数学课后导练：绝对值不等式的解法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1不等式｜2x2-1｜≤1的解集为()A。{x｜-1≤x≤1｝B.{x｜-2≤x≤2｝C。｛x｜0≤x≤2｝D。{x｜-2≤x≤0｝解析：由|2x2—1|≤1得—1≤2x2-1≤1。∴0≤x2≤1,即—1≤x≤1.答案：A2不等式|x+log3x｜〈|x｜+|log3x｜的解集为（)A.(0,1）B.(1，+∞）C。（0，+∞）D。(-∞，+∞)解析:∵x>0,x与log3x异号,∴log3x<0.∴0<x〈1.答案:A3已知不等式｜2x-t|+t—1<0的解集为(-,）,则t=_______________。解析:|2x—t|〈1-t，t-1〈2x-t<1—t,2t-1<2x〈1,t—<x〈，∴t=0。答案：04不等式｜x+2｜≥｜x|的解集是________________.解法一：|x+2|≥|x｜(x+2）2≥x24x+4≥0x≥-1。解法二：在同一直角坐标系下作出f(x）=｜x+2｜与g(x）=|x|的图象,根据图象可得x≥-1.解法三:根据绝对值的几何意义，不等式｜x+2|≥｜x|表示数轴上x到-2的距离不小于到0的距离,∴x≥—1。答案:{x|x≥—1｝5已知不等式a≤对x取一切负数恒成立,则a的取值范围是_____________。解析:要使a≤对x取一切负数恒成立，令t=|x｜>0，则a≤.而，∴a≤。答案:a≤综合应用6函数f（x)=的最小值为(）A.190B。171C解析:由绝对值的几何意义知x=10时,f(x）取得最小值,此时f(x)的最小值为9+8+7+6+5+4+3+2+1+0+1+2+…+9=2×（9+8+7+…+1)=90.答案：C7对于任意的实数x,不等式｜x+1|≥kx恒成立，则实数k的取值范围是()A。(—∞,0］B。［—1，0]C.［0,1]D。［0,+∞)解析：令f(x)=｜x+1｜,g（x)=kx，画出图象,易得k∈［0，1］时,｜x+1｜≥kx。答案:C8解不等式｜2x+1|+|x-2|+｜x-1|>4.思路分析：令2x+1=0，x—2=0,x—1=0,得x1=—,x2=1，x3=2。解析:当x≤—时，原不等式化为-2x-1+2—x+1—x>4,∴x〈—。当—<x≤1时,原不等式可化为2x+1+2—x+1—x〉4，4〉4（矛盾）.当1<x≤2时,原不等式可化为2x+1+2-x+x-1〉4，∴x〉1.又1〈x≤2,∴1〈x≤2.当x>2时,原不等式可化为2x+1+x-2+x-1〉4,∴x>.又x〉2，∴x〉2。综上所述,原不等式的解集为{x|x<—或x>1｝.9已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实根α、β。证明（1）如果|α｜<2,|β｜〈2，那么2|a｜〈4+b且|b|<4;(2)如果2|a|<4+b且｜b|<4,那么|α|<2,|β|〈2.证明：本题即证由韦达定理知a=—（α+β），b=αβ。故拓展探究10已知a、b、c∈R，函数f(x)=ax2+bx+c，g（x)=ax+b.当-1≤x≤1时，｜f（x)｜≤1.(1）求证:｜c｜≤1;（2)求证:当—1≤x≤1时,|g（x)|≤2；(3)设a>0,当—1≤x≤1时,g(x）的最大值为2，求f(x).(1）证明:由题意,｜f（0)｜≤1，即|c|≤1。(2）证明:当a=0时，g（x）=b是常数函数。当a≠0时，g（x）=ax+b在x∈［—1，1］上单调.无论哪种情形,只需证明|g(1）|≤2,|g（-1）｜≤2。∵|g（1)｜=｜a+b｜=|f(1)-c｜≤|f(1）|+｜c|≤1+1=2，|g（-1)｜=｜a—b｜=｜f（—1)—c|≤|f（—1）|+|c｜≤2，∴-1≤x≤1时，｜g（x）|≤2.(3）解析:∵a>0,∴g（x)在x∈［—1，1］上单调递增。∴g（x）max=g(1)=a+b=2.∴c=f(1)—g（1)=f(1)—2.∵|f(1)｜≤1,∴f（1）≤1。∴c≤1-2=—1，即c≤-1。又｜c|≤1，∴—1≤c≤1.∴c=-1。又在x∈［—1,1］上，-1≤f(x）≤1，即f(0)=c=-1≤f（x），∴f(0)是f（x)在x∈［-1，1]上的最小值。故对称轴=0.∴b=0.结合a+b=2得a=2。总之，f（x）=2x2-1.备选习题11若不等式｜x—2｜+|x+1|>a的解集为R,则a的范围是___________—.解析:设f（x）=|x—2｜+｜x+1|,要使f（x)>a在x∈R上恒成立,当且仅当f(x)min〉a.而f(x）=|x-2｜+|x+1｜≥|x—2-(x+1)|=3,∴3〉a，即a〈3。答案：{a｜a<3}12已知a、b∈R，α、β是关于x的方程x2+ax+b=0的两根,若|a|+｜b|<1,求证：｜α｜〈1，|β｜〈1。证明：依题意,得∴｜α+β|=|a｜,|αβ|=｜b|。∵|a|+|b|〈1，∴｜α+β|+|αβ｜<1。又∵|α｜—｜β|≤|α+β｜,∴｜α|—｜β｜+｜αβ|—1<0,即(|α｜-1）(|β｜+1）<0.∴|α｜<1.同理可证|β|〈1。13已知适合不等式｜x2-4x+p|+|x—3｜≤5的x的最大值为3,求p的值.解析：∵x≤3，∴|x2-4x+p｜+｜x—3|≤5可化为|x2—4x+p｜≤x+2。若｜x2-4x+p|=-（x2-4x+p），则不等式可化为x2—3x+p+2≥0，解不出x≤3.∴|x2—4x+p｜=x2—4x+p.此时原不等式可化为x2—5x+p—2≤0，则x=3是方程x2—5x+p—2=0的根.∴p=8.14已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，且|f(-1）|≤1，|f（0）|≤1，|f（1)｜≤1.求证:当-1≤x≤1时,|f（x）｜≤。证明:本题可由如下三步解决:首先,由其次，f（x）=ax2+bx+c=［f（1）+f(-1）—f(0)］x2+［f(1）—f(-1)］x+f（0)=f(-1)x（x-1)+f（1）x（x+1）+(1—x2）f（0)。最后，｜f(x）｜≤｜x（x-1)｜|f(-1）｜+|x（x+1)｜|f(1）｜+|1—x2|｜f（0）｜≤|x|(1—x)+｜x|（1+x）+(1-x2)=—x2+｜x|+1=-（｜x｜-)2+≤。15已知函数f(x)、g(x)(x∈R），设不等式｜f(x）｜+｜g（x)|〈a(a>0)的解集为M，不等式｜f（x）+g（x）|〈a(a>0）的解集为N，则()A。NMB.M=NC。MND.MN解析:特例法：设f（x)=3x,g（x）=-2x,a=5，则有|3x｜+|-2x｜〈5M|3x—2x|<5N:-5〈x〈5,∴MN.故选D.答案：D16(1）已知|a｜〈1,｜b｜<1,求证：|｜〉1;(2)求实数λ的取值范围，使不等式|｜〉1对满足|a|<1,｜b|<1的一切实数a、b恒成立；(3)已知｜a|<1，若｜｜<1，求b的取值范围。（1)证明：｜1—ab｜2—｜a-b|2=1+a2b2-a2—b2=(a2—1)（b2—1).∵|a|〈1,｜b｜〈1，∴a2-1<0，b2—1<0。∴|1—ab|2—|a—b|2〉0.∴|1—ab|>|a—b｜,>1。(2）解析:∵｜｜>1|1—abλ｜2-|aλ—b|2=（a2λ2—1）(b2-1)>0,∵b2<1，∴a2λ2