高考数学专项复习训练：重难点拓展之基本不等式（分层练）（原卷版）

第17讲重难点拓展：基本不等式

【人教A版2019必修一】

目录

题型归纳................................................................................

题型01巧用“1”的代换求最值问题........................................................................1

题型02分离消元法求最值.................................................................................3

题型03利用基本不等式证明不等式.........................................................................5

分层练习.................................................................................................7

夯实基础................................................................................................7

能力提升................................................................................................10

创新拓展................................................................................................18

题型归纳

题型01巧用“1”的代换求最值问题

【解题策略】

常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此

种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.

【典例分析】

19

【例1】若x>0,y>0,且；+1=1，求x+y的最小值.

【变式演练】

Q］

【变式1］（2324高一上.安徽.期末）已知正数x,＞满足一+—=1,则x+2y的最小值是（）

xy

A.6B.16C.20D.18

【变式2］已知第＞0,y＞0,x+Sy=xy,求x+2y的最小值.

1?

【变式3】（2324高一上・甘肃・期末）已知〃＞。力＞。.若一+7=1,求2〃+/?的最小值.

ab

题型02分离消元法求最值

【解题策略】

对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示

另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.

【典例分析】

【例2】已知1＞0,y＞0,x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值.

【变式演练】

【变式1］已知x>0,y>0,xy=x+y+3,求孙的最小值.

【变式2］（2324高一上.广东东莞.期末）若x>0、y>0,且，+y=l,则1的最大值为

XX

【变式3］已知。>0,/?>0,且2〃+/?=出?一1,贝!1〃+2Z?的最小值为.

题型03利用基本不等式证明不等式

【解题策略】

利用基本不等式证明不等式的策略

从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问

题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.

【典例分析】

【例3】已知a,b,c均为正实数，且〃+b+c=l.

【变式演练】

【变式1】已知a,b,c均为正实数，且a+6+c=l.

求证：a+b+^9-

【变式2】已知a,b,cGR,求证：1+式+「已片廿+万2c2+42.

【变式3】已知”，。都是正数,

分层练习

【夯实基础】

选择题（共1小题）

1Q

1.（2023秋•城关区校级期中）已知犬>0,y>0,且兀+y=4,则一+—的最小值为（）

A.2B.3C.4D.8

三.填空题（共3小题）

1o

2.（2024春•黄浦区校级期末）若正数X,y满足上+2=1,则x+y的最小值为

龙y

3.（2023秋•斗门区校级月考）已知”>0,b>0,若a+b=2ab,则a+46的最小值为

71

4.设正数〃，。满足2a+h=l,4+上的最小值为__.

ab

5.（2023秋•深圳期末）已知x,>>0，若%+孙=4,则尤+y的最小值为

四.解答题（共2小题）

14

6.（2023秋•汉寿县校级期中）（1）已知〃，〃为正数，且满足。+人=1,求上+色的最小值;

ab

(2)已知求y=4x-2d的最大值.

44x-5

7.（2022春•会宁县校级期中）已知a,beR,求证：她,（“；与.

【能力提升】

多选题（共4小题）

1.（2023秋•岳阳期末）已知实数a,6满足a>6>0且a+b=l,则下列说法正确的是（

A.Z7<—B.cib>一

24

41

C.ab>b2D.一+-的最小值为9

ab

2.（2023秋•汕尾期末）已知a,b为正数,且2a+b=l,则（）

211

A.Ovav—B.0<cib<—C.-+-..9D.-<a92+b92<l

28ab4

3.(2023秋•开福区校级期末)若。，/?G(0,+OO),a+b=l,则下列说法正确的有（）

A.(«+-)(/?+-)的最小值为4

ab

B.&T9+&T?的最大值为通

C.工+2的最小值为3+20

ab

4.（2023秋•河池月考）下列说法正确的有（）

A.若0<x<」，则x（l—2x）的最大值是1

24

+二一的最小值是

B.若x,y,z者B是正数，且x+y+z=2,则一3

y+z

C.若%>0,y>0，x+2y+2xy=8,贝!Jx+2y的最小值是2

iii4

D.若々>04>0,—+—=1,则——+——的最小值是4

aba—1b—\

二.填空题（共2小题）

17

5.（2023秋•建邺区期末）若*b,c均为正数，且Q+〃+C=3,则一!一+一的最小值是

2a+1b+c

6.（2023秋•浦东新区校级期中）已知正数”，。满足a+力=1,则工+1取到最小值时，a=

ab

三.解答题（共4小题）

7.（2023秋•莲池区校级期中）解答下列问题：

（1）设正数x,y满足x+2y=l,求」+_1的最小值;

%y

a2h2

(2)已知。，Z?G(0,+OO),比较——+——与Q+Z?的大小.

ba

4丫之—3x

8.(2023秋•重庆期中)(1)已知%>1,求y=三_；1的最小值;

41

(2)若〃、beR*,且满足条件Q+2Z?=1,求----F—的最小值.

Q+1b

9.(2023秋•长治期末)已知无>0,y>0，xy=x+y+a.

(1)当Q=3时，求孙的最小值；

(2)当a=0时，求x+y+」+，的最小值.

10.(2023秋•西安期末)若a>0,b>0,S.ab=a+b+8.

(1)求点的取值范围；

(2)求a+46的最小值，以及此时对应的。的值.

【创新拓展】

一.多选题（共1小题）

1.（2023秋•浑南区校级月考）下列说法正确的是（）

1L

A.若x>l,贝ljy=3x+上的最小值为2指+3

X-1

12Q

B.已知x>—l,y>0,且x+2y=l,贝！J——+—的最小值为二

x+1y2

C.已知帆.0,M..0,且加+〃=1,则*一+——的最小值为巴

m+2n+l15

D.若x>0,y>0,2>0贝3'+,+22的最小值为2

3xy+4yz5

填空题（共1小题）

71

2.（2023秋•盐城期末）已知正实数x,y满足4%+7y=4,则-----+------的最小值为

x+3y2x+y

三.解答题（共6小题）

3.（2023秋•镇江月考）已知a,6为正实数.

（1）右a+2）=l,求一+-的取小值；

ab

⑵若m,n>0,试判断工+日与日竺电1的大小关系并证明.

aba+b

4.（2023秋•江北区校级月考）（1）已知-啜女+61,-M-Z?1,求2a+36的取值范围；

（2）若实数a,b,c满足片+片+C2=6.试判断+与工一——的大小并说明理由.

a2+lb2+