尺规作图-2024年中考数学考试易错题

专题10尺规作图

易错点1:等角作图

易错点2:垂线作图

易错点3:角平分线作图

易错点4:垂直平分线作图

易错点5:平行线作图

尺规作图

易错点6:平移网格作图

易错点7:轴对称网格作图

易错点8:中心对称作图

易错点9:切线作图

易错点10：相似作图

尺规作图易错点1：三角形的四心

易错点2:平行四边形

易错点3:矩形

易错点4:菱形

易错点5:正方形

无刻度尺作图易错点6：圆

易错点7:相似

易错点8:三角函数

易错点9:一次函数

易错点10：反比例函数

易错点11:二次函数

尺规作图专题

易错点：

1.对工具的理解不准确：学生可能会误解直尺和圆规的使用规则。例如，直尺不能用来测量长度，只能用

来连接两点；圆规可以开到无限宽，但上面不能有刻度，只能拉开成之前构造过的长度。

2.作图步骤混乱：尺规作图需要按照一定的步骤进行，如果步骤混乱或者遗漏了某些步骤，可能会导致作

图失败或者得出的结果不准确。

3,对几何概念理解不足：尺规作图涉及到许多几何概念，如线段、角、垂线等。如果学生对这些概念的理

解不足，可能会导致作图时出现错误。

4.忽略题目要求：在做尺规作图题时，学生需要仔细阅读题目要求，理解需要作什么图形以及需要满足的

条件。如果忽略了题目要求，可能会导致作图结果与题目要求不符。

5.作图精度不够：尺规作图需要一定的精度，如果作图时精度不够，可能会导致作图结果不准确。例如，

在作角平分线时，如果角度的划分不准确，就会导致结果不准确。

易错点1：等角作图

例：已知：如图，4°8=20°,03平分

(1)以射线OD为一边，在乙1OD的外部作NDOE,使NDOE=/COD；(尺规作图，保留作图痕迹，不要求

写作法)

(2)若44OE=105。10',求的补角的大小.

【答案】(1)见解析

(2)107025,

【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握

定义.

(1)根据尺规作一个角等于己知角的方法进行作图即可；

(2)根据403=20。，08平分//OC,得出N/OC=2/403=2x20。=40。，根据ZDOE=NCOD,

ZDOE+ZCOD=ZEOC,求出ZDOE=ZCOD=32°35',得出ZAOD=NCOD+ZAOC=32°35'+40°=72°35,,

然后求出结果即可.

【详解】(1)解：如图，乙DOE即为所求作的角;

D

C

3

o.

(2)解：9：ZAOB=20°,OB平分NAOC,

：.ZAOC=2ZAOB=2x20°=40°,

ZAOE=l05°l0f,

：.ZEOC=ZAOE-ZAOC=105。10'—40°=65o10\

ZDOE=/COD,/DOE+ZCOD=ZEOC,

・•・ADOE=/COD=32。35',

ZAOD=ZCOD+ZAOC=32°35f+40°=72°35f,

.•.180o-72°35r=107°25r,

・・・440。的补角的大小为107。25'.

变式L如图，已知乙4。8=90。.

(1)在03的下方作4。。=4。。，仅用直角三角板完成作图，并说明作图的依据；

(2)在(1)的基础上，若//。。=160。，求。的度数.

【答案】(1)见解析

(2)20°

【分析】(1)将直角板一边沿着。。方向，顶点与。点重合，沿着另一条直角边画射线。。即可；

(2)根据已知条件求出44。。=70。，再由=乙405-乙40。即可得到答案.

【详解】(1)解：将直角板一边沿着。。方向，顶点与。点重合，沿着另一条直角边画射线。。即可.

•・•/AOB=90°,/COD=90°,

ZAOB=ZAOC+/COB,

ZCOD=ZDOB+ZCOB,

ZBOD=ZAOC；

(2)解：VZAOD=160°,ZCOD=90°,

ZAOC=ZAOD-NCOD=160°-90°=70c,

ZBOC=ZAOB-ZAOC=90°-70°=20°.

变式2：如图，ZAOC=ZBOD=90°.

(1)直接写出图中一组相等的锐角；

(2)设“。C=。，ZAOB=p,求用与a之间的关系式；

(3)请在备用图中，仅利用三角板画出/MPN,使=尸尸.(不写作法，保留作图痕迹)

【答案】(1)N/OA=4OC

(2)/?=180°-a

(3)见解析

【分析】(1)根据同角的余角相等，即可得到答案；

(2)结合角的特点进行计算即可；

(3)以母'为直角的一边作NMPF,再以EP为直角的一边作NEPN,NMPN即为所求作.

【详解】(1)解：；NZOC=N8OO=90。，

:.ADOC+ZAOD=90°,ZDOC+ABOC=90°,

,ZAOD=NBOC；

(2)解：设〃OC=a,"OB=。，贝I」#=4OD+a+NCOB,

P+a=Z.AOD+a+Z.COB+a,

fi+a=AAOC+ABOD=18CP,

£=180°-a；

(3)解：如图所示，/MPN即为所求.

EPN,ZMPF=90°,

NEPN+NEPM=ZMPF+ZEPM,

:.NMPN=NEPF.

【点睛】本题考查了角的和差计算，同角的余角相等，作图复杂作图，熟练掌握知识点是解题的关键.

易错点2：垂线作图

例：如图，在6x6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,其顶点称为格点，点A、8、C、。均

在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹.

A\

1

C

D：

(1)画线段48,画直线/C.

(2)过点。画直线/C的垂线，垂足为E.

(3)点D到直线AC的距离为线段一的长度.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

⑶DE

【分析】本题考查作图应用与设计作图、直线、射线、线段、垂线、点到直线的距离，熟练掌握相关知识

点是解答本题的关键.

(1)根据线段、直线的定义画图即可.

(2)结合网格，过点。作。E垂直直线/C即可.

(3)由点到直线的距离可知，点。到直线NC的距离为线段DE的长度.

【详解】(1)解:如图，线段/8、直线/C即为所求.

(2)如图，即为所求.

(3)点。到直线NC的距离为线段的长度.

故答案为：DE.

变式1：如图，在射线N8上有一点请选择适当的工具作图，完成以下问题:

(1)过点M作射线/C的垂线，垂足为点

⑵在线段"C上任取一点N(不与H,C重合)，连接MN；

(3)在线段M4,MH,MN中,线段最短，依据是.

【答案】(1)见解析；

(2)见解析；

(3)MH,垂线段最短

【分析】(1)根据垂线的作法作图即可；

(2)根据平行线的作法作出平行线即可；

(3)根据直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短即可得出结论.

【详解】(1)解：如图所示，直线即0即为所求；

c

H

A

(2)解：如图所示，线段及W即为所求;

⑶解：'：MHAC,：.MH<AM,MH<MN,

理由：直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短.

故答案为垂线段最短.

【点睛】题目主要考查垂线、平行线的基本作法及垂线段最短的性质，理解垂线及平行线的作法是解题关

键.

变式2：在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，A/BC的三个顶点的位置如图所示，现

将ANBC向右平移3格，再向下平移2格，得到使点力的对应点为点。，点8的对应点为点E,点

C的对应点为点F.

(1)画出ADEF；

(2)在图中画出AABC的边上的高线CG(保留利用格点的作图痕迹);

G)"BC的面积为；

(4)若的长为5,边上的高CG=.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)利用平移的性质得出对应点的位置，顺次连接即可；

(2)利用格点的特点，过C点作的垂线即可；

(3)利用A/SC所在矩形的面积减去周围3个三角形的面积即可求解；

(4)利用(3)的结论和三角形面积公式即可求解.

【详解】(1)解：如图，将A/SC的三个顶点分别向右平移3格，再向下平移2格，得到对应点的位置，顺

次连接即可得到

(2)解：如图，利用格点的特点，过C点作N3的垂线CN,交于点G,CG即为N3边上的高线;

(3)解：A/gC的面积为:4x4—x4xl—x3xl—x3x4=——

故答案为:

13

⑷解：由（3）得5必点二万，

-ABCG=—,

22

AB=5,

13

故答案为：y.

【点睛】本题考查平移变换、格点作图及三角形面积的求法，利用格点特点作出N8的垂线是解题的关键.

易错点3：角平分线作图

例：已知：如图RtA43C,ZC=90°.

（1）用尺规作图法做//8C平分线交/C于点。（不写作法，保留作图痕迹）；

⑵若48=10,CD=3,求的面积.

【答案】（1）见解析

⑵15

【分析】本题考查了作图一角平分线，以及角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等

是解题关键.

（1）根据角平分线的作法作图即可；

（2）过点。作。与点E,由角平分线的性质定理得到DE=DC=3,即可求出△/网）的面积.

【详解】（1）解：如图所示，点。即为所求；

（2）解：如图，过点。作。E145与点E,

QBZ）是/4BC的平分线，DE1AB,BC±AC,

DE=DC,

/.DC=3,

DE=3,

:.S/砧」N8XDE=!X10X3=15.

AADU22

变式1:请回答下列问题：

⑴如图1,已知利用直尺和圆规，作N8/C的平分线/。交于点。（保留作图痕迹，不要求写

作法）；

（2）如图2所示，4D是的角平分线£、尸分别是48、/C上的点，且/瓦加+N8/C=180。，求证:

DE=DF.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）根据角平分线的基本作图方法作图即可;

（2）过点。作于点4,作。0_LZC于点。，证明AEHD之Ab0D（AAS）,得出/，即可得

出答案.

【详解】（1）解：如图，作/A4c的平分线4D交3C于点。；

（2）证明：如图，过点。作£归，48于点作。。_LZC于点。,

贝!]AEHD=ZFQD=90°,

•.•4D平分/A4C,

DH=DQ,

QAEDF+ABAC,

:.AAED+AAFD=\^°,

■：ZDFQ+AAFD=1SO°,

ZDEH=ZDFQ,

ADEH=NDFQ

在4EHD和AFQZ）中</EHD=NFQD,

DH=DQ

:.AEHD^FQD(AAS),

:.DE=DF.

【点睛】本题主要考查了角平分线的基本作图，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，补角的性质,

解题的关键作图辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法.

变式2：如图，在中，。是48边上的一点，且4c=4D.请用尺规作图法在边BC上找一点使

得S./CM=S-(保留作图痕迹，不写作法).

【答案】见解析

【分析】本题考查了尺规作图一角平分线，作出/C43的角平分线交8c于则点M到NC的距离与

到4。的距离相等，根据=进而可得S-=S-,即可求解，熟练掌握尺规作图作角平分线的方

法是解题的关键.

【详解】解：作出二。3的角平分线交8c于〃，

点M到AC的距离与到AD的距离相等，

■：AC=AD,

•V—c

-U^ACM-'

如图所示，点M即为所求:

c

M

易错点4：垂直平分线作图

例：如图，在矩形“BCD中，/C是对角线.

(1)利用尺规作线段NC的垂直平分线，垂足为点。，交边/。于点E,交边BC于点尸(要求：尺规作图并

保留作图痕迹，不写作法，标明字母)；

(2)连接即、CE,求证四边形/EC尸为菱形.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】

本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质、菱形的判定和矩形的性质.

(1)利用基本作图作/C的垂直平分线即可；

(2)先根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC,再证明△4OE0ZSCO厂得到OE=OF,然后

利用对角线互相垂直平分的四边形为菱形得到结论.

【详解】(1)

解：如图，EF为所作；

(2)

证明：•.•斯垂直平分/C,

EF1AC,OA=OC,

四边形/BCD为矩形，

Z.AD//BC,

ZDAC=ZBCA,

在和AC。尸中，

ZEAO=ZFCO

<OA=OC,

ZAOE=ZCOF

AAOE出ACOF(ASA),

OE=OF,

.•.NC与E尸互相垂直平分,

四边形/EC尸为菱形.

变式1：如图，在“中，AD是4BC的角平分线.

(1)请用圆规和无刻度的直尺作的垂直平分线，分别交NC于点W,N；(保留作图痕迹，不写作

法)

⑵连接DW,DN,试判断四边形的形状，并证明.

【答案】(1)见解析

(2)四边形NMLW是菱形，证明见解析

【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确

作出图形.

CD根据要求作出图形；

(2)结论：四边形是菱形.证明四边相等可得结论.

【详解】(1)图形如图所示：

A

N

wx

BDC

(2)结论；四边形/MLW是菱形.

理由：设MN交4D于点O.

垂直平分线段4D,

:.MA=MD,NA=DN,

•.•4D平分/A4C,

ZOAM=ZOAN,

NOAM+ZAMO=90°,NOAN+ZANO=90°,

ZAMO=ZANO,

AM=AN=DM=DN,

:•四边形/MEW是菱形.

变式2：48是两个村庄，"、£2是两条马路.为发展经济，提高农民收入，镇政府决定建立一个蔬菜批

发市场，选址要使市场到两条马路和两个村庄的距离都相等.请你用尺规在图中找出市场的位置.（不用写

作法，但是要保留作图痕迹）

【答案】见解析

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的实际应用，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，

到两个村庄的距离相等，则蔬菜批发市场在线段的垂直平分线上，到两条马路的距离相等，则蔬菜批发

市场在21、/2夹角的角平分线上，据此作图即可.

【详解】解：如图所示，作线段的垂直平分线和口、Z2夹角的角平分线，二者的交点尸即为所求.

Al

Ct

易错点5：平行线作图

例：作图题：

（1）在图①中，作过点尸作直线垂足为〃：作直线P0〃C。；

（2）请直接写出图①中三角形尸的面积是平方单位；

（3）在图②中过点尸作直线尸C〃。/（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.）

【答案】（1）见解析；

⑵11；

（3）见解析

【分析】本题考查了两直线平行的判定，尺规作图作出相等角的作法，熟记平行线的判定定理，尺规作图

的步骤是解题关键.

（1）利用网格的特点作出图形即可；

（2）利用割补法即可求解；

（3）根据同位角相等，两直线平行，过点尸利用尺规作出=即可解决问题.

【详解】（1）解：直线由和直线尸。即为所作，

(2)解：三角形尸的面积=4x7-Lx2x7-」x4x2—」x4x3

222

=28-7-4-6

=11平方单位；

故答案为：11;

(3)解：如图，直线尸C即为所求.

B

变式1：如图，点。在的边的延长线上，利用尺规作图法在/C的延长线上求作一点E,使得

DE//AB.(不写作法，保留作图痕迹)

B

【分析】本题主要考查尺规作图，根据作一个角等于已知角的方法作图即可，熟练掌握作一个角等于已知

角的尺规作图以及平行线的判定是解题的关键.

【详解】解：如图，①以8,。为圆心，任意长度为半径画弧，交DB于点、H,交AB与N；

②以C为圆心，MV长度为半径画弧，交弧于点G；

③连接DG,延长DG,交4c于点、E；

'：ZCDE=ZB,

：.DE//AB,

.•.点E即为所求.

变式2：如图，/C/E是“的一个外角.

（1）尺规作图，过/作3C边的平行线.（保留作图痕迹，不要求写作法）;

（2）在（1）的条件下，若4D平分/C4E.求证：AB=AC.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】此题考查了作一个角等于已知角，平行线的判定和性质，等角对等边，

（1）作/E4G=48,即可得到40〃8C；

（2）利用/。平分NC4E得到=根据推出/瓦4。=N2,NC=ND4C,由此得到

NB=NC,即可推出48=/C；

熟练掌握各性质定理是解题的关键.

【详解】（1）如图所示，以8为圆心，以任意长为半径画弧，交4B,BC于点、M,N,以/为圆心，以AM■长

为半径画弧，交AE于F,再以尸为圆心儿W长为半径画弧，两弧交于G,连接ZG即为所求平行线NZ）.

E

♦：/FAG=/B,

：.AD//BC；

(2)・・・/。平分/14月.

・•・ZEAD=ZDAC,

*：AD//BC,

NEAD=ZB,ZC=ZDAC,

ZB=ZC,

：.AB=AC.

易错点6：平移网格作图

例：如图，在平面直角坐标系中，已知4(2,7),3(2,3),。(6,3),点〃在线段4c上，坐标为(4,5).

(1)(不用画图，直接写坐标)点M关于直线8C对称的点AT坐标是如果将向右平移2个单位，平移

后点〃对应点AT的坐标是」

(2)在线段上找一点尸，使//尸B=(不必写作法，保留作图痕迹，标出点尸)

【答案】(1)(4,1),(6,5)；

(2)作图见解析.

【分析】（1）根据轴对称和平移得性质即可求解；

（2）连接/AT,与相交于点P,点尸即为所求；

本题考查了轴对称、平移，坐标与图形，作角相等，掌握轴对称和平移的性质是解题的关键.

【详解】（1）解：；点M关于直线8。对称的点为

.♦.点”的坐标是（4,1）；

将AABC向右平移2个单位，平移后点W对应点M"的坐标是（6,5）；

故答案为：（4,1）,（6,5）；

（2）解：如图，点P即为所求.

理由：•.•点W与点AT关于直线8C对称,

NMPC=ZM'PC,

AM'PC=AAPB,

：.NAPB=ZMPC.

变式1：已知：“3C在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为“（0,3）、8（3,4）、C（2,2）（网格中每个

⑴将^ABC向下平移3个单位长度得△44G,则点£的坐标是；

（2）作图：以点3为位似中心，在网格内画出△4生。2，使2G与“3C位似，且相似比为2:1；

（3）点C2的坐标是,△4AG的面积是平方单位.

【答案】（1）（2,-1）

（2）见解析

⑶（1,0）,10

【分析】本题考查了作图（位似变换），掌握画位似图形的一般步骤是解题的关键.

（1）根据点平移的规律，“上加下减，左减右加”，求解即可；

（2）延长9到4使得叫=28/,延长8C到C?使得连接则可得到

（3）根据Q的位置求解即可，利用割补法求解2G的面积即可.

【详解】（1）解：如图，可。为平移后的三角形,

G点的坐标为（2,-1）

故答案为：（2,-1）

（2）如图，与Cz为所求的三角形,

（3）由图形可得，。2的坐标为（1，°），

△43,Cz的面积=6x4--x2x4--x2x4--x6x2=10（平方单位）.

222

变式2：如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1.

（1）按要求作图："3C关于》轴对称的图形；

（2）将点A先向上平移3个单位，再向右平移8个单位得到点4的坐标为.

（3）求“BC的面积.

【答案】（1）作图见详解

⑵（3,2）

23

（3）的面积为万

【分析】（1）根据图形关于轴对称图形的定义和方法（原图关键点到轴的距离等于对称图形对应的点到轴

的距离）即可求解；

（2）根据点的平移规律即可求解；

（3）运用“割补法”求几何图形面积即可.

【详解】（I）解：“3C关于》轴对称的图形△44G，如图所示，

△44G即为所求图形的位置.

(2)解：根据图示可得，^(-5,-1),将点A先向上平移3个单位，再向右平移8个单位得到点4,

4的横坐标为-5+8=3,纵坐标为-1+3=2,

4。,2),

故答案为：(3,2).

(3)解：如图所示，将补成矩形平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1,

CD=EF=4,CF=DE=1,DA=5,AE=2,BE=3,BF=\,

•••S长方形3F=CDCF=4X7=28，S△皿=；CD.DA=；x4x5=10,=；AE-BE=gx2x3=3，

117

S.=-BFCF=—xlx7=—，

RFC222

**•^ABC的面积为--.

2

【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握图形关于轴对称的作图方法，点的平移规律，“割

补法”求计算图形的面积的方法是解题的关键.

易错点7：轴对称网格作图

例：如图，三个顶点的坐标分别为5(-3,3),c(-l,2).

⑴作出“3C关于y轴对称的A/'B'C',并写出C'的坐标；

⑵求出A/'8'C'的面积；

(3)在x轴上画出点P,使尸4+PC的值最小，并写出点尸的坐标.(不写作法，保留作图痕迹)

【答案】⑴见解析，。(1,2)

(2)i

(3)见解析，点尸的坐标为(-3,0)

【分析】

本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是周围轴对称变换的性质，学会利用轴对

称解决最短问题.

(1)根据关于y轴对称的点的坐标特征写出点©、夕、C点的坐标，然后描点，顺次连接B'C'、A'C

即可；

(2)利用割补法求三角形面积即可；

(3)作C点关于无轴的对称点C",连接/C"交x轴于点p,点尸即为所作.

【详解】(1)如图所示，A/'B'C'即为所求，

(2)SA'D'C'=3x2—x2x1—x3x1—x2xl=—；

aABC2222

(3)如图所示，点尸即为所求,

...点P的坐标为(-3,0).

变式1：如图，在长度为1个单位的小正方形组成的正方形网格中，点4AC在小正方形的顶点上.完

成下列作图(不写画法，保留作图痕迹)

⑴在图中画出与23C关于直线跖V成轴对称的与G；

(2)仅使用无刻度的直尺作出NC边上的高.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了作图一轴对称变换、作三角形的高，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键.

(1)根据轴对称的性质作出点4B、C的对应点4、4、G，再顺次连接即可；

(2)根据格点作出NC边上的高即可.

【详解】(1)解：如图，△44G即为所求;

M

（2）解：如图，线段5D即为所求,

N

变式2：如图，在下列带有坐标系的网格中，4/台。的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上,

^（-3,3）,S（-4,-2）,C（0,-l）,画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示

⑴在图1中，画出关于y轴对称的ADEC（点。与点/对应），点£的坐标为

（2）在图1中，画出AABC的中线4W,点河的坐标为_；

（3）在图2中，画出“8C的高8尸（保留作图痕迹）.

【答案］⑴（4,-2）

(2)(-2,-1.5)

（3）见解析

【分析】本题主要考查了在网格中作三角形的高和中线以及作轴对称图形，解题的关键是作出对应点，掌

握网格的结构特点.

（1）作出点/、3关于y轴的对称点。、E,然后顺次连接即可，写出点£的坐标；

（2）连接尸Q,交8C于一点连接即可，根据点M为8C的中点，写出点M的坐标即可；

（3）连接3N,交ZC于一点R贝ijBF即为AASC的高.

【详解】（1）解：作出点43关于y轴的对称点。、E,贝（UDEC即为所求作的三角形

点E的坐标为：（4,-2）.

故答案为：（4,-2）.

（2）解：连接P。，交BC于一点、M,连接点〃即为所求,

根据作图可知，点M为所在方格的中点上，点M的坐标为（-2,-1.5）.

故答案为：（-2,-1.5）；

（3）解：连接8N,交/C于一点尸，如图所示:

易错点8：中心对称作图

例：如图，在方格网中已知格点A/3C和点P,请仅用无刻度直尺完成以下作图.

(1)画出,使得^A'B'C和AABC关于点尸成中心对称；

(2)请在方格网中标出所有使以点A,B,P,。为顶点的四边形是平行四边形的。点.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】此题考查了无刻度的直尺作图，用到的知识点是中心对称、平行四边形的判定，关键是掌握中心

对称的作法，作平行四边形时注意画出所有符合要求的图形.

(1)根据中心对称的作法，找出对称点，即可画出图形；

(2)根据平行四边形的判定，画出使以点N、B、P、。为顶点的四边形是平行四边形的点即可.

【详解】⑴解:如图所示：

即A/BC'为所求;

（2）解：如图所示:

即点。为所求;

变式1：如图1与图2,在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，“3C的顶点及点。均在格点

上.请仅用无刻度直尺完成作图（保留作图痕迹）.

图1图2

⑴在图1中，作“3C关于点O成中心对称的"‘B'C'；

（2）在图2中.

①作AABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的A/'B'C'；

②请直接写出：点B到AC的距离为.

【答案】（1）见解析

（2）①见解析；②2

【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出4B,C的对应点H,B',C即可;

（2）①利用数形结合的思想解决问题即可；

②判断出A/BC是直角三角形，利用等积法，即可求解.

【详解】⑴解:如图1中，A/BC'即为所求.

(2)解：①如图2中，A/8'C'即为所求.

②过点8作8。，AC于点D,

A8=6+42=26，BC=M+f=5/C=打+42=5，

/.AB2+BC2=AC2,MZABC=90°,

S.Rr=—ABxBC=—ACxBD,

加22

即BD=ABxBC=20布=2,

AC5

.,.点8到4C的距离为2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查旋转变换，勾股定理和逆定理，点到直线的距离等知识，解题的关键是学会利用数形结

合的思想解决问题.

变式2：如图所示，在“BC中，A(-2,3),5(-3,1),C(-L2).

（1）将“3C向右平移4个单位长度，画出平移后的；

（2）将^ABC绕原点。旋转180。，画出旋转后的2G;

（3）由作图可知△4与G与"B&成中心对称，对称中心的坐标是

【答案】（1）见解析；

（2）见解析；

⑶（2,0）

【分析】本题考查了作图的综合问题一平移、旋转和对称.

（1）首先将点aB、C分别向右平移4个单位，得到点4、片、G，顺次连接即可；

（2）将4B、C绕点。旋转180。，得到点4、当、C2,顺次连接即可；

（3）通过计算可得44，片4和GC?相交于点（2,0）,根据中心对称图形的定义即可解答.

【详解】（1）解：△44G如图所示；

（2）解：△a刍g如图所示;

（3）解：连接44，4旦和co?.

二对称中心为（2,0）.

故答案为：（2,0）.

易错点%切线作图

例：如图，已知放（/C=90°）.

（1）作一个圆，使圆心。在/C上，且与3C所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的

理由）；

（2）尺规作图：作O。，使得圆心。在边N5上，。。过点A且与边相切于点。（请保留作图痕迹，标明

相应的字母，不写作法）.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题考查了综合作图、圆的切线的判定和性质以及角的平分线的性质定理，正确确定圆心。的位

置是关键.

（1）作出的角平分线，角平分线与/C的交点。是圆心，以。为圆心，以。。为半径作圆即可；

（2）作/8NC的角平分线AD交8c与。，过。点作。O垂直于3C,交AB与O,以。为圆心，以为

半径作圆即可.

【详解】（1）如图所示，O。即为所求

：08是//BC的平分线，ZC=90°,

点。到AB的距离等于到BC的距离OC,

与48、8C所在直线相切

（2）如图所示，O。即为所求作的图形

A

变式1：在RtZ\48C中，ZC=90°.

切于点R求证：/1=/2；

⑵在图②中作。使它满足以下条件：

①圆心在边上；②经过点&③与边NC相切.（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题主要考查圆和切线的性质和基本作图的综合应用.掌握连接圆心和切点的半径与切线垂直是

解题的关键.

（1）由切线的性质可得/。/弘=90。=/。，推出。尸〃BC,由平行线的性质可得=由等边对等

角可得Z2=ZOFB,等量代换可得Z1=Z2；

（2）先作N/3C的角平分线，与NC交于点尸，再作用的垂直平分线，与48交于点M,以点M为圆心,

为半径作圆即可.

【详解】（1）证明：如图①，连接。尸，

c

••・0。与zc相切于点尸,

NOFA=90。=NC,

OF//BC,

Z1=ZOFB,

•••OF=OB,

Z2=ZOFB,

Z1=Z2；

**-MF=MB,

J/MBF=ZMFB,

又•:BF平分NABC,

：.ZMBF=NCBF,

ZCBF=ZMFB,

MF//BC,

•・・ZC=90°,

：.FMLAC,

：.0M与边4。相切.

变式2：如图，已知“3C是锐角三角形（/C<Z3）.

图1图2

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线/,使/上的各点到2、C两点的距离相等；设直线/与

AB,3c分别交于点M、N,作一个圆，使得圆心。在线段上，且与边8C相切；（不写作法，保

留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若=BC=2,求O。的半径为

【答案】（1）见解析；

⑵，

【分析】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线，切线的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键

是理解题意，正确作出图形.

（1）根据题意作出图形即可；

（2）过点。作于E,设OE=ON=r,由勾股定理求出MN的长，由三角形的面积公式可得出答

案.

【详解】（1）解：如图直线/,。。即为所求.

图1

（2）解：过点。作OEL43于E,设OE=ON=r,如图,

A

A\

BNC

图2

•:BM=三,BC=2,MN垂直平分线段BC,

:.BN=CN=\,

：.MN=^BM2-BN2=J|-I-f=i,

—xlx—=—xlxr-\——x—xr

解得一；，

故答案为：—.

易错点10：相似作图

例：如图，在AJBC中，4B=AC,请你利用尺规作图，在3C求作一点D,使“BCSA。4c.（不写作

法，保留作图痕迹）

【答案】详见解析

【分析】本题考查作图-相似变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知

识解决问题.作线段/C的垂直平分线交3C于点。，连接点。即为所求.

【详解】解：如图，点。即为所求.

理由：由作图可知D4=DC,

ZC=ADAC,

'：AB=AC,

；.NB=NC=NDAC,

：.AABCSADAC.

变式1:小明同学在学习过《对称图形圆》、《图形的相似》两章内容后，结合所学的知识，想尝试解决以下

尺规作图问题，聪明的你请帮助他完成.

问题背景：已知点尸是四边形/BCD中ZB边上一点，请用圆规和无刻度的直尺作出满足下列条件的点P.

问题2.如图2,ZA=ZB=90°,AADPSABPC；

问题3.如图3,乙4=NB=45。，AADPS^BPC.

(友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹)

【答案】详见解析

【分析】(1)作点。关于直线的对称点£,连接CE交48于P,连接尸。，于是得至I」AAPDSABPC；

(2)作CD的垂直平分线MN交CD于。，以点。为圆心，OC为半径作圆O,交4B于点P,于是得到

AADPSABPC；

(3)作。。的垂直平分线，过点。作的垂线交于点P,以C为顶点，CD为角的一条边，作

ZDCO=ZADP,交CD的垂直平分线于一点0,以。为圆心，以OC为半径作圆，与48的交点即为所求

作的点P.

【详解】(1)如图1,即为所求.

(2)如图2,A/PD即为所求.

(3)如图3,△4P。即为所求.

【点睛】本题是相似形的综合题，考查了尺规作图，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质,

等腰直角三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键.

变式2：如图，5。为平行四边形的对角线，点£为边43上一点，请用尺规作图法在边上求作

一点、F,使得（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析

【分析】本题考查了相似三角形的性质以及尺规作图，解题的关键是利用相似三角形的性质得到

ZAEF=ZBDC,进而求解.

【详解】解：：AAEF~&CDB,

：.ZAEF=NBDC,

作图如下，点尸即为所求.

无刻度尺作图专题

易错点：

1.找点不准确：由于是无刻度的直尺，找点的准确性是关键。点可能位于格点上，也可能是图形上的特殊

点，如中点、N等分点、重心、垂心、圆心等。对这些点的准确识别是作图的基础。

2.对特殊角度的理解不准确：特殊角如45度、60度、120度、90度等，在作图时需要在格点上准确找到。

对这些特殊角的理解不准确，可能导致作图错误。

3.对特殊线的理解不准确：特殊的线，如垂线、中线、高等，需要按照其特性进行作图。对这些特殊线的理

解不准确，可能导致作图失误。

4.对特殊图形的理解不准确：特殊图形如正方形、平行四边形、特殊平行四边形等，需要根据其特性进行作

图。对这些特殊图形的理解不准确，可能导致作图错误。

5.对圆的相关性质理解不准确：在找圆心、弦长等过程中，需要借助圆的相关性质，如圆心在弦的垂直平分

线上，同弧所对圆周角相等。对这些性质的理解不准确，可能导致作图失误。

6.比例和长度的误解：在无刻度尺作图中，经常需要根据已知图形或角度推断出其他线段的比例或长度。这

需要对图形的比例关系和长度关系有深入的理解。如果这些关系理解不清，或者计算错误，都可能导致作

图错误。

7.作图步骤混乱：无刻度尺作图需要按照一定的步骤和顺序进行，如先确定基准点，再连接线段，然后作垂

线或平行线等。如果作图步骤混乱，不仅可能导致作图错误，还可能影响作图效率。

8.忽略细节：无刻度尺作图要求精确度高，需要注意每一个细节，如线的粗细、角度的精确性、点的位置等。

如果忽略这些细节，可能会导致作图结果不准确。

9.缺乏空间想象力：无刻度尺作图需要良好的空间想象力，能够根据已知条件想象出未知部分的形状和位置。

如果空间想象力不足，可能会导致作图困难。

易错点1：三角形的四心

例：图①、图②、图③都是4x4的正方形网格，每个小正方形顶点叫做格点.”3C的顶点4、B、。均在

格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图.

(1)在图①中作AABC边4B上的高.

⑵在图②中作“BC边3C上的高NE.

(3)在图③中作“3C边/C上的高3F.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】本题主要考查了画三角形的高:

（1）取格点。，连接C。，即为所求;

（2）取格点E,连接NE,NE即为所求;

（3）设/E与5交于。，连接8。并延长交“E于尸，则3尸即为所求.

【详解】（1）解：如图所示，CD即为所求;

图①

AE即为所求;

图②

（3）解：如图所示，8尸即为所求.

/。图③B

变式1：如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，仅

用无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹）.

图1图2

(1)在图1中画ADEF，使得ADEF与AABC的相似比为1：血.

(2)在图2中画出的重心0.

【答案】(1)见解析；

(2)见解析.

【分析】(1)根据相似三角形的性质作出图形即可；

(2)根据三角形重心的定义即可得到结论；

本题考查了作图相似变换，三角形的重心，正确地作出图形是解题的关键.

【详解】(1)画图如图，

由网格可知：AB=2,BC=y/\O,AC=3®，

DE=叵，EF=出,DF=3,

•_D_E___E_F___D_F____1

"AB~BC~AC~41'

ADE尸与相似且相似比为i：VL

,•ADEF即为所求；

(2)画图如图，

由CD和4E为AABC的中线,

.•.点。是的重心，

；•点。即为所求.

变式2：如图是由小正方形组成的.3x3网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点/、B、。都是格点.仅

用无刻度的直尺在给定网格中完成作图，保留作图痕迹，标出相应字母.

(1)在图①中，画出“8C的中线W；

(2)在图②中，画出的中线/N；

(3)在图③中作出“3C的外心O.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】本题考查了格点作图，中线的定义“三角形顶点和对边中点的连线是中线”三角形外心的定义“三

角形三条垂直平分线的交点是三角形的外心”.

(1)连接打8〃■即为所求，

(2)连接GH,交BC于点、N,连接NN,/N即为所求；

(3)连接ST,血相交于点O,点。即为所求.

【详解】(1)解：如图所示：3M即为所求；

AAMP=ZCMQ,NAPM=NCQM,AP=CQ,

:.xAPMaCQM,

：.AMCM,即点M为/C中点，

四即为所求；

(2)解:如图所示：/N即为所求；

,/AGEN=ZHFN,ZGNE=AHNF,GE=HF,

“GENAHFN,

：.EN=FN,

：.BN=CN,即点N为中点,

；•/N即为所求；

(3)解：如图，点。即为所求；

:四边形S8Z4是正方形，

，sr垂直平分,

•.•四边形R77X是正方形，

：.OJ=OT,即点。在JT的垂直平分线上,

...点O在BC的垂直平分线上，

二点。为。3c的外心，

点。即为所求.

易错点2：平行四边形

（1）如图①，在菱形N3CD中，点E是3C的中点，请过£作出的平行线.

（2）如图②，在Y48C。中，点£,是。。的中点，请找出8C的中点.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理：

（1）如图所示，连接/C、8。交于。，连接EO并延长，交.AD于F,则直线E尸即为所求；

（2）如图所示，连接/C、AD交于。，连接EO并延长，交4B于G,连接CG,BE交于H,连接并延

长交3C于尸，点尸即为所求.

【详解】（1）解：如图所示，连接NC、BD交于0,连接E。并延长，交/。于R则直线E尸即为所求；

由菱形的性质可得。为/c中点，得OE是“Be中位线，则。£〃血？；

（2）解：如图所示，连接/C、AD交于。，连接EO并延长，交AB于G,连接CG,BE