人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册课时作业4：3 2 2 第一课时 双曲线的简单几何性质练习

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE13.2.2双曲线的简单几何性质第一课时双曲线的简单几何性质一、选择题1.双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是()A.y＝±3x B.y＝±eq\f(1,3)xC.y＝±eq\r(3)x D.y＝±eq\f(\r(3),3)x〖答案〗C〖解析〗双曲线方程可化为标准方程：eq\f(x2,1)－eq\f(y2,3)＝1，∴a＝1，b＝eq\r(3)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±eq\r(3)x.2.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,10)－eq\f(y2,6)＝1 D.eq\f(x2,6)－eq\f(y2,10)＝1〖答案〗A〖解析〗依题意知，焦点在x轴上，c＝4，eq\f(c,a)＝2，∴a＝2.∴b2＝c2－a2＝12.故双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.3.已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(2)，则点(4，0)到C的渐近线的距离为()A.eq\r(2) B.2 C.eq\f(3\r(2),2) D.2eq\r(2)〖答案〗D〖解析〗法一由离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，得c＝eq\r(2)a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为eq\f(4,\r(1＋1))＝2eq\r(2).故选D.法二离心率e＝eq\r(2)的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C的渐近线的距离为eq\f(4,\r(1＋1))＝2eq\r(2)，故选D.4.下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x的是()A.x2－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－y2＝1C.eq\f(y2,4)－x2＝1 D.y2－eq\f(x2,4)＝1〖答案〗D〖解析〗从选项知，焦点在y轴上的双曲线有eq\f(y2,4)－x2＝1与y2－eq\f(x2,4)＝1，而eq\f(y2,4)－x2＝1的渐近线方程是y＝±2x，y2－eq\f(x2,4)＝1的渐近线方程是y＝±eq\f(1,2)x，故选D.5.(多选题)设双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，则该双曲线的离心率e可以为()A.eq\f(\r(5),2) B.eq\f(2\r(5),5) C.eq\r(5) D.2eq\r(5)〖答案〗AC〖解析〗当焦点在x轴上时，eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，所以e2＝1＋eq\f(b2,a2)＝1＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)，所以e＝eq\f(\r(5),2)；当焦点在y轴上时，eq\f(a,b)＝eq\f(1,2)，所以e2＝1＋eq\f(b2,a2)＝1＋4＝5，所以e＝eq\r(5).二、填空题6.若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1(a>0)的离心率为eq\f(\r(5),2)，则a＝________.〖答案〗4〖解析〗由题意可得，eq\f(a2＋4,a2)＝eq\f(5,4)，得a2＝16，又a>0，所以a＝4，故〖答案〗为4.7.已知双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,m)＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是________.〖答案〗(4，＋∞)〖解析〗∵等轴双曲线的离心率为eq\r(2)，且双曲线C的开口比等轴双曲线的开口更开阔，∴双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,m)＝1的离心率e>eq\r(2)，e2>2，即eq\f(4＋m,4)>2，∴m>4.8.已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为______.〖答案〗4x±3y＝0〖解析〗由椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1知，长轴端点分别为(－5，0)和(5，0)，焦点是(－3，0)，(3，0)，由此可知，双曲线的焦点为(－5，0)，(5，0)，顶点为(－3，0)，(3，0)，所以双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，∴渐近线方程为4x±3y＝0.三、解答题9.已知圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆C：eq\f(x2,50)＋eq\f(y2,25)＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程.解椭圆C：eq\f(x2,50)＋eq\f(y2,25)＝1的两焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，故双曲线G的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则G的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25.∵圆M的圆心为(0，5)，半径为r＝3，∴eq\f(|5a|,\r(a2＋b2))＝3，∴a＝3，b＝4.∴双曲线G的方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.10.已知双曲线的一条渐近线为x＋eq\r(3)y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程.解椭圆方程化为标准方程eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,16)＝1，可知c2＝64－16＝48.①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝48，,\f(b,a)＝\f(\r(3),3)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝36，,b2＝12.))∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,36)－eq\f(y2,12)＝1；②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝48，,\f(a,b)＝\f(\r(3),3)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝12，,b2＝36.))∴双曲线的标准方程为eq\f(y2,12)－eq\f(x2,36)＝1.由①②可知，双曲线的标准方程为eq\f(x2,36)－eq\f(y2,12)＝1或eq\f(y2,12)－eq\f(x2,36)＝1.11.已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 D.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1〖答案〗A〖解析〗把x＝c代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得y＝±eq\f(b2,a).不妨设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，则d1＝eq\f(|bc－b2|,\r(a2＋b2))，d2＝eq\f(|bc＋b2|,\r(a2＋b2))，故d1＋d2＝eq\f(|bc－b2|,\r(a2＋b2))＋eq\f(|bc＋b2|,\r(a2＋b2))＝eq\f(bc－b2＋bc＋b2,c)＝2b＝6，故b＝3.又eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2，得a2＝3，所以双曲线的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1.12.两个正数a，b的和为5，积为6，且a>b，则双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率e＝________，渐近线方程为________.〖答案〗eq\f(\r(13),3)y＝±eq\f(2,3)x〖解析〗由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝5，,ab＝6，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝2.))又a>b，∴a＝3，b＝2，∴c＝eq\r(13)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),3).渐近线方程为y＝±eq\f(2,3)x.13.求与双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1有共同的渐近线，并且经过点A(2eq\r(3)，－3)的双曲线的方程.解双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(3,4)x.当所求双曲线的焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0).因为eq\f(b,a)＝eq\f(3,4)，所以b＝eq\f(3,4)a.①因为点A(2eq\r(3)，－3)在所求双曲线上，所以eq\f(12,a2)－eq\f(9,b2)＝1.②联立①②得方程组无解.当所求双曲线的焦点在y轴上时，设所求双曲线的方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，因为eq\f(a,b)＝eq\f(3,4)，所以a＝eq\f(3,4)b.③因为点A(2eq\r(3)，－3)在所求双曲线上，所以eq\f(9,a2)－eq\f(12,b2)＝1.④由③④，得a2＝eq\f(9,4)，b2＝4，所以所求双曲线的方程为eq\f(y2,\f(9,4))－eq\f(x2,4)＝1.14.已知椭圆C1：eq\f(x2,aeq\o\al(2,1))＋eq\f(y2,beq\o\al(2,1))＝1(a1>b1>0)与双曲线C2：eq\f(x2,aeq\o\al(2,2))－eq\f(y2,beq\o\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且|F1F2|＝4|PF2|，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则e2－e1的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))〖答案〗B〖解析〗设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由椭圆的定义可得m＋n＝2a1，由双曲线的定义可得m－n＝2a2，解得m＝a1＋a2，n＝a1－a2，由|F1F2|＝4|PF2|，可得n＝eq\f(1,2)c，即a1－a2＝eq\f(1,2)c，由e1＝eq\f(c,a1)，e2＝eq\f(c,a2)，可得eq\f(1,e1)－eq\f(1,e2)＝eq\f(1,2)，由0<e1<1，可得eq\f(1,e1)>1，可得eq\f(1,e2)>eq\f(1,