据一次函数的性质可知,当x=4时,8+。+1<0,即"一9.
故答案为:(YO,-9).
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用,属于基础题.
17.“一元二次方程f-奴+1=0有两个正实数根”的一个充分条件可以为;一个必要条件可以
为.
【答案】〃〉3(答案不唯一)。>一1(答案不唯一)
【解析】因为一元二次方程%2—以+1=0有两个正实数根,
'/=〃一420,
所以,,解得
X1十元2=〃>0,
故一元二次方程/一如+1=0有两个正实数根的一个充分条件可以为”>3;
一元二次方程/一分+1=0有两个正实数根的一个必要条件可以为。>一1.
三.解答题
18.(2023秋•闵行区期中)已知集合4={x|啜k3},集合B={x|1-〃?}.
(1)当〃z=—1时,求A|j8;
(2)若“xeA"是的充分非必要条件,求实数,”取值范围组成的集合.
【分析】(1)先算出8={x|-2<x<2},再根据并集的运算法则算出答案;
(2)根据题意,可得A是B的真子集,从而建立关于“的不等式组,算出实数,〃的取值集合.
【解答】解:(1)当/=—1时,集合B={x|-2<x<2},
结合A={x|掇止3},可知A|j8={x|-2<x,3}=(-2,3];
(2)若“xeA”是“xwB”的充分非必要条件,则A是5的真子集.
2m<\-m
可得-2/n<l,解得加<-2,实数m的取值集合是(re,-2).
1-/w>3
【点评】本题主要考查集合的并集运算、充分必要条件的概念、不等式的解法等知识,考查了计算能力、
逻辑推理能力,属于基础题.
19.(2023秋•杨浦区校级期末)已知集合A=[-2,10],B={x||x-m|„2).
(1)若A「p=0,求实数机的取值范围;
(2)若“xwA”是“XGB”的必要非充分条件,求实数,”的取值范围.
【分析】(1)先求出集合3,再利用A0|B=0列出不等式,求出”的取值范围即可;
(2)由“xeA”是的必要非充分条件可得8。A,进而列出不等式,求出机的取值范围即可.
【解答】解:(1)集合4=[一2,10],B={x|||融}={x|m-2A?%+2},
•.•七B=0,
.•.加+2<—2或加一2>10,
解得wi<T或,w>12,
即实数机的取值范围(ro,-4)U(12,+oo);
(2)“xeA"是的必要非充分条件,
:.B\jA,
•.•集合A=[-2,10],8={x|m-2领km+2},
fm-2-2
(等号不能同时取到),
[m+2,,10
解得崂加8,
即实数,"的取值范围为[0,8].
【点评】本题主要考查了集合的基本运算,考查了充分条件和必要条件的定义,属于基础题.
20.(2023秋•长宁区校级期中)已知集合知={幻〃一掇*2a+3],N={x|V-2x-&,0},全集U=R.
(1)当。=2时,求;
(2)若是xeN的充分非必要条件,求实数〃的取值范围.
【分析】(1)解不等式确定N,利用并集运算得到答案.
(2)确定MUN,再考虑〃=0和两种情况,计算得到答案.
【解答】解:(1)a=2,则M={x|啜k7},N={x\x2-2x-&]={x]-2A?4),
则M(jN={x|-2皴k7}.
(2)xeM是xeN的充分非必要条件,则M。N,M是N的真子集,
当〃=0时,a-l>2a+3,解得a<-4;
当〃*0时,a-L,2a+3且120+3,,4,等号不能同时成立,解得一1强打1.
综上所述:ae(-co,-4)|^J[-l,i].
【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的应用、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于
基础题.
21.(2022秋•黄浦区校级月考)“关于x的方程a/+bx+c=0(aW0)有实数根”是“ac<0”的什么条件?
请证明你的结论.
【解答】解:关于龙的方程苏+云+《=0(a¥0)有实数根是敬<0必要不充分条件.
证明:①证充分性不成立,
当a=l,h=-4,c=3时,此时方程一+历^七=。〜/-4x+3=0,方程的实数根为1或3,
但此时“c=3>0,.•.充分性不成立,
②证必要性成立,
当ac<0时,则△=b~-4“c>0恒成立,
二方程以2+以+c=0(〃W0)有实数根,...必要性成立.
综上,关于x的方程(«^0)有实数根是讹<0必要不充分条件.
22.(2023秋•浦东新区校级月考)已知帆>0,p:(x+l)(x-5)„0,q:l-M1+m.
(1)若〃=?5,p,q有且只有一个为真命题,求实数x的取值范围;
(2)若〃是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
【分析】(1)根据题意,分析命题〃、q为真时x的取值范围,由复合命题的真假可得/八q一真一假,由
此分情况讨论,求出x的取值范围,即可得答案;
(2)根据p是q的充分条件,得到关于加的不等式组,解可得答案.
【解答】解:(1)对于p:(x+l)(x—5),,0,解可得—啜山5,
若m=5,则〃:-4«!k6,
若加=5,p,q有且只有一个为真命题,则〃真q假或〃假夕真,
-掇k5
若。真4假,即/\<,无解,
若0假q真,即「(二或*5,解可得-4,,x<_i或5<%,6,
领k6
综合可得:Y,x<-l或5<%,6,
即x的取值范围为[T,-1)U(5,6];
(2)若p是q的充分条件,则有]一:’一1,解可得加..4,
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