2024-2025学年天津市和平区汇文中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市和平区汇文中学高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集U=R，A={x|x<−1或x≥2}，B={−2,−1,0,1,2}，则(∁UA)∩B=A.{0,1} B.{−1,0} C.{0,1,2} D.{−1,0,1}2.已知命题p：∀x>0，总有(x+1)ex>1，则￢p为A.∃x0≤0，使得(x0+1)ex0≤1 B.∃x03.函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(

)A.f(x)=ln|x|x2+1

B.f(x)=e4.已知等比数列{an}的各项均为正数，若a1,A.3+1 B.3−1 C.5.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的命题是(

)A.m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β

B.α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β

C.α⊥β，m⊥α，n//β⇒m⊥n

D.α//β，m⊥α，n//β⇒m⊥n6.若单位向量a，b满足a⊥b，向量c满足(a+c)⋅b=1，且向量bA.12 B.2 C.237.已知定义在R上的函数f(x)=2|x−m|−1(m为实数)为偶函数，记a=f(log0.53)，b=f(log25)，c=f(2m)，则A.a<b<c B.a<c<b C.8.若函数f(x)=3sinxcosx−cos2x+12(x∈R)的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动π6A.5π2 B.7π2 C.3π 9.六氟化硫，化学式为SF6，在常压下是一种无色、无身、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体)，如图所示.若此正八面体的棱长为2，若它的内切球的表面积为S1，外接球表面积为S2，则S2A.3 B.2 C.13 D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.i是虚数单位，若复数z=1+bi1+i(b∈R)为纯虚数，则b=

11.已知tanα=23，则3cos(π212.已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a13.若log2(22)=a,14.数列{an}的首项为a1=1，且满足nan+1=(n+1)an，数列{15.在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，P是对角线AC上一点，AP=25AC，过点P的直线分别交DA的延长线、DC于M，N，则DP⋅BP=______，若DM三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(bcosC+ccosB)tanA=−3a．

(1)求A的大小；

(2)若a=7,b=1．

(ⅰ)求△ABC的面积；17.(本小题12分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an−2,(n∈N∗).数列{bn}是首项为a1，公差不为零的等差数列，且b1，b3，b11成等比数列．

(1)18.(本小题12分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，点E，F分别是棱PA，PC的中点，点M是线段BC上一点．

(Ⅰ)求证：PB⊥平面EFD；

(Ⅱ)求平面EFD与平面ABCD的夹角的余弦值；

(Ⅲ)若直线MF与平面ABCD所成的角的正弦值为32222，求此时19.(本小题12分)

已知数列{an}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列{bn}是公比大于0的等比数列，b1=3，b3−b2=18．

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)记cn=(−1)20.(本小题12分)

已知函数f(x)=axlnx，a∈R．

(Ⅰ)当a=1时，直线l与y=f(x)相切于点(e23,f(e23))，

(ⅰ)求f(x)的极值，并写出直线l的方程；

(ⅱ)若对任意的x≥e都有f(x)≥mxemx，m>0，求m的最大值；参考答案1.D

2.B

3.C

4.A

5.D

6.B

7.C

8.C

9.A

10.−1

11.3412.20

13.2

14.47215.−65

16.解：(1)∵(bcosC+ccosB)tanA=−3a，

由正弦定理得(sinBcosC+sinCcosB)tanA=−3sinA．

∴sin(B+C)tanA=−3sinA，

∴sinA⋅tanA=−3sinA，∵sinA>0，

∴tanA=−3，∵A∈(0,π)，

∴A=2π3；

(2)(ⅰ)若a=7,b=1，A=2π3，

由余弦定理得7=c2+1−2c×1×(−12)，

即c217.解：(1)Sn=2an−2,(n∈N∗)，可得a1=S1=2a1−2，解得a1=2，

n≥2时，an=Sn−Sn−1=2an−2an−1，即为an=2an−1，

可得数列{an}为首项和公比均为2的等比数列，即有an=2n，n∈N∗；

数列{bn}是首项为a1，公差d不为零的等差数列，且b1，b3，b11成等比数列．

18.解：因为底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，所以DA，DC，DP两两互相垂直，

以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A(3,0,0)，B(3,3,0)，C(0,3,0)，D(0,0,0)，P(0,0,3)，E(32,0,32),F(0,32,32)，

(I)证明：PB=(3,3,−3),DE=(32,0,32),DF=(0,32,32)

设平面EFD的法向量为m=(x,y,z)．

则m⋅DE=32x+32z=0m⋅DF=32y+32z=0，令x=1，则z=−1，y=1，

所以m=(1,1,−1)，

因为PB=3m，所以PB//m，所以PB⊥平面EFD；

(II)由题知，平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1)，

由(I)知，平面EFD的一个法向量为m=(1,1,−1)，

设平面EFD与平面ABCD的夹角为θ19.解：(1)由题意可得：8a1+8×72×2=64，解得a1=1，∴an=1+2(n−1)=2n−1．

设等比数列{bn}的公比为q>0，∵b1=3，b3−b2=18，

∴3q2−3q−18=0，q>0，解得q=3，

∴bn=3n20.解：(Ⅰ)(i)a=1时，f(x)=xlnx，f′(x)=lnx+1(x>0)，

令f′(x)>0，解得：x>1e，令f′(x)<0，解得：0<x<1e，

故f(x)在(0,1e)递减，在(1e,+∞)递增，

故f(x)的极小值是f(1e)=1eln1e=−1e，没有极大值，

又f(e23