浙教版七年级数学上册同步讲义：二次函数（学生版+解析）

第1课二次函数

号目标导航

学习目标

1.理解二次函数的概念,掌握二次函数的标准形式

2.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.

3.会用待定系数法求二次函数的表达式.

魏知识精讲

知识点01二次函数函数的概念

1.形如y=a/+bx+c(其中a,伍0是,awO)的函数叫做，称。为,

b为,c为.

注意：二次项系数而上c可以为零.二次函数的自变量的取值范围是.

2.二次函数>=依2+版+。的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.

⑵a,b,c是常数，。是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.

知识点02根据实际问题列二次函数表达式

根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，理解题意，建立二次函数的数学模型来解决问题.需

要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定.

知识点03待定系数法求二次函数的表达式

用待定系数法求二次函数的表达式步骤：

⑴设二次函数的表达式；

(2)根据已知条件，得到关于待定系数的方程组。

(3)解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式。

能力拓展

考点01二次函数函数的概念

【典例1］若＞=Q+1)即+31-/3是关于X的二次函数，则。的值是()

A.1B.-5C.-1D.-5或-1

【即学即练1］如果函数＞=(m-2)是二次函数，则机的值为—.

考点02根据实际问题列二次函数表达式

【典例2】如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10米)，围成中间隔有一

道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门.设花圃的宽为x米，面积为S平方米，则

S与x的之间的函数表达式为；自变量x的取值范围为.

【即学即练2］某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率x,第3

年的销售量为y台，则y关于x的函数解析式为()

A.y=5000(l+2x)B.y=5000(1+x)2C.5000+2%D.y=5000x2

考点03待定系数法求二次函数的表达式

【典例3】已知二次函数yn/+fex+c,当％=1时y=3；当％=-1时，y=l,求这个二次函数的解析式.

【即学即练2】二次函数y=a?+及一3中的心y满足如表

x-1012

y…0-3m-3…

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)求相的值.

fii分层提分

题组A基础过关练

1.下列函数中，属于二次函数的是()

A.y=2x-3B.y=(x+1)2-x2C.y=2x(x+1)D.y=-

x

2.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成,

已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y平方米，

则y关于x的函数关系式为()

苗圃园

A.y=x(40-x)B.y=x(18-x)C.y=x(40-2x)D.y=2x(40-2x)

3.已知函数＞=〃X2+云，当％=1时，y=-1；当％=-1时，y=2,则〃，Z?的值分别是()

A.A,-3B.A,旦c.1,2D.-1,2

2222

4.如果二次函数＞=成+笈，当x=l时，y=2；当x=-l时，y=4,则a,b的值是()

A.。=3,h~~~1B.a=3,Z?=lC.ct~~~3,b~~1D.-3,h~~~1

5.已知二次函数y=l-5x+3/,则二次项系数〃=,一次项系数/7=,常数项c=.

6.如果函数＞=(m-1)x2+x(机是常数)是二次函数，那么根的取值范围是.

7.矩形的周长为12CM,设其一边长为xan,面积为yen?,则y与％的函数关系式及自变量工的取值范围

是.

8.当系数mb,C满足什么条件时，函数y=〃/+Zzx+c是二次函数？是一次函数？是正比例函数？

9.已知二次函数y=-/+加；+3,当％=2时，y=3,求这个二次函数的解析式.

题组B能力提升练

10.下列函数表达式中，一定为二次函数的是()

A.y=2x-5B.y=aj?+bx+cC.h=^—D.丁=/+工

2x

11.已知二次函数>=苏+加汁1,若当％=1时，y=0；当x=-l时，y=4,则〃、/?的值分别为（）

A.ct~~19Z?=2B.〃=1,h~~~2C.〃=-1,Z?=2D.d~~-1,Z?=-2

12.一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x,两年后这台机器约为y万元，则y与尤的函数关系式为

（）

A.y=100（1-x）B.y=100-x2C.y=100（1+x）2D.y=100（1-x）2

13.〃个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数机与球队数〃522）之间的函数关

系是•

14.一个二次函数y=（^-1）+2x-1.

（1）求上值.

（2）求当尤=0.5时y的值？

15.y与/成正比例，并且当尤=-1时，y--3.求：

（1）y与x的函数关系式；

（2）当x=4时，y的值；

（3）当丫=」时，x的值.

y3

题组c培优拔尖练

16.下列具有二次函数关系的是（）

A.正方形的周长y与边长尤B.速度一定时，路程s与时间f

C.正方形的面积y与边长xD.三角形的高一定时，面积y与底边长x

17.若函数y=/nx+4是二次函数，则相的值为（）

A.0或-1B.0或1C.-1D.1

18.若y与/成正比例，且当x=2时，y=4,则当x=-3时，y的值为（）

A.4B.9C.12D.-5

19.一个二次函数，当x=0时，y=-5；当尤=-1时，y=-4；当x=-2时，y=5,则这个二次函数的

关系式是（）

A.y=4/+3x-5B.y=2/+x+5C.y=2/-x+5D.y=2^+x-5

20.如图，在靠墙（墙长为2O//7）的地方围建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长

为50处设鸡场垂直于墙的一边长x(m),求鸡场的面积y(m2)与x(m)的函数关系式，并求自变量

的取值范围.

21.在y=〃/+/?x+c中，当％=2时y的值是-15,x=l时y的值是-9,1=-1时》的值是-3,求〃，b、

c的值.

22.已知二次函数丁=〃？+(初i+c),当x=3时，y=15；当％=-2时，y=5,试求y与％之间的函数关系

式.

23.已知y=yi+y2,yi与x成正比例，”与％2成正比例，当工=1时，y=6,当％=3时，y=8,求y关于x

的解析式.

第1课二次函数

0目标导航

学习目标

1.理解二次函数的概念,掌握二次函数的标准形式

2.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围.

3.会用待定系数法求二次函数的表达式.

趣知识精讲

知识点01二次函数函数的概念

1.形如y=ax?+6x+c(其中a,b,c是常数,的函数叫做二次函数,称。为二

次项系数,一为一次项系数,c为常数项.

注意：二次项系数。力0,而6,c可以为零.二次函数的自变量的取值范围是全体实数.

2.二次函数y=or2+6x+c的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量尤的二次式，尤的最高次数是2.

⑵a,6,c是常数，。是二次项系数，6是一次项系数，c是常数项.

知识点02根据实际问题列二次函数表达式

根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，理解题意，建立二次函数的数学模

型来解决问题.需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定.

知识点03待定系数法求二次函数的表达式

用待定系数法求二次函数的表达式步骤：

(D设二次函数的表达式；

(2)根据已知条件，得到关于待定系数的方程组。

(3)解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式。

能力拓展

考点01二次函数函数的概念

【典例1］若y=（。+1）即+31-尤+3是关于尤的二次函数，则。的值是（）

A.1B.-5C.-1D.-5或-1

【思路点拨】根据二次函数定义可得|。+3|=2且a+IWO,求解即可.

【解析】解：•••函数y=（。+1）x"31-尤+3是关于尤的二次函数，

；.|a+3|=2且a+IWO,

解得a=-5,

故选：B.

【点睛】本题考查的是二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如y=a^+bx+c

（a、b、c是常数，aWO）的函数，叫做二次函数.

【即学即练1】如果函数尸（m-2）是二次函数，则机的值为-3.

【思路点拨】根据二次函数的定义，可得tir+m-4=2且加-2六0,然后进行计算即可

解答.

【解析】解：由题意得：

nr+m-4=2S.m-2#0,

.,.m=2或-3且m力2,

m--3.

故答案为：-3.

【点睛】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如y=ax1+bx+c（a、b、c

是常数，aWO）的函数，叫做二次函数.

考点02根据实际问题列二次函数表达式

【典例2】如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度。为10米），

围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门.设花圃的宽

AB为x米，面积为S平方米，则S与尤的之间的函数表达式为S=-3f+24x；自变量

x的取值范围为二生Wx<6.

一3

【思路点拨】根据题意表示出长方形的长进而得出函数关系，进而结合a的最大值得出x

的取值范围.

【解析】解：设花圃的宽A3为x米，面积为S平方米,

则S与尤的之间的函数表达式为：S=（21-3x+3）尤=-3X2+24X；

x>1

21-3x+3>2

由题意可得:

21-3x+3<10,

x〈21-3x+3

解得：

3

故答案为：S=-3X2+24X,

3

【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出长方形的长是解

题关键.

【即学即练2】某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的

百分率x,第3年的销售量为y台，则y关于x的函数解析式为()

A.>=5000(l+2x)B.y=5000(1+x)2

C.y=5000+2xD.y=5000x2

【思路点拨】首先表示出第二年的销售量为5000(l+x),然后表示出第三年的销售量

为5000(1+无)2,从而确定答案.

【解析】解：设每年的销售量比上一年增加相同的百分率尤，

根据题意得：y=5000(1+x)2,

故选：B.

【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是分别表示出第二

年和第三年的销售量.

考点03待定系数法求二次函数的表达式

【典例3］已知二次函数>=/+法+<?,当尤=1时y=3；当％=-1时，y—1,求这个二次函

数的解析式.

【思路点拨】根据题意，可得出抛物线过(1,3),(-1,1)两点，将这两点的坐标

代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值.

【解析】解：将点(1,3),(-1,1)代入函数解析式得：

解得仆=1；

Ic=l

故此函数的解析式为y=，+x+l.

【点睛】本题考查的是用待定系数法求二次函数的解析式.

【即学即练2】二次函数y=a?+bx-3中的无，y满足如表

X.・・-1012.・・

y.・・0-3m-3・・・

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)求m的值.

【思路点拨】(1)设一般式>=办2+灰-3,再取两组对应值代入得到关于°、6的方程

组，然后解方程组即可；

(2)把x=l代入二次函数的解析式求解即可.

【解析】解：（1）设二次函数的解析式为丫=。/+法-3,

把（-1,0）,（2,-3）代入得卜4号。，

I4a+2b-3=-3

解得：卜=1,

lb=-2

所以解析式为：y=/-2x-3；

（2）把x=l代入y=/-2x-3,可得y=l-2-3=-4,

所以m=-4.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：根据已知条件，得到关于待定系数的

方程组。

解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式。

M分层提分

题组A基础过关练

1.下列函数中，属于二次函数的是（）

A.y—2x-3B.y—（x+1）2-x2C.y—2x（x+1）D.y—-

x

【思路点拨】一般地，形如y=/+a+c（。、b、c是常数，。¥0）的函数，叫做二次函

数.根据定义进行判断即可.

【解析】解：A.不含有x的二次项，所以A不符合题意；

艮化简后y=2x+l,不含有尤的二次项，所以2不符合题意；

C.符合题意；

D.y=-2x'2,不含有x的二次项，所以。选项不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解决本题的关键.

2.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40

米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为尤米,

围成的苗圃面积为y平方米，则y关于尤的函数关系式为（）

苗圃园

A.>=无(40-x)B.y—x(18-x)C.y—x(40-2x)D.y—2x(40

2x)

【思路点拨】先用含X的代数式表示苗圃园与墙平行的一边长，再根据面积=长义宽列

出y关于X的函数关系式.

【解析】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40

-2x）米.

依题意可得：y=x（40-2x）.

故选：C.

【点睛】本题考查了由实际问题列二次函数关系式，解题的关键是明确题意，找出所求

问题需要的条件.

3.已知函数y=ax1+bx,当x=l时，y=-1；当x=-1时，y=2,则a,b的值分别是（）

A.A,-3B.A,旦C.1,2D.-1,2

2222

【思路点拨】把两组对应值分别代入y=a/+法中得到关于6的方程组，然后解方程

组即可.

f1

【解析】解：根据题意得|a+b=-l,解得|/

la-b=2b=J.

I2

故选:A.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式

4.如果二次函数当x=l时，y=2；当x=-1时，y=4,贝Ua,b的值是（）

A.Q=3,b--1B.〃=3,b=\C.a--3,b=lD.a=-3,b--1

【思路点拨】把两组对应值分别代入尸办2+6尤得到关于a、6的方程组，然后解方程组

即可.

【解析】解：根据题意得［a+b=2,

Ia-b=4

解得卜=3.

lb=-l

所以抛物线解析式为y=3/-x.

故选：A.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式

5.已知二次函数y=l-5x+37,则二次项系数a=3,一次项系数b=-5,常数项

c=1.

【思路点拨】根据二次函数的定义，可得答案.

【解析】解：二次函数y=l-5x+3/,则二次项系数a=3,一次项系数6=-5,常数项

c=l,

故答案为：3,-5,1.

【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键.

6.如果函数丁=(m-1)/+%(机是常数)是二次函数，那么徵的取值范围是mWl.

【思路点拨】依据二次函数的二次项系数不为零求解即可.

【解析】解：•・•函数y=Cm-1)7+x(m为常数)是二次函数，

Am-1^0,解得：根W1,

故答案为：加#1.

【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的特点是解题的关键.

7.矩形的周长为12cm,设其一边长为xcm,面积为竺川，则y与x的函数关系式及自变量

x的取值范围是y=-/+6x(0V-V6).

【思路点拨】根据矩形的周长及其中一边长度得出另外一边长度为必红米，再由矩形

2

的面积公式可得函数解析式，根据长、宽均为正数可得X的取值范围.

【解析】解：根据题意知，y与x的函数关系式>=尤•32A•=》(6-x)=-/+6x,

2

由得0cx<6,

所以y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是y=-7+6x(0<x<6),

故答案为：y=-/+6x(0<x<6).

【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关

系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题.需要注意的是实例中的函

数图象要根据自变量的取值范围来确定.

8.当系数a,b,c满足什么条件时，函数y=a/+bx+c是二次函数？是一次函数？是正比

例函数？

【思路点拨】根据二次函数和一次函数、正比例函数定义进行解答即可.

【解析】解：函数y=«?+bx+c中a#0,6和c为任意常数时是二次函数，

a=0,bWO,c为任意常数时是一次函数；

a=0,b乎0,c=0时是正比例函数.

【点睛】此题主要考查了二次函数和一次函数、正比例函数，关键是掌握三种函数定义.

9.已知二次函数y=-W+H+s,当冗=2时，y=3,求这个二次函数的解析式.

【思路点拨】把x=2,y=3代入y=-/+法+3,可求出匕的值，即可求出二次函数的解

析式.

【解析】解：把x=2,y=3代入y=-/+灰+3,

・・・3=-22+20+3,

：.b=2,

•'•y=-X2+2X+3.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是求出。的值.

题组B能力提升练

10.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）

A.y—2x-5B.y—a^r+bx+cC.h———D.y=/+_L

2x

【思路点拨】根据二次函数的定义：一般地，形如（，、6、c是常数，，W0）

的函数，叫做二次函数进行分析.

【解析】解：A、是一次函数，故此选项错误；

B、当aWO时，是二次函数，故此选项错误；

C、是二次函数，故此选项正确；

。、含有分式，不是二次函数，故此选项错误；

故选：C.

【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右

边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出

判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件.

11.已知二次函数>=依2+加叶1,若当X=1时，y=0；当尤=-1时，y=4,则a、b的值分

别为（）

A.1,b'='2B.4=1,-2C.ct~~~1fZ?=2D.ct~~一1,b~~~2

【思路点拨】把两组对应值分别代入>=办2+公+1得到关于八方的方程组，然后解方程

组即可得到。和b的值.

【解析】解：根据题意得［a+b+l=0,

Ia-b+l=4

解得a=l,b=-2.

故选：B.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式

12.一台机器原价100万元，若每年的折旧率是无，两年后这台机器约为y万元，则y与x

的函数关系式为（）

A.j=100（1-x）B.j=100-x2C.j=100（1+x）2D.y=100（1

-x）2

【思路点拨】根据两年后机器价值=机器原价值X（1-折旧百分比）2可得函数解析式.

【解析】解：根据题意知y=100（1-x）2,

故选：D.

【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关

系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题.需要注意的是实例中的函

数图象要根据自变量的取值范围来确定.

13.〃个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数加与球队数〃(w22)

之间的函数关系是m=ln1-In.

2—2―

【思路点拨】w个球队都要与除自己之外的(n-1)球队个打一场，因此要打“(«-1)

场，然而有重复一半的场次，故比赛场次为工〃(«-1),得出关系式.

2

【解析】解：(n-1)=—ir-—n,

222

故答案为：机=工〃2-」_”.

22

【点睛】考查函数关系式的求法，在具体的情景中，蕴含数量之间的关系，理解和发现

数量之间的关系是正确解答的关键.

14.一个二次函数y=(女-1)+2x7.

(1)求左值.

(2)求当x=0.5时y的值？

【思路点拨】(1)根据二次函数的定义：一般地，形如>=/+及+。(队b、。是常数,

“W0)的函数，叫做二次函数可得/-34+4=2,且Z-1W0,再解即可；

(2)根据(1)中左的值，可得函数解析式，再利用代入法把％=0.5代入可得y的值.

【解析】解：(1)由题意得：必-34+4=2,且左-1W0,

解得：k=2；

(2)把左=2代入y=(左-l)+2x-l得：y=x2+2x-1,

当x=0.5时，y=』.

4

【点睛】此题主要考查了二次函数以及求函数值，关键是掌握判断函数是否是二次函数,

要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件.

15.y与x2成正比例，并且当x=-l时，y=-3.求：

(1)y与x的函数关系式；

(2)当x=4时，y的值；

(3)当v二二时，x的值.

y3

【思路点拨】(1)设>=小，把当冗=-1时，y=-3代入求得上的值，则y与x的函

数关系式即可求得；

(2)把x=4代入即可求得y的值；

（3）把＞=-』代入解析式即可求得x的值.

3

【解析】解：（1）设y=A%2,

则根据题意得：k=-3,

则y与尤的函数关系式是y=-3x2；

（2）把x=4代入得：y=-3义16=-48；

（3）当＞=-_1时，-3/=-2，

33

解得：%=±A.

3

【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，是一个基础题.

题组C培优拔尖练

16.下列具有二次函数关系的是（）

A.正方形的周长y与边长xB.速度一定时，路程s与时间/

C.正方形的面积y与边长xD.三角形的高一定时，面积y与底边长x

【思路点拨】根据题意，列出函数解析式就可以判定.

【解析】解：4y=4x,是一次函数，错误；

B、s=vt,v一定，是一次函数，错误；

C、y=x2,是二次函数，正确；

D、＞=工桁，h一定,是一次函数，错误.

2

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数的定义，掌握其定义是解决此题关键.

17.若函数a+4是二次函数，则相的值为（）

A.0或-1B.0或1C.-1D.1

【思路点拨】利用二次函数定义可得s2+根+2=2,且根W0,再解即可.

【解析】解：由题意得：nr+m+2=2,且初二0,

解得：m=-1,

故选：C.

【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如＞="2+法+。（八仄c是常数,

aWO）的函数，叫做二次函数.

18.若y与/成正比例，且当x=2时，y=4,则当x=-3时，y的值为（）

A.4B.9C.12D.-5

【思路点拨】根据题意设＞=小&W0）,将x=2,y=4代入函数解析式，列出关于系

数上的方程，借助于方程即可求得左的值，求得解析式，然后代入x=-3求得即可.

【解析】解：・・・y与/成正比例，

・・.设丁=丘2（左wo）.

•.•当％=2时，y=4,

・・・4=4总

解得，k=l,

・・・该函数解析式为：y=%2,

才巴兀=-3代入得，y=9,

故选：B.

【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，正确设出函数关系式是解题关

键.

19.一个二次函数，当x=0时，y=-5；当x=-l时，y=-4；当x=-2时，y=5,则

这个二次函数的关系式是（）

A.y=4x2+3x-5B.y=2j^+x+5C.y=2j^-x+5D.y=2x2+x-5

【思路点拨】设二次函数的关系式是（aWO）,然后由当％=0时，y=-5；

当x=-l时，丁=-4；当％=-2时，y=5,得到mb,c的三元一次方程组，解方程组

确定“，b,c的值即可.

【解析】解：设二次函数的关系式是丁=。/+/+。（〃/o）,

・・•当x=0时，y=-5；当x=-l时，y=-4；当x=-2时，y=5,

.*.c=-50,

a-b+c=-4②，

4〃-2。+。=5③，

解由①②③组成的方程组得，〃=4,6=3,c=-5,

所以二次函数的关系式为：y=4/+3x-5.

故选：A.

【点睛】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式.设二次函数的解析式为y